Phương pháp tọa độ hóa giải bài toán hình học không gian

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Lý thuyết cần nhớ a) Đặt hệ trục với hình lập phương, hình hộp chữ nhật Ta chọn gốc tọa độ đỉnh hình lập phương hình hộp chữ nhật chọn tia Ox, Oy, Oz ba cạnh hình xuất phát từ đỉnh z A' D' B' C' x A=O D B C y b) Đặt hệ trục với hình tứ giác chóp z O y x c) Đặt hệ trục tọa độ với hình tam diện vuông z O x y d) Đặt hệ trục tọa độ với hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy, đáy hình vuông, hình chữ nhật W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai z x O y Đặt hệ trục tọa độ với hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy, đáy có yếu tố vuông góc đỉnh mà cạnh bên vuông góc: Ví dụ hình thang vuông, tam giác vuông, tứ giác có hai cạnh vuông góc… z z x O O x y y e) Đặt hệ trục với hình chóp tam giác S z y G O x f) Đặt hệ trục với hình lăng trụ đứng, đáy tam giác vuông z y O x Trên số dạng số loại hình khối mà tọa độ hóa cách đơn giản Các em lưu ý tọa độ hóa khối đa diện Chỉ cần xác định đường cao khối đa diện thông thường lý thuyết ta đặt gốc tọa độ chân đường cao khối đa diện; trục cao (trục Oz) đường cao, sau ta dựng hai tia lại Nhưng thực hành giải toán tùy toán để đặt hệ trục tìm tọa độ đỉnh liên quan đến hình khối cần tính W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai tìm cách dễ dàng không phức tạp Ví dụ toán sau: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, mặt phẳng (SBC) tạo với đáy góc 600 Mặt bên (SAB) vuông góc với đáy, tam giác SAB cân S Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SA, BC Hướng dẫn giải: Ta có định lý: “Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau, mặt dựng đường thẳng vuông góc với giao tuyến đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia” Áp dụng vào hình chóp này: ta thấy mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy, mà giao tuyến hai mặt phẳng AB Ta cần tìm chiều cao cho nên, bạn cần từ S dựng SO vuông góc với AB, O thuộc AB, tam giác SAB cân S O trung điểm AB Tức bạn xác định chiều cao chân đường vuông góc Vậy có hệ trục sau: S z A C x O B y a a 3a Tính toán tọa độ điểm, ta có: O(0;0;0), A(0;  ;0), B(0; ;0),C(a;0;0),S(0;0; ) 2 Áp dụng công thức tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: SA, BC ta có:    | SA, BC AB |  , ta thu kết cần tính d(SA,BC)      | SA, BC |   Các ví dụ Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi N trung điểm B’C’ a Chứng minh rằng: AC’ vuông góc với (A’BD) b Tính thể tích khối tứ diện ANBD’ c Tính góc khoảng cách hai đường thẳng AN BD’ d Tính khoảng cách từ C đến mp(AC’D) W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Hướng dẫn giải Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ Khi ta có tọa độ đỉnh hình lập phương sau: A A '(0;0;0), B'(a;0;0), D '(0;a;0),C '(a;a;0), A(0;0;a), B(a;0;a), a C(a;a;a), D(0;a;a), N(a; ;0) z D C B a Mục đích ta chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Ta véc tơ phương đường thẳng phương với véc tơ pháp tuyến mp (A’BD)    Ta có: AC'  (a;a; a),  A 'B, A 'D  (a ; a ;a ) véctơ   D' y A'=O x B' C' pháp tuyến mặt phẳng (A’BD) Ta thấy hai véc tơ phương Vì ta có AC’ vuông góc với mp (A’BD) b Tính thể tích tứ diện ANBD’ Ta có công thức tính thể tích tứ diện là:    VANBD '  |  AN, AB AD ' |      a   Ta có:  AB, AN   0;a ;  , AD '  (0;a; a),     V     AB, AN  AD '  a Do thể tích tìm là:   a3 12 c Để tính góc hai đường thẳng khoảng cách hai đường thẳng ta sử dụng hai công thức sau:      | a.b | | [a ,b].AB |  Cos(a, b)=|cos(a,b)|=   ;d(a, b)  | a || b | | [a ,b] |   Với a, b véc tơ phương đường thẳng a b Đường thẳng a,b qua hai điểm A B   | AN.BD ' | Do ta có góc hai đường thẳng AN BD’ là: cos(AN,BD')=    | AN || BD ' |   |  AN,BD ' AB | a 26  Khoảng cách hai đường thẳng là: d(AN,BD')       26 |  AN,BD ' |   d Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (AC’D) W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Viết phương trình mp (AC’D), Mặt phẳng (AC’D) có véc tơ pháp tuyến phương với    [ AC ',AD]=(-a ;0;-a ) Ta chọn véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (AC’D) n  (1;0;1) Vì phương trình mặt phẳng (AC’D) là: x + z –a =0 Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm a đến mặt phẳng ta có khoảng cách là: d(C,(AC 'D))  Bài 2: Cho hình lập phương ABCD.A 'B'C'D' có cạnh a a Chứng minh đường chéo A'C vuông góc với mặt phẳng (AB'D') b Chứng minh giao điểm đường chéo A'C mặt phẳng (AB'D') trọng tâm tam giác AB' D ' c Tìm khoảng cách hai mặt phẳng (AB'D') (C'BD) d Tìm cosin góc tạo hai mặt phẳng (DA 'C) (ABB'A ') Hướng dẫn giải: Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau: O  A(0;0;0) ; A '(0;0;a) B(a;0;0) ; B'(a;0;a) C(a;a;0) ; C'(a;a;a) D(0;a;0) ; D'(0;a;a)    A 'C  (a;a; a)     a) Ta có:  AB'  (a;0;a)     AD '  (0;a;a)    W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai   2   A 'C  AB'  A 'C.AB'  a   a     Vì    Nên A'C  mp(AB'D')  2   A 'C  AD' A 'C.AD'   a  a       b) G trọng tâm tam giác AB' D '  xt    (t  R) Phương trình tham số đường thẳng A'C A 'C :  y  t     z  a  t   Ta có:  AB', AD '  (a ; a ;a )    Suy ra: n1  (1;1; 1) VTPT (AB’D’) Vậy: Phương trình tổng quát mặt phẳng (AB'D') (AB'D') : x  y  z  Gọi G  A'C  (AB'D') Toạ độ giao điểm G đường thẳng A'C mặt phẳng (AB'D') nghiệm hệ:  a   x  x  t         a a 2a   a y  t    y  Suy ra: G  ; ;  (1)   3 3  z  at        z  2a x  y  z       xA  xB'  xD' a   x   G   3    y  y B'  y D ' a  Mặt khác:  (2) yG  A  3    z  z B'  z D ' 2a  zG  A    3   Vậy giao điểm G đường chéo A'C mặt phẳng (AB'D') trọng tâm tam giác AB' D '   c) Ta có:  C'B, C'D  (a ;a ; a )   Suy phương trình tổng quát mặt phẳng (C'BD) : x  y  z  a  Ta có: (AB'D') : x  y  z  (C'BD) : x  y  z  a  W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai  (AB'D') // (C'BD)  d (AB'D '), (C'BD)  d B, (AB'D ')  a d) Tính cos (DA 'C),(ABB'A ')  Oy  (ABB'A ')  Vec tơ pháp tuyến (ABB'A ') j  (0 ; ; 0)    DA ', DC  (0;a ; a )  a (0;1; 1)    Suy vectơ pháp tuyến (DA 'C) : n  (0;1; 1)  Vectơ pháp tuyến (ABB'A ') j  (0 ; ; 0)  Vectơ pháp tuyến (DA 'C) : n  (0;1; 1) cos (DA 'C),(ABB'A ')   (DA 'C),(ABB'A ')  45o Bài Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi AC cắt BD gốc toạ độ O Biết A(2;0;0) ; B(0;1;0) ; S(0;0; 2) Gọi M trung điểm SC Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SA BM Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD N Tính thể tích khối chóp S.ABMN Hướng dẫn giải: Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau: O(0;0;0) ; A(2;0;0) ; B(0;1;0) ; S(0;0; 2) Ta có: W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai C(2;0;0) ; D(0; 1;0) ; M(1;0; 2)   SA  2;0; 2 ; BM  1; 1;     a) Gọi  góc SA BM Sử dụng công thức tính góc hai đường thẳng   SA.BM   Ta có: cos   cos SA, BM        30o SA BM   Chứng minh SA BM chéo Sử dụng công thức tính khoảng cách hai đường thẳng chéo       [SA,BM]  (2 2;0; 2) ; AB  (2;1;0) [SA, BM].AB      [SA,BM].AB 2 d(SA,BM)      84 [SA, AB] b) Tính thể tích khối chóp S.ABMN Dễ dàng nhận thấy: MN  (ABM)  (SCD) VS.ABMN  VS.ABM  VS.AMN Trong đó: VS.ABM     [SA,SM].SB VS.AMN     [SA,SM].SN MN / /AB / /CD  N trung điểm SD   Toạ độ trung điểm N 0;  ;       SA  (2;0; 2 2) ; SM(1;0;  2) SB  (0;1; 2 2) ;    [SA,SM]  (0;4 2;0) VS.ABM   SM(1;0;  2)    2 [SA,SM].SB   6 W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai VS.AMN     2 [SA,SM].SN   6 Vậy VS.ABMN  VS.ABM  VS.AMN  (đvtt) Bài Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0; 3;0) ; B(4;0;0) ; C(0;3;0) ; B1 (4;0;4) Tìm toạ độ đỉnh A1 ; C1 Viết phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCC1B1 ) Gọi M trung điểm A1B1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, M song song với BC1 Hướng dẫn giải: Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau: O(0;0;0) ; Với: A(0; 3;0) ; B(4;0;0) ; C(0;3;0) ; B1 (4;0;4) A1 (0; 3; 4)      C1 (0;3;4) Toạ độ trung điểm M A1B1   M  2;  ;4)   Toạ độ hai đỉnh A1 ; C1 Ta có: A1 (0; 3;4)  mp(Oyz) C1 (0;3;4)  mp(Oyz) + Phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCC1B1 ) Viết phương trình mp (BCC1B1 ) W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Tìm bán kính mặt cầu (S): R  d A,(BCC1B1 )    Vectơ pháp tuyến mp (BCC1B1 ) n  [BC, BB1 ]  (12; 16; 0) Phương trình tổng quát mp (BCC1B1 ) : (BCC1B1 ) : 3x  4y 12  24 Bán kính mặt cầu (S): R  Phương trình mặt cầu (S): (S) : x  (y  3)  z  576 25 + Phương trình mặt phẳng (P): Tìm vectơ pháp  BC1  (4;3;4) tuyến     AM  (P)  n  [AM, BC1 ] (P)   P  BC / / (P)      AM  2; ; 4 ;      Vectơ pháp tuyến (P): n P  [AM, BC1 ]  (6; 24;12) Phương trình mặt phẳng (P): (P) : x  4y  2z  12  W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 10 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Website Hoc247.vn cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng I Luyện Thi Online Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90% - Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng - H2 khóa tảng kiến thức luyên thi môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - H99 khóa kỹ làm luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội II Lớp Học Ảo VCLASS Học Online Học lớp Offline - Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh đưa đón học - Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên - Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn - Mỗi lớp từ đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, hỗ trợ kịp thời đảm bảo chất lượng học tập Các chương trình VCLASS: - Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia - Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn - Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao, Toán Chuyên Toán Tiếng Anh danh cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, III Uber Toán Học Học Toán Gia Sư Kèm Online - Gia sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Giáo viên Toán Giảng viên ĐH Day kèm Toán câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay chương trình Toán Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,… - Học sinh lựa chọn GV yêu thích, có thành tích, chuyên môn giỏi phù hợp - Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS PH đánh giá lực khách quan qua kiểm tra độc lập - Tiết kiệm chi phí thời gian hoc linh động giải pháp mời gia sư đến nhà W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 11 ... Lý, Hóa Học Sinh Học - H99 khóa kỹ làm luyện đề thi thử: Toán, Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội II Lớp Học Ảo VCLASS Học Online Học lớp Offline - Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh đưa đón học. .. Đức Tấn - Hoc Toán Nâng Cao /Toán Chuyên /Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao, Toán Chuyên Toán Tiếng Anh danh cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, III Uber Toán Học Học Toán Gia Sư... trục với hình chóp tam giác S z y G O x f) Đặt hệ trục với hình lăng trụ đứng, đáy tam giác vuông z y O x Trên số dạng số loại hình khối mà tọa độ hóa cách đơn giản Các em lưu ý tọa độ hóa khối