Ứng dụng phương pháp toạ độ để giải hình học không gian

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Bƣớc Chọn hệ trục tọa độ Oxyz khơng gian Ta có: Ox, Oy, Oz vng góc với đơi Do đó, hình vẽ tốn cho có chứa cạnh vng góc ta ưu tiên chọn cạnh làm trục tọa độ Cụ thể: Với hình lập phƣơng hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ Với hình lập phƣơng Chọn hệ trục tọa độ cho: A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); C(a; a; 0); A’(0; 0; a); B’(a; 0; a); C’(a; a; 0); D(0; a; 0) D’(0; a; a) Với hình hộp chữ nhật Chọn hệ trục tọa độ cho: A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); C(a; b; 0); D(0; b; 0) A’(0; 0; c); B’(a; 0; c); C’(a; b; c); D’(0; b; c) Với hình hộp đáy hình thoi ABCD.A’B’C’D’ Chọn hệ trục tọa độ cho:   Gốc tọa độ trùng với giao điểm O hai đường chéo hình thoi ABCD Trục Oz qua tâm đáy Với hình chóp tứ giác S.ABCD Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Giả sử cạnh hình vng a đường cao SO = h Chọn O(0;0;0) tâm hình vng Khi a a a a ;0;0); C ( ;0;0); ; B(0;  ;0); D(0; ;0) 2 2 S (0;0; h) A( Với hình chóp tam giác S.ABC cách 1: Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Giả sử cạnh tam giác a đường cao h Gọi I trung điểm BC Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho I(0;0;0) Khi đó: a a A( ;0;0); B( ;0;0) 2 a a C (0; ;0); S (0; ; h) cách 2: chọn H trùng với gốc tọa độ O tính CI  a a a => suy dc tọa độ đỉnh AB   CH  , HI  2 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn a a a a a A( ;  ;0)  xy; B( ;  ;0)  xy, C (0; ;0)  oy; 6 a a ; h)  yz; I (0;  ;0)  y 6 cách 3: từ A ta dựng đƣờng thẳng Az // SH, Ax // BC chọn hệ trục cho A= O (0;0;0), S (0;  a a B( ; ;0)  xy; a a C ( ; ;0)  xy, S (0; a ; h)  oz Với hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật SA ⊥ (ABCD) ABCD hình chữ nhật AB = a; AD = b chiều cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0) Khi đó: B(a;0;0); C(a;0;0); D(0;b;0); S(0;0;h) Với hình chóp S.ABC có ABCD hình thoi SA ⊥ (ABCD) Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn ABCD hình thoi cạnh a chiều cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho O(0;0;0) Với hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) Δ ABC vng A Tam giác ABC vng A có AB = a; AC = b đường cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0) Khi đó: B(a;0;0); C(0;b;0); S(0;0;h) Với hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) Δ ABC vng B Tam giác ABC vng B có BA = a; BC = b đường cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho B(0;0;0) Khi đó: A(a;0;0); C(0;b;0); S(a;0;h) Với hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), Δ SAB cân S Δ ABC vng C Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn ΔABC vng C với CA = a; CB = b chiều cao h H trung điểm AB Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho C(0;0;0) Khi đó: A(a; 0; 0); B (0; b;0); S(a/2; b/2; h) 10 Với hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), Δ SAB cân S Δ ABC vng A hình a) ΔABC vng A: AB = a; AC = b chiều cao h H trung điểm AB Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0) Khi đó: B(a;0;0); C(0;b;0); S(0; a/2; h) hình b) Tam giác ABC vng cân C có CA = CB = a đường cao h H trung điểm AB Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho H(0;0;0) a a a ;0), B(0,  ;0); C ( ;0;0) S (0;0; h) 2 11.Hình lăng trụ có đáy tam giác vng O Khi đó: A(0; Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn z y O x Bƣớc 2: Sử dụng kiến thức tọa độ để giải tốn: Các dạng câu hỏi thƣờng gặp 1.khoảng cách điểm : (ý phụ)  Khoảng cách hai điểm A(xA;yA;zA) B(xB;yB;zB) là: AB  ( xB  xA )2  ( yB  yA )2  ( zB  z A )2 2.khoảng cách từ điểm đến đoạn thẳng:  Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng (d) Cách 1:( d qua M0 có vtcp u ) [M M , u ] d (M , )  u Cách 2: Phương pháp :  Lập ptmp(  )đi qua M vàvng gócvới (d)  Tìm tọa độ giao điểm H mp(  ) d  d(M, d) =MH Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng  Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (α): Ax+By+Cz+D=0 cho cơngthức d (M , )  Ax  By0  Cz0  D A2  B  C 4.khoảng cách mặt phẳng //: Định nghĩa: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng 5.khoảng cách đƣờng thẳng A, Khoảng cách hai đường chéo  Cách 1: (d) điqua M(x0;y0;z0);cóvtcp a  (a1 ; a2 ; a3 ) (d’)quaM’(x’0;y’0;z’0) d (d , d ')  [a, a '].MM ' [a, a ']  Vhop Sday  Cách 2: d điqua M(x0;y0;z0);có vtcp a  (a1 ; a2 ; a3 ) d’quaM’(x’0;y’0;z’0) ; vtcp a '  (a '1; a '2 ; a '3 ) Phương pháp :  Lập ptmp(  )chứa d songsong với d’ Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn d(d,d’)= d(M’,(  )) ĐẶC BIỆT: Tính khoảng cách hai đường thẳng AB, CD biết tọa độ  AB, CD  AC   chúng d ( AB, CD)   AB, CD    B khoảng cách đƣờng thẳng //: -Khoảng cách đường thẳng // khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng => quay dạng tốn khoảng cách từ điểm đến đường thẳng  góc đƣờng thẳng  Góc hai đường thẳng () qua M(x0;y0;z0) có VTCP a  (a1; a2 ; a3 ) (’) qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP a '  (a '1; a '2 ; a '3 ) a.a ' cos  cos(a, a ')  a1.a '1  a2 a '2  a3 a '3  a12  a22  a32 a '12  a '22  a '32 a a' 7.góc mặt phẳng  Gọiφ góc hai mặt phẳng (00≤φ≤900) (P):Ax+By+Cz+D=0 (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0 cos = cos(n P , nQ )  n P nQ  nP nQ A.A'  B.B ' C.C ' A2  B  C A '2  B '2  C '2 8.góc đƣờng thẳng mặt phẳng () qua M0 có VTCP a , mp(α) có VTPT n  ( A; B; C ) Gọi φ góc hợp () mp(α) Aa1 +Ba +Ca sin   cos(a, n)  A  B  C a12  a22  a32 diện tích thiết diện [ AB, AC ]  Diện tích hình bình hành: SABCD= [ AB, AD]  Diện tích tam giác : S ABC  10.thể tích khối đa diện - Thểtích chóp: Vchóp = Sđáy.h Hoặc VABCD= [ AB, AC ] AD (nếu biết hết tọa độ đỉnh) - Thể tích khối hộp: VABCDA’B’C’D’ = [ AB, AD ] AA ' MỘT SỐ KIẾN THỨC HÌNH HỌC BỔ XUNG Dấu hiệu nhận biết hình: : hi nh n i h nh hang h nh hang ng h nh hang - Tứ giác có hai cạnh đối song song - Hình thang có góc vng hình thang vng - Hình thang có hai góc kề đáy hình thang cân n: Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn - Hình thang có hai cạnh bên hình thang cân - Hình thang có hai đường chéo hình thang cân : hi nh n i h nh nh h nh hi nh n i - Tứ giác có cặp cạnh đối song song - Tứ giác có cặp cạnh đối - Tứ giác có hai cạnh đối song song - Tứ giác có góc đối - Tứ giác có hai đường chéo c t trung điểm m i đường : : nh h nh hi nh n i : - Tứ giác có góc vng - Hình thang cân có gócvng - Hình bình hành có góc vng - Hình bình hành có hai đường chéo : nh h i hi nh n i : - Tứ giác có cạnh - Hình bình hành cá hai cạnh kề - Hình bình hành có hai đường chéo vng góc - Hình bình hành có đường chéo đường phân giác cùa góc : nh ng hi nh n i : - Hình chữ nhật có hai cạnh kề - Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc - Hình nhật có đường chéo đường phân giác góc - Hình thoi có góc vng - Hình thoi có hai đường chéo II: Bài tập vận dụng: Dạng 1: Hình lập phƣơng hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ Bài 1.(ĐHA-2006) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh 1.Gọi M, N trung điểm AB CD A, tính thể tích khối chóp M.A’B’D’ b Tính khoảng cách hai đường thẳng A’C MN Đ/S: d = 2 Bài 2: (ĐHB- 2002) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a A Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A’B B’D B Gọi M, N, P trung điểm cạnh BB’, CD, A’D’ Tính góc hai đường thẳng MP C’N a Đ/S: Đáp số: A B MP C 'N Bài 3: (ĐH A – 2003): Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A‘B ‘C‘D‘có AB=a, AD = a, AA’ = b (a > 0, b > 0) Gọi M trung điểm cạnh CC’ a Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a b b Xác định tỷ số a b để hai mặt phẳng (A’BD) (MBD) vng góc với a 2b , b a:b = Đ/S: a, v  Dạng 2: hình hộp đáy hình thoi ABCD.A’B’C’D’ Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Bài 1: (ĐH– 2006) Cho hình hộp đứng ABCD A’ B’ C’ D’ có cạnh AB= AD = a, AA'= a góc BAD  600 Gọi M N trung điểm cạnh A’ D’ A’B’ A,Chứng minh AC ' vng góc với mặt phẳng BDM  B, Tính thể tích khối chóp A BDMN C, Tính khoảng cách đường thẳng AB C’D’ 3a V  Đ/S: 16 Dạng 3.Hình chóp tam giác S.ABC (Dấu hiệu: Đáy tam giác cạnh a, đường cao vng góc với đáy) Bài 1: (ĐH – A 2002) Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy a Gọi M N trung điểm cạnh SB SC A,Tính theo a diện tích tam giác AMN , biết mặt phẳng (AMN) vng góc với mặt phẳng (SBC) B, Tính khoảng cách đường thẳng SC AB Bài tập tổng hợp Câu 1: THPT Đơng Sơn 1- lần 2- 2015 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABC), gọi M trung điểm SC Biết AB  a , BC  a Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng AC BM Đ/S: V= a3 12 Câu 2: THPT Chun ban Hạ Long – 2015 Cho hình chóp S.ABC có ABC, SBC tam giác cạnh a Góc mặt phẳng (SBC) (ABC) 60 độ Hình chiếu vng góc S xuống (ABC) nằm tam giác ABC Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ B đến (SAC) theo a Đ/S: V  a3 3a 13 ;d= 16 13 Câu 3: THPT Hậu Lộc - 2015 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vng A, AB= 2a , AC  2a Hình chiếu vng góc S (ABC) H, H trung điểm AB Góc mặt phẳng (SBC) (ABC) 30 độ Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm M trung điểm cạnh BC đến (SAC) Câu 4: THPT Lƣơng Thế Vinh – HN - 2015 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, tam giác SAB cân S nằm tring mặt phẳng vng góc với đáy Hình chiếu S lên ABCD trung điểm H cạnh AB Góc đường thẳng SC (ABCD) 45 độ Gọi M trung điểm SD Tính theo a thể tích S.ABCD khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SAC) Câu 5: THPT Đào Duy Từ - TH - 2015 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn a 17 Hình chiếu vng góc H S (ABCD) trung điểm AB Gọi K trung điểm AD Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách HK SD theo a Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SD = UN ĐỀ PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN I PHƢƠNG PHÁP GIẢI TỐN Để giải tốn hình khơng gian phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp Lập tọa độ đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ chọn độ dài cạnh hình PHƢƠNG PHÁP Bƣớc 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp (Quyết định thành cơng tốn) Bƣớc 2: Xác định tọa độ điểm có liên quan Bƣớc 3: Sử dụng kiến thức tọa độ để giải tốn Các dạng tốn thường gặp:  Định tính: Chứng minh quan hệ vng góc, song song, …  Định lượng: Độ dài đoạn thẳng,, góc, khoảng cách, tính diện tích, thể tích, diện tích thiết diện, …  Bài tốn cực trị, quỹ tích …………… Ta thường gặp dạng sau Hình chóp tam giác a Dạng tam diện vng Ví dụ : Cho tứ diện OABC có đáy OBC tam giác vng O, OB=a, OC= a , (a>0) đường cao OA= a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AB OM z Cách 1: a A Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi O(0;0;0), A(0; 0; a 3); B(a; 0; 0), C (0; a 3; 0), a a   a a 3 M  ; ;  , gọi N trung điểm AC  N  0; ;  2  2   MN đường trung bình tam giác ABC  AB // MN  AB //(OMN)  d(AB;OM) = d(AB;(OMN)) = d(B;(OMN)) a a OM   ; ; 2 N a   a a 3  , ON   0; ;  2     3a a a  a [OM ; ON ]   ; ;   4    C O M B a x  a2 3; 1;  n , với n  ( 3; 1; 1) Phương trình mặt phẳng (OMN) qua O với vectơ pháp tuyến n : x  y  z  Ta có: d ( B; (OMN ))  3.a   11  a  a 15 a 15 Vậy, d ( AB; OM )  5 a A Cách 2: Gọi N điểm đối xứng C qua O Ta có: OM // BN (tính chất đường trung bình) 10 N O C a M y Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a, AD = b Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = 2a Gọi M, N trung điểm cạnh SA, SD Tính khoảng cách từ A đến (BCN) Tính khoảng cách SB CN Tính góc hai mặt phẳng (SCD) (SBC) Tìm điều kiện a b để cos CMN  Trong trường hợp tính thể tích hình chóp S.BCNM Bài 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a SAD vng góc với (ABCD) Gọi H trung điểm AD Tính d(D,(SBC)), d(HC,SD) Mặt phẳng () qua H vng góc với SC I Chứng tỏ () c t cạnh SB, SD Tính góc hợp hai mặt phẳng (SBC) (SCD) Bài 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O SO vng góc với đáy SO  2a , AC = 4a, BD = 2a Mặt phẳng () qua A vng góc với SC c t cạnh SB, SC, SD B ', C ', D ' Chứng minh B ' C ' D ' Tính theo a bán kính mặt cầu nội tiếp S.ABCD Bài 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a Đường cao SA = 2a Trên cạnh CD lấy điểm M, đặt MD = m (0  m  a ) Tìm vị trí điểm M để diện tích SBM lớn nhất, nhỏ a Cho m  , gọi K giao điểm BM AD Tính góc hợp hai mặt phẳng (SAK) (SBK) 3 CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH HỘP – LĂNG TRỤ ĐỨNG Bài 21 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi I, K, M, N trung điểm A’D’, BB’, CD, BC Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng Tính khoảng cách IK AD Tính diện tích tứ giác IKNM Bài 22 (Trích đề thi Đại học khối A – 2003) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tính góc phẳng nhị diện [B,A'C,D] Bài 23 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tìm điểm M cạnh AA’ cho (BD’M) c t hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ Bài 24 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Chứng minh A’C vng góc với (AB’D’) Tính góc (DA’C) (ABB’A’) Trên cạnh AD’, DB lấy điểm M, N thỏa AM = DN = k (0  k  a 2) a Chứng minh MN song song (A’D’BC) b Tìm k để MN nhỏ Chứng tỏ MN đoạn vng góc chung AD’ DB Bài 25 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 2, AD = 4, AA’ = Các điểm M, N thỏa AM  mAD, BN  mBB ' (0  m  1) Gọi I, K trung điểm AB, C’D’ Tính khoảng cách từ điểm A đến (A’BD) Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp A ' BD Tính m để diện tích tứ giác MINK lớn nhất, nhỏ Bài 26 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh 2cm Gọi M trung điểm AB, N tâm hình vng ADD’A’ Tính bán kính R mặt cầu (S) qua C, D’, M, N Tính bán kính r đường tròn (C) giao (S) mặt cầu (S’) qua A’, B, C’, D Tính diện tích thiết diện tạo (CMN) hình lập phương Bài 27 (trích đề thi Đại học khối B – 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, BAD  60 Gọi M, N trung điểm cạnh AA’, CC’ Chứng minh B’, M, D, N thuộc mặt phẳng Tính AA’ theo a để B’MDN hình vng Bài 28 Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vng A Cho AB = a, AC = b, AA’ = c Mặt phẳng () qua B vng góc với B’C 18 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Tìm điều kiện a, b, c để () c t cạnh CC’ I (I khơng trùng với C C’) Cho () c t CC’ I a Xác định tính diện tích thiết diện b Tính góc phẳng nhị diện thiết diện đáy  GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ I PHƢƠNG PHÁP GIẢI TỐN Để giải tốn hình khơng gian phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp Lập tọa độ đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ chọn độ dài cạnh hình PHƯƠNG PHÁP: Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp (chú ý đến vò trí gốc O) Bước 2: Xác đònh toạ độ điểm có liên quan (có thể xác đònh toạ độ tất điểm số điểm cần thiết) Khi xác đònh tọa độ điểm ta dựa vào :  Ý nghóa hình học tọa độ điểm (khi điểm nằm trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ)  Dựa vào quan hệ hình học nhau, vuông góc, song song ,cùng phương , thẳng hàng, điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ  Xem điểm cần tìm giao điểm đường thẳng, mặt phẳng  Dưạ vào quan hệ góc đường thẳng, mặt phẳng Bước 3: Sử dụng kiến thức toạ độ để giải toán Các dạng toán thường gặp:  Độ dài đọan thẳng  Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng  Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng  Khoảng cách hai đường thẳng  Góc hai đường thẳng  Góc đường thẳng mặt phẳng  Góc hai mặt phẳng  Thể tích khối đa diện  Diện tích thiết diện  Chứng minh quan hệ song song , vuông góc  Bài toán cực trò, quỹ tích Bổ sung kiến thức : 1) Nếu tam giác có diện tích S hình chiếu có diện tích S ' tích S với cosin góc  mặt phẳng tam giác mặt phẳng chiếu S '  S cos 2) Cho khối chóp S.ABC Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A ', B', C' khác với S Ta có: 19 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn V S A ' B 'C ' V S ABC SA ' SB ' SC '  SA SB SC Ta thường gặp dạng sau Hình chóp tam giác a Dạng tam diện vng Ví dụ Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đơi vng góc Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách đến mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) 1, 2, Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ Hƣớng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) d[M, (OAB)] = Þ zM = Tương tự Þ M(1; 2; 3) x y z pt(ABC): + + = a b c M Ỵ (ABC) Þ + + = (1) a b c VO.ABC = abc (2) 3 (1) Þ = + + ³ 3 a b c a b c Þ abc ³ 27 = = = (2) Þ Vmin = 27 Û a b c Ví dụ: 1) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) tam giác ABC vuông A, AD = a, AC = b, AB = c Tính diện tích S tam giác BCD theo a, b, c chứng minh : 2S  abc a  b  c (Dự bò – Đại học khối D – 2003) Giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có tọa độ điểm :A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a) BC    c; b; 0 ,BD    c; 0;a ,  BC,BD    ab;ac; bc 1 2 SBCD   BC,BD   a b  a2 c2  b2 c2 2 z D y A C B x đpcm  a2 b2  a2 c2  b2 c2  abc(a  b  c)  a2 b2  a2 c2  b2 c2  abc(a  b  c) Theo BĐT Cauchy ta : a2 b2 +b2 c2  2ab2 c   b2 c2 +c2 a2  2bc2 a  Cộ ng vế: a2 b2  a2 c2  b2 c2  abc(a  b  c) c2 a2  a2 b2  2ca2 b b Dạng khác 20 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Ví dụ Tứ diện S.ABC có cạnh SA vng góc với đáy D ABC vng C Độ dài cạnh SA = 4, AC = 3, BC = Gọi M trung điểm cạnh AB, H điểm đối xứng C qua M Tính cosin góc phẳng nhị diện [H, SB, C] Hƣớng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có: A(0; 0; 0), B(1; 3; 0), C(0; 3; 0), S(0; 0; 4) H(1; 0; 0) mp(P) qua H vng góc với SB I c t đường thẳng SC K, dễ thấy uur uur [H, SB, C] = ( IH, IK ) (1) uur uur SB = (- 1; - 3; 4) , SC = (0; - 3; 4) suy ra: ïíï x = - t ïíï x = ïï ï ptts SB: ì y = - 3t , SC: ïì y = - 3t ïï ïï ïï z = 4t ïï z = 4t ïỵ ïỵ (P): x + 3y – 4z – = 15 51 32 Þ I ; ; , K 0; ; 8 25 25 uur uur IH.IK Þ cos[H, SB, C] = =… IH.IK Chú ý: Nếu C H đối xứng qua AB C thuộc (P), ta khơng cần phải tìm K ( ) ( ) Ví dụ (trích đề thi Đại học khối A – 2002) Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm SB, SC Tính theo a diện tích D AMN, biết (AMN) vng góc với (SBC) Hƣớng dẫn giải Gọi O hình chiếu S (ABC), ta suy O trọng tâm D ABC Gọi I trung điểm BC, ta có: a AI = BC = 2 a a Þ OA = , OI = Trong mp(ABC), ta vẽ tia Oy vng góc với OA Đặt SO = h, chọn hệ trục tọa độ hình vẽ ta được: ỉa ÷ O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A çç ÷ çè ; 0; ÷ ø ỉ a ỉ a a , B çÞ I ççç; 0; ÷ ; ; 0÷ ÷ ÷, ÷ 6 ÷ è ø ççè ø ỉ a ỉ a a hư a ÷ , M ççC ççç; - ; 0÷ ÷ ÷ ÷ çè 12 ; ; ÷ ø è ø ỉ a a hư N çç; ; ÷ ÷ ÷ çè 12 2ø 21 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn uuur uuur uur uur ỉah ỉ r r 5a a2 ÷ ÷ é ù ç ç , Þ n (AMN) = éêAM, AN ù = ; 0; n = SB, SC = ah; 0; (SBC) ÷ ÷ ç ê ú ú ççè ÷ ÷ ë û ç ë û 24 ø ø è r r 5a éuuur uuur ù a 10 (AMN) ^ (SBC) Þ n (AMN) n (SBC) = Þ h = Þ SD AMN = AM, AN ú û = 16 12 êë Hình chóp tứ giác a) Hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy đáy hình vng (hoặc hình chữ nhật) Ta chọn hệ trục tọa độ dạng tam diện vng b) Hình chóp S.ABCD có đáy hình vng (hoặc hình thoi) tâm O đường cao SO vng góc với đáy Ta chọn hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS Ox, Oy, Oz Giả sử SO = h, OA = a, OB = b ta có O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h) c) Hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD AB = b D SAD cạnh a vng góc với đáy Gọi H trung điểm AD, (ABCD) ta vẽ tia Hy vng góc với AD Chọn hệ trục tọa độ Hxyz ta có: ỉ a a a 3ư a a ÷ H(0; 0; 0), A ; 0; , B ; b; , C - ; b; , D - ; 0; , S çç0; 0; ÷ ÷ çè 2 ø 2 ( ) ( ) ( ) ( ) Hình lăng trụ đứng Tùy theo hình dạng đáy ta chọn hệ trục dạng Ví dụ: Cho h×nh lËp phư¬ng ABCD A'B'C'D' CMR AC' vu«ng gãc mp’ (A'BD) 22 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Z D' C' I' A' B' D Y C O I A B X Lêi gi¶i: Chän hƯ trơc täa ®é Oxyz cho O  A; B  Ox; D  Oy vµ A'  Oz Gi¶ sư h×nh lËp ph¬ng ABCD A'B'C'D' cã c¹nh lµ a ®¬n vÞ  A(0;0;0), B (a;0;0), D(0;a;0), A' (0;0;a) C'(1;1;1) Phư¬ng tr×nh ®o¹n ch¾n cđa mỈt ph¼ng (A'BD): x + y + z = a hay x + y + z –a =  Ph¸p tun cđa mỈt ph¼ng (A'BC): n (A'BC) = (1;1;1) mµ AC' = (1;1;1) VËy AC' vu«ng gãc (A'BC) Tø diƯn ABCD: AB, AC, AD ®«i mét vu«ng gãc víi nhau; AB = 3; AC = AD= TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A tíi mỈt ph¼ng (BCD) 23 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn z B O A C y D x Lêi gi¶i: + Chän hƯ trơc Oxyz cho A  O D Ox; C  Oy vµ B  Oz  A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0)  Phư¬ng tr×nh ®o¹n ch¾n cđa (BCD) lµ: x y z     3x + 3y + 4z – 12 = 4 Kho¶ng c¸ch tõ A tíi mỈt ph¼ng (BCD) lµ: Nh n mạnh cho học sinh: II Ph-¬ng ph¸p gi¶i: §Ĩ gi¶i mét bµi to¸n h×nh häc kh«ng gian b»ng ph-¬ng ph¸p sư dơng täa ®é §Ị c¸c kh«ng gian ta lµm nh- sau: * B-íc 1: ThiÕt lËp hƯ täa ®é thÝch hỵp, tõ ®ã suy täa ®é c¸c ®iĨm cÇn thiÕt * B-íc 2: Chun h¼n bµi to¸n sang h×nh häc gi¶i tÝch kh«ng gian B»ng c¸ch: + ThiÕt lËp biĨu thøc cho gi¸ trÞ cÇn x¸c ®Þnh + ThiÕt lËp biĨu thøc cho ®iỊu kiƯn ®Ĩ suy kÕt qu¶ cÇn chøng minh + ThiÕt lËp biĨu thøc cho ®èi t-ỵng cÇn t×m cùc trÞ + ThiÕt lËp biĨu thøc cho ®èi t-ỵng cÇn t×m q tÝch v.v… III Lun tËp Bµi 1: Cho h×nh chãp SABC, c¸c c¹nh ®Ịu cã ®é dµi b»ng 1, O lµ t©m cđa ABC I lµ trung ®iĨm cđa SO 24 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn MỈt ph¼ng (BIC) c¾t SA t¹i M T×m tØ lƯ thĨ tÝch cđa tø diƯn SBCM vµ tø diƯn SABC H lµ ch©n ®-êng vu«ng gãc h¹ tõ I xng c¹nh SB CMR: IH ®i qua träng t©m G cđa SAC Lêi gi¶i: Chän hƯ trơc Oxyz cho O lµ gèc täa ®é AOx, S Oz, BC//Oy 3 Täa ®é c¸c ®iĨm: A( ;0;0) ; B( ) ; I (0;0; ;  ;0) ; C ( ; ;0) ; S (0;0 ) 3 6 6 ; ; ) ;   BC , IC   ( ;0; ) 6 6  Phư¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (IBC) lµ: 6  ( x  0)  0( y  0)  (z  )0 6 6 Hay:   z   mà ta lại có: SA  ( ;0;  )  SA // u SA (1;0;  2) 3 Phư¬ng tr×nh ®ưêng th¼ng SA: x   t ; y  0; z   2t  t (1) x   (2)  y  + Täa ®é ®iĨm M lµ nghiƯm cđa hƯ:  Thay (1) (2) (3) vµo (3)  y   2t   x  z   (4)  (4) cã: 6 x ; y  0; z   M ( ;0; ) ;  SM  ( ;0;  )  SA  4SM 12 12 12 12 V( SBCM ) SM     M n»m trªn ®o¹n SA vµ SA V ( SABC ) Do G lµ träng t©m cđa ASC  SG ®i qua trung ®iĨm N cđa AC  GI  (SNB)  GI vµ SB ®ång ph¼ng (1) 6 Ta l¹i cã täa ®é G ( ; ; ; ; ) )  GI  ( 18 18 18  GI  ( ; ; )  GI SB   GI  SB (2) 18 18 Tõ (1) vµ (2)  GI  SB  H Ta có: BC  (0;1;0) ; IC  ( 25 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn z z S S M H I I G B C O O y N C y A A x x Bµi 2: Cho h×nh l¨ng trơ ABCD A1B1C1 cã ®¸y lµ tam gi¸c ®Ịu c¹nh a AA1 = 2a vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng (ABC) Gäi D lµ trung ®iĨm cđa BB1; M di ®éng trªn c¹nh AA1 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cđa diƯn tÝch MC1D Lêi gi¶i: + Chän hƯ trơc täa ®é Oxyz cho A  O; B  Oy; A1  Oz Khi ®ã.A(0;0;0), B(0;a;0); A1 (0;0;2a) a a ; ; 2a) vµ D(0;a;a) 2 Do M di ®éng trªn AA1, täa ®é M (0;0;t)víi t  [0;2a] C1 (  DC , DM   2 a a DC1  ( ;  ; a) a   DG , DM    (t  3a; 3(t  a ); a 3) Ta cã : 2 DM  (0; a; t  a) a   DG, DM   (t  3a)  3(t  a)  3a 2 a  4t  12at  15a 2 z a 2 SDC1M  4t  12at  15a 2 Ta cã : S DC1M  B A1 C M 26 D Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Gi¸ trÞ lín nhÊt hay nhá nhÊt cđa SDC1M tïy thc vµo gi¸ trÞ hµm sè XÐt f(t) = 4t2 – 12at + 15a2 f(t) = 4t2 – 12at + 15a2 (t [0;2a]) f'(t) = 8t – 12a 3a f '(t )   t  a 15 Lập BBT gi¸ trÞ lín nhÊt cđa S DC1M  t =0 hay M A Chú ý + Hình chóp tam giác có đáy tam giác cạnh bên nhau, khơng thiết phải đáy Chân đường cao trọng tâm đáy + Tứ diện hình chóp tam giác có cạnh bên đáy + Hình hộp có đáy hình bình hành khơng thiết phải hình chữ nhật II CÁC DẠNG BÀI TẬP CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH CHĨP TAM GIÁC Bài (trích đề thi Đại học khối D – 2002) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) Bài Cho D ABC vng A có đường cao AD AB = 2, AC = Trên đường thẳng vng góc với (ABC) A lấy điểm S cho SA = Gọi E, F trung điểm SB, SC H hình chiếu A EF Chứng minh H trung điểm SD Tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (ACE) Tính thể tích hình chóp A.BCFE Bài Cho hình chóp O.ABC có cạnh OA = OB = OC = 3cm vng góc với đơi Gọi H hình chiếu điểm O lên (ABC) điểm A’, B’, C’ hình chiếu H lên (OBC), (OCA), (OAB) Tính thể tích tứ diện HA’B’C’ Gọi S điểm đối xứng H qua O Chứng tỏ S.ABC tứ diện Bài Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đơi vng góc Gọi a , b, g góc nhị diện cạnh AB, BC, CA Gọi H hình chiếu đỉnh O (ABC) Chứng minh H trực tâm D ABC 1 1 Chứng minh = + + OH OA OB OC Chứng minh cos2 a + cos2 b + cos2 g = Chứng minh cos a + cos b + cos g £ Bài Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vng góc với đơi Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB Tính góc j (OMN) (OAB) Tìm điều kiện a, b, c để hình chiếu O (ABC) trọng tâm D ANP 27 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 1 = + a b c2 Bài Cho hình chóp S.ABC có D ABC vng cân A, SA vng góc với đáy Biết AB = 2, · (ABC),(SBC) = 600 Chứng minh góc phẳng nhị diện [N, OM, P] vng Tính độ dài SA Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC) Tính góc phẳng nhị diện [A, SB, C] Bài Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vng góc với đơi Tính bán kính r mặt cầu nội tiếp hình chóp Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bài (trích đề thi Đại học khối D – 2003) Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với nhau, giao tuyến đường thẳng (d) Trên (d) lấy hai điểm A B với AB = a Trong (P) lấy điểm C, (Q) lấy điểm D cho AC, BD vng góc với (d) AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) theo a Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng B, AB = a, BC = 2a Cạnh SA vng góc với đáy SA = 2a Gọi M trung điểm SC Tính diện tích D MAB theo a Tính khoảng cách MB AC theo a Tính góc phẳng nhị diện [A, SC, B] Bài 10 Cho tứ diện S.ABC có D ABC vng cân B, AB = SA = Cạnh SA vng góc với đáy Vẽ AH vng góc với SB H, AK vng góc với SC K Chứng minh HK vng góc với CS Gọi I giao điểm HK BC Chứng minh B trung điểm CI Tính sin góc SB (AHK) Xác định tâm J bán kính R mặt cầu ngoại tiếp S.ABC Bài 11 Cho hình chóp S.ABC có D ABC vng C, AC = 2, BC = Cạnh bên SA = vng góc với đáy Gọi D trung điểm cạnh AB Tính cosin góc hai đường thẳng AC SD Tính khoảng cách BC SD Tính cosin góc phẳng nhị diện [B, SD, C] Bài 12 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a SA vng góc với đáy SA = a Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SC Bài 13 Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a, đường cao SH = h Mặt phẳng (a ) qua AB vng góc với SC Tìm điều kiện h theo a để (a ) c t cạnh SC K Tính diện tích D ABK Tính h theo a để (a ) chia hình chóp thành hai phần tích Chứng tỏ tâm mặt cầu nội tiếp ngoại tiếp trùng CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH CHĨP TỨ GIÁC Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA = a vng góc với đáy Gọi E trung điểm CD Tính diện tích D SBE Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBE) (SBE) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần Bài 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = a Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD) Tính khoảng cách hai đường thẳng SD AC Tính góc phẳng nhị diện [B, SC, D] 28 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Bài 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 3cm Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = cm Mp (a ) qua A vng góc với SC c t cạnh SB, SC, SD H, M, K Chứng minh AH vng góc với SB, AK vng góc với SD Chứng minh BD song song với (a ) Chứng minh HK qua trọng tâm G D SAC Tính thể tích hình khối ABCDKMH Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a, AD = b Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = 2a Gọi M, N trung điểm cạnh SA, SD Tính khoảng cách từ A đến (BCN) Tính khoảng cách SB CN Tính góc hai mặt phẳng (SCD) (SBC) · = Tìm điều kiện a b để cos CMN Trong trường hợp tính thể tích hình chóp S.BCNM Bài 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a D SAD vng góc với (ABCD) Gọi H trung điểm AD Tính d(D, (SBC)), d(HC, SD) Mặt phẳng (a ) qua H vng góc với SC I Chứng tỏ (a ) c t cạnh SB, SD Tính góc phẳng nhị diện [B, SC, D] Bài 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O SO vng góc với đáy SO = 2a , AC = 4a, BD = 2a Mặt phẳng (a ) qua A vng góc với SC c t cạnh SB, SC, SD B ', C', D' Chứng minh D B ' C ' D ' Tính theo a bán kính mặt cầu nội tiếp S.ABCD Bài 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a Đường cao SA = 2a Trên cạnh CD lấy điểm M, đặt MD = m (0 £ m £ a) Tìm vị trí điểm M để diện tích D SBM lớn nhất, nhỏ a Cho m = , gọi K giao điểm BM AD Tính góc phẳng nhị diện [A, SK, B] 3 CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH HỘP – LĂNG TRỤ ĐỨNG Bài 21 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi I, K, M, N trung điểm A’D’, BB’, CD, BC Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng Tính khoảng cách IK AD Tính diện tích tứ giác IKNM Bài 22 (trích đề thi Đại học khối A – 2003) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tính góc phẳng nhị diện [B, A’C, D] Bài 23 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tìm điểm M cạnh AA’ cho (BD’M) c t hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ Bài 24 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Chứng minh A’C vng góc với (AB’D’) Tính góc (DA’C) (ABB’A’) Trên cạnh AD’, DB lấy điểm M, N thỏa AM = DN = k (0 < k < a 2) a Chứng minh MN song song (A’D’BC) b Tìm k để MN nhỏ Chứng tỏ MN đoạn vng góc chung AD’ DB Bài 25 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 2, AD = 4, AA’ = Các điểm M, N thỏa uuur uuur uuur uuur AM = mAD, BN = mBB' (0 £ m £ 1) Gọi I, K trung điểm AB, C’D’ Tính khoảng cách từ điểm A đến (A’BD) Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp D A ' BD 29 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Tính m để diện tích tứ giác MINK lớn nhất, nhỏ Bài 26 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh 2cm Gọi M trung điểm AB, N tâm hình vng ADD’A’ Tính bán kính R mặt cầu (S) qua C, D’, M, N Tính bán kính r đường tròn (C) giao (S) mặt cầu (S’) qua A’, B, C’, D Tính diện tích thiết diện tạo (CMN) hình lập phương Bài 27 (trích đề thi Đại học khối B – 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh · a, BAD = 600 Gọi M, N trung điểm cạnh AA’, CC’ Chứng minh B’, M, D, N thuộc mặt phẳng Tính AA’ theo a để B’MDN hình vng Bài 28 Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vng A Cho AB = a, AC = b, AA’ = c Mặt phẳng (a ) qua B vng góc với B’C Tìm điều kiện a, b, c để (a ) c t cạnh CC’ I (I khơng trùng với C C’) Cho (a ) c t CC’ I a Xác định tính diện tích thiết diện b Tính góc phẳng nhị diện thiết diện đáy Bài tập : MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA= a vuông góc với đáy 1) Tính khỏang cách từ A đến mặt phẳng (SBC) 2) Tính khỏang cách từ tâm O hình vuông ABCD đến mặt phẳng (SBC) 3) Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC) Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O cạnh a, SO vuông góc với đáy.Gọi M,N theo thứ tự trung điểm SA BC Biết góc MN (ABCD) 600 1) Tính MN SO 2) Tính góc MN mặt phẳng (SBD) Bài 3: Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh a AC=a, Từ trung điểm H cạnh AB dựng SH  (ABCD) với SH=a 1) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Bài 4: Cho góc tam diện Oxyz, Ox, Oy, Oz lấy điểm A,B,C 1) Hãy tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) theo OA=a, OB=b, OC=c 2) Giả sử A cố đònh B, C thay đổi thỏa mãn OA=OB+OC Hãy xác đònh vò trí B C cho thể tích tứ diện OABC lớn Bài 5: Cho tứ diện OABC (vuông O), biết OA,OB,OC hợp với mặt phẳng (ABC) góc  ,  ,  Chứng minh rằng: 1) cos2   cos2   cos2   2) S 2OAB  S 2OBC  S 2OCA  S 2ABC Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, sa vuông góc với đáy Gọi a 3a M,N hai điểm theo thứ tự thuộc BC,DC cho BM  , DN  CMR hai mặt phẳng 30 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn (SAM) (SMN) vuông góc với Bài 7: Cho tam giác ABC cạnh a Gọi D điểm đối xứng với A qua BC Trên đường thẳng vuông a góc với mặt phẳng (ABC) D lấy điểm S cho SD  , CMR hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với Bài 8: Trong không gian cho điểm A,B,C theo thứ tự thuộc tia Ox, Oy, Oz vuông góc với đôi cho OA=a , OB= a OC=c (a,c>0) Gọi D điểm đối diện với O hình chữ nhật AOBD M trung điểm đọan BC (P) mặt phẳng qua A,M cắt mặt phẳng (OCD) theo đường thẳng vuông góc với AM a) Gọi E giao điểm (P) với OC , tính độ dài đọan OE b) Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện tạo thành cắt khối chóp C.AOBD mặt phẳng (P) c) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (P) Bài 9: Cho tứ diện SABC có SC=CA=AB= a , SC  (ABC) ,  ABC vuông A, điểm M thuộc SA N thuộc BC cho AM=CN=t (0[...]...  GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ I PHƢƠNG PHÁP GIẢI TỐN Để giải được các bài tốn hình khơng gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình PHƯƠNG PHÁP: Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp (chú ý đến vò trí của gốc O) Bước 2: Xác đònh toạ độ các điểm có... độ các điểm có liên quan (có thể xác đònh toạ độ tất cả các điểm hoặc một số điểm cần thiết) Khi xác đònh tọa độ các điểm ta có thể dựa vào :  Ý nghóa hình học của tọa độ điểm (khi các điểm nằm trên các trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ)  Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau, vuông góc, song song ,cùng phương , thẳng hàng, điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ  Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường... A’, B, C’, D 3 Tính diện tích thiết diện tạo bởi (CMN) và hình lập phương Bài 27 (trích đề thi Đại học khối B – 2003) Cho hình lăng trụ ứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh · a, BAD = 600 Gọi M, N là trung điểm cạnh AA’, CC’ 1 Chứng minh B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng 2 Tính AA’ theo a để B’MDN là hình vng Bài 28 Cho hình lăng trụ ứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vng tại A Cho AB... 26 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh là 2cm Gọi M là trung điểm AB, N là tâm hình vng ADD’A’ 1 Tính bán kính R của mặt cầu (S) qua C, D’, M, N 2 Tính bán kính r của đường tròn (C) là giao của (S) và mặt cầu (S’) qua A’, B, C’, D 3 Tính diện tích thiết diện tạo bởi (CMN) và hình lập phương Bài 27 (trích đề thi Đại học khối B – 2003) Cho hình lăng trụ ứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi... AD 3 Tính diện tích tứ giác IKNM Bài 22 (Trích đề thi Đại học khối A – 2003) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tính góc phẳng nhị diện [B,A'C,D] Bài 23 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tìm điểm M trên cạnh AA’ sao cho (BD’M) c t hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ nhất Bài 24 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a 1 Chứng minh A’C vng góc với (AB’D’) 2 Tính góc giữa (DA’C) và... là điểm đối xứng của H qua O Chứng tỏ S.ABC là tứ diện đều Bài 4 Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đơi một vng góc Gọi  ,  ,  lần lượt là góc nhị diện cạnh AB, BC, CA Gọi H là hình chiếu của đỉnh O trên (ABC) 1 Chứng minh H là trực tâm của ABC 1 1 1 1    2 Chứng minh 2 2 2 OH OA OB OC 2 3 Chứng minh cos 2   cos 2   cos 2   1 4 Chứng minh cos   cos   cos   3 Bài 5 Cho hình chóp O.ABC... (SBC) Þ n (AMN) n (SBC) = 0 Þ h 2 = Þ SD AMN = AM, AN ú û = 16 12 2 êë 2 Hình chóp tứ giác a) Hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy và đáy là hình vng (hoặc hình chữ nhật) Ta chọn hệ trục tọa độ như dạng tam diện vng b) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng (hoặc hình thoi) tâm O đường cao SO vng góc với đáy Ta chọn hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS lần lượt là Ox, Oy, Oz Giả sử SO = h, OA = a, OB = b ta... là điểm đối xứng của H qua O Chứng tỏ S.ABC là tứ diện đều Bài 4 Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đơi một vng góc Gọi a , b, g lần lượt là góc nhị diện cạnh AB, BC, CA Gọi H là hình chiếu của đỉnh O trên (ABC) 1 Chứng minh H là trực tâm của D ABC 1 1 1 1 2 Chứng minh 2 = 2 + 2 + OH OA OB OC 2 3 Chứng minh cos2 a + cos2 b + cos2 g = 1 4 Chứng minh cos a + cos b + cos g £ 3 Bài 5 Cho hình chóp O.ABC... cho (BD’M) c t hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ nhất Bài 24 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a 1 Chứng minh A’C vng góc với (AB’D’) 2 Tính góc giữa (DA’C) và (ABB’A’) 3 Trên cạnh AD’, DB lấy lần lượt các điểm M, N thỏa AM = DN = k (0 < k < a 2) a Chứng minh MN song song (A’D’BC) b Tìm k để MN nhỏ nhất Chứng tỏ khi đó MN là đoạn vng góc chung của AD’ và DB Bài 25 Cho hình hộp chữ... )  0  h 2   S AMN   AM , AN   12 2 16 M N h I C O B y a 2 Hình chóp tứ giác a) Hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy và đáy là hình vng (hoặc hình x A chữ nhật) Ta chọn hệ trục tọa độ như dạng tam diện vng b) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng (hoặc hình thoi) tâm O đường cao SO vng góc với đáy Ta chọn hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS lần lượt là Ox, Oy, Oz Giả sử SO = h, OA = a, OB = b