Đề tài ứng dụng phương pháp tọa độ vào giải toán sơ cấp

MỞ ĐẦU I.Lý chọn đề tài Bằng thực tiễn toán học, lý luận khẳng định kiến thức vectơ, toạ độ cần thiết thiếu chương trình tốn THPT Phương pháp toạ độ phương pháp toán lớp 10, xong việc ứng dụng học sinh chưa nhận thấy hết Đến lớp 12 phương pháp toạ độ công cụ hữu hiệu để giải tốn hình học Để giúp em thấy tầm quan trọng phương pháp toạ độ (PPTĐ) – phương pháp chuyển từ việc nghiên cứu hình học Ơclit phương pháp sơ cấp (phương pháp tổng hợp) sang việc nghiên cứu cơng cụ đại số giải tích, tơi chọn đề tài nhằm hướng dẫn học sinh lớp 10 giải tốn hình học phẳng PPTĐ để em không bị bỡ ngỡ giải tốn hình học khơng gian phương pháp chương trình lớp 12 Trong thực tế, số tốn hình học phẳng lớp 10 giải nhanh gọn, dễ hiểu ta sử dụng PPTĐ để giải so với phương pháp sơ cấp khác II.Mục đích nghiên cứu Với lý chọn dề tài nhằm mục đích sau: - Làm sáng tỏ sở khoa học PPTĐ - Đề xuất phương án xây dựng quy trình giải tốn hình học phẳng PPTĐ III.Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Đối tượng : Hướng dẫn học sinh lớp 10 giải tốn hình học phẳng PPTĐ - Phạm vi : Hình học lớp 10 IV.Nhiệm vụ nghiên cứu - Nhắc lại kết PPTĐ - Xây dựng quy trình giải tốn hình học phẳng PPTĐ - Thực hành V.Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận - Tổng kết kinh nghiệm - Thực nghiệm NỘI DUNG Chương : Kiến thức toạ độ 1.Toạ độ vectơ diểm trục - Cho u nằm trục (O, i ) ⇒ ∃ a ∈ R cho: u = a.i Số a gọi toạ độ vectơ u trục (O, i ) O I x’ x i - Cho điểm M trục (O, i ) ⇒ ∃ OM = m.i số m gọi toạ độ điểm M trục (O, i ) M x’ u O x 2.Hệ trục toạ độ y - Trong mặt phẳng gồm trục ox oy r vng góc với i Vectơ đơn vị trục ox, oy O j x r i , j Điểm O gọi gốc trục toạ độ; ox, oy trục hoành, trục tung Hệ trục toạ độ vng góc cịn gọi hệ trục toạ độ kí hiệu Oxy hay (O; i , j ) 3.Toạ độ vectơ, điểm hệ trục toạ độ - Đối với hệ trục toạ độ (O; i , j ) a = x.i + y.j cặp số (x ;y) gọi toạ độ vectơ a , ký hiệu a = (x, y) hay a (x, y) ; x hoành độ, y tung độ vectơ a uuuu r - Trong mặt phẳng toạ độ Oxy toạ độ vectơ OM gọi toạ độ điểm M 4.Các phép toán r r , , Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho vectơ : u ( x; y ) , v( x ; y ); ur r u + v = ( x + x , ; y + y , ); ur r u − v = ( x − x , ; y − y , ); ur ku = ( kx ; ky ); k ∈ R 5.Phương trình đường thẳng - Mọi đường thẳng mặt phẳng toạ độ có dạng ax + by = , a2 + b2 ≠ o - Đường thẳng d qua điểm A( x ;y1) B ( x2 ; y2) phương trình đường thẳng d : - ( y2 – y1 ) ( x – x1 ) + ( x2 – x1) ( y – y1) = - Cho đường thẳng d cắt ox điểm A( a ; ) cắt oy điểm B ( ; b) x y phương trình theo đoạn chắn : + = , a.b ≠ o a b 6.Các toán r r Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho vectơ : u ( x; y ) , v( x , ; y , ); đường thẳng d d , có phương trình tổng qt sau : d : ax + by + c = d , : a , x + b, y + c , = a) Bài tốn vng góc r r rr u ⊥ v ⇔ u v = ⇔ x.x , + y y , = b) Bài toán phương r r Vectơ u v vectơ phương ⇔ x y , − x, y = Chứng minh :r r Vectơ u v vectơ phương r r ⇔ ∃ k ∈ R : u = k v ⇔ ( x ; y ) = k ( x , ; y , )  x = kx, ⇔ (1) ,  y = ky x=0 Nếu k = từ (1) ⇒  (1) ⇔ xy , − x, y = y=0 Nếu: k ≠ (1) ⇒ kxy , = x, ky ⇔ xy , = x , y ⇔ xy , − x, y = c) Toạ độ giao điểm đường thẳng Toạ độ giao điểm d d , nghiệm hệ phương trình :  ax + by + c =  , , , a x + b y + c = e) Góc d d , tính cơng thức sau : ∧ a.a , + b.b, , cos ( d , d ) = a + b a ,2 + b,2 f) Khoảng cách từ điểm M0( x0 ; y0 ) đến đường thẳng d ax0 + by0 + c d ( M0 , d ) = a2 + b2 7.Phương trình đường trịn Đường trịn tâm I ( a ;b ) bán kính R có phương trình : ( x-a )2 + ( y- b )2 = R2 Đặc biệt tâm I gốc toạ độ bán kính R phương trình x2 + y2 = R2 Chương : Xây dựng quy trình giải tốn hình học phương pháp toạ độ 1.Diễn đạt kiện hình học ngữ uuungôn u r uu ur vectơ a) Điểm M trùng với điểm N ⇔ OM = ON ( với O điểm ) uur uur r b) I trung điểm đoạn thẳng AB ⇔ IA + IB = uur uuu r uuu r ⇔ OI = ( OA + OB ) hay I trung điểm đoạn thẳng AB ( với O điểm ) uuu r uuu r uuur r c) G trọng tâm VABC ⇔ GA + GB + GC = uuur uuu r uuu r uuur hay G trọng tâm VABC ⇔ OG = ( OA + OB + OC ) ( với O điểm ) uuu r uuur d) Đường thẳng a song song với đường thẳng b ⇔ AB = kCD ( k ∈ R ) uuur uuu r ( với vectơ AB có giá a, CD vectơ có giá b ) uuu r uuur e) Ba điểm A, B, C thẳng hàng ⇔ AB = k BC ( k ∈ R ) uuu r uuur f) Đường thẳng a vng góc với đường thẳng b ⇔ AB CD = uuur uuu r ( với vectơ AB có giá a, CD vectơ có giá b ) g) Tính độ dài đoạn thẳng AB uuu r uuu r2 Sử dụng công thức AB = AB = AB 2.Diễn đạt ngôn ngữ vectơ ngôn ngữ toạ độ Trong hệ trục toạ độ Oxy uuuu r uuur  x1 = x2 OM = ON ⇔  a) với M ( x1 ; y1 ) N ( x2 ; y2 )  y1 = y2 uur uur r x + x2 y1 + y2 IA + IB = ⇔ I( ; ) với A ( x1 ; y1 ) B ( x2 ; y2 ) b) 2 uuu r uuu r uuur r x + x2 + x3 y1 + y2 + y3 ; ) c) GA + GB + GC = ⇔ G ( 3 với A r( x1 ; y1 ) , rB ( x2 ; y2 ) C ( x3 ; y3 ) d) Vectơ a vectơ b phương ⇔ x1 y2 − x2 y1 = r r với a ( x1 ; y1 ), b ( x2 ; y2 ) r r e) a ⊥ b ⇔ x1 y1 + x2 y2 = uuu r uuu r2 g) AB = AB = AB = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 )2 Chương : Thực hành phương pháp hướng dẫn học sinh lớp 10 giải tốn hình học phương pháp toạ độ I Một số ý giảng dạy vấn đề PPTĐ Cần hướng dẫn học sinh ôn tập làm cho học sinh nắm vững kiến thức vectơ đặc biệt kiến thức toạ độ phép toán vectơ để làm sở cho việc nghiên cứu toạ độ Cần cho học sinh thấy rõ tương ứng – tập hợp điểm tập hợp số -Trên đường thẳng : điểm ứng với số thực xác định -Trên mặt phẳng : điểm ứng với cặp số thực thứ tự Từ làm bật cho học sinh thấy hình mặt phẳng tập hợp điểm thứ tự theo quy tắc đó, hình xác định hệ buộc định tương ứng mối liên hệ toạ độ điểm hình đó, thể học sinh phải có kỹ sau : + Khi lấy M thuộc hình H toạ độ M phải thoả mãn hệ buộc toạ độ điểm hình H + Ngược lại có điểm M có toạ độ thoả mãn hệ buộc toạ độ điểm hình H M thuộc hinh H II Hướng dẫn học sinh giải toán PPTĐ Với tốn hình học phẳng có chứa quan hệ hình học : thẳng hàng, song song, vng góc hay có chứa yếu tố khoảng cách, tính góc, ta chọn hệ toạ độ thích hợp ta chuyển tốn đại số với quan hệ số vectơ, phép tốn Các tốn có khả tìm lời giải, chí cịn ngắn gọn Việc giải tập PPTĐ đòi hỏi học sinh phải luyện tập vận dụng tổng hợp kiến thức liên quan • Học sinh cần nắm quy trình : Chọn hệ trục toạ độ thích hợp ( vấn đề mấu chốt tốn, chọn thích hợp toan giải nhanh gọn ) Phiên dịch toán cho sang ngơn ngữ vectơ Chuyển tốn từ ngơn ngữ vectơ sang ngôn ngữ toạ độ Dùng kiến thức toạ độ để giải toán Phiên dịch kết từ ngơn ngữ toạ độ sang ngơn ngữ hình học III Một số dạng toán Dạng : Bài tốn chứng minh đoạn thẳng vng góc Bài : Cho VABC cân A Gọi M trung điểm cạnh AB, G trọng tâm VACM Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp VABC Chứng minh GI ⊥ CM Giải : Hướng dẫn : Do VABC cân A nên ta chọn hệ toạ độ có trục oy qua A vng góc BC, ox qua BC Từ gt ta tìm toạ độ I, G, M theo toạ độ điểm A, B, C uur uuuđiểm u r Tính toạ độ vectơ GI , CM uur uuuu r Sau xét GI CM Lời giải : Gọi O trung điểm cạnh đáy BC Dựng hệ toạ độ Oxy ( hình vẽ ) - Các điểm A, B, C có toạ độ A( ;h ) , B ( - a ; ), C ( a ; ) ( giả sử BC = 2a, Oa = h ) Do M trung điểm AB nên M −a h ( ; ) 2 M trọng tâm VAMC  x = ( x A + xC + xM ) = G  ⇒ y = ( y + y + y ) =  G A C M a a (0 + a − ) = h h (h+ 0+ ) = 2 a h Vậy toạ độ điểm G G ( ; ) uuur − a h uuu r ; − y0 ) mà AB ( ; - h ) Gọi I ( ; y0 ) ⇒ IM ( 2uur uuu uuur uuu r2 u r Theo giả thiết IM ⊥ AB ⇔ IM AB = −a h ).( − a ) + ( − y0 ).(−h ) = Hay ( 2 2 a h ⇔ − + y0 h = 2 h2 − a ⇔ y0 = 2h h2 − a2 Vậy điểm I có toạ độ I (0; ) 2h uuuu r uur −a h −3a h a h h2 − a2 CM =( − a; ) = ( ; ) Ta có ⇒ IG = ( ; − ) 2 2 2h uur uuuu r − a2 h2 h2 a2 ⇒ IG CM = + − + = 4 4 uur uuuu r Vậy IG ⊥ CM ( đpcm ) Chú ý : Cách giải không phụ thuộc vào góc A nhọn, vng hay tù Nếu giải phương pháp tốn học t, vẽ hình phải xét trường hợp Đó lợi PPTĐ Bài : Cho hình vuông ABCD cạnh a, M, N trung điểm DC CB Chứng minh AM ⊥ DN Giải : Hướng dẫn : Để cho toán đơn giản ta chọn hệ trục toạ độ cho D trùng với O, cạnh AD, DC nằm truc ox oy Tìm toạ độ M, N - uuuu r uuur Xét AM DN Lời giải : - Chọn hệ trục toạ độ Oxy ( hình vẽ ) - Trong hệ toạ độ D( ; 0), A( ; a), C ( a ; 0) B ( a ; a) a a Khi M ( ;0), N ( ( a ; ) 2 - uuuu r uuur a a ⇒ AM = ( ; − a ); DN = ( a ; ) 2 uuuu ruuur a a Do AM DN = a + ( − a ) = hay AM ⊥ DN ( đpcm ) 2 Bài : Trên cung AB đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD ta lấy điểm M khác A B Gọi P, Q, R, S hình chiếu M đoạn thẳng AD, AB, BC, CD Chứng minh PQ ⊥ RS giao điểm chúng nằm đường chéo hình chữ nhật ABCD Giải : Hướng dẫn : Nếu gọi O tâm hình chữ nhật ABCD O tâm đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật Do ta chọn gốc trục toạ độ O, trục song song với cạnh hình chữ nhật Tìm toạ độ P, Q, R, S theo toạ độ A, B, C, D Viết phương trình PQ, RS , AC, BD Lời giải : - Gọi O tâm hình chữ nhật ABCD ( tức tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ) 10 - Dựng hệ toạ độ Oxy( hình vẽ ),( trục ox, oy song song với AD, AB ) - Giả sử bán kính đường trịn R Phương trình đường trịn : x2 + y2 = R2 - Trong hệ trục toạ độ giả sử toạ độ đỉnh ABCD hình chữ nhật : A (-a;-b), B (-a;b), C (a;b), D (a;-b) AC2 = 4R2 = 4a2 + 4b2 Suy a2 + b2 = R2 Giả sử M (x0; y0) thuộc cung AB nên x02 + y02 = R2 Ta có toạ độ hình chiếu P, Q, R, S là: P (x0;-b), Q (-a;y0), R (x0;b), S (a;y0) Suy uuur uuu r PQ = ( − a − x0 ; y0 + b ), RS = ( a − x0 ; y0 − b ) Nên uuuruuu r PQRS = − a + x0 + y0 − b = Vậy PQ ⊥ RS r Đường thẳng PQ qua P (x0;-b) có vectơ pháp tuyến n = ( y0 + b ; a + x0 ) Nên có phương trình PQ : ( b + y0 )( x − x0 ) + ( a + x0 )( y + b ) = ⇔ ( b + y0 ) x + ( a + x0 ) y − x0 y0 + ab = Tương tự phương trình RS : ( b − y0 )( x − a ) − ( x0 − a )( y − y0 ) = ⇔ ( b − y0 ) x + ( a − x0 ) y + x0 y0 − ab = Gọi I ( xI ; yI ) giao điểm PQ RS ta có ( xI ; yI ) nghiệm hệ  ( b + y0 ) x + ( a + x0 ) y − x0 y0 + ab = (1) sau :   ( b − y0 ) x + ( a − x0 ) y + x0 y0 − ab = (2) Cộng vế với vế (1) (2) ta bx + ay = Suy bxI + ayI = (3) Do điểm B (-a;b), D (a;-b) nên phương trình đương chéo BD có dạng : ( b + b )( x + a ) - ( a + a ) ( y + b ) = Hay ay + bx = Từ đẳng thức (3) chứng tỏ I ( xI ; yI ) ∈ BD (đpcm ) Dạng : Bài tốn quỹ tích Bài : Cho VABC , M điểm di động cạnh BC Hạ MN, PQ tương ứng vng góc song song với AB ( N ∈ AB, Q∈ BC ) Gọi P hình chiếu Q AB, I tâm hình chữ nhật MNPQ 11 Tìm quỹ tích tâm I M chạy cạnh AB Giải : Hướng dẫn : Gọi O chân đường cao hạ từ C xuống AB Chọn hệ trục toạ độ Oxy cho A∈ ox, oy qua BC Tìm toạ độ N, Q, I theo toạ độ điểm A, B, C, M Tìm mối liên hệ tung độ hoành độ điểm I y điều kiện điểm M Lời giải : - Gọi O chân đường cao hạ từ C xuống AB - Chọn hệ trục toạ độ Oxy ( hình vẽ ) Giả sử toạ độ đỉnh A, B, C : A ( a;0 ), B ( b;0 ), C ( 0; h ) , h > Phương trình đường thẳng AB theo đoạn chắn : x y + =1 a h Phương trình đường thẳng BC theo đoạn chắn : x y + = Giả sử MQ có phương trình y = m (0 ≤ m ≤ h ) b h Toạ độ điểm Q nghiệm hệ phương trình y = m y=m a   ⇔  a ⇒ Q ( ( h − m ); m) x y h  a + h =  x = h ( h − m ) b a Tương tự ta có : M ( ( h − m ); m) Toạ độ điểm P P ( ( h − m );0) h h Gọi I tâm hình chữ nhật ABCD Suy I trung diẻm MP ( a + b )( h − m )  x = ( x + x ) = (1) I M P  xI Y 2h ⇒ + I = (*) Khi  a+b h y = 1( y + y ) = m (2) p 2  I M 12 xI ) a+b (2) suy m = 2yI Vì ≤ m ≤ h nên a−b  xI  ≤ x ≤ I ) ≤ h  ≤ h(1−  a + b ⇔ (**)   c 0 ≤ y ≤ h 0 ≤ y ≤ I  I  Từ (*) (**) suy quỹ tích tâm I hình chữ nhật MNPQ đoạn KH, K, H trung điểm OC AB (đpcm) Chú ý : Mọi lập luận khơng phụ thuộc vào hình dáng VABC Bài : Cho đường trịn ( C ) có đường kính AB không đổi, điểm M di động ( C ) Gọi H hình chiếu M AB Tìm quỹ tích trung điểm I MH Giải : Hướng dẫn : Để phương trình đường trịn đơn giản ta chọn hệ trục toạ độ có gốc O trùng với tâm O đường tròn Trục Ox qua AB Tìm toạ độ trung điểm I MH theo toạ độ điểm M Tìn mối liên hệ tung độ hoành độ điểm I Lời giải : - Chọn hệ trục toạ độ Oxy ( hình vẽ ) AB - Đặt R = , R khơng đổi Đường trịn ( C ) có phương trình : x2 + y2 = R2 Xét điểm M ( x0; y0 ) ∈ ( C ) ⇒ x0 + y0 = R (1) H hình chiếu M AB ⇒ H ( x0; ) I trung điểm MH  xI = x0  x0 = xI y  ⇒ ⇒ I ( x0 ; ) y0 ⇒   y0 = yI  yI = Từ (1) suy m = h(1− 13 xI yI + =1 Thay vào (1) ⇒ xI + yI = R hay ⇒ (2 R ) R xI yI + = độ dài trục lớn 2R, trục bé Chứng tỏ quỹ tích I elip (E) : (2 R ) R R Dạng : Bài toán qua điểm cố định Điểm M ( x0; y0 ) gọi điểm cố định họ đồ thị cho đồ thị họ ứng với giá trị m ∈ A qua M Trong giả sử y = f ( m, x ) , m ∈ A tham số Bài : Cho góc vng Oxy, ABCD hình chữ nhật có chu vi khơng đổi, A, C điểm thay đổi thuộc Ox, Oy Chứng minh đường d vng góc kẻ từ B vng góc với đường chéo AC ln qua điểm cố định Giải Hướng dẫn : - Bài toán có dáng dấp tốn đại số tìm điểm cố định, thuận tiện ta đại số hoá PPTĐ - Để đơn giản ta chọn hệ trục toạ độ Oxy trùng với góc Oxy Lời giải : - Chọn hệ trục toạ độ Oxy ( hình vẽ ) - Trong hệ trục toạ độ giả sử A (a; 0), B (a; c), C ( 0; c) Đặt a + c = b = const ( chu vi OABC khơng đổi ) Phương trình đường thẳng AB theo đoạn x y −c x+c chắn : + = ⇔ y = a c a 2 Phương trình đường thẳng d qua B (a; c) vng góc với AC có dạng : a a a2 y− c = ( x−a) ⇔ y = x +c − c c c a a ⇒ y = x + b(1 − ) a + c = b c c 14 Giả sử d qua điểm cố định M ( x0; y0 ) Khi y0 = a a a x0 + b(1 − ) ∀ c c c a a ( x0 − b) − ( y0 − b ) = ∀ c c  x0 − b =  x0 = b ⇒ ⇔   y0 − b =  y0 = b Do b không đổi chứng tỏ d qua diểm cố định M ( b; b ) (đpcm ) Dạng : Một số toán áp dụng khác Bài 8: Cho VABC vuông A, AB = c, AC= b M nằm cạnh BC cho bc góc BAM α Chứng minh AM = c cos α + b sin α Giải : Hướng dẫn : Để thuận tiện ta chọn hệ trục toạ độ Oxy cho cạnh góc vng nằm trục toạ độ Giả sử M (x; y) uuuu r uuu r Dựa vào điều kiện vectơ CM CB vectơ phương để chứng minh Lời giải : uuuu r - Chọn hệ trục toạ độ Oxy ( CM ( AM cos α AM sin α - c ) hình vẽ ) - Trong hệ toạ độ A (0; 0), B (b; 0), C (0; c)  x = AM cos α Giả sử M (x; y) ⇒   y = AM sin α Do M ( AM cos α ; AM sin α ) uuuu r uuu r Vì M ∈ BC nên vectơ CM CB vectơ phương uuu r mà CB ( b; - c ) nên AM cos α (- c) - ( AM sin α - c) b = ⇔ c AM cos α + b AM sin α - bc = bc Hay AM = (đpcm) c cos α + b sin α Bài : Cho VABC có trực tâm H Trên đoạn HB, HC lấy điểm B 1, C1 cho góc AB1C góc AC1B vng Chứng minh AB1 = AC1 ⇔ 15 Giải : Hướng dẫn : Do toán cho trực tâm H nên ta chọn hệ trục toạ độ Oxy cho H nằm Oy, BC nằm Ox Giả sử B1 ( x1; y1) Dựa vào điều kiện vng góc tính AB1 theo toạ độ điểm A, B, C B1 Tương tự tính AC1 Lời giải : - Chọn hệ trục toạ độ Oxy ( c ( x- b) - h( y – ) = hình vẽ ) - Trong hệ toạ độ A (0; h), B (b; 0), C (c; 0) ,uu (urở h, c > 0, b < ) Ta có AC = (c; - h) Theo gt BH ⊥ AC Đường cao BH qua B (b; 0) có vectơ pháp uuur tuyến AC = (c; - h) nên có phương trình : ⇔ cx – hy – bc = Gọi B1 ( x1; y1) B1 ∈ BH ⇒ cx1 – hy1 – bc = ⇔ cx1 – hy1 = bc (1) uuur uuur Ta có AB1 = ( x1; y1 – h ), CB1 = ( x1 – c; y1) uuur uuur uuur uuur Vì AB1 ⊥ CB1 ⇒ AB1 CB1 = hay x1( x1 – c ) + y1( y1 – h ) = ⇔ x12 + y12 − cx1 − hy1 = (2) Mặt khác : AB12 = x12 + ( y1 – h )2 = x12 + y12 - 2hy1 + h2 = ( x12 + y12 - hy1 - cx1 ) + ( cx1 – hy1 ) + h2 (3) Thay (1),(2) vào (3) ta AB1 = bc + h2 Tương tự ta có : AC1 = bc + h2 Từ suy AB1 = AC1 (đpcm) 16 Kết luận Trong chương trình tốn PTTH nay, PPTĐ xem phương pháp toán học cân thiết, kết hợp với phương pháp tổng hợp ta giải đối tượng mặt phẳng không gian PPTĐ công cụ chủ yếu chương trình hình học lớp 10 lớp 12 việc hướng dẫn học sinh lơp 10 giải tốn hình học phẳng cần thiết Ngoài việc giúp em củng cố kiến thức toạ độ giúp em thấy rõ ứng dụng to lớn phương pháp toán hình học phẳng tiền đề để em học tốt chương trình hình học lớp 12 Thực tế cho thấy nhiều tốn hình học phẳng giải PPTĐ cho lời giải ngắn gọn, dễ hiểu so với phương pháp khác Vậy giải PPTĐ học sinh cần biết cách phiên dịch yêu cầu đề tốn sang ngơn ngữ toạ độ, sau dùng kiến thức toạ độ để giải tốn, cuối chuyển kết từ ngơn ngữ toạ độ sang ngơn ngữ hình học Cần hướng dẫn cho học sinh chọn trục toạ độ Đecac thích hợp Do trình độ cịn hạn chế thời gian làm viết cịn nên viết không tránh khỏi sơ xuất mong thầy cô bạn thông cảm Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn thầy Bùi Đức Thọ thầy tổ Tốn trường THPT Dương Xá tận tình hướng dẫn em để hồn thành viết dạy dỗ em suốt thời gian thực tập 17 18 ... hiểu so với phương pháp khác Vậy giải PPTĐ học sinh cần biết cách phiên dịch yêu cầu đề tốn sang ngơn ngữ toạ độ, sau dùng kiến thức toạ độ để giải toán, cuối chuyển kết từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn... thức toạ độ giúp em thấy rõ ứng dụng to lớn phương pháp tốn hình học phẳng tiền đề để em học tốt chương trình hình học lớp 12 Thực tế cho thấy nhiều tốn hình học phẳng giải PPTĐ cho lời giải ngắn... phụ thuộc vào góc A nhọn, vng hay tù Nếu giải phương pháp toán học tuý, vẽ hình phải xét trường hợp Đó lợi PPTĐ Bài : Cho hình vng ABCD cạnh a, M, N trung điểm DC CB Chứng minh AM ⊥ DN Giải : Hướng