Ứng dụng phương pháp tọa độ vào giải toán potx

I. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Bằng thực tiễn lý luận đã khẳng định kiến thức tọa độ là cần thiết và không thể thiếu trong chương trình toán THPT. Phương pháp tọa độ (PPTĐ) là phương pháp cơ bản để giải các bài toán về hình học và đại số, nhìn thấy rõ nhất là ở các bài toán hình học lớp và hình học không gian lớp 12 ứng dụng phương pháp tọa độ, hay hơn nữa là các bài toán về tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất, hoặc bất đẳng thức, phương trình và bất phương trình… Để thấy các em thấy được tầm quan trọng của phương pháp tọa độ - phương pháp chuyển từ hình học Oclit sang việc nghiên cứu nó bằng công cụ đại số và giải tích, tôi chọn đề tài này nhằm hướng dẫn học sinh khối THPT có thêm một phương pháp nữa để giải toán. Trong thực tế, một số bài toán sẽ được giải quyết nhanh gọn, dễ hiểu hơn nếu ta sử dụng PPTĐ để giải so với các phương pháp sơ cấp khác. II. Mục đích nghiên cứu Với những lý do trên tôi đã chọn đề tài này nhằm mục đích sau: - Đề xuất phương án xây dựng quy trình giải toán bằng PPTĐ - Nêu một số bài toán sử dụng PPTĐ và ví dụ minh họa III. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: Học sinh khối THPT - Phạm vi: Chương trình toán ở THPT IV. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nhắc lại các kết quả của PPTĐ - Xây dựng quy trình giải toán bẳng PPTĐ. - Thực hành V. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận - Tổng kết kinh nghiệm - Thực nghiệm NỘI DUNG CHƯƠNG I: XÂY DỰNG QUY TRÌNH GIẢI TOÁN HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 2 1. Din t s kin hỡnh hc bng ngụn ng vect. im M trựng vi N OM ON = uuuur uuur ( vi O bt k) . b) I l trung im ca on thng AB IA IB 0 + = uur uur r 1 ( ) 2 OI OA OB = + uur uuur uuur ( Vi O l im bt kỡ) c) G l trng tõm ca tam giỏc 0ABC GA GB GC + + = uuur uuur uuur r V 1 ( ) 3 ABC OG OA OB OC = + + uuur uuur uuur uuur V , vi O l im bt k. d) Đờng thẳng a song song với đờng thẳng b ( )AB kCD k R = uuur uuur ( với vectơ AB uuur có giá là a, CD uuur vectơ có giá là b ) e) Ba điểm A, B, C thẳng hàng ( )AB kBC k R = uuur uuur f) Đờng thẳng a vuông góc với đờng thẳng b . 0AB CD = uuur uuur ( với vectơ AB uuur có giá là a, CD uuur vectơ có giá là b ) g) Tính độ dài đoạn thẳng AB Sử dụng công thức 2 AB AB AB= = uuur uuur 2.Diễn đạt ngôn ngữ vectơ bằng ngôn ngữ toạ độ Trong hệ trục toạ độ Oxy a) 1 2 1 2 x x OM ON y y = = = uuuur uuur với M ( x 1 ; y 1 ) và N ( x 2 ; y 2 ) b) 1 2 1 2 IA IB 0 ( ; ) 2 2 x x y y I + + + = uur uur r với A ( x 1 ; y 1 ) và B ( x 2 ; y 2 ) c) 1 2 3 1 2 3 0 ( ; ) 3 3 x x x y y y GA GB GC G + + + + + + = uuur uuur uuur r với A ( x 1 ; y 1 ) , B ( x 2 ; y 2 ) và C ( x 3 ; y 3 ). d) Vectơ a r và vectơ b r cùng phơng 1 2 2 1 0x y x y = với 1 1 2 2 ( ; ), ( ; ).a x y b x y r r e) 1 1 2 2 0a b x y x y + = r r g) 2 2 2 2 1 2 1 ( ) ( )AB AB AB x x y y= = = + uuur uuur 3 Chơng 3 : Thực hành phơng pháp hớng dẫn học sinh lớp 10 giải toán hình học bằng phơng pháp toạ độ I. Một số chú ý trong giảng dạy vấn đề PPTĐ 1. Cần hớng dẫn học sinh ôn tập làm cho học sinh nắm vững kiến thức vectơ đặc biệt là các kiến thức về toạ độ của các phép toán trên các vectơ để làm cơ sở cho việc nghiên cứu toạ độ . 2. Cần cho học sinh thấy rõ sự tơng ứng 1 1 giữa các tập hợp điểm và tập hợp số. -Trên đờng thẳng : mỗi điểm ứng với một số thực xác định. -Trên mặt phẳng : mỗi điểm ứng với một cặp số thực sắp thứ tự. Từ đây dần dần làm nổi bật cho học sinh thấy đợc rằng mỗi hình trong mặt phẳng là một tập hợp điểm sắp thứ tự theo một quy tắc nào đó, do vậy mỗi hình đó đợc xác định bởi một hệ rằng buộc nhất định tơng ứng nào đó về mối liên hệ giữa các toạ độ của các điểm trên hình đó, thể hiện học sinh phải có các kỹ năng cơ bản sau : + Khi lấy M thuộc hình H thì các toạ độ của M phải thoả mãn hệ rằng buộc về các toạ độ điểm của hình H. + Ngợc lại nếu có điểm M có toạ độ thoả mãn hệ rằng buộc về các toạ độ điểm của hình H thì M thuộc hinh H. II. Hớng dẫn học sinh giải toán bằng PPTĐ Với những bài toán hình học phẳng có chứa các quan hệ hình học : thẳng hàng, song song, vuông góc hay có chứa các yếu tố khoảng cách, tính góc, nếu ta chọn hệ toạ độ thích hợp thì ta có thể chuyển về bài toán đại số với quan hệ giữa các số và giữa các vectơ, giữa các phép toán. Các bài toán này rất có khả năng tìm ra đợc lời giải, thậm chí còn rất ngắn gọn. Việc giải bài tập bằng PPTĐ đòi hỏi học sinh phải đợc luyện tập vận dụng tổng hợp các kiến thức liên quan. Học sinh cần nắm đợc quy trình : - Chọn hệ trục toạ độ thích hợp ( đây là vấn đề mấu chốt của bài toán, nếu chọn thích hợp thì bài toan sẽ đợc giải quyết nhanh gọn ). - Phiên dịch bài toán đã cho sang ngôn ngữ vectơ - Chuyển bài toán từ ngôn ngữ vectơ sang ngôn ngữ toạ độ. - Dùng các kiến thức toạ độ để giải toán. - Phiên dịch kết quả từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình học. III. Một số dạng toán cơ bản Dạng 1 : Bài toán chứng minh 2 đoạn thẳng vuông góc Bài 1 : Cho ABCV cân tại A. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, G là trọng tâm ACMV . Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABCV . Chứng minh rằng GI CM . Giải : Hớng dẫn : Do ABCV cân tại A nên ta chọn hệ toạ độ có trục oy qua A và vuông góc BC, ox qua BC. 4 Từ gt ta đi tìm toạ độ của các điểm I, G, M theo toạ độ của 3 điểm A, B, C Tính toạ độ của vectơ ,GI CM uur uuuur . Sau đó xét .GI CM uur uuuur . Lời giải : - Gọi O là trung điểm cạnh đáy BC - Dng hệ toạ độ Oxy ( nh hình vẽ ) - Các điểm A, B, C có toạ độ A( 0 ;h ) , B ( - a ; 0 ), C ( a ; 0 ). ( ở đây giả sử BC = 2a, Oa = h ). Do M là trung điểm của AB nên M ( ; ) 2 2 a h M là trọng tâm AMCV 1 1 ( ) (0 ) 3 3 2 6 1 1 ( ) ( 0 ) 3 3 2 2 G A C M G A C M a a x x x x a h h y y y y h = + + = + = = + + = + + = Vậy toạ độ của điểm G là G ( ; ). 6 2 a h Gọi I ( 0 ; y 0 ) 0 ( ; ). 2 2 a h IM y uuur mà AB uuur ( 0 ; - h ) Theo giả thiết . 0IM AB IM AB = uuur uuur uuur uuur Hay 0 ( ).( ) ( ).( ) 0 2 2 a h a y h + = 2 2 0 2 2 0 0 2 2 2 a h y h h a y h + = = Vậy điểm I có toạ độ là I 2 2 (0; ) 2 h a h 5 2 2 ( ; ). 6 2 2 a h h a IG h = uur Ta có 3 ( ; ) ( ; ). 2 2 2 2 a h a h CM a = = uuuur 2 2 2 2 0. 4 4 4 4 a h h a IGCM = + + = uur uuuur Vậy IG CM uur uuuur ( đpcm ). Chú ý : Cách giải trên không phụ thuộc vào góc A là nhọn, vuông hay tù. Nếu giải bằng phơng pháp toán học thuần tuý, thì khi vẽ hình thì phải xét 3 trờng hợp trên. Đó cũng chính là lợi thế của PPTĐ. Bài 2 : Cho hình vuông ABCD cạnh a, M, N lần lợt là trung điểm của DC và CB. Chứng minh rằng AM DN . Giải : Hớng dẫn : - Để cho bài toán đợc đơn giản nhất ta chọn hệ trục toạ độ sao cho D trùng với O, 2 cạnh AD, DC nằm trên 2 truc ox và oy. - Tìm toạ độ của M, N - Xét .AM DN uuuur uuur Lời giải : - Chọn hệ trục toạ độ Oxy ( nh hình vẽ ). - Trong hệ toạ độ nay D( 0 ; 0), A( 0 ; a), C ( a ; 0) và B ( a ; a). Khi đó M ( ;0), 2 a N ( ( ; ) 2 a a ( ; ); ( ; ). 2 2 a a AM a DN a = = uuuur uuur Do đó . ( ) . 0 2 2 a a AM DN a a= + = uuuuruuur hay AM DN ( đpcm ). 6 Bài 3 : Trên cung AB của đờng tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD ta lấy điểm M khác A và B. Gọi P, Q, R, S là hình chiếu của M trên các đoạn thẳng AD, AB, BC, CD. Chứng minh rằng PQ RS và giao điểm của chúng nằm trên 1 trong 2 đờng chéo của hình chữ nhật ABCD . Giải : Hớng dẫn : - Nếu gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD thì O cũng là tâm đờng tròn ngoại tiếp hình chữ nhật đó. - Do đó ta chọn gốc trục toạ độ là O, các trục thì song song với các cạnh của hình chữ nhật. - Tìm toạ độ của P, Q, R, S theo toạ độ của A, B, C, D. - Viết phơng trình của PQ, RS , AC, BD. Lời giải : - Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD ( tức cũng là tâm của đờng tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ). - Dựng hệ toạ độ Oxy( nh hình vẽ ),( trục ox, oy lần lợt song song với AD, AB ). - Giả sử bán kính đờng tròn là R. Phơng trình đờng tròn : x 2 + y 2 = R 2 - Trong hệ trục toạ độ này giả sử toạ độ các đỉnh ABCD của hình chữ nhật là : A (-a;-b), B (-a;b), C (a;b), D (a;-b) AC 2 = 4R 2 = 4a 2 + 4b 2 Suy ra a 2 + b 2 = R 2 . Giả sử M (x 0 ; y 0 ) bất kỳ thuộc cung AB nên x 0 2 + y 0 2 = R 2 Ta có toạ độ hình chiếu P, Q, R, S là: P (x 0 ;-b), Q (-a;y 0 ), R (x 0 ;b), S (a;y 0 ). Suy ra 0 0 0 0 ( ; ), ( ; ).PQ a x y b RS a x y b= + = uuur uuur Nên 2 2 2 2 0 0 0PQRS a x y b= + + = uuuruuur Vậy PQ RS . Đờng thẳng PQ đi qua P (x 0 ;-b) và có vectơ pháp tuyến 0 0 ( ; )n y b a x= + + r Nên có phơng trình PQ là : 0 0 0 ( )( ) ( )( ) 0b y x x a x y b+ + + + = 0 0 0 0 ( ) ( ) 0b y x a x y x y ab + + + + = Tơng tự phơng trình RS là : 0 0 0 ( )( ) ( )( ) 0b y x a x a y y = 0 0 0 0 ( ) ( ) 0b y x a x y x y ab + + = Gọi I ( x I ; y I ) là giao điểm của PQ và RS thì ta có ( x I ; y I ) là nghiệm của hệ 7 sau : 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 (1) ( ) ( ) 0 (2) b y x a x y x y ab b y x a x y x y ab + + + + = + + = Cộng vế với vế của (1) và (2) ta đợc bx + ay = 0 Suy ra bx I + ay I = 0 (3) Do điểm B (-a;b), D (a;-b) nên phơng trình đơng chéo BD có dạng : ( b + b )( x + a ) - ( a + a ) ( y + b ) = 0 Hay ay + bx = 0. Từ đẳng thức (3) chứng tỏ I ( x I ; y I ) BD (đpcm ). Dạng 2 : Bài toán quỹ tích Bài 4 : Cho ABCV , M là điểm di động trên cạnh BC. Hạ MN, PQ tơng ứng vuông góc và song song với AB ( N AB, Q BC ). Gọi P là hình chiếu của Q trên AB, I là tâm của hình chữ nhật MNPQ. Tìm quỹ tích tâm I khi M chạy trên cạnh AB. Giải : Hớng dẫn : - Gọi O là chân đờng cao hạ từ C xuống AB. - Chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho A ox, oy qua BC - Tìm toạ độ của N, Q, I theo toạ độ của điểm A, B, C, M - Tìm mối liên hệ tung độ và hoành độ của điểm I chú y điều kiện của điểm M Lời giải : - Gọi O là chân đờng cao hạ từ C xuống AB - Chọn hệ trục toạ độ Oxy ( nh hình vẽ ). Giả sử toạ độ các đỉnh A, B, C là : A ( a;0 ), B ( b;0 ), C ( 0; h ) , h > 0 Phơng trình đờng thẳng AB theo đoạn chắn : 1 x y a h + = Phơng trình đờng thẳng BC theo đoạn chắn : 1 x y b h + = . Giả sử MQ có phơng trình y = m (0 )m h Toạ độ của điểm Q là nghiệm của hệ phơng trình ( ( ); ) 1 ( ) y m y m a Q h m m x y a h x h m a h h = = + = = Tơng tự ta có : ( ( ); ) b M h m m h . Toạ độ của điểm P là ( ( );0) a P h m h 8 Gọi I là tâm của hình chữ nhật ABCD. Suy ra I là trung diẻm của MP Khi đó 1 ( )( ) ( ) (1) 2 2 1 1 ( ) (2) 2 2 2 2 I M P I I I M p a b h m x x x x Y h a b h m y y y + = + = + = + = + = (*) Từ (1) suy ra 2 (1 ) I x m h a b = + (2) suy ra m = 2y I . Vì 0 m h nên 2 0 0 (1 ) 2 0 0 2 2 I I I I a b x x h h a b c y y h + (**) Từ (*) và (**) suy ra quỹ tích tâm I của hình chữ nhật MNPQ là đoạn KH, ở đây K, H lần lợt là trung điểm của OC và AB. (pcm) Chú ý : Mọi lập luận ở đây không phụ thuộc vào hình dáng của ABCV Bài 5 : Cho đờng tròn ( C ) có đờng kính AB không đổi, một điểm M di động trên ( C ). Gọi H là hình chiếu của M trên AB. Tìm quỹ tích trung điểm I của MH. Giải : Hớng dẫn : - Để phơng trình của đờng tròn đơn giản ta chọn hệ trục toạ độ có gốc O trùng với tâm O của đờng tròn - Trục Ox đi qua AB - Tìm toạ độ trung điểm I của MH theo toạ độ điểm M - Tìn mối liên hệ giữa tung độ và hoành độ của điểm I Lời giải : - Chọn hệ trục toạ độ Oxy ( nh hình vẽ ) - Đặt R = 2 AB , R là không đổi . Đờng tròn ( C ) có phơng trình : 2 2 2 x y R+ = . Xét điểm M ( x 0 ; y 0 ) ( C ) 2 2 2 0 0 x y R + = (1) H là hình chiếu của M trên AB H ( x 0 ; 0 ) I là trung điểm của MH 0 0 0 0 0 0 ( ; ). 2 2 2 I I I I x x x x y I x y y y y = = = = 9 Thay vào (1) 2 2 2 4 I I x y R + = hay 2 2 2 2 1 (2 ) I I x y R R + = Chứng tỏ quỹ tích I là elip (E) : 2 2 2 2 1 (2 ) I I x y R R + = độ dài trục lớn là 2R, trục bé là R. Dạng 3 : Bài toán đi qua một điểm cố định Điểm M ( x 0 ; y 0 ) đợc gọi là điểm cố định của họ đồ thị đã cho nếu mọi đồ thị của họ đó ứng với mọi giá trị m A đều đi qua M Trong đó giả sử y = f ( m, x ) , m A là tham số Bài 7 : Cho góc vuông Oxy, ABCD là hình chữ nhật có chu vi không đổi, A, C là 2 điểm thay đổi thuộc Ox, Oy. Chứng minh rằng đờng d vuông góc kẻ từ B vuông góc với đờng chéo AC luôn đi qua 1 điểm cố định. Giải Hớng dẫn : - Bài toán này có dáng dấp của 1 bài toán đại số tìm điểm cố định, vì thế rất thuận tiện khi ta đại số hoá bằng PPTĐ. - Để đơn giản ta chọn ngay hệ trục toạ độ là Oxy trùng với góc Oxy. Lời giải : - Chọn hệ trục toạ độ Oxy ( nh hình vẽ ) - Trong hệ trục toạ độ này giả sử A (a; 0), B (a; c), C ( 0; c) Đặt a + c = b = const ( vì chu vi OABC không đổi ). Phơng trình đờng thẳng AB theo đoạn chắn là : 1 x y a c + = c y x c a = + 10 [...]... toạ độ còn giúp các em thấy rõ đợc ứng dụng to lớn của phơng pháp này trong bài toán hình học phẳng và là tiền đề để các em học tốt hơn trong chơng trình hình học lớp 12 Thực tế cho thấy nhiều bài toán hình học phẳng giải bằng PPTĐ cho lời giải ngắn gọn, dễ hiểu hơn so với các phơng pháp khác Vậy khi giải bằng PPTĐ học sinh cần biết cách phiên dịch yêu cầu và đề bài của bài toán sang ngôn ngữ toạ độ, ... C1 sao cho góc AB1C và góc AC1B bằng 1 vuông Chứng minh rằng AB1 = AC1 Giải : Hớng dẫn : Do bài toán cho trực tâm H nên ta chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho H nằm trên Oy, BC nằm trên Ox Giả sử B1 ( x1; y1) Dựa vào điều kiện vuông góc tính AB1 theo toạ độ điểm A, B, C và B1 Tơng tự tính AC1 Lời giải : - Chọn hệ trục toạ độ Oxy ( nh hình vẽ ) - Trong hệ toạ độ này A (0; h), B (b; 0), C (c; 0) ,u(u đây h,... (1),(2) vào (3) ta đợc AB1 = bc + h2 Tơng tự ta có : AC1 = bc + h2 Từ đó suy ra AB1 = AC1 (đpcm) Kết luận Trong chơng trình toán PTTH hiện nay, PPTĐ đợc xem là phơng pháp toán học cơ bản và cân thiết, kết hợp với phơng pháp tổng hợp ta giải quyết đợc các đối tợng trên mặt phẳng và không gian PPTĐ là công cụ chủ yếu ở chơng trình hình học lớp 10 và lớp 12 cho nên việc hớng dẫn học sinh lơp 10 giải bài toán. .. b Do b không đổi chứng tỏ d luôn đi qua diểm cố định M ( b; b ) (đpcm ) Dạng 4 : Một số bài toán áp dụng khác Bài 8: Cho VABC vuông tại A, AB = c, AC= b M nằm trên cạnh BC sao cho bc góc BAM bằng Chứng minh rằng AM = c cos + b sin Giải : Hớng dẫn : Để thuận tiện ta chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho 2 cạnh góc vuông của nằm trên 2 trục toạ độ Giả sử M (x; y) uu uu r uu ur Dựa vào điều kiện vectơ... dùng kiến thức toạ độ để giải toán, cuối cùng là chuyển kết quả từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình học Cần hớng dẫn cho học sinh chọn trục toạ độ Đecac thích hợp Do trình độ còn hạn chế và thời gian làm bài viết này còn ít nên bài viết này không tránh khỏi sự sơ xuất mong các thầy cô và các bạn thông cảm 13 Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn thầy Bùi Đức Thọ và các thầy cô trong tổ Toán trờng THPT... toạ độ Oxy sao cho 2 cạnh góc vuông của nằm trên 2 trục toạ độ Giả sử M (x; y) uu uu r uu ur Dựa vào điều kiện vectơ CM và CB vectơ cùng phơng để chứng minh Lời giải : - Chọn hệ trục toạ độ Oxy ( nh x = AM cos hình vẽ ) Giả sử M (x; y) - Trong hệ toạ độ này A (0; 0), B y = AM sin (b; 0), C (0; c) Do đó M ( AM cos ; AM sin ) 11 uu uu r uu ur Vì M BC nên vectơ CM và CB vectơ cùng phơng u u mà... giải : - Chọn hệ trục toạ độ Oxy ( nh hình vẽ ) - Trong hệ toạ độ này A (0; h), B (b; 0), C (c; 0) ,u(u đây h, c > 0, b < 0 ) ở ur Ta có AC = (c; - h) Theo gt BH AC Đờng cao BH qua B (b; 0) và có vectơ pháp tuyến uu ur AC = (c; - h) nên có phơng trình : c ( x- b) - h( y 0 ) = 0 cx hy bc = 0 Gọi B1 ( x1; y1) do B1 BH cx1 hy1 bc = 0 cx1 u hy1 = bc (1) u u u ur ur Ta có AB1 = ( x1; y1 h ), CB1 . luận đã khẳng định kiến thức tọa độ là cần thiết và không thể thiếu trong chương trình toán THPT. Phương pháp tọa độ (PPTĐ) là phương pháp cơ bản để giải các bài toán về hình học và đại số, nhìn. các bài toán hình học lớp và hình học không gian lớp 12 ứng dụng phương pháp tọa độ, hay hơn nữa là các bài toán về tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất, hoặc bất đẳng thức, phương trình và bất phương trình… Để. của phương pháp tọa độ - phương pháp chuyển từ hình học Oclit sang việc nghiên cứu nó bằng công cụ đại số và giải tích, tôi chọn đề tài này nhằm hướng dẫn học sinh khối THPT có thêm một phương pháp