Đang tải... (xem toàn văn)
Chỉ cần chúng ta xác định được đường cao của khối đa diện đó và thông thường trên lý thuyết ta đều đặt gốc tọa độ là chân đường cao của khối đa diện; trục cao (trục Oz) là đường cao[r]
(1)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HĨA GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
1 Lý thuyết cần nhớ
a) Đặt hệ trục với hình lập phương, hình hộp chữ nhật
Ta chọn gốc tọa độ đỉnh hình lập phương hình hộp chữ nhật chọn tia Ox, Oy, Oz ba cạnh hình xuất phát từ đỉnh
b) Đặt hệ trục với hình tứ giác chóp
c) Đặt hệ trục tọa độ với hình tam diện vng
d) Đặt hệ trục tọa độ với hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy, đáy hình vng, hình chữ nhật
z
y x
O
y
x z
O
x
y B'
A'
D' C'
C
D A=O
z
(2)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang |
Đặt hệ trục tọa độ với hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy, đáy có yếu tố vng góc đỉnh mà cạnh bên vng góc: Ví dụ hình thang vng, tam giác vng, tứ giác có hai cạnh vng góc…
e) Đặt hệ trục với hình chóp tam giác
f) Đặt hệ trục với hình lăng trụ đứng, đáy tam giác vuông
Trên số dạng số loại hình khối mà tọa độ hóa cách đơn giản Các em lưu ý tọa độ hóa khối đa diện Chỉ cần xác định đường cao khối đa diện thơng thường lý thuyết ta đặt gốc tọa độ chân đường cao khối đa diện; trục cao (trục Oz) đường cao, sau ta dựng hai tia cịn lại Nhưng thực hành giải tốn tùy toán để đặt hệ trục tìm tọa độ đỉnh liên quan đến hình khối cần tính
y
x z
O
y
x z
y
x z
O O
z
x y
O S
G
z
y
(3)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang |
có thể tìm cách dễ dàng khơng q phức tạp
Ví dụ tốn sau: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, mặt phẳng (SBC) tạo với đáy góc 600 Mặt bên (SAB) vng góc với đáy, tam giác SAB cân
tại S Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SA, BC
Hướng dẫn giải:
Ta có định lý: “Nếu hai mặt phẳng vng góc với nhau, mặt dựng đường thẳng vuông góc với giao tuyến đường thẳng vng góc với mặt phẳng kia”
Áp dụng vào hình chóp này: ta thấy mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt đáy, mà giao tuyến hai mặt phẳng AB Ta cần tìm chiều cao cho nên, bạn cần từ S dựng SO vng góc với AB, O thuộc AB, tam giác SAB cân S O trung điểm AB Tức bạn xác định chiều cao chân đường vng góc
Vậy có hệ trục sau:
Tính tốn tọa độ điểm, ta có: O(0; 0; 0), A(0; a;0), B(0; ; 0),C(a;0;0),S(0;0;a 3a)
2
Áp dụng công thức tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: SA, BC ta có: | SA, BC AB |
d(SA, BC)
| SA, BC |
, ta thu kết cần tính
2 Các ví dụ
Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi N trung điểm B’C’
a Chứng minh rằng: AC’ vng góc với (A’BD)
b. Tính thể tích khối tứ diện ANBD’
c Tính góc khoảng cách hai đường thẳng AN BD’
d Tính khoảng cách từ C đến mp(AC’D) x
y z
O A
B
(4)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | z x y A D C C' A'=O
D'
B' B
Hướng dẫn giải.
Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ
Khi ta có tọa độ đỉnh hình lập phương sau: A '(0;0;0), B'(a; 0;0), D '(0; a; 0),C '(a; a; 0), A(0;0;a), B(a; 0; a),
a C(a; a; a), D(0;a;a), N(a; ;0)
2
a Mục đích ta chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng
Ta véc tơ phương đường thẳng phương với véc tơ pháp tuyến mp (A’BD)
Ta có: 2
AC '(a; a; a), A 'B, A ' D ( a ; a ; a )
véctơ pháp tuyến mặt phẳng (A’BD)
Ta thấy hai véc tơ phương Vì ta có AC’ vng góc với mp (A’BD)
b Tính thể tích tứ diện ANBD’ Ta có cơng thức tính thể tích tứ diện là:
ANBD '
1
V | AN, AB AD ' |
6 Ta có:
2 a a
AB, AN 0; a ; , AD ' (0;a; a), AB, AN AD '
2
Do thể tích tìm là:
3
a V
12
c Để tính góc hai đường thẳng khoảng cách hai đường thẳng ta sử dụng hai công thức sau:
| a.b | | a b AB |
a b ;d(a, b)
| a || b | | a b |
[ , ] Cos(a, b)=|cos( , )|=
[ , ]
Với a, b véc tơ phương đường thẳng a b Đường thẳng a,b qua hai điểm A B
Do ta có góc hai đường thẳng AN BD’ là: | AN.BD ' | | AN || BD ' |
cos(AN,BD')=
Khoảng cách hai đường thẳng là: d(AN, BD ') | AN,BD ' AB | a 26 26 | AN,BD ' |
(5)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang |
Viết phương trình mp (AC’D), Mặt phẳng (AC’D) có véc tơ pháp tuyến phương với
2
AC ' AD
[ , ]=(-a ;0;-a )
Ta chọn véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (AC’D) n(1;0;1)
.Vì phương trình mặt phẳng (AC’D) là: x + z –a =0 Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ta có khoảng cách là: d(C, (AC ' D)) a
2
Bài 2: Cho hình lập phương ABCD.A 'B'C 'D 'có cạnh a
a Chứng minh đường chéo A 'C vng góc với mặt phẳng (AB'D ')
b Chứng minh giao điểm đường chéo A 'C mặt phẳng (AB'D ') trọng tâm tam giác AB' D '
c Tìm khoảng cách hai mặt phẳng (AB'D ') (C' BD) d Tìm cosin góc tạo hai mặt phẳng (DA 'C) (ABB'A ')
Hướng dẫn giải:
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyznhư sau: OA(0;0;0) ; A '(0;0;a) B(a;0;0) ; B'(a;0;a)
C(a;a;0) ; C'(a;a;a) D(0;a;0) ; D '(0;a;a)
a) Ta có:
A 'C (a;a; a) AB' (a;0;a) AD ' (0;a;a)
(6)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang |
Vì
2
2
A 'C.AB' a a A 'C AB'
A 'C AD'
A 'C.AD' a a
Nên A 'Cmp(AB' D ')
b) G trọng tâm tam giác AB' D '
Phương trình tham số đường thẳng A 'C
x t
A 'C : y t (t R)
z a t
Ta có: 2
AB ', AD ' ( a ; a ; a )
Suy ra: n1(1;1; 1)
VTPT (AB’D’)
Vậy: Phương trình tổng quát mặt phẳng (AB'D ') (AB'D ') : x y z Gọi GA 'C(AB'D ')
Toạ độ giao điểm G đường thẳng A 'C mặt phẳng (AB'D ')là nghiệm hệ: a
x
x t 3
y t a
y
z a t
2a
x y z z
3
Suy ra: G a a 2a; ; 3
(1)
Mặt khác:
A B ' D ' G
A B ' D ' G
A B ' D ' G
x x x a
x
3
y y y a
y
3
z z z 2a
z 3 (2)
Vậy giao điểm G đường chéo A 'C mặt phẳng (AB'D ') trọng tâm tam giác AB' D '
c) Ta có: 2
C 'B, C ' D (a ;a ; a )
Suy phương trình tổng quát mặt phẳng (C'BD) : x y z a Ta có: (AB'D ') : x y z
(7)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang |
(AB'D ') // (C' BD) d (AB'D '), (C' BD) d B, (AB'D ') a
d) Tính cos (DA 'C),(ABB' A ')
Oy(ABB'A ')Vec tơ pháp tuyến (ABB'A ')là j(0 ; ; 0)
2 2
DA ', DC (0;a ; a ) a (0;1; 1)
Suy vectơ pháp tuyến (DA 'C): n3(0;1; 1)
Vectơ pháp tuyến của(ABB'A ')là j(0 ; ; 0)
Vectơ pháp tuyến (DA 'C): n3(0;1; 1)
cos (DA 'C),(ABB'A ')
2
o
(DA 'C), (ABB'A ') 45
Bài 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyzcho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi AC cắt BD gốc toạ độ O Biết A(2;0;0); B(0;1;0); S(0;0; 2) Gọi M trung điểm SC
1 Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SA BM Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD N Tính thể tích khối chóp S.ABMN
Hướng dẫn giải:
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyznhư sau: O(0;0;0); A(2;0;0); B(0;1;0); S(0;0; 2)
(8)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang |
C( 2;0;0) ; D(0; 1;0) ; M( 1;0; 2)
SA 2;0; 2
; BM 1; 1; 2
a) Gọi góc SA BM
Sử dụng cơng thức tính góc hai đường thẳng
Ta có: cos cos SA, BM SA.BM SA BM
o
30
Chứng minh SA BM chéo
Sử dụng cơng thức tính khoảng cách hai đường thẳng chéo [SA, BM] ( 2;0; 2)
; AB ( 2;1;0)
[SA, BM].AB4 20
[SA, BM].AB 4 2 2 6
d(SA, BM)
3
8
[SA, AB]
b) Tính thể tích khối chóp S.ABMN
Dễ dàng nhận thấy: MN(ABM)(SCD)
S.ABMN S.ABM S.AMN
V V V
Trong đó:
S.ABM
1
V [SA,SM].SB
6
S.AMN
1
V [SA,SM].SN
6
MN / /AB / /CDN trung điểm SD Toạ độ trung điểm N 0; 1;
2
SA(2;0; 2)
; SM( 1;0; 2)
SB(0;1; 2)
; SM( 1;0; 2)
[SA,SM] (0;4 2;0)
S.ABM
1 2
V [SA,SM].SB
6
(9)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | S.AMN
1 2
V [SA,SM].SN
6
Vậy VS.ABMNVS.ABMVS.AMN (đvtt)
Bài 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyzcho hình lăng trụ đứng ABC.A B C1 1 1 với A(0; 3;0) ; B(4;0;0); C(0;3;0); B (4;0; 4)1 Tìm toạ độ đỉnh A1;C1 Viết phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCC B )1 1 Gọi M trung điểm A B1 1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, M song song với BC1
Hướng dẫn giải:
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyznhư sau:O(0;0;0); Với: A(0; 3;0) ; B(4;0;0); C(0;3;0); B (4;0; 4)1
1
A (0; 3; 4) C (0;3; 4)
Toạ độ trung điểm M A B1 1 M 2; 3; 4)
2
Toạ độ hai đỉnh A1;C1
Ta có: A (0; 3; 4)1 mp(Oyz) C (0;3; 4)1 mp(Oyz)
(10)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 10
Tìm bán kính mặt cầu (S): Rd A,(BCC B ) 1 1
Vectơ pháp tuyến mp (BCC B )1 1 n[BC, BB ] 1 (12; 16; 0) Phương trình tổng quát mp (BCC B )1 1 : (BCC B ) : 3x1 1 4y120 Bán kính mặt cầu (S): R 24
5
Phương trình mặt cầu (S): (S) 2 576
: x (y 3) z
25
+ Phương trình mặt phẳng (P):
Tìm vectơ pháp tuyến (P) P 1
1
AM (P)
n [AM, BC ]
BC / / (P)
3
AM 2; ;
2
;
1
BC ( 4;3; 4)
Vectơ pháp tuyến (P): nP [AM, BC ]1 ( 6; 24;12)
Phương trình mặt phẳng (P): (P) : x4y2z120
(11)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc
Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyếnsinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh
nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹnăng sư phạmđến từcác trường Đại học
trường chuyên danh tiếng
I. Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG:Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, NgữVăn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - Luyện thi vào lớp 10 chuyên Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.
II. Khoá Học Nâng Cao HSG
- Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ởtrường đạt điểm tốt
ở kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần
Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩncùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III. Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, NgữVăn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia