ung dung phuong phap toa do de giai bai toan hinh hoc khong gian cao van tuan

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chuyên đ 8: “PPT không gian” Cao V n Tu n – 097530627 NG D NG PH NG PHÁP T A GI I TOÁN HÌNH H C KHỌNG GIAN Các em h c sinh nên nh r ng “Không có ph ng pháp gi i v n n ng”, em ph i không ng ng luy n t p đ t o s i dây liên k t gi a ph n ki n th c c a mình, em m i có th v n d ng linh ho t ph ng pháp cho gi i c a khoa h c nh t, hay nh t i v i m t s lo i hình chóp, hình l ng tr m t s toán ta có th s d ng vi c đ t m t h tr c t a đ thích h p, đ chuy n t vi c gi i hình h c không gian t ng h p thu n túy (mà vi c có th g p nhi u khó kh n d ng hình, tính toán v i em h c sinh) sang vi c tính toán d a vào t a đ Cách gi i toán nh v y g i ph ng pháp t a đ hóa i v i ph ng pháp t a đ hóa, vi c tính toán có th s dài dòng ph c t p h n ph ng pháp hình h c không gian thu n túy, nhiên cách gi i th c s r t h u ích cho nhi u b n h c sinh mà vi c n m v ng nh ng ph ng pháp cách gi i hình h c không gian y u ho c nh ng toán hình không gian v kho ng cách khó; v xác đ nh GTLN, GTNN; toán v qu tích m, có th t t đ c toán gi i b ng ph ng pháp t a đ hóa em h c sinh ph i n m ch c ki n th c (c th công th c tính) c a ph n “Ph ng pháp t a đ không gian” nh ng ki n th c c b n nh t c a hình h c không gian Sau th y s trình bày c th ph không gian” Ph ng pháp: “ ng d ng ph ng pháp t a đ đ gi i toán hình h c Cao V n Tu n – 0975306275 ng pháp + B c 1: Ch n h tr c t a đ Oxyz không gian: Vì Ox, Oy, Oz vuông góc v i t ng đôi m t nên n u hình v toán cho có ch a c nh vuông góc ta u tiên ch n c nh làm tr c t a đ + B c 2: Suy t a đ c a đ nh, m h tr c t a đ v a ghép + B c 3: S d ng ki n th c v t a đ không gian đ gi i quy t toán Các bƠi toán ghép tr c t a đ th Các bƠi toán th ng g p vƠ cách suy t a đ đ nh ng g p Hình l p ph ng ho c hình h p ch nh t ABCD.ABCD Cách ghép tr c T a đ m + V i hình l p ph ng: A  0;0;0  , B  a ;0;0   C  a ; a ;0  , D  0; a ;0   A  0; 0; a  , B  a ;0; a  C a ; a ; , D 0; a ; a      + V i hình h p ch nh t: A  0;0;0  , B  a ;0;0   C  a ; b;0  , D  0; b;0   A  0;0; c  , B  a ;0; c  C a ; b; c , D 0; b; c      https://www.facebook.com/ThayCaoTuan T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chuyên đ 8: “PPT không gian” Hình h p ABCD.ABCD có đáy hình thoi Hình chóp S.ABCD có: + ABCD hình ch hình vuông + SA (ABCD) nh t, Hình chóp S.ABCD có: + áy hình ch nh t, hình vuông + Các c nh bên b ng (SO vuông góc v i đáy) https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Cao V n Tu n – 097530627 + G c t a đ trùng v i giao m O c a hai đ ng chéo c a hình thoi ABCD + Tr c Oz qua tâm c a đáy A   0;0;0   B   0; AB ;0   C   AD ; AB ;0   D   AD ;0;0   S   0;0; SA  A   0;0;0   B   0; AB ;0      AD AB ; ; SO  S      C  AD ; AB ;0    D   AD ;0;0   T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chuyên đ 8: “PPT không gian” Hình chóp S.ABCD đ u có: + áy hình thoi, hình vuông + SO vuông góc v i đáy Hình chóp S.ABCD đ u có: + áy hình bình hành, hình thoi + SA vuông góc v i đáy Hình chóp S.ABCD đ u có: + áy hình bình hành + SO vuông góc v i đáy https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Cao V n Tu n – 097530627 O   0;0;0   A   0;  OA ;0   B    OB ;0;0   C   0; OC ;0   D   OD ;0;0   S   0;0; SO  A   0;0;0   B   0; AB ;0   C   DH ; AB  AH ;0   D   DH ; AH ;0   S   0;0; SA    A   0;0;0  B  0; AB ;0     C   DH ; AB  AH ;0   D   DH ; AH ;0   S   DH ; AB  AH ; SO     2   T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chuyên đ 8: “PPT không gian” Cao V n Tu n – 097530627 A   0;0;0   B   0; AB ;0   C   CH ; AH ;0   S   0;0; SA  Hình chóp S.ABC có: + áy tam giác vuông, tam giác đ u + SA vuông góc v i đáy Hình chóp S.ABC có: + áy tam giác đ u c nh a + Các c nh bên b ng A   0;0;0   B   0; AB ;0    0; a ;0   C   CH ; AH ;0   a a   ; ;0     2     S   OH ; AH ; SO      a ; a ; SO        Trên m t s d ng c b n c a m t s lo i hình kh i mà có th t a đ hóa m t cách đ n gi n Các em l u ý r ng có th t a đ hóa m t kh i đa di n b t k Ch c n xác đ nh đ c đ ng cao c a kh i đa di n thông th ng lý thuy t ta đ u đ t g c t a đ chân đ ng cao c a kh i đa di n; tr c cao (tr c Oz) đ ng cao, sau ta d ng hai tia l i Nh ng th c hành gi i toán c n c tùy toán đ đ t h tr c mi n có th tìm t a đ đ nh liên quan đ n hình kh i c n tính có th tìm đ c m t cách d dàng ho c không ph c t p Ví d nh toán sau: (Các em xem suy ngh nên đ t h tr c sao) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác đ u c nh a, m t ph ng (SBC) t o v i đáy góc 60 M t bên (SAB) vuông góc v i đáy, tam giác SAB cân t i S Tính th tích kh i chóp S.ABC kho ng cách gi a hai đ ng th ng SA, BC Bình lu n: Rõ ràng r ng vi c tính th tích c a kh i chóp không khó kh n, ch c n em n m đ c cách xác đ nh góc gi a hai m t ph ng xác đ nh đ c Vì v y, ý tính th tích th y đ em t suy ngh th c hi n V i câu h i tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng chéo này, em hoàn toàn có th th c hi n theo hình t ng h p bàn lu n v vi c đ t h tr c t a đ đ th c hi n ý th hai Tr c h t em c n l u ý: Xác đ nh chi u cao c a hình chóp nh th nào? i u không khó: Vì sao? Hãy nh : “N u hai m t ph ng vuông góc v i nhau, m t d ng m t đ ng th ng vuông góc v i giao n đ ng th ng vuông góc v i m t ph ng kia” G n vào hình chóp này: Ta th y m t ph ng (SAB) vuông góc v i m t đáy, mà giao n c a hai m t ph ng AB Ta c n tìm chi u cao cho nên, em ch c n t S d ng SH vuông góc v i AB, (H  AB) tam giác SAB cân t i S H trung m AB T c em xác đ nh đ c chi u cao chân đ ng vuông góc V y có th đ t h tr c t a đ r i Các em v hình đ t h tr c nh sau: https://www.facebook.com/ThayCaoTuan T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chuyên đ 8: “PPT không gian” S Cao V n Tu n – 097530627 z A C x O B y Tính toán t a đ m (c n c vào ph n tr 3a    O  0;0;0  , S  0;0;     c), ta có:  A  0;  a ;0  , B  0; a ;0  , C(a ;0;0)         Áp d ng công th c tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng chéo nhau: SA, BC ta có: SA,BC  AB   , ta thu đ c k t qu c n tính d  SA,BC   SA,BC    K c ng không ph c t p không em Các em suy ngh có cách đ t h tr c t a đ khác không? m c s Ví d minh h a, th y s trình bày thêm m t s ví d c th v d ng toán đ em hi u rõ h n v ph ng pháp S d ng ki n th c v t a đ đ gi i quy t bƠi toán a) Kho ng cách gi a m Kho ng cách gi a hai m A  xA ; yA ; zA  B  xB ; yB ; zB  là: AB   xB  xA    yB  yA    zB  zA  2 b) Kho ng cách t m đ n đo n th ng Tính kho ng cách t A đ n đ ng th ng  ? Cách 1: Cho đ ng th ng  qua M, có m t vect ch ph ng u m t m A Kho ng cách t A đ n đ ng th ng  đ c tính b i công th c: d A,   Cách 2: + L p ph u , AM    u ng trình m t ph ng   qua A vuông góc v i  + Tìm t a đ giao m H c a    + d(M, d) = MH c) Kho ng cách t m đ n m t ph ng Kho ng cách t M0  x0 ; y0 ; z0  đ n m t ph ng  P  : Ax  By  Cz  D  là: d  M , P    Ax0  By0  Cz0  D A  B2  C2 d) Kho ng cách gi a hai m t ph ng song song nh ngh a: Kho ng cách gi a hai m t ph ng song song kho ng cách t m t m b t kì c a m t ph ng đ n m t ph ng https://www.facebook.com/ThayCaoTuan T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chuyên đ 8: “PPT không gian” e) Kho ng cách gi a hai đ ng th ng chéo Cho hai đ ng th ng chéo 1  , bi t: Cao V n Tu n – 097530627 + 1 qua M có m t vect ch ph ng u1 +  qua N có m t vect ch ph ng u2 Cách 1: Kho ng cách gi a hai đ ng th ng 1  đ u1 , u2 .MN u1 , u2  d  1 ,    Cách 2: + L p ph c tính b ng công th c: ng trình m t ph ng   ch a 1 song song v i  + Khi đó: d  1 , 2   d  2 ,     d  M,    v i M   C BI T: Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng AB, CD bi t t a đ c a chúng:  AB,CD  AC   d  AB,CD    AB,CD    f) Kho ng cách gi Kho ng cách gi th ng đ n đ   quay v d g) Kho ng cách gi a đ ng th ng song song a đ ng th ng song song b ng kho ng cách t m b t kì thu c đ ng th ng ng toán kho ng cách t m đ n đ ng th ng  a đ ng th ng  vƠ m t ph ng   (v i  //   ) ng d ,   d M,  v i M  h) Góc gi a hai đ ng th ng Cho hai đ ng th ng: 1 có m t vect ch ph ng u1   x1; y1; z1  ng u2   x2 ; y2 ; z2   có m t vect ch ph G i  góc gi a hai đ cos   ng th ng 1  Khi đó: u1.u2 u1 u2  x1 x2  y1 y2  z1 z2 2 2 2     90  x y z x y z 2 i) Góc g a hai m t ph ng G i  góc gi a hai m t ph ng  P  : Ax  By  Cz  D   P' : A'x  B'y  C'z  D'  cos   cos  nP , nQ   nP nQ nP nQ A.A'  B.B' C.C '  j) Góc gi a đ ng th ng vƠ m t ph ng Cho: ng th ng  có m t vect ch ph 2 0 A  B  C A '  B'  C ' 2    900  ng u   x; y; z  M t ph ng   có m t vect pháp n n   A; B; C  G i  góc gi a hai đ sin   ng th ng    Khi đó: u.n u.n  Ax  By  Cz 2     90  A B C x  y  z 2 k) Di n tích thi t di n  AB, AC  2   AB, AD + Di n tích tam giác ABC: SABC  + Di n tích hình bình hành: SABCD https://www.facebook.com/ThayCaoTuan T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chuyên đ 8: “PPT không gian” l) Th tích kh i đa di n Cao V n Tu n – 097530627 + Th tích kh i h p: VABCD.A'B'C'D'   AB, AD AA' + Th tích t di n: VABCD   AB, AC AD Ví d minh h a Ví d 1: Cho hình l p ph ng ABCD.ABCD c nh a G i N trung m c a BC a) Ch ng minh r ng: AC vuông góc v i  ABD  b) Tính th tích kh i t di n ANBD c) Tính góc kho ng cách gi a hai đ ng th ng AN BD d) Tính kho ng cách t C đ n m t ph ng  ACD  Gi i: Các em l u ý, m t tính toán ch ng minh y u t liên quan đ n hình l p ph ng, có th th c hi n b ng ph ng pháp t ng h p, th y không trình bày ph ng pháp n a, mà gi i toán theo ph ng pháp t a đ hóa Nh nói ph n tr c, v i hình l p ph ng hình h p ch nh t vi c ch n h tr c t a đ r t d dàng Th y ch n h tr c nh sau (Các em ch n h tr c khác gi i theo cách c a em) Khi ta có t a đ đ nh c a hình l p ph ng nh sau: z A '  0;0;0  , B'  a ;0;0  , C '  a ; a ;0  , D '  0; a;0  D A    a  A  0;0; a  , B  a ;0; a  , C  a ; a ; a  , D  0; a ; a  , N  a ; ;0    C  B a) M c đích c a ta ch ng minh m t đ ng th ng vuông góc v i m t m t ph ng Ta s ch r ng VTCP c a đ ng th ng ph ng v i VTPT c a m t ph ng  ABD  D' Ta có: AC'   a ; a ; a   A'B, A'D   a ; a ; a  véc t   c a m t ph ng  ABD  A'=O pháp n x B' y C' Ta th y hai vrct AC'  A'B, A'D  ph ng Vì th ta có AC vuông góc v i m t ph ng  ABD  b) Tính th tích t di n ANBD Ta có công th c tính th tích t di n là: VANBD'   AN,AB AD   a    AB,AN    0; a ;      Ta có: AD  (0; a ; a )   AB,AN  AD  a    a3 Do th tích tìm đ c là: V  (đvtt) 12 c) tính góc gi a hai đ ng th ng kho ng cách gi a hai đ ng th ng ta s d ng hai công th c  a , b  AB a b   sau: cos  a , b   cos a , b  d (a , b)  a , b  a b     https://www.facebook.com/ThayCaoTuan T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chuyên đ 8: “PPT không gian” V i a , b véc t ch ph ng c a đ m A B Cao V n Tu n – 097530627 ng th ng a,b l n l t qua hai ng th ng a b ng th ng AN BD là: cos  AN, BD  = Do ta có góc gi a hai đ AN.BD AN BD   AN, BD AB a 26   Kho ng cách gi a hai đ ng th ng là: d  AN, BD    26  AN, BD   d) Tính kho ng cách t m C đ n m t ph ng  ACD  Vi t ph ng trình m t ph ng  ACD  ng v i  AC,AD   a ;0; a  Ta ch n véc t pháp n c a m t ph ng  ACD  n  (1;0;1) M t ph ng  ACD  có véc t pháp n ph Vì th ph ng trình m t ph ng  ACD  là: x  z – a  Áp d ng công th c kho ng cách t m t m đ n m t ph ng ta có: d  C,  ACD    a Ví d Cho hình h p ch nh t ABCD.ABCD có c nh AB  1, AD  1, AA  a) Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng AC BD b) G i  Q  m t ph ng qua A vuông góc v i AC Tính di n tích c a thi t di n c a hình chóp A.ABCD c t b i m t ph ng  Q  Gi i: Chúng ta đ t h tr c t a đ gi ng nh ví d T ta tính đ A  0;0;0  , B 1;0;0  , D  0;1;0  , A 0;0;   a) Dành cho em t tính toán b) V i toán này, em có th vi t đ c ph ng trình m t ph ng  Q  , đ ng th ng: AB, AC, AD tìm giao m c a v i m t ph ng  Q  , ta có B' t a đ giao m là: 2  1   2  M  ;0; , N ; ;  , P  0; ;    2   3  3 Ta có thi t di n t giác AMNP Và di n tích c a t giác là: 2 x SAMNP  SAMN  SANP  B https://www.facebook.com/ThayCaoTuan c t a đ đ nh nh sau: A' z D' C' D y A=O C T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chuyên đ 8: “PPT không gian” Cao V n Tu n – 097530627 Ví d 3: Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có c nh BD  2 M t bên t o v i m t đáy góc 600 a) Tính th tích kh i chóp, xác đ nh tâm bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp b) Tính góc kho ng cách gi a hai đ ng th ng SB AC c) Tính góc gi a hai m t ph ng  SAB  SCD  d) G i I tr ng tâm tam giác SAB, tính kho ng cách t I đ n m t ph ng  ABCD   SCD  Gi i: Ch n h tr c t a đ nh hình v , ta có t a đ đ nh nh sau: O  0;0;0  , A 0;  2;0   B 2;0;0 , D  2;0;0  C 0; 2;0 ,S 0;0;  n công vi c l i tính toán, th y đ dành cho em          z S  I A J x D O B C y Các em có th th y r ng n u nh t a đ hóa m t kh i đa di n đ c vi c gi i nh ng toán hình không gian tr nên đ n gi n h n r t nhi u Sau xét m t s kh i đa di n mà vi c t a đ tính toán ph c t p h n Ví d Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi c nh tâm O, SO vuông góc v i đáy; c nh bên SA  3,SB  G i M trung m c a c nh SC a) Tính góc kho ng cách gi a hai đ ng th ng SA BM b) M t ph ng  AMB c t SD t i N Tính th tích kh i chóp S.ABMN Gi i: Ch n h tr c t a đ nh hình v Ta có t a đ O 0;0;0 , A 2;0;0 , B(0;1;0)       đ nh nh sau: C  2;0;0  , D  0; 1;0   S 0;0; 2 , M 1;0;    a) Ta có cos  SA,BM   SA.BM z  N  SA BM  SA,BM   30 S M D C x SA, BM  SB  d  SA,BM     SA, BM    b) Vi t ph ng trình m t ph ng  AMB ph O By A ng trình đ ng th ng SD T tìm đ ct ađ giao m D c a  AMB SD Ta có: VS.ABMN  VS.AMB  VS.AMN  1 SA,SB SM  SA,SN  SM     6 https://www.facebook.com/ThayCaoTuan T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chuyên đ 8: “PPT không gian” Cao V n Tu n – 097530627 BƠi t p rèn luy n BƠi 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông t i B, AB = a, SA  a G i M trung m c a AB Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng SM BC a S: d  BƠi 2: Cho hình vuông ABCD c nh a T m H c a c nh AB d ng SH vuông góc v i (ABCD), bi t góc gi a hai m t ph ng (SAD) m t đáy b ng 600 a) Tính SH kho ng cách t H đ n (SCD) b) Tính góc gi a hai m t ph ng (SBC) (SCK) bi t K trung m c a c nh AD a a 21 b)   900 S: a) SH  , d  H,  SCD    BƠi 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O c nh a, AC = a Tam giác SAB cân t i S, n m m t ph ng vuông góc v i đáy, c nh bên SA t o v i đáy m t góc  cho tan   a) Tính th tích kh i chóp S.ABCD b) Tính kho ng cách t O đ n (SCD) c) Tính kho ng cách t A đ n (SBC) a 21 2a 57 S: b) d  O,  SCD    b) d  A, SBC    19 14 BƠi 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông, đ ng cao AB, BC = 2a, SA = a SA vuông góc v i đáy Bi t SC vuông góc v i BD a) Tính đ dài đo n th ng AD b) Tính th tích kh i chóp S.ABCD c) G i M m đo n SA, AM = x, Tính đ dài đ ng cao DE c a tam giác BDM theo a, x Tìm x đ DE có giá tr l n nh t, nh nh t  a x  a DE max  a c)  S: a) AD  DE  a x   BƠi 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông t i C, v i AB = 2a, BAC  300 ,SA  2a vuông góc v i đáy a) Tính th tích kh i chóp S.ABC b) G i M m di đ ng c nh AC cho AM = x,  x  a Tính kho ng cách t S đ n   BM theo a, x Tìm x đ kho ng cách đ t giá tr l n nh t, giá tr nh nh t BƠi ( H Ơ N ng kh i A n m 2001): Cho t di n S.ABC có SC  CA  AB  a SC vuông góc v i (ABC), tam giác ABC vuông t i A, m M, N l n l t thu c SA BC cho AM  CN  t v i   t  2a  a) Tính đ dài đo n MN, tìm t đ đ dài đo n MN nh nh t b) Khi MN nh nh t, ch ng minh r ng MN đ ng vuông góc chung c a BC SA BƠi 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác đ u c nh a, c nh bên c a hình chóp b ng Bi t kho ng cách t S đ n (ABC) h Tìm u ki n c a h đ hai m t ph ng (SAB) (SAC) vuông góc Khi tính th tích kh i chóp S.ABC BƠi ( H kh i B n m 2002): Cho hình l p ph ng ABCD.A1B1C1D1 c nh a a) Tính theo a kho ng cách gi a hai đ ng th ng A1B B1D b) G i M, N, P theo th t trung m c a c nh BB1 ,CD, A1D1 Tính góc gi a MP C1 N BƠi ( HSP TPHCM n m 1992): Cho hình l p ph ng ABCD.A1B1C1D1 c nh a G i M, N theo th t trung m c a AD CD L y P c nh BB1 cho BP = 3PB1 Xác đ nh tính di n tích thi t di n c a hình l p ph ng c t b i m t ph ng (MNP) 7a S: S  16 https://www.facebook.com/ThayCaoTuan 10 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Ta có A'B   a;0;  a  ,  B'D   a;a; a  , A'B'   a;0;0    A'B,B'D  a2 ;2a2 ;a2     A'B.B'D  A'B' a3 a     V y d  A'B,B'D    A'B,B'D  a2 6   b Góc gi a hia đ ng th ng MP v| C N   a    a  a a a a ởa có M  a;0;  , N  ;a;0  , P  0; ;a   MP   a; ;  , NC'   ;0;a   MP.NC'   MP  NC' 2 2 2   2     ng th ng MP v| C N có s đo b ng 900 V y góc gi a hai đ Bài ởrong không gian v i h t a đ Oxyz A  0;0;0 , B 1;0;0 , D 0;1;0 , A' 0;0;1  G i M v| N l n l a ởính kho ng c{ch gi a hai đ b Vi t ph cho hình l p ph ng “”CD “ ” C D v i t l| trung m c a “” v| CD ng th ng “ C v| MN ng trình m t ph ng ch a “ C v| t o v i m t ph ng Oxy m t góc bi t cos  Gi i a Kho ng c{ch gi a hai đ ng th ng “ C v| MN z Cách G i P l| m t ph ng ch a “ C v| song song v i MN Khi  d  A'C,MN   d M,  P  Ph  C' B' ng trình c a m t ph ng (P): 1  1  ởa có C 1;1;0  , M  ;0;0  , N  ;1;0  2  2  Vec-t ph{p n c a M m t ph ng n   A'C,MN   1;0;1    Ph D A  A'C  1;1; 1 , MN   0;1;0   D' A' P l| x B y N C ng trình c a mp P l| 1 x     y    1 z  1  hay x  z     V y d  A'C,MN   d M,  P    1 12  02  12  2 Cách d  A'C,MN    A'C,MN  A'M 1    v i  A'C,MN   1;0;1 , A'M   ;0; 1    A'C,MN  2      A'C,MN   2,  A'C,MN  A'M       V y d  A'C,MN   Tr n Đình C  2  2 Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 22 33 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com b Vi t ph ng trình m t ph ng ch a “ C t o v i mp(Oxy) m t góc G i Q l| m t ph ng ch a “ C v| t o v i mp(Oxy) m t góc  ng trình mp Q có d ng: ax  by  cz  d  a2  b2  c2  Ph  c  d   c  d  a  b Mp Q qua A'  0;0;1 v| C 1;1;0  nên  a  b  d  Khi ph ng trình c a Q l| ax  by   a  b  z   a  b    Mp Q có vtpt l| n   a;b;a  b  Mp Oxy có vtpt l| k   0;0;1 l| góc gi a Q v| Oxy ta có cos  G i    cos n,k   ab a2  b   a  b    6    a  b   a2  b2  ab      2a2  2b2  5ab   2a2  ab  2b2  4ab   a  2a  b   2b  b  2a     2a  b  a  2b    a  2b ho c b  2a V i a  2b , ch n a  v| b  1  Ph ng trình c a m t ph ng Q l| 2x  y  z   V i b  2a , ch n a  v| b  2  Ph ng trình c a m t ph ng Q l| x  2y  z   Bài Cho hình l p ph ng “”CD “ ” C D C{c m M, N l n l v| “D cho DM  AN t thay đ i c{c đo n th ng BD a X{c đ nh v trí c a hai m M N đ MN nh nh t Ch ng minh r ng MN vuông góc v i ”D v| “D b Ch ng minh r ng MN vuông góc v i m t đ ng th ng c đ nh Gi i Ta ch n h tr c t a đ Oxyz có g c O trùng v i A, tia Ox ch a AB, tia Oy ch a AD, tia Oz ch a ““ a Gi s c nh hình l p ph   ng có đ d|i b ng a Đ t AN  DM  t  t  a z Khi ta có A  0;0;0  , B a;0;0  , D  0;a;0  , D'  0;a;a  ,  t   t t t  M ;a  ;0  , N  0; ;   2   C' D'  t t  ;t  a; Do MN     2  N A ởa có   t  MN      t a 2  B' A'  2  t  2    3t  2at  a  2 B x M y D C Xét h|m s f  t   3t  2at  a2 H|m s n|y có đ th l| m t Tr n Đình C Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 23 34 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com parabol quay b lõm lên phía Do f t nh nh t v| ch t  a a  a  0;a  nên MN nh nh t t   M, N thu c đo n ”D “D t   3 1 DM  BD, AN  AD' 3 Vì Khi MN nh nh t ta có t  ng ng cho  a a a a nên MN    ;  ;   3 3 M t kh{c BD   a;a;0  , AD   0;a;a  nên  a  a a MN.BD      a      a    3  3  a  a a MN.AD'         a  a   3  3 V y MN vuông góc v i ”D v| “D b ởr c h t ta tìm ph ng   x;y;z   vuông góc v i vec-t MN Đi u t ng đ ng v i: MN  t   0;a     t   t   x    y t  a  z   t   0;a  2   2    x z    y 2  t  ya  2  t   0;a     x z y   x  z    y  ya   Ch n  1;0;1 V y MN vuông góc v i m t đ ng th ng c đ nh nh n Chú ởa có k t lu n t Bài Cho tam gi{c “”C vuông t i A v| đ  1;0;1 l|m vec-t ch ph ng ng t l| MN song song v i m t m t ph ng c đ nh C{c m M N thay đ i đ ng th ng ng th ng vuông góc v i m t ph ng (ABC) t i m A cho  MBC   NBC a Ch ng minh r ng AM.AN không đ i b X{c đ nh v trí c a M N đ t di n MN”C có th tích nh nh t Gi i Ch n h tr c t a đ Oxyz có g c O trùng v i m “ c{c tia Ox Oy Oz l n l AM t trùng c{c tia “” “C Đ t AB  b, AC  c, AM  m b c không đ i) Khi A  0;0;0  , B b;0;0  , C  0;c;0  , M  0;0;m  Gi s N  0;0;n  ởa có M”C x y z     có ph{p vec-t b c m Tr n Đình C Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 1 1   ; ; ; b c m 24 35 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com 1 1  ; ;  b c n x y z     có ph{p vec-t b c n (NBC): z V y  MBC   NBC   M b2 c2   mn  b2 c2 m.n b2  c2 M t kh{c m  nên n  V y M v| N n m v hai phía c a A    a ởa có AM.AN  m n  m.n  b2 c2 b2  c2 không đ i x A b ởa có BC   b;c;0  , BM   b;0;m  , BN   b;0;n    BM,BN   0;b  n  m ;0    B N C 1 V y VMNBC   BM,BN  BC  bc  n  m   6 Áp d ng b t đ ng th c Cauchy ta có y 1 b2 c2 VMNBC  bc  n  m   bc.2 m  n   6 b2  c2 D u đ ng th c x y v| ch m  n  bc b2  c2 V y VMNBC nh nh t M, N n m v hai phía c a “ v| AM  AN  Chú ta có th tính th tích t di n MN”C theo c{ch 1 VMNBC  VMABC  VNABC  AM.S ABC  AN.S 3 1   AM  AN  S ABC  bc  m  n  Bài AB.AC BC ABC Cho tam gi{c đ u “”C có c nh a I l| trung m c a ”C D l| m đ i x ng v i A qua I D ng đo n SD  a b a vuông góc v i m t ph ng (ABC) Ch ng minh r ng:  SAB   SAC  SBC   SAD Gi i Ch n h tr c t a đ Oxyz có g c O trùng v i m I c{c tia Ox Oy l n l song song v| chi u v i tia DỞ t trùng c{c tia ID IC tia Oz Khi a  D ;0;0  ,      a a   a   a   a C  0; ;0 , B  0;  ;0 , A   ;0;0 , S  ;0;    2   2        a 6 SA c t Iz t i trung m M c a Ở“ ởa có M   0;0;     Tr n Đình C Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 36 25 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com a M t ph ng  a   a  ;0;0  , B  0;  ;0  , qua A         Ở“”  a 6 M  0;0;  nên có ph    S ng trình đo n ch n (SBA): 2x 2y 4z    1  a a a (SBA): z M v| có ph{p vec-t B  2  n1   ; ;   a a a 6 D I ph ng M t Ở“C qua  a   a   a 6 A  ;0;0  , C  0; ;0  , M  0;0;  nên có ph          đo n ch n (SAC):  2x a  ởa có n1.n2   x A C y ng trình  2  2y 4z    v| có ph{p vec-t n2   ; ;  a a  a a a 6 2  2 4      0 a a a  a a a Do  SAB   SAC b M t ph ng Ở”C có c p vec-t ch ph BC  0;a;0   0;1;0 ; ng l|  a a a  CS  ; ;   2     V y Ở”C có vec-t ph{p n n3   ,     3; 1;   6;0;   xOz nên có ph{p vec-t n4  0;1;0  M t ph ng Ở“D trùng m t ph ng t a đ Do n3 n4  nên  SBC   SAD  Bài Cho hình vuông “”CD C{c tia “m v| Cn vuông góc v i m t “”CD v| chi u C{c m M, N l n l t thu c Am, Cn Ch ng minh r ng  BMN    DMN    MBD   NBD Gi i Ch n h tr c t a đ Oxyz có g c O trùng v i m “ c{c tia Ox Oy, Oz l n l t trùng c{c tia “” “D “m Gi s hình vuông “”CD có c nh b ng a z m Đ t AM  m, CN  n Ta có M B a;0;0  , D  0;a;0  , M  0;0;m  , n N N  a;a;n  , C  a;a;0  M t ph ng ”MN có c p vec-t ch ph B ng BM   a;0;m  , A x BN   0;a;n  Do ”MN có ph{p vec-t   BM,BN   am;an; a   Tr n Đình C   m; n;a M D t ph ng DMN có c p y C Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 37 26 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com vec-t ch ph ng DM   0; a;m  , DN   a;0;n   Do DMN có ph{p vec-t  DM,DN   an;am;a2   V y  BMN    DMN     m.n  ởa có M”D Do N”D có ph{p vec-t v|  n;m;a (1) 1 1   ; ;  a a m ng BD   a;a;0  , BN   0;a;n    BD,BN   an;an; a2     n;n; a (2) n n a a2     m.n  a a m ta có u ph i ch ng minh V y  MBD    NBD   T a2 x y z     có ph{p vec-t l| a a m M t ph ng ”DN có c p vec-t ch ph  0 Bài Cho hình lăng tr đ u “”C “ ” C có t t c c{c c nh b ng M l| trung m c a ”” Ch ng minh r ng “ M vuông góc v i “C v| C” Gi i G i O l| trung m c a AB Ch n h tr c t a đ Oxyz có c{c tia Ox Oy l n l t trùng v i c{c tia OC O” tia Oz song song chi u v i tia ““ Gi s c{c c nh c a hình lăng tr b ng a Khi a   a   a   a  C ;0;0  , B  0; ;0  , A  0; ;0  , B'  0; ;a            z a   a   a a ;0;a  , M  0; ;  , A'  0; ;a  , C'       2    a  V y A'M  0;a;    a a  AC'   ; ;a   2     a a  CB'    ; ;a   2     3;1;2 C' B'  0;2; 1  A' M O  A C y B    3;1;2  y Do  0,  nên A'M  AC' v| A'M  CB' Bài Cho hình chóp đ u Ở “”CD đ{y có c nh b ng a G i M, N l n l Bi t r ng BM  DN ởính th tích kh i chóp Ở “”CD t l| trung m c a SA, SC Gi i Ch n h tr c t a đ Oxyz có g c t a đ O l| t}m c a hình vuông “”CD c{c tia Ox Oy Oz l n l trùng c{c tia O“ O”  a   a   a   a  ;0  , D  0; ;0  ,A  ;0;0  , C  ;0;0  , Đ t SO  h Khi B 0;          a  a h h S  0;0;h  , M  ;0;  , N  ;0;  M N l n l 2 2 2 2 Tr n Đình C t l| trung m c a SA, SC) Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 27 38 t T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com  a a h   a a h  ; ; ;  ; DN   ;  ởa có BM   2 2 2 2 2 2 z S ởa có BM.DN   a2 a2 h2 a 10   0h M N a 10 V y VS.ABCD  SO.SABCD  Bài Cho hình chóp đ u Ở “”C đ{y có c nh b ng a G i M, N l n l t l| trung m c a SB, SC Bi t r ng  AMN   SBC ởính th tích hình chóp Ở “”C D A x O C B y Gi i Ch n h tr c t a đ Oxyz có O l| t}m tam gi{c đ u “”C c{c tia Oy Oz l n l t trùng c{c tia O” OỞ tia Ox h ng v i tia CA z S Đ t SO  h Khi  a a   a   a a  A ; ;0  , B  0; ;0  , C  ; ;0  ,   2  2   N  a h   a a h  S  0;0; h  , M  0; ; , N  ; ;   2  4 2 M t ph ng “MN có c p vec-t ch ph M C K ng  a a h   3a a h  AM   ; ;  , AN   ; ;  2   4 2 A O B V y “MN có ph{p vec-t y    AM,AN    3ah ; ah ; 5a    8 8 3    3ah 5a2  ;  ah;    3    a   a  ;0  , S 0;0;h  nên có ph M t ph ng (SBC) c t tr c Ox t i K  ;0;0  v| qua B  0;     ch n (SBC): x ng trình đo n 3x 3y z   1  a a h V y Ở”C có ph{p vec-t  3   ; ;   a a h   ởa có  AMN    SBC    9h h 3 5a2 h 0h a 12 1 a2 a3 a  V y VS.ABC  SO.SABC  3 12 24 Bài Cho hình chóp Ở “”CD có đ{y l| hình vuông c nh a tam gi{c Ở“” đ u G i M, N, P, K l n l l| trung m c a BC, CD, SD, SB a ởính kho ng c{ch gi a hai đ ng th ng MK v| “P b Ch ng minh r ng  ANP    ABCD  Gi i Tr n Đình C Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 28 39 t T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com G i O l| trung m c a AB Ch n h tr c t a đ Oxyz có c{c tia Ox, Oy, Oz l n l t trùng c{c tia ON O” OỞ Khi z S   a   a  a 3 A  0; ;0  , B  0; ;0  , N  a;0;0  , S  0;0; ,        P  a   a a a  a a   a a 3 D  a; ;0  , P  ; ;  , M  ; ;0  , K  0; ;     4   2   4  a Đ ng th ng MK có vec-t ch ph   a a a  MK   ; ; 2;1;    4    Đ ng th ng “P có vec-t ch ph  a a a 3 AP   ; ;  2    K ng l| A  B O C ng l| x N M y 2;1;   3a a  ởa có  ,   3; 4 2;0 , AK   0; ;     4       ,  AK 3a 3a     V y d  MK,AP    ,  15   b M t ph ng “PN có c p vec-t ch ph   a a a  NP   ; ;   4    ng l| a a a 3  2;1;  ; AP   ; ;  2       Do “NP có ph{p vec-t l|  ,   3; 4 3;0    2;1;  n1  1; 2;0  M t ph ng “”CD có ph{p vec-t l| n2   0;0;1 Do n1.n2  nên  ANP    ABCD  Bài Trong h t a tr c đ Oxyz cho hình h p “”CD “ ” C D có A  0;0;0  , D  0;1;0 , D' 0;1;2 , B' 1;0;2  G i E l| m đ i x ng v i A qua B Đi m M thu c đo n CD cho m t ph ng “ ME t o v i m t “”” “ góc a Vi t ph b Vi t ph th a mãn tan  ng trình m t ph ng “ ME ng trình m t c u Ở qua C ” D v| có t}m thu c m t ph ng “ ME Gi i D d|ng suy đ c t a đ c a c{c m A'  0;0;2  , z B1;0;0  , C 1;1;0  , C' 1;1;2  , E  2;0;0  Đ t DM  t   t  1 Khi M  t;1;0  M t ph ng “ ME có c p vec-t A'M   t;1; 2  , A'E   2;0; 2  Do “ ME có ph{p vec-t 1;0; 1 D' ch ph C' ng  A'M,   n  1;t  2; 1   M t ph ng “”” “ có ph{p vec-t n2  0;1;0  Tr n Đình C B' A' B A x E y D M C Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 40 29 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com  t 2  ởa có cos  cos n1 ,n2   2   t  2 2  t    t   t  ) t 2  tan  V y   t  2 suy sin   cos2 V y M 1;1;0  trùng v i m C) a M t ph ng “ ME có ph{p vec-t có ph n1  1;t  2; 1   1; 1; 1 1;1;1 v| qua m E  2;0;0  nên ng trình  A'ME :1 x  2  1 y  0  1z    hay  A'ME : x y z  b Ở qua C ” D nên có t}m I thu c c{c m t ph ng   ,   l nl t l| c{c m t ph ng trung tr c c a C” CD   qua trung V y   m K  1; ;1 c a C” v| có ph{p vec-t CB'   0; 1;2      :   y  21    z  1   2y  4z         qua trung Do 1  m L  ;1;1 c a CD v| có ph{p vec-t D'C  1;0; 2  2    :1 x  21    y  1   z  1   2x  4z       x  y  z   1   V y t a đ c a I l| nghi m c a h : 2y  4z    I  ; ;1 2  2x  4z    M t c u Ở có b{n kính R  IC  2  1  1 V y  S :  x     y     z  1  2  2  Bài Cho t di n O“”C vuông t i O C{c m t ph ng (OBC), (OCA), (OAB) t o v i m t ph ng (ABC) c{c góc , , ng ng G i SO , SA , SB , SC l n l t t l| di n tích c{c m t đ i di n v i c{c đ nh O, A, B, C c a t di n Ch ng minh r ng: a OH  OA  OB  OC2 v i H l| hình chi u vuông góc c a O “”C b SO2  SA2  SB2  SC2 Gi i Ch n h t a đ Oxyz nh hình v Gi s OA  a, OB  b, OC  c O  0;0;0  , A  a;0;0  , B 0;b;0  , C  0;0;c a M t ph ng “”C có ph ng trình x y z   1 a b c Tr n Đình C Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 30 41 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com    OH  d O,  ABC   a   OH OH2   a  b OA 2    z b  C c2 c2 OB2  H OC2 x O b Do c{c tam gi{c O“” O“C O”C l| c{c tam gi{c vuông t i O nên S2A  SOBC 1  b2 c2   OB.OC   S2A  2  ng t ta có S2B  A B y c2 a2 a2 b2 , SC  4 1 2 2 AB,AC  b c  c a  a2 b2  S2O  S2 ABC  S2A  S2B  S2C  2 Cho hình ch nh t “”CD có AB  a, AD  b C{c tia “m v| Cn h ng v| vuông góc v i M t kh{c S Bài ABC  t thay đ i c{c tia “m Cn cho  MBD   NBD m t ph ng (ABCD) C{c m M, N l n l Ch ng minh r ng AM.CN không đ i Gi i t a tr c đ Oxyz nh hình v Ch n h Gi s AM  m, CN  n  m,n   ởa có M  0;0;m  , N  a;b;n  A  0;0;0  , B a;0;0  , D  0;b;0  , C  a;b;0  z m n M N 1 1  M t ph ng M”D có vec-t ph{p n n  ; ;  a b m B M t ph ng N”D có vec-t ph{p n n'   NB,ND   A x Do NB   0; b; n  , ND   a;0; n  nên 1 1 n'   bn;an; ab   abn  ; ;   a b n D  MBD   NBD  n.n'    12  a Do Bài b   mn a b a b  2  AM.CN   const mn a b a  b2 Cho hình chóp đ u Ở “”CD đ{y có c nh b ng a G i M, N l n l 2 C y 2 O l| t}m c a đ{y “”CD ”i t MN t o v i m t ph ng “”CD góc 30 t l| trung m c a Ở“ v| ”C z a Ch ng minh r ng: SO  MN b ởính góc gi a MN v| Ở”D S Gi i Ch n h tr c t a đ Oxyz nh a   a  B  ;0;0 , C  0; ;0  ,     M hình v O  0;0;0  ,  a a   a  N  ; ;0  , A  0; ;0  Gi     SO  h  h   Khi Tr n Đình C s D C N O A y B x Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 31 42 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com  a h  a a h S  0;0;h  , M  0; ;   MN  ; ;   2 2   ng trình z  v| có vec-t ph{p n n  0;0;1 , suy sin 300  a M t ph ng “”CD có ph n.MN n MN MN t o v i “”CD góc 300 Do h 5a a 30 h hay h      h2  6 2a 2a h 2 5a  2h   16 4 V y SO  h  a 30 2  a   a   h 2 a a 5a a 30 M t kh{c MN              24     2 V y SO  MN b M t ph ng Ở”D có ph ng trình y  v| có vec-t ph{p n n '  0;1;0  a a a 30  MN   ; ;  12   G i Bài a 15 l| góc gi a MN v| Ở”D ta có sin    n ' MN a 30 Cho hình chóp Ở “”C có Ở“ vuông góc v i m t (ABC) ởam gi{c “”C vuông t i B, n '.MN AB  a, BC  b Đ ng th ng SC t o v i m t ph ng “”C góc 600 ởính th tích hình chóp v| b{n kính m t c u ngo i ti p hình chóp Gi i Ch n h t a đ Oxyz nh hình v Gi s SA  h B  0;0;0  , A  a;0;0  , C  0;b;0  , S  a;0;h  z S SC   a;b; h  ng trình z  n   0;0;1 l| vec-t ph{p M t ph ng “”C có ph n c a (ABC) Do SC t o v i “”C góc 600 nên sin 600  n.SC  n SC Gi s h a  b2  h  C   h  a  b2  I  x ; y0 ;z0  l| t}m c a m t c u ngo i ti p hình chóp ta có Tr n Đình C y B A x Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 43 32 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com IA  IB2  IC2  IS2  x 02  y02  z 02   x  a   y02  z 02  x 02   y0  b   z 02    x 02  y02   z  a  b      a  b2 a b  x  ; y0  ;z  2 G i l| b{n kính m t c u ngo i ti p hình chóp ta có R  IB  x 02  y02  z02  a  b2 G i V l| th tích hình chóp ta có   1 V  SA.S ABC  SA.AB.BC  ab a  b2 6 Bài Cho hình chóp đ u Ở “”C đ{y có c nh b ng a M, N l n l t l| trung m c a SA, SC Bi t BM  AN ởính th tích v| b{n kính m t c u ngo i ti p hình chóp Ở “”C Gi i G i O l| t}m c a tam gi{c đ u “”C v| K l| trung m c a z a a a , AO  , KB  KC  Gi s ”C OK  AK  SO  h  h   Ch n h tr c t a đ Oxyz nh hình v S Khi  a a   a  ;0  , A  0;  ;0  ,  a a  C   ; O  0;0;0  , B  ; ;0  ,     2  S  0;0;h  I A C O  a h  a a h  M  0;  ; , N  ; ;    12   x K y B  a a h  a 5a h  ;  , AN    ; ;   BM    ;  2   12  Do BM  AN nên BM.AN   N M a 15a h 42   0h a 36 a 42 a a 14   24 G i I l| t}m c a m t c u ngo i ti p hình chóp d th y I  SO nên I  0;0;m  G i V l| th tích hình chóp ta có V  SO.S ABC ởa có IA  IS2   a 42  a2 42 5a a2  m2  a  a.m  m2  m   m2    m   3 42   V y R  IA  Bài a 25a 9a   168 42 Cho m M n m góc tam di n vuông Oxyz M t ph ng tia Ox, Oy, Oz l n l   thay đ i qua M v| c t c{c t t i c{c m ph}n bi t “ ” C ởìm gi{ tr nh nh t c a th tích t di n OABC Gi i Ch n h t a đ Oxyz nh hình v Tr n Đình C Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 33 44 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Gi s M  x ; y0 ;z0  v| m t ph ng   c t Ox, Oy, Oz t i c{c m A  a;0;0  , B  0;b;0  , C  0;0;c  Khi m t ph ng   C có ph x y z   1 a b c x y z nên    a b c ng trình ởa có VOABC  abc Vì M   Suy  33  x y0 z (b t đ ng th c Cô-si) abc  abc  27x y0 z0  VOABC  z M y 27x y0 z0 a  3x x y0 z  x y      b  3y0 a b c c  3z  D u B O A x Bài Cho hai đ ng th ng chéo a b vuông góc v i nhau, nh n “” l|m đo n vuông góc chung (A thu c a, B thu c b C{c m M, N l n l t thay đ i a b cho MN  AM  BN Ch ng minh r ng kho ng c{ch t trung m O c a đo n AB t i đ ng th ng MN không đ i T suy MN ti p xúc v i m t c u đ ng kính “” Gi i K Ay b D th y Ay  a , Ay  AB z Ch n h t a đ Oxyz nh hình v Gi s AB  h, AM  m, BN  n  h,m,n   N B Khi A  0;0;0  , B  0;0;h  , M  m;0;0  , b h  N  0;n;h  , O  0;0;  2  Theo gi thi t MN  AM  BN nên ta có a m  n  h  m  n  h  2mn 2 y O A M x h  ởa có MN   m;n;h  , OM   m;0;   2   hn hm    MN,OM     ; ; mn   2  Do d  O, MN    MN,OM     MN h n h m2   m2 n 4  m  n2  h2 2mn 2m3n   m2 n mn h 4   2 m2  n  2mn V y kho ng c{ch t O đ n MN không đ i v| b ng AB Do MN ti p xúc v i m t c u đ ng kính “” Bài ởrong không gian t a đ cho c{c m A  0;0;1 , D  0;2;0  C{c m ” v| C thay đ i tr c Ox cho  ACD    ABD  X{c đ nh v trí c a ” v| C đ th tích t di n ABCD nh nh t vi t ph ng trinh m t ph ng   ng v i v trí ch a “D v| t o v i c{c m t (ACD), (ABD) nh ng góc b ng Gi i Tr n Đình C Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 34 45 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Gi s B  b;0;0  , C  c;0;0  Khi “”D có ph ng trình x y   z 1 b z 1  v| có vec-t ph{p n n   ; ;1 b  M t ph ng “CD có ph ng trình x y   z  v| có vec-t ph{p n c C A 1  n '   ; ;1 c  O VABCD  VBOAD  VCOAD   BO  CO  OAD  B x  BO  CO   BO.CO  3 D u x y Khi mp “OD t o v i c{c m t ph ng (ACD), (ABD) nh ng góc b ng v|   m t ph ng  BO  CO .S y D 1 Do  ACD    ABD  nên n.n '       bc   bc V y ta có OB.OC  v| ” C n m kh{c phía đ i v i O ởa có qua “D v| vuông góc v i (AOD) c)ng t o v i c{c m t ph ng (ACD), (ABD) nh ng góc b ng “OD có ph ng trình x  v| có vec-t ph{p n n 1;0;0   có vec-t 0. x  0  1. y    2. z  1  hay y  2z   Bài gian M t ph ng 46 ởrong không ph{p n t a n1   n, AD   0;1;2 đ Oxyz cho A  0; 1;0  , C  2;1;0  , B'  2; 1;2  , D'  0;1;2  C{c m M, N l n l   Do hình h p có ph ng trình “”CD “ ” C D có t thay đ i c{c đo n “ ” v| ”C cho D'M  AN a Ch ng minh r ng MN vuông góc v i m t đ ng th ng c đ nh b Khi M l| trung m c a “ ” vi t ph ng trình m t ph ng (DMN) Gi i ởa có AC   2;2;0  , B'D'   2;2;0   AC  B'D' v| AC  B'D'  AC  BD v| AC  BD A' M  “”CD l| hình vuông ng t , ta ch ng minh đ c c{c m t l i c a hình h p l| nh ng hình vuông “”CD “ ” C D l| hình l p ph ng Gi s C N  “”CD có vec-t ph{p n n  0;0;8  “ ” C D có ph B' D n  AC,B'D'  n   0;0;8  “”CD có ph C' D' A ng trình z  B ng trình z  T d d|ng x{c đ nh đ c c{c đ nh l i c a hình l p ph ng l| B  2; 1;0  , D  0;1;0  , A'  0; 1;2  , C'  2;1;2  Tr n Đình C Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 35 46 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com “ ” có ph  x  2t  ng trình  y  1 ”C có ph z   x   ng trình  y  1  2s z    t,s   Do M, N n m c{c đo n “ ” v| ”C nên M  2t; 1;2  , N  2; 1  2s;0  v i  t  1,  s  Theo gi thi t D'M  AN  D'M.AN   t  s  MN    2t;2t; 2  a Xét u  1;1;1 , ta th y MN.u  t nên MN vuông góc v i c{c đ ng th ng có ph ng u , suy MN vuông góc v i m t đ ng th ng c đ nh b Khi M l| trung m c a “ ” t  s  ởa có M 1; 1;2  , N  2;0;0   MN  1;1; 2 , DM  1; 2;2    MN,DM    2; 4; 3  (DMN) qua D  0;1;0  v| có vec-t ph{p n n1   2;4;3 V y DMN có ph Tr n Đình C ng trình 2x  4y  3z   Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 36 47 [...]... G i M, N l n l t là trung đi m c a AB và BC Tính th tích kh i chóp S.ABCD và cos c a góc gi a hai đ ng th ng SM và DN https://www.facebook.com/ThayCaoTuan 11 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com GI I BÀI TOÁN HÌNH H C KH4NG GIAN B NG PH NG PHÁP T A Đ Cho hình lăng tr đ ng “”C “ ” C đ{y “”C l| tam gi{c vuông t i A, AB  a,AC  2a,AA'  b Bài G i M, N l n l t l| trung đi m c a ”” v| “” a... i O l| t}m c a “”CD v| I J K l n l t l| trung đi m SO, SD, DA a X{c đ nh đo n vuông góc chung c a IJ v| “C b ởính th tích c a kh i t di n AIJK Gi i a IJ l| đ ng trung bình c a tam gi{c ỞOD  IJ OD  IJ  SO hay IJ  IO SO   ABCD   SO  AC hay IO  AC T v| z (1) S (2) suy ra IO l| đo n vuông góc chung c a IJ v| “C J b Góc gi a c nh bên ỞD v| đ{y “”CD l| SDO  450 I  ởam gi{c ỞOD vuông c}n t i O... M, N, P l n l 8 Cho hình l p ph 2 x2  ax  a2 x y ra  x   a 2 t l| trung đi m c a c{c c nh ”” CD “ D ng “”CD “ ” C D có c nh b ng a G i M v| N l n l v| ”” Ch ng minh AC'   AB'D' v| tính th tích c a kh i t di n “ CMN t l| trung đi m c a AD Gi i Tr n Đình C Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 13 2 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Ch n h tr c t a đ Oxyz có nh hình D  0;a;0 , A' 0;0;a ,... MN.BC  0  MN  BC V y MN l| đ Bài ng vuông góc chung c a Ở“ v| ”C đpcm Cho kh i lăng tr tam gi{c đ u có c nh đ{y b ng a v| AB'  BC' ởính th tích c a kh i lăng tr Gi i G i O l| trung đi m c a AC Ch n h tr c t a đ có g c t a đ l| O tia Ox đi qua “ tia Oy đi qua ” Tr n Đình C Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 4 15 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com a   a 3  ;0  , Khi đó A  ;0;0  ,... ph ng vuông góc v i (ABCD) G i M, N, P l n l trung đi m c a SB, BC, CD Ch ng minh r ng AM  BP v| tính th tích c a kh i t di n CMNP t l| Gi i Tr n Đình C Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 16 5 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Ch n h tr c t a đ Oxyz có g c O trùng v i “ tia Ox đi qua ” tia Oy đi qua D tia Oz cùng h z ng v i vec-t HS S H l| trung đi m c a AD) khi đó A  0;0;0  , B a;0;0 ...T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chuyên đ 8: “PPT trong không gian Cao V n Tu n – 097530627 BƠi 10: Cho hình h p ch nh t ABCD.A1B1C1D1 có AB = a, AD = 2a, AA1 = a a) Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng AD1 và B1C AM b) G i M là đi m chia đo n... t di n ỞCDE có d ng x2  y2  z2  2Mx  2Ny  2Pz  Q  0 Tr n Đình C Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 24 13 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com a2  2Pa  Q  0  a2  a2  2Ma  2Na  Q  0 M t c u đi qua Ở C D E nên  2 4a  4Na  Q  0  2 a  2Na  Q  0 a 3a 3a ng trình trên ta có M   , N   , P   , Q  2a2 2 2 2 Gi i h ph  a 3a 3a  V y m t c u ngo i ti p t di n ỞCDE có t}m... 2  2 2  2  C' D'  t t  ;t 2  a; Do đó MN     2 2  N A ởa có 2   t  MN      t 2 a 2  2 B' A'  2 2  t  2 2    3t  2 2at  a  2 B x M y D C Xét h|m s f  t   3t 2  2 2at  a2 H|m s n|y có đ th l| m t Tr n Đình C Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 23 34 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com parabol quay b lõm lên phía trên Do đó f t nh nh t khi v| ch khi t  a 2...  V y d A',  AB'K   3a2 3a2 2a :  12 8 3 Bài Cho hình l p ph ng “”CD “ ” C D có c nh b ng a G i M l| trung đi m c a c nh “D v| N l| t}m c a hình vuông CC D D ởính b{n kính m t c u ngo i ti p t di n ”C MN Gi i Tr n Đình C Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 18 7 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Ch n h tr c t a đ “ xyz nh hình v z ởa có A'  0;0;0  , B'  a;0;0  , C'  a;a;0  , D'  0;a;0... 19 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com x a 2 2  y a 2 2  x y z z   1  0  1 hay h a 2 a 2 h 3 3 2 2 h 1 h 3 v y kho ng c{ch t S t i mp “”I l| d    1  a 2   2 2     1    a 2     2 2   2  1     h   3   2  2 a2  2 a2  9 hay d  h2 2ah 4h2  9a2 Bài Cho hình l p ph ng “”CD “ ” C D có c nh b ng 1 G i M l| trung đi m c a c nh ”C ởính kho ng c{ch