Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 47 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
47
Dung lượng
1,23 MB
Nội dung
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chuyên đ 8: “PPT không gian” Cao V n Tu n – 097530627 NG D NG PH NG PHÁP T A GI I TOÁN HÌNH H C KHỌNG GIAN Các em h c sinh nên nh r ng “Không có ph ng pháp gi i v n n ng”, em ph i không ng ng luy n t p đ t o s i dây liên k t gi a ph n ki n th c c a mình, em m i có th v n d ng linh ho t ph ng pháp cho gi i c a khoa h c nh t, hay nh t i v i m t s lo i hình chóp, hình l ng tr m t s toán ta có th s d ng vi c đ t m t h tr c t a đ thích h p, đ chuy n t vi c gi i hình h c không gian t ng h p thu n túy (mà vi c có th g p nhi u khó kh n d ng hình, tính toán v i em h c sinh) sang vi c tính toán d a vào t a đ Cách gi i toán nh v y g i ph ng pháp t a đ hóa i v i ph ng pháp t a đ hóa, vi c tính toán có th s dài dòng ph c t p h n ph ng pháp hình h c không gian thu n túy, nhiên cách gi i th c s r t h u ích cho nhi u b n h c sinh mà vi c n m v ng nh ng ph ng pháp cách gi i hình h c không gian y u ho c nh ng toán hình không gian v kho ng cách khó; v xác đ nh GTLN, GTNN; toán v qu tích m, có th t t đ c toán gi i b ng ph ng pháp t a đ hóa em h c sinh ph i n m ch c ki n th c (c th công th c tính) c a ph n “Ph ng pháp t a đ không gian” nh ng ki n th c c b n nh t c a hình h c không gian Sau th y s trình bày c th ph không gian” Ph ng pháp: “ ng d ng ph ng pháp t a đ đ gi i toán hình h c Cao V n Tu n – 0975306275 ng pháp + B c 1: Ch n h tr c t a đ Oxyz không gian: Vì Ox, Oy, Oz vuông góc v i t ng đôi m t nên n u hình v toán cho có ch a c nh vuông góc ta u tiên ch n c nh làm tr c t a đ + B c 2: Suy t a đ c a đ nh, m h tr c t a đ v a ghép + B c 3: S d ng ki n th c v t a đ không gian đ gi i quy t toán Các bƠi toán ghép tr c t a đ th Các bƠi toán th ng g p vƠ cách suy t a đ đ nh ng g p Hình l p ph ng ho c hình h p ch nh t ABCD.ABCD Cách ghép tr c T a đ m + V i hình l p ph ng: A 0;0;0 , B a ;0;0 C a ; a ;0 , D 0; a ;0 A 0; 0; a , B a ;0; a C a ; a ; , D 0; a ; a + V i hình h p ch nh t: A 0;0;0 , B a ;0;0 C a ; b;0 , D 0; b;0 A 0;0; c , B a ;0; c C a ; b; c , D 0; b; c https://www.facebook.com/ThayCaoTuan T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chuyên đ 8: “PPT không gian” Hình h p ABCD.ABCD có đáy hình thoi Hình chóp S.ABCD có: + ABCD hình ch hình vuông + SA (ABCD) nh t, Hình chóp S.ABCD có: + áy hình ch nh t, hình vuông + Các c nh bên b ng (SO vuông góc v i đáy) https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Cao V n Tu n – 097530627 + G c t a đ trùng v i giao m O c a hai đ ng chéo c a hình thoi ABCD + Tr c Oz qua tâm c a đáy A 0;0;0 B 0; AB ;0 C AD ; AB ;0 D AD ;0;0 S 0;0; SA A 0;0;0 B 0; AB ;0 AD AB ; ; SO S C AD ; AB ;0 D AD ;0;0 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chuyên đ 8: “PPT không gian” Hình chóp S.ABCD đ u có: + áy hình thoi, hình vuông + SO vuông góc v i đáy Hình chóp S.ABCD đ u có: + áy hình bình hành, hình thoi + SA vuông góc v i đáy Hình chóp S.ABCD đ u có: + áy hình bình hành + SO vuông góc v i đáy https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Cao V n Tu n – 097530627 O 0;0;0 A 0; OA ;0 B OB ;0;0 C 0; OC ;0 D OD ;0;0 S 0;0; SO A 0;0;0 B 0; AB ;0 C DH ; AB AH ;0 D DH ; AH ;0 S 0;0; SA A 0;0;0 B 0; AB ;0 C DH ; AB AH ;0 D DH ; AH ;0 S DH ; AB AH ; SO 2 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chuyên đ 8: “PPT không gian” Cao V n Tu n – 097530627 A 0;0;0 B 0; AB ;0 C CH ; AH ;0 S 0;0; SA Hình chóp S.ABC có: + áy tam giác vuông, tam giác đ u + SA vuông góc v i đáy Hình chóp S.ABC có: + áy tam giác đ u c nh a + Các c nh bên b ng A 0;0;0 B 0; AB ;0 0; a ;0 C CH ; AH ;0 a a ; ;0 2 S OH ; AH ; SO a ; a ; SO Trên m t s d ng c b n c a m t s lo i hình kh i mà có th t a đ hóa m t cách đ n gi n Các em l u ý r ng có th t a đ hóa m t kh i đa di n b t k Ch c n xác đ nh đ c đ ng cao c a kh i đa di n thông th ng lý thuy t ta đ u đ t g c t a đ chân đ ng cao c a kh i đa di n; tr c cao (tr c Oz) đ ng cao, sau ta d ng hai tia l i Nh ng th c hành gi i toán c n c tùy toán đ đ t h tr c mi n có th tìm t a đ đ nh liên quan đ n hình kh i c n tính có th tìm đ c m t cách d dàng ho c không ph c t p Ví d nh toán sau: (Các em xem suy ngh nên đ t h tr c sao) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác đ u c nh a, m t ph ng (SBC) t o v i đáy góc 60 M t bên (SAB) vuông góc v i đáy, tam giác SAB cân t i S Tính th tích kh i chóp S.ABC kho ng cách gi a hai đ ng th ng SA, BC Bình lu n: Rõ ràng r ng vi c tính th tích c a kh i chóp không khó kh n, ch c n em n m đ c cách xác đ nh góc gi a hai m t ph ng xác đ nh đ c Vì v y, ý tính th tích th y đ em t suy ngh th c hi n V i câu h i tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng chéo này, em hoàn toàn có th th c hi n theo hình t ng h p bàn lu n v vi c đ t h tr c t a đ đ th c hi n ý th hai Tr c h t em c n l u ý: Xác đ nh chi u cao c a hình chóp nh th nào? i u không khó: Vì sao? Hãy nh : “N u hai m t ph ng vuông góc v i nhau, m t d ng m t đ ng th ng vuông góc v i giao n đ ng th ng vuông góc v i m t ph ng kia” G n vào hình chóp này: Ta th y m t ph ng (SAB) vuông góc v i m t đáy, mà giao n c a hai m t ph ng AB Ta c n tìm chi u cao cho nên, em ch c n t S d ng SH vuông góc v i AB, (H AB) tam giác SAB cân t i S H trung m AB T c em xác đ nh đ c chi u cao chân đ ng vuông góc V y có th đ t h tr c t a đ r i Các em v hình đ t h tr c nh sau: https://www.facebook.com/ThayCaoTuan T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chuyên đ 8: “PPT không gian” S Cao V n Tu n – 097530627 z A C x O B y Tính toán t a đ m (c n c vào ph n tr 3a O 0;0;0 , S 0;0; c), ta có: A 0; a ;0 , B 0; a ;0 , C(a ;0;0) Áp d ng công th c tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng chéo nhau: SA, BC ta có: SA,BC AB , ta thu đ c k t qu c n tính d SA,BC SA,BC K c ng không ph c t p không em Các em suy ngh có cách đ t h tr c t a đ khác không? m c s Ví d minh h a, th y s trình bày thêm m t s ví d c th v d ng toán đ em hi u rõ h n v ph ng pháp S d ng ki n th c v t a đ đ gi i quy t bƠi toán a) Kho ng cách gi a m Kho ng cách gi a hai m A xA ; yA ; zA B xB ; yB ; zB là: AB xB xA yB yA zB zA 2 b) Kho ng cách t m đ n đo n th ng Tính kho ng cách t A đ n đ ng th ng ? Cách 1: Cho đ ng th ng qua M, có m t vect ch ph ng u m t m A Kho ng cách t A đ n đ ng th ng đ c tính b i công th c: d A, Cách 2: + L p ph u , AM u ng trình m t ph ng qua A vuông góc v i + Tìm t a đ giao m H c a + d(M, d) = MH c) Kho ng cách t m đ n m t ph ng Kho ng cách t M0 x0 ; y0 ; z0 đ n m t ph ng P : Ax By Cz D là: d M , P Ax0 By0 Cz0 D A B2 C2 d) Kho ng cách gi a hai m t ph ng song song nh ngh a: Kho ng cách gi a hai m t ph ng song song kho ng cách t m t m b t kì c a m t ph ng đ n m t ph ng https://www.facebook.com/ThayCaoTuan T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chuyên đ 8: “PPT không gian” e) Kho ng cách gi a hai đ ng th ng chéo Cho hai đ ng th ng chéo 1 , bi t: Cao V n Tu n – 097530627 + 1 qua M có m t vect ch ph ng u1 + qua N có m t vect ch ph ng u2 Cách 1: Kho ng cách gi a hai đ ng th ng 1 đ u1 , u2 .MN u1 , u2 d 1 , Cách 2: + L p ph c tính b ng công th c: ng trình m t ph ng ch a 1 song song v i + Khi đó: d 1 , 2 d 2 , d M, v i M C BI T: Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng AB, CD bi t t a đ c a chúng: AB,CD AC d AB,CD AB,CD f) Kho ng cách gi Kho ng cách gi th ng đ n đ quay v d g) Kho ng cách gi a đ ng th ng song song a đ ng th ng song song b ng kho ng cách t m b t kì thu c đ ng th ng ng toán kho ng cách t m đ n đ ng th ng a đ ng th ng vƠ m t ph ng (v i // ) ng d , d M, v i M h) Góc gi a hai đ ng th ng Cho hai đ ng th ng: 1 có m t vect ch ph ng u1 x1; y1; z1 ng u2 x2 ; y2 ; z2 có m t vect ch ph G i góc gi a hai đ cos ng th ng 1 Khi đó: u1.u2 u1 u2 x1 x2 y1 y2 z1 z2 2 2 2 90 x y z x y z 2 i) Góc g a hai m t ph ng G i góc gi a hai m t ph ng P : Ax By Cz D P' : A'x B'y C'z D' cos cos nP , nQ nP nQ nP nQ A.A' B.B' C.C ' j) Góc gi a đ ng th ng vƠ m t ph ng Cho: ng th ng có m t vect ch ph 2 0 A B C A ' B' C ' 2 900 ng u x; y; z M t ph ng có m t vect pháp n n A; B; C G i góc gi a hai đ sin ng th ng Khi đó: u.n u.n Ax By Cz 2 90 A B C x y z 2 k) Di n tích thi t di n AB, AC 2 AB, AD + Di n tích tam giác ABC: SABC + Di n tích hình bình hành: SABCD https://www.facebook.com/ThayCaoTuan T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chuyên đ 8: “PPT không gian” l) Th tích kh i đa di n Cao V n Tu n – 097530627 + Th tích kh i h p: VABCD.A'B'C'D' AB, AD AA' + Th tích t di n: VABCD AB, AC AD Ví d minh h a Ví d 1: Cho hình l p ph ng ABCD.ABCD c nh a G i N trung m c a BC a) Ch ng minh r ng: AC vuông góc v i ABD b) Tính th tích kh i t di n ANBD c) Tính góc kho ng cách gi a hai đ ng th ng AN BD d) Tính kho ng cách t C đ n m t ph ng ACD Gi i: Các em l u ý, m t tính toán ch ng minh y u t liên quan đ n hình l p ph ng, có th th c hi n b ng ph ng pháp t ng h p, th y không trình bày ph ng pháp n a, mà gi i toán theo ph ng pháp t a đ hóa Nh nói ph n tr c, v i hình l p ph ng hình h p ch nh t vi c ch n h tr c t a đ r t d dàng Th y ch n h tr c nh sau (Các em ch n h tr c khác gi i theo cách c a em) Khi ta có t a đ đ nh c a hình l p ph ng nh sau: z A ' 0;0;0 , B' a ;0;0 , C ' a ; a ;0 , D ' 0; a;0 D A a A 0;0; a , B a ;0; a , C a ; a ; a , D 0; a ; a , N a ; ;0 C B a) M c đích c a ta ch ng minh m t đ ng th ng vuông góc v i m t m t ph ng Ta s ch r ng VTCP c a đ ng th ng ph ng v i VTPT c a m t ph ng ABD D' Ta có: AC' a ; a ; a A'B, A'D a ; a ; a véc t c a m t ph ng ABD A'=O pháp n x B' y C' Ta th y hai vrct AC' A'B, A'D ph ng Vì th ta có AC vuông góc v i m t ph ng ABD b) Tính th tích t di n ANBD Ta có công th c tính th tích t di n là: VANBD' AN,AB AD a AB,AN 0; a ; Ta có: AD (0; a ; a ) AB,AN AD a a3 Do th tích tìm đ c là: V (đvtt) 12 c) tính góc gi a hai đ ng th ng kho ng cách gi a hai đ ng th ng ta s d ng hai công th c a , b AB a b sau: cos a , b cos a , b d (a , b) a , b a b https://www.facebook.com/ThayCaoTuan T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chuyên đ 8: “PPT không gian” V i a , b véc t ch ph ng c a đ m A B Cao V n Tu n – 097530627 ng th ng a,b l n l t qua hai ng th ng a b ng th ng AN BD là: cos AN, BD = Do ta có góc gi a hai đ AN.BD AN BD AN, BD AB a 26 Kho ng cách gi a hai đ ng th ng là: d AN, BD 26 AN, BD d) Tính kho ng cách t m C đ n m t ph ng ACD Vi t ph ng trình m t ph ng ACD ng v i AC,AD a ;0; a Ta ch n véc t pháp n c a m t ph ng ACD n (1;0;1) M t ph ng ACD có véc t pháp n ph Vì th ph ng trình m t ph ng ACD là: x z – a Áp d ng công th c kho ng cách t m t m đ n m t ph ng ta có: d C, ACD a Ví d Cho hình h p ch nh t ABCD.ABCD có c nh AB 1, AD 1, AA a) Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng AC BD b) G i Q m t ph ng qua A vuông góc v i AC Tính di n tích c a thi t di n c a hình chóp A.ABCD c t b i m t ph ng Q Gi i: Chúng ta đ t h tr c t a đ gi ng nh ví d T ta tính đ A 0;0;0 , B 1;0;0 , D 0;1;0 , A 0;0; a) Dành cho em t tính toán b) V i toán này, em có th vi t đ c ph ng trình m t ph ng Q , đ ng th ng: AB, AC, AD tìm giao m c a v i m t ph ng Q , ta có B' t a đ giao m là: 2 1 2 M ;0; , N ; ; , P 0; ; 2 3 3 Ta có thi t di n t giác AMNP Và di n tích c a t giác là: 2 x SAMNP SAMN SANP B https://www.facebook.com/ThayCaoTuan c t a đ đ nh nh sau: A' z D' C' D y A=O C T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chuyên đ 8: “PPT không gian” Cao V n Tu n – 097530627 Ví d 3: Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có c nh BD 2 M t bên t o v i m t đáy góc 600 a) Tính th tích kh i chóp, xác đ nh tâm bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp b) Tính góc kho ng cách gi a hai đ ng th ng SB AC c) Tính góc gi a hai m t ph ng SAB SCD d) G i I tr ng tâm tam giác SAB, tính kho ng cách t I đ n m t ph ng ABCD SCD Gi i: Ch n h tr c t a đ nh hình v , ta có t a đ đ nh nh sau: O 0;0;0 , A 0; 2;0 B 2;0;0 , D 2;0;0 C 0; 2;0 ,S 0;0; n công vi c l i tính toán, th y đ dành cho em z S I A J x D O B C y Các em có th th y r ng n u nh t a đ hóa m t kh i đa di n đ c vi c gi i nh ng toán hình không gian tr nên đ n gi n h n r t nhi u Sau xét m t s kh i đa di n mà vi c t a đ tính toán ph c t p h n Ví d Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi c nh tâm O, SO vuông góc v i đáy; c nh bên SA 3,SB G i M trung m c a c nh SC a) Tính góc kho ng cách gi a hai đ ng th ng SA BM b) M t ph ng AMB c t SD t i N Tính th tích kh i chóp S.ABMN Gi i: Ch n h tr c t a đ nh hình v Ta có t a đ O 0;0;0 , A 2;0;0 , B(0;1;0) đ nh nh sau: C 2;0;0 , D 0; 1;0 S 0;0; 2 , M 1;0; a) Ta có cos SA,BM SA.BM z N SA BM SA,BM 30 S M D C x SA, BM SB d SA,BM SA, BM b) Vi t ph ng trình m t ph ng AMB ph O By A ng trình đ ng th ng SD T tìm đ ct ađ giao m D c a AMB SD Ta có: VS.ABMN VS.AMB VS.AMN 1 SA,SB SM SA,SN SM 6 https://www.facebook.com/ThayCaoTuan T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chuyên đ 8: “PPT không gian” Cao V n Tu n – 097530627 BƠi t p rèn luy n BƠi 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông t i B, AB = a, SA a G i M trung m c a AB Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng SM BC a S: d BƠi 2: Cho hình vuông ABCD c nh a T m H c a c nh AB d ng SH vuông góc v i (ABCD), bi t góc gi a hai m t ph ng (SAD) m t đáy b ng 600 a) Tính SH kho ng cách t H đ n (SCD) b) Tính góc gi a hai m t ph ng (SBC) (SCK) bi t K trung m c a c nh AD a a 21 b) 900 S: a) SH , d H, SCD BƠi 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O c nh a, AC = a Tam giác SAB cân t i S, n m m t ph ng vuông góc v i đáy, c nh bên SA t o v i đáy m t góc cho tan a) Tính th tích kh i chóp S.ABCD b) Tính kho ng cách t O đ n (SCD) c) Tính kho ng cách t A đ n (SBC) a 21 2a 57 S: b) d O, SCD b) d A, SBC 19 14 BƠi 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông, đ ng cao AB, BC = 2a, SA = a SA vuông góc v i đáy Bi t SC vuông góc v i BD a) Tính đ dài đo n th ng AD b) Tính th tích kh i chóp S.ABCD c) G i M m đo n SA, AM = x, Tính đ dài đ ng cao DE c a tam giác BDM theo a, x Tìm x đ DE có giá tr l n nh t, nh nh t a x a DE max a c) S: a) AD DE a x BƠi 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông t i C, v i AB = 2a, BAC 300 ,SA 2a vuông góc v i đáy a) Tính th tích kh i chóp S.ABC b) G i M m di đ ng c nh AC cho AM = x, x a Tính kho ng cách t S đ n BM theo a, x Tìm x đ kho ng cách đ t giá tr l n nh t, giá tr nh nh t BƠi ( H Ơ N ng kh i A n m 2001): Cho t di n S.ABC có SC CA AB a SC vuông góc v i (ABC), tam giác ABC vuông t i A, m M, N l n l t thu c SA BC cho AM CN t v i t 2a a) Tính đ dài đo n MN, tìm t đ đ dài đo n MN nh nh t b) Khi MN nh nh t, ch ng minh r ng MN đ ng vuông góc chung c a BC SA BƠi 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác đ u c nh a, c nh bên c a hình chóp b ng Bi t kho ng cách t S đ n (ABC) h Tìm u ki n c a h đ hai m t ph ng (SAB) (SAC) vuông góc Khi tính th tích kh i chóp S.ABC BƠi ( H kh i B n m 2002): Cho hình l p ph ng ABCD.A1B1C1D1 c nh a a) Tính theo a kho ng cách gi a hai đ ng th ng A1B B1D b) G i M, N, P theo th t trung m c a c nh BB1 ,CD, A1D1 Tính góc gi a MP C1 N BƠi ( HSP TPHCM n m 1992): Cho hình l p ph ng ABCD.A1B1C1D1 c nh a G i M, N theo th t trung m c a AD CD L y P c nh BB1 cho BP = 3PB1 Xác đ nh tính di n tích thi t di n c a hình l p ph ng c t b i m t ph ng (MNP) 7a S: S 16 https://www.facebook.com/ThayCaoTuan 10 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Ta có A'B a;0; a , B'D a;a; a , A'B' a;0;0 A'B,B'D a2 ;2a2 ;a2 A'B.B'D A'B' a3 a V y d A'B,B'D A'B,B'D a2 6 b Góc gi a hia đ ng th ng MP v| C N a a a a a a ởa có M a;0; , N ;a;0 , P 0; ;a MP a; ; , NC' ;0;a MP.NC' MP NC' 2 2 2 2 ng th ng MP v| C N có s đo b ng 900 V y góc gi a hai đ Bài ởrong không gian v i h t a đ Oxyz A 0;0;0 , B 1;0;0 , D 0;1;0 , A' 0;0;1 G i M v| N l n l a ởính kho ng c{ch gi a hai đ b Vi t ph cho hình l p ph ng “”CD “ ” C D v i t l| trung m c a “” v| CD ng th ng “ C v| MN ng trình m t ph ng ch a “ C v| t o v i m t ph ng Oxy m t góc bi t cos Gi i a Kho ng c{ch gi a hai đ ng th ng “ C v| MN z Cách G i P l| m t ph ng ch a “ C v| song song v i MN Khi d A'C,MN d M, P Ph C' B' ng trình c a m t ph ng (P): 1 1 ởa có C 1;1;0 , M ;0;0 , N ;1;0 2 2 Vec-t ph{p n c a M m t ph ng n A'C,MN 1;0;1 Ph D A A'C 1;1; 1 , MN 0;1;0 D' A' P l| x B y N C ng trình c a mp P l| 1 x y 1 z 1 hay x z V y d A'C,MN d M, P 1 12 02 12 2 Cách d A'C,MN A'C,MN A'M 1 v i A'C,MN 1;0;1 , A'M ;0; 1 A'C,MN 2 A'C,MN 2, A'C,MN A'M V y d A'C,MN Tr n Đình C 2 2 Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 22 33 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com b Vi t ph ng trình m t ph ng ch a “ C t o v i mp(Oxy) m t góc G i Q l| m t ph ng ch a “ C v| t o v i mp(Oxy) m t góc ng trình mp Q có d ng: ax by cz d a2 b2 c2 Ph c d c d a b Mp Q qua A' 0;0;1 v| C 1;1;0 nên a b d Khi ph ng trình c a Q l| ax by a b z a b Mp Q có vtpt l| n a;b;a b Mp Oxy có vtpt l| k 0;0;1 l| góc gi a Q v| Oxy ta có cos G i cos n,k ab a2 b a b 6 a b a2 b2 ab 2a2 2b2 5ab 2a2 ab 2b2 4ab a 2a b 2b b 2a 2a b a 2b a 2b ho c b 2a V i a 2b , ch n a v| b 1 Ph ng trình c a m t ph ng Q l| 2x y z V i b 2a , ch n a v| b 2 Ph ng trình c a m t ph ng Q l| x 2y z Bài Cho hình l p ph ng “”CD “ ” C D C{c m M, N l n l v| “D cho DM AN t thay đ i c{c đo n th ng BD a X{c đ nh v trí c a hai m M N đ MN nh nh t Ch ng minh r ng MN vuông góc v i ”D v| “D b Ch ng minh r ng MN vuông góc v i m t đ ng th ng c đ nh Gi i Ta ch n h tr c t a đ Oxyz có g c O trùng v i A, tia Ox ch a AB, tia Oy ch a AD, tia Oz ch a ““ a Gi s c nh hình l p ph ng có đ d|i b ng a Đ t AN DM t t a z Khi ta có A 0;0;0 , B a;0;0 , D 0;a;0 , D' 0;a;a , t t t t M ;a ;0 , N 0; ; 2 C' D' t t ;t a; Do MN 2 N A ởa có t MN t a 2 B' A' 2 t 2 3t 2at a 2 B x M y D C Xét h|m s f t 3t 2at a2 H|m s n|y có đ th l| m t Tr n Đình C Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 23 34 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com parabol quay b lõm lên phía Do f t nh nh t v| ch t a a a 0;a nên MN nh nh t t M, N thu c đo n ”D “D t 3 1 DM BD, AN AD' 3 Vì Khi MN nh nh t ta có t ng ng cho a a a a nên MN ; ; 3 3 M t kh{c BD a;a;0 , AD 0;a;a nên a a a MN.BD a a 3 3 a a a MN.AD' a a 3 3 V y MN vuông góc v i ”D v| “D b ởr c h t ta tìm ph ng x;y;z vuông góc v i vec-t MN Đi u t ng đ ng v i: MN t 0;a t t x y t a z t 0;a 2 2 x z y 2 t ya 2 t 0;a x z y x z y ya Ch n 1;0;1 V y MN vuông góc v i m t đ ng th ng c đ nh nh n Chú ởa có k t lu n t Bài Cho tam gi{c “”C vuông t i A v| đ 1;0;1 l|m vec-t ch ph ng ng t l| MN song song v i m t m t ph ng c đ nh C{c m M N thay đ i đ ng th ng ng th ng vuông góc v i m t ph ng (ABC) t i m A cho MBC NBC a Ch ng minh r ng AM.AN không đ i b X{c đ nh v trí c a M N đ t di n MN”C có th tích nh nh t Gi i Ch n h tr c t a đ Oxyz có g c O trùng v i m “ c{c tia Ox Oy Oz l n l AM t trùng c{c tia “” “C Đ t AB b, AC c, AM m b c không đ i) Khi A 0;0;0 , B b;0;0 , C 0;c;0 , M 0;0;m Gi s N 0;0;n ởa có M”C x y z có ph{p vec-t b c m Tr n Đình C Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 1 1 ; ; ; b c m 24 35 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com 1 1 ; ; b c n x y z có ph{p vec-t b c n (NBC): z V y MBC NBC M b2 c2 mn b2 c2 m.n b2 c2 M t kh{c m nên n V y M v| N n m v hai phía c a A a ởa có AM.AN m n m.n b2 c2 b2 c2 không đ i x A b ởa có BC b;c;0 , BM b;0;m , BN b;0;n BM,BN 0;b n m ;0 B N C 1 V y VMNBC BM,BN BC bc n m 6 Áp d ng b t đ ng th c Cauchy ta có y 1 b2 c2 VMNBC bc n m bc.2 m n 6 b2 c2 D u đ ng th c x y v| ch m n bc b2 c2 V y VMNBC nh nh t M, N n m v hai phía c a “ v| AM AN Chú ta có th tính th tích t di n MN”C theo c{ch 1 VMNBC VMABC VNABC AM.S ABC AN.S 3 1 AM AN S ABC bc m n Bài AB.AC BC ABC Cho tam gi{c đ u “”C có c nh a I l| trung m c a ”C D l| m đ i x ng v i A qua I D ng đo n SD a b a vuông góc v i m t ph ng (ABC) Ch ng minh r ng: SAB SAC SBC SAD Gi i Ch n h tr c t a đ Oxyz có g c O trùng v i m I c{c tia Ox Oy l n l song song v| chi u v i tia DỞ t trùng c{c tia ID IC tia Oz Khi a D ;0;0 , a a a a a C 0; ;0 , B 0; ;0 , A ;0;0 , S ;0; 2 2 a 6 SA c t Iz t i trung m M c a Ở“ ởa có M 0;0; Tr n Đình C Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 36 25 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com a M t ph ng a a ;0;0 , B 0; ;0 , qua A Ở“” a 6 M 0;0; nên có ph S ng trình đo n ch n (SBA): 2x 2y 4z 1 a a a (SBA): z M v| có ph{p vec-t B 2 n1 ; ; a a a 6 D I ph ng M t Ở“C qua a a a 6 A ;0;0 , C 0; ;0 , M 0;0; nên có ph đo n ch n (SAC): 2x a ởa có n1.n2 x A C y ng trình 2 2y 4z v| có ph{p vec-t n2 ; ; a a a a a 6 2 2 4 0 a a a a a a Do SAB SAC b M t ph ng Ở”C có c p vec-t ch ph BC 0;a;0 0;1;0 ; ng l| a a a CS ; ; 2 V y Ở”C có vec-t ph{p n n3 , 3; 1; 6;0; xOz nên có ph{p vec-t n4 0;1;0 M t ph ng Ở“D trùng m t ph ng t a đ Do n3 n4 nên SBC SAD Bài Cho hình vuông “”CD C{c tia “m v| Cn vuông góc v i m t “”CD v| chi u C{c m M, N l n l t thu c Am, Cn Ch ng minh r ng BMN DMN MBD NBD Gi i Ch n h tr c t a đ Oxyz có g c O trùng v i m “ c{c tia Ox Oy, Oz l n l t trùng c{c tia “” “D “m Gi s hình vuông “”CD có c nh b ng a z m Đ t AM m, CN n Ta có M B a;0;0 , D 0;a;0 , M 0;0;m , n N N a;a;n , C a;a;0 M t ph ng ”MN có c p vec-t ch ph B ng BM a;0;m , A x BN 0;a;n Do ”MN có ph{p vec-t BM,BN am;an; a Tr n Đình C m; n;a M D t ph ng DMN có c p y C Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 37 26 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com vec-t ch ph ng DM 0; a;m , DN a;0;n Do DMN có ph{p vec-t DM,DN an;am;a2 V y BMN DMN m.n ởa có M”D Do N”D có ph{p vec-t v| n;m;a (1) 1 1 ; ; a a m ng BD a;a;0 , BN 0;a;n BD,BN an;an; a2 n;n; a (2) n n a a2 m.n a a m ta có u ph i ch ng minh V y MBD NBD T a2 x y z có ph{p vec-t l| a a m M t ph ng ”DN có c p vec-t ch ph 0 Bài Cho hình lăng tr đ u “”C “ ” C có t t c c{c c nh b ng M l| trung m c a ”” Ch ng minh r ng “ M vuông góc v i “C v| C” Gi i G i O l| trung m c a AB Ch n h tr c t a đ Oxyz có c{c tia Ox Oy l n l t trùng v i c{c tia OC O” tia Oz song song chi u v i tia ““ Gi s c{c c nh c a hình lăng tr b ng a Khi a a a a C ;0;0 , B 0; ;0 , A 0; ;0 , B' 0; ;a z a a a a ;0;a , M 0; ; , A' 0; ;a , C' 2 a V y A'M 0;a; a a AC' ; ;a 2 a a CB' ; ;a 2 3;1;2 C' B' 0;2; 1 A' M O A C y B 3;1;2 y Do 0, nên A'M AC' v| A'M CB' Bài Cho hình chóp đ u Ở “”CD đ{y có c nh b ng a G i M, N l n l Bi t r ng BM DN ởính th tích kh i chóp Ở “”CD t l| trung m c a SA, SC Gi i Ch n h tr c t a đ Oxyz có g c t a đ O l| t}m c a hình vuông “”CD c{c tia Ox Oy Oz l n l trùng c{c tia O“ O” a a a a ;0 , D 0; ;0 ,A ;0;0 , C ;0;0 , Đ t SO h Khi B 0; a a h h S 0;0;h , M ;0; , N ;0; M N l n l 2 2 2 2 Tr n Đình C t l| trung m c a SA, SC) Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 27 38 t T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com a a h a a h ; ; ; ; DN ; ởa có BM 2 2 2 2 2 2 z S ởa có BM.DN a2 a2 h2 a 10 0h M N a 10 V y VS.ABCD SO.SABCD Bài Cho hình chóp đ u Ở “”C đ{y có c nh b ng a G i M, N l n l t l| trung m c a SB, SC Bi t r ng AMN SBC ởính th tích hình chóp Ở “”C D A x O C B y Gi i Ch n h tr c t a đ Oxyz có O l| t}m tam gi{c đ u “”C c{c tia Oy Oz l n l t trùng c{c tia O” OỞ tia Ox h ng v i tia CA z S Đ t SO h Khi a a a a a A ; ;0 , B 0; ;0 , C ; ;0 , 2 2 N a h a a h S 0;0; h , M 0; ; , N ; ; 2 4 2 M t ph ng “MN có c p vec-t ch ph M C K ng a a h 3a a h AM ; ; , AN ; ; 2 4 2 A O B V y “MN có ph{p vec-t y AM,AN 3ah ; ah ; 5a 8 8 3 3ah 5a2 ; ah; 3 a a ;0 , S 0;0;h nên có ph M t ph ng (SBC) c t tr c Ox t i K ;0;0 v| qua B 0; ch n (SBC): x ng trình đo n 3x 3y z 1 a a h V y Ở”C có ph{p vec-t 3 ; ; a a h ởa có AMN SBC 9h h 3 5a2 h 0h a 12 1 a2 a3 a V y VS.ABC SO.SABC 3 12 24 Bài Cho hình chóp Ở “”CD có đ{y l| hình vuông c nh a tam gi{c Ở“” đ u G i M, N, P, K l n l l| trung m c a BC, CD, SD, SB a ởính kho ng c{ch gi a hai đ ng th ng MK v| “P b Ch ng minh r ng ANP ABCD Gi i Tr n Đình C Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 28 39 t T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com G i O l| trung m c a AB Ch n h tr c t a đ Oxyz có c{c tia Ox, Oy, Oz l n l t trùng c{c tia ON O” OỞ Khi z S a a a 3 A 0; ;0 , B 0; ;0 , N a;0;0 , S 0;0; , P a a a a a a a a 3 D a; ;0 , P ; ; , M ; ;0 , K 0; ; 4 2 4 a Đ ng th ng MK có vec-t ch ph a a a MK ; ; 2;1; 4 Đ ng th ng “P có vec-t ch ph a a a 3 AP ; ; 2 K ng l| A B O C ng l| x N M y 2;1; 3a a ởa có , 3; 4 2;0 , AK 0; ; 4 , AK 3a 3a V y d MK,AP , 15 b M t ph ng “PN có c p vec-t ch ph a a a NP ; ; 4 ng l| a a a 3 2;1; ; AP ; ; 2 Do “NP có ph{p vec-t l| , 3; 4 3;0 2;1; n1 1; 2;0 M t ph ng “”CD có ph{p vec-t l| n2 0;0;1 Do n1.n2 nên ANP ABCD Bài Trong h t a tr c đ Oxyz cho hình h p “”CD “ ” C D có A 0;0;0 , D 0;1;0 , D' 0;1;2 , B' 1;0;2 G i E l| m đ i x ng v i A qua B Đi m M thu c đo n CD cho m t ph ng “ ME t o v i m t “”” “ góc a Vi t ph b Vi t ph th a mãn tan ng trình m t ph ng “ ME ng trình m t c u Ở qua C ” D v| có t}m thu c m t ph ng “ ME Gi i D d|ng suy đ c t a đ c a c{c m A' 0;0;2 , z B1;0;0 , C 1;1;0 , C' 1;1;2 , E 2;0;0 Đ t DM t t 1 Khi M t;1;0 M t ph ng “ ME có c p vec-t A'M t;1; 2 , A'E 2;0; 2 Do “ ME có ph{p vec-t 1;0; 1 D' ch ph C' ng A'M, n 1;t 2; 1 M t ph ng “”” “ có ph{p vec-t n2 0;1;0 Tr n Đình C B' A' B A x E y D M C Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 40 29 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com t 2 ởa có cos cos n1 ,n2 2 t 2 2 t t t ) t 2 tan V y t 2 suy sin cos2 V y M 1;1;0 trùng v i m C) a M t ph ng “ ME có ph{p vec-t có ph n1 1;t 2; 1 1; 1; 1 1;1;1 v| qua m E 2;0;0 nên ng trình A'ME :1 x 2 1 y 0 1z hay A'ME : x y z b Ở qua C ” D nên có t}m I thu c c{c m t ph ng , l nl t l| c{c m t ph ng trung tr c c a C” CD qua trung V y m K 1; ;1 c a C” v| có ph{p vec-t CB' 0; 1;2 : y 21 z 1 2y 4z qua trung Do 1 m L ;1;1 c a CD v| có ph{p vec-t D'C 1;0; 2 2 :1 x 21 y 1 z 1 2x 4z x y z 1 V y t a đ c a I l| nghi m c a h : 2y 4z I ; ;1 2 2x 4z M t c u Ở có b{n kính R IC 2 1 1 V y S : x y z 1 2 2 Bài Cho t di n O“”C vuông t i O C{c m t ph ng (OBC), (OCA), (OAB) t o v i m t ph ng (ABC) c{c góc , , ng ng G i SO , SA , SB , SC l n l t t l| di n tích c{c m t đ i di n v i c{c đ nh O, A, B, C c a t di n Ch ng minh r ng: a OH OA OB OC2 v i H l| hình chi u vuông góc c a O “”C b SO2 SA2 SB2 SC2 Gi i Ch n h t a đ Oxyz nh hình v Gi s OA a, OB b, OC c O 0;0;0 , A a;0;0 , B 0;b;0 , C 0;0;c a M t ph ng “”C có ph ng trình x y z 1 a b c Tr n Đình C Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 30 41 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com OH d O, ABC a OH OH2 a b OA 2 z b C c2 c2 OB2 H OC2 x O b Do c{c tam gi{c O“” O“C O”C l| c{c tam gi{c vuông t i O nên S2A SOBC 1 b2 c2 OB.OC S2A 2 ng t ta có S2B A B y c2 a2 a2 b2 , SC 4 1 2 2 AB,AC b c c a a2 b2 S2O S2 ABC S2A S2B S2C 2 Cho hình ch nh t “”CD có AB a, AD b C{c tia “m v| Cn h ng v| vuông góc v i M t kh{c S Bài ABC t thay đ i c{c tia “m Cn cho MBD NBD m t ph ng (ABCD) C{c m M, N l n l Ch ng minh r ng AM.CN không đ i Gi i t a tr c đ Oxyz nh hình v Ch n h Gi s AM m, CN n m,n ởa có M 0;0;m , N a;b;n A 0;0;0 , B a;0;0 , D 0;b;0 , C a;b;0 z m n M N 1 1 M t ph ng M”D có vec-t ph{p n n ; ; a b m B M t ph ng N”D có vec-t ph{p n n' NB,ND A x Do NB 0; b; n , ND a;0; n nên 1 1 n' bn;an; ab abn ; ; a b n D MBD NBD n.n' 12 a Do Bài b mn a b a b 2 AM.CN const mn a b a b2 Cho hình chóp đ u Ở “”CD đ{y có c nh b ng a G i M, N l n l 2 C y 2 O l| t}m c a đ{y “”CD ”i t MN t o v i m t ph ng “”CD góc 30 t l| trung m c a Ở“ v| ”C z a Ch ng minh r ng: SO MN b ởính góc gi a MN v| Ở”D S Gi i Ch n h tr c t a đ Oxyz nh a a B ;0;0 , C 0; ;0 , M hình v O 0;0;0 , a a a N ; ;0 , A 0; ;0 Gi SO h h Khi Tr n Đình C s D C N O A y B x Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 31 42 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com a h a a h S 0;0;h , M 0; ; MN ; ; 2 2 ng trình z v| có vec-t ph{p n n 0;0;1 , suy sin 300 a M t ph ng “”CD có ph n.MN n MN MN t o v i “”CD góc 300 Do h 5a a 30 h hay h h2 6 2a 2a h 2 5a 2h 16 4 V y SO h a 30 2 a a h 2 a a 5a a 30 M t kh{c MN 24 2 V y SO MN b M t ph ng Ở”D có ph ng trình y v| có vec-t ph{p n n ' 0;1;0 a a a 30 MN ; ; 12 G i Bài a 15 l| góc gi a MN v| Ở”D ta có sin n ' MN a 30 Cho hình chóp Ở “”C có Ở“ vuông góc v i m t (ABC) ởam gi{c “”C vuông t i B, n '.MN AB a, BC b Đ ng th ng SC t o v i m t ph ng “”C góc 600 ởính th tích hình chóp v| b{n kính m t c u ngo i ti p hình chóp Gi i Ch n h t a đ Oxyz nh hình v Gi s SA h B 0;0;0 , A a;0;0 , C 0;b;0 , S a;0;h z S SC a;b; h ng trình z n 0;0;1 l| vec-t ph{p M t ph ng “”C có ph n c a (ABC) Do SC t o v i “”C góc 600 nên sin 600 n.SC n SC Gi s h a b2 h C h a b2 I x ; y0 ;z0 l| t}m c a m t c u ngo i ti p hình chóp ta có Tr n Đình C y B A x Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 43 32 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com IA IB2 IC2 IS2 x 02 y02 z 02 x a y02 z 02 x 02 y0 b z 02 x 02 y02 z a b a b2 a b x ; y0 ;z 2 G i l| b{n kính m t c u ngo i ti p hình chóp ta có R IB x 02 y02 z02 a b2 G i V l| th tích hình chóp ta có 1 V SA.S ABC SA.AB.BC ab a b2 6 Bài Cho hình chóp đ u Ở “”C đ{y có c nh b ng a M, N l n l t l| trung m c a SA, SC Bi t BM AN ởính th tích v| b{n kính m t c u ngo i ti p hình chóp Ở “”C Gi i G i O l| t}m c a tam gi{c đ u “”C v| K l| trung m c a z a a a , AO , KB KC Gi s ”C OK AK SO h h Ch n h tr c t a đ Oxyz nh hình v S Khi a a a ;0 , A 0; ;0 , a a C ; O 0;0;0 , B ; ;0 , 2 S 0;0;h I A C O a h a a h M 0; ; , N ; ; 12 x K y B a a h a 5a h ; , AN ; ; BM ; 2 12 Do BM AN nên BM.AN N M a 15a h 42 0h a 36 a 42 a a 14 24 G i I l| t}m c a m t c u ngo i ti p hình chóp d th y I SO nên I 0;0;m G i V l| th tích hình chóp ta có V SO.S ABC ởa có IA IS2 a 42 a2 42 5a a2 m2 a a.m m2 m m2 m 3 42 V y R IA Bài a 25a 9a 168 42 Cho m M n m góc tam di n vuông Oxyz M t ph ng tia Ox, Oy, Oz l n l thay đ i qua M v| c t c{c t t i c{c m ph}n bi t “ ” C ởìm gi{ tr nh nh t c a th tích t di n OABC Gi i Ch n h t a đ Oxyz nh hình v Tr n Đình C Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 33 44 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Gi s M x ; y0 ;z0 v| m t ph ng c t Ox, Oy, Oz t i c{c m A a;0;0 , B 0;b;0 , C 0;0;c Khi m t ph ng C có ph x y z 1 a b c x y z nên a b c ng trình ởa có VOABC abc Vì M Suy 33 x y0 z (b t đ ng th c Cô-si) abc abc 27x y0 z0 VOABC z M y 27x y0 z0 a 3x x y0 z x y b 3y0 a b c c 3z D u B O A x Bài Cho hai đ ng th ng chéo a b vuông góc v i nhau, nh n “” l|m đo n vuông góc chung (A thu c a, B thu c b C{c m M, N l n l t thay đ i a b cho MN AM BN Ch ng minh r ng kho ng c{ch t trung m O c a đo n AB t i đ ng th ng MN không đ i T suy MN ti p xúc v i m t c u đ ng kính “” Gi i K Ay b D th y Ay a , Ay AB z Ch n h t a đ Oxyz nh hình v Gi s AB h, AM m, BN n h,m,n N B Khi A 0;0;0 , B 0;0;h , M m;0;0 , b h N 0;n;h , O 0;0; 2 Theo gi thi t MN AM BN nên ta có a m n h m n h 2mn 2 y O A M x h ởa có MN m;n;h , OM m;0; 2 hn hm MN,OM ; ; mn 2 Do d O, MN MN,OM MN h n h m2 m2 n 4 m n2 h2 2mn 2m3n m2 n mn h 4 2 m2 n 2mn V y kho ng c{ch t O đ n MN không đ i v| b ng AB Do MN ti p xúc v i m t c u đ ng kính “” Bài ởrong không gian t a đ cho c{c m A 0;0;1 , D 0;2;0 C{c m ” v| C thay đ i tr c Ox cho ACD ABD X{c đ nh v trí c a ” v| C đ th tích t di n ABCD nh nh t vi t ph ng trinh m t ph ng ng v i v trí ch a “D v| t o v i c{c m t (ACD), (ABD) nh ng góc b ng Gi i Tr n Đình C Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 34 45 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Gi s B b;0;0 , C c;0;0 Khi “”D có ph ng trình x y z 1 b z 1 v| có vec-t ph{p n n ; ;1 b M t ph ng “CD có ph ng trình x y z v| có vec-t ph{p n c C A 1 n ' ; ;1 c O VABCD VBOAD VCOAD BO CO OAD B x BO CO BO.CO 3 D u x y Khi mp “OD t o v i c{c m t ph ng (ACD), (ABD) nh ng góc b ng v| m t ph ng BO CO .S y D 1 Do ACD ABD nên n.n ' bc bc V y ta có OB.OC v| ” C n m kh{c phía đ i v i O ởa có qua “D v| vuông góc v i (AOD) c)ng t o v i c{c m t ph ng (ACD), (ABD) nh ng góc b ng “OD có ph ng trình x v| có vec-t ph{p n n 1;0;0 có vec-t 0. x 0 1. y 2. z 1 hay y 2z Bài gian M t ph ng 46 ởrong không ph{p n t a n1 n, AD 0;1;2 đ Oxyz cho A 0; 1;0 , C 2;1;0 , B' 2; 1;2 , D' 0;1;2 C{c m M, N l n l Do hình h p có ph ng trình “”CD “ ” C D có t thay đ i c{c đo n “ ” v| ”C cho D'M AN a Ch ng minh r ng MN vuông góc v i m t đ ng th ng c đ nh b Khi M l| trung m c a “ ” vi t ph ng trình m t ph ng (DMN) Gi i ởa có AC 2;2;0 , B'D' 2;2;0 AC B'D' v| AC B'D' AC BD v| AC BD A' M “”CD l| hình vuông ng t , ta ch ng minh đ c c{c m t l i c a hình h p l| nh ng hình vuông “”CD “ ” C D l| hình l p ph ng Gi s C N “”CD có vec-t ph{p n n 0;0;8 “ ” C D có ph B' D n AC,B'D' n 0;0;8 “”CD có ph C' D' A ng trình z B ng trình z T d d|ng x{c đ nh đ c c{c đ nh l i c a hình l p ph ng l| B 2; 1;0 , D 0;1;0 , A' 0; 1;2 , C' 2;1;2 Tr n Đình C Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 35 46 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com “ ” có ph x 2t ng trình y 1 ”C có ph z x ng trình y 1 2s z t,s Do M, N n m c{c đo n “ ” v| ”C nên M 2t; 1;2 , N 2; 1 2s;0 v i t 1, s Theo gi thi t D'M AN D'M.AN t s MN 2t;2t; 2 a Xét u 1;1;1 , ta th y MN.u t nên MN vuông góc v i c{c đ ng th ng có ph ng u , suy MN vuông góc v i m t đ ng th ng c đ nh b Khi M l| trung m c a “ ” t s ởa có M 1; 1;2 , N 2;0;0 MN 1;1; 2 , DM 1; 2;2 MN,DM 2; 4; 3 (DMN) qua D 0;1;0 v| có vec-t ph{p n n1 2;4;3 V y DMN có ph Tr n Đình C ng trình 2x 4y 3z Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 36 47 [...]... G i M, N l n l t là trung đi m c a AB và BC Tính th tích kh i chóp S.ABCD và cos c a góc gi a hai đ ng th ng SM và DN https://www.facebook.com/ThayCaoTuan 11 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com GI I BÀI TOÁN HÌNH H C KH4NG GIAN B NG PH NG PHÁP T A Đ Cho hình lăng tr đ ng “”C “ ” C đ{y “”C l| tam gi{c vuông t i A, AB a,AC 2a,AA' b Bài G i M, N l n l t l| trung đi m c a ”” v| “” a... i O l| t}m c a “”CD v| I J K l n l t l| trung đi m SO, SD, DA a X{c đ nh đo n vuông góc chung c a IJ v| “C b ởính th tích c a kh i t di n AIJK Gi i a IJ l| đ ng trung bình c a tam gi{c ỞOD IJ OD IJ SO hay IJ IO SO ABCD SO AC hay IO AC T v| z (1) S (2) suy ra IO l| đo n vuông góc chung c a IJ v| “C J b Góc gi a c nh bên ỞD v| đ{y “”CD l| SDO 450 I ởam gi{c ỞOD vuông c}n t i O... M, N, P l n l 8 Cho hình l p ph 2 x2 ax a2 x y ra x a 2 t l| trung đi m c a c{c c nh ”” CD “ D ng “”CD “ ” C D có c nh b ng a G i M v| N l n l v| ”” Ch ng minh AC' AB'D' v| tính th tích c a kh i t di n “ CMN t l| trung đi m c a AD Gi i Tr n Đình C Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 13 2 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Ch n h tr c t a đ Oxyz có nh hình D 0;a;0 , A' 0;0;a ,... MN.BC 0 MN BC V y MN l| đ Bài ng vuông góc chung c a Ở“ v| ”C đpcm Cho kh i lăng tr tam gi{c đ u có c nh đ{y b ng a v| AB' BC' ởính th tích c a kh i lăng tr Gi i G i O l| trung đi m c a AC Ch n h tr c t a đ có g c t a đ l| O tia Ox đi qua “ tia Oy đi qua ” Tr n Đình C Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 4 15 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com a a 3 ;0 , Khi đó A ;0;0 ,... ph ng vuông góc v i (ABCD) G i M, N, P l n l trung đi m c a SB, BC, CD Ch ng minh r ng AM BP v| tính th tích c a kh i t di n CMNP t l| Gi i Tr n Đình C Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 16 5 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Ch n h tr c t a đ Oxyz có g c O trùng v i “ tia Ox đi qua ” tia Oy đi qua D tia Oz cùng h z ng v i vec-t HS S H l| trung đi m c a AD) khi đó A 0;0;0 , B a;0;0 ...T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chuyên đ 8: “PPT trong không gian Cao V n Tu n – 097530627 BƠi 10: Cho hình h p ch nh t ABCD.A1B1C1D1 có AB = a, AD = 2a, AA1 = a a) Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng AD1 và B1C AM b) G i M là đi m chia đo n... t di n ỞCDE có d ng x2 y2 z2 2Mx 2Ny 2Pz Q 0 Tr n Đình C Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 24 13 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com a2 2Pa Q 0 a2 a2 2Ma 2Na Q 0 M t c u đi qua Ở C D E nên 2 4a 4Na Q 0 2 a 2Na Q 0 a 3a 3a ng trình trên ta có M , N , P , Q 2a2 2 2 2 Gi i h ph a 3a 3a V y m t c u ngo i ti p t di n ỞCDE có t}m... 2 2 2 2 C' D' t t ;t 2 a; Do đó MN 2 2 N A ởa có 2 t MN t 2 a 2 2 B' A' 2 2 t 2 2 3t 2 2at a 2 B x M y D C Xét h|m s f t 3t 2 2 2at a2 H|m s n|y có đ th l| m t Tr n Đình C Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 23 34 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com parabol quay b lõm lên phía trên Do đó f t nh nh t khi v| ch khi t a 2... V y d A', AB'K 3a2 3a2 2a : 12 8 3 Bài Cho hình l p ph ng “”CD “ ” C D có c nh b ng a G i M l| trung đi m c a c nh “D v| N l| t}m c a hình vuông CC D D ởính b{n kính m t c u ngo i ti p t di n ”C MN Gi i Tr n Đình C Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 18 7 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Ch n h tr c t a đ “ xyz nh hình v z ởa có A' 0;0;0 , B' a;0;0 , C' a;a;0 , D' 0;a;0... 19 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com x a 2 2 y a 2 2 x y z z 1 0 1 hay h a 2 a 2 h 3 3 2 2 h 1 h 3 v y kho ng c{ch t S t i mp “”I l| d 1 a 2 2 2 1 a 2 2 2 2 1 h 3 2 2 a2 2 a2 9 hay d h2 2ah 4h2 9a2 Bài Cho hình l p ph ng “”CD “ ” C D có c nh b ng 1 G i M l| trung đi m c a c nh ”C ởính kho ng c{ch