Sử dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian

TI S DNG PHNG PHP TA GII BI TON HèNH HC KHễNG GIAN Phn 1- T VN 1.Lí DO CHN TI Bi toỏn hỡnh hc khụng gian l mt nhng dng bi quan trng, l dng toỏn thng gp cỏc k thi tt nghip THPT, tuyn sinh vo cỏc trng i hc-Cao ng, thi hc sinh gii v cuc sng Tuy nhiờn thc t, rt nhiu hc sinh cũn lỳng tỳng cha bit cỏch gii bi toỏn trờn vỡ lý ó quờn nhiu kin thc hỡnh khụng gian lp 11 Cho nờn quỏ trỡnh lm bi tp, gii thi, cỏc em hc sinh cũn b cõu hỡnh hc khụng gian ny Phng phỏp ta khụng gian l mt phn kin thc quan trng ca hỡnh hc 12 m hc sinh c hc sut k II.Mng kin thc ny giỳp cỏc em gii quyt mt cõu hỡnh hc h ta Oxyz thng gp thi tt nghip THPT v cao ng-i hc.Do cỏc em c tip xỳc nhiu nm hc 12 gn vi k thi nờn kin thc dng s cú phn d dng hn kin thc lp 11 T thc t ging dy, tụi ó rỳt c mt s kinh nghim v vic hng dn hc sinh lp 12 s dng phng phỏp to khụng gian gii mt s bi toỏn hỡnh hc khụng gian, giỳp cỏc em cm thy thoi mỏi tip thu v ch ng gii quyt cỏc bi toỏn hỡnh hc khụng gian Vic hng dn hc sinh gii toỏn khụng phi ch dng li vic cung cp cho hc sinh nhng bi gii mu m cũn phi hng dn cho hc sinh suy ngh, nm bt c cỏc mi quan h rng buc gia gi thit v kt lun ca bi toỏn, tng bc giỳp hc sinh c lp suy ngh gii bi toỏn MC CH SKKN Do õy l phn ni dung kin thc rt ph bin chng trỡnh hc v ụn luyn thi tt nghip, i hc, cao ng Nờn mc ớch ca vic nghiờn cu ti ny l cung cp cho cỏc em hc sinh mt phng phỏp hu ớch gii toỏn hỡnh khụng gian 11 bng phng phỏp ta ca lp 12 I TNG V PHM VI NGHIấN CU: a) i tng nghiờn cu: i tng nghiờn cu ti l: Cỏc dng toỏn thng gp nh tớnh : di on thng Khong cỏch t mt im n mt mt phng Khong cỏch t mt im n mt ng thng Khong cỏch gia hai ng thng Gúc gia hai ng thng Gúc gia ng thng vi mt phng Gúc gia hai mt phng Th tớch a din Din tớch thit din Chng minh cỏc quan h song song, vuụng gúc b) Phm vi nghiờn cu: Phm vi nghiờn cu ca ti ch yu l kin thc Hỡnh hc lp 11, 12 v cỏc thi tt nghip THPT, i hc, cao ng nhng nm gn õy K HOCH V CC PHNG PHP NGHIấN CU: - Tỡm hiu sỏch giỏo khoa, sỏch bi tp, sỏch tham kho, cỏc thi - Dy hc ti cỏc lp - Rỳt kinh nghim sau cỏc tit dy hc sinh; - Tham kho ý kin ca cỏc thy, cụ t Toỏn-Tin ca trng Phn 2- NI DUNG CA SNG KIN KINH NGHIM: A-THC TRNG VN NGHIấN CU: Qua iu tra v thc tin ging dy v kim tra cho thy a phn hc sinh cm thy khú khn vic gii quyt bi hỡnh khụng gian vỡ ó quờn kin thc liờn quan lp 11 v cỏc em thng mc phi nhng khú khn sau: - Cha cú nhng phng phỏp gii c th cho tng loi bi - Trong quỏ trỡnh gii hc sinh cũn mc phi sai lm tớnh toỏn, bin itrong bc trung gian Lp lun khụng cht ch; xỏc nh bi sai B- C S L LUN LIấN QUAN N VN NGHIấN CU 1.Trỡnh t gii mt bi toỏn bng phng phỏp to ta thc hin theo cỏc bc sau : * Bc : Thc hin vic chn h trc to Oxyz thớch hp, chỳ ý n v trớ ca gc O, chuyn bi toỏn ó cho v bi toỏn hỡnh hc gii tớch *Bc : Gii bi toỏn hỡnh hc gii tớch núi trờn * Bc : Chuyn cỏc kt lun ca bi toỏn hỡnh hc gii tớch sang cỏc tớnh cht hỡnh hc tng ng 2.Lý thuyt cn nm: Cỏch xỏc nh ta im,vộc t,phng trỡnh mt phng, ng thng ,cỏc cụng thc tớnh khong cỏch ,gúc, din tớch, th tớch mt s hỡnh ó hc lp 11,12 Mt cỏc k nng quan trng ca phng phỏp ny l xỏc nh c h trc ta tha ba trc ụi mt vuụng gúc Sau õy ta s cựng tỡm hiu k nng ny cỏc bi toỏn 3.Mt s dng bi ỏp dng: 3.a.Dng 1:Hỡnh lng tr ng 3.a.1.Loi 1:Hỡnh lp phng ,hỡnh hp ch nht z Vi hỡnh lp phng cnh a Chn h trc ta cho : A B A(0;0;0) ; B(a;0;0) ; C ( a; a;0) ; D(0;a;0) A '(0;0; a ) ; B '(a;0; a) ; C '(a; a; a) ; D'(0;a;a) Vi hỡnh hp ch nht cnh AB=a; CD=b Chn h trc ta cho : D C D A x A(0;0;0) ; B(a;0;0) ; C ( a; b;0) ; D(0;b;0) B y C A '(0; 0; c ) ; B '(a;0; c) ; C '(a; b; c) ; D'(0;b;c) Vớ d 1: Bng phng phỏp to hóy gii bi toỏn sau : Cho hỡnh lp phng ABCD A' B' C ' D' cú cnh bng a a.Chng minh rng ng chộo A' C vuụng gúc vi mt phng ( AB' D' ) b.Chng minh rng giao im ca ng chộo A' C v mt phng ( AB' D' ) l trng tõm ca tam giỏc AB' D' c.Tỡm khong cỏch gia hai mt phng ( AB' D' ) v (C ' BD) d.Tỡm cosin ca gúc to bi hai mt phng ( DA' C ) v ( ABB' A' ) Hng dn Bi gii Dng hỡnh : z Chn h trc to ờcac vuụng gúc Oxyz nh sau : O A(0;0;0) ; A' (0;0; a ) B(a;0;0) ; B ' (a;0; a) C ( a; a;0) ; C ' ( a; a; a) D(0; a;0) ; D' (0; a; a ) A B G x a Chng minh : A' C ( AB' D' ) y C Gi G = A' C ( AB' D' ) To giao im G ca ng thng A' C v mt phng ( AB' D ' ) l nghim ca h : b Chng minh : G l trng tõm ca tam giỏc AB' D' Phng trỡnh tham s ca ng thng a x = a a a 2a G ; ; (1) y = 3 3 2a z = x A + xB ' + xD ' a = xG = 3 y +y +y a Mt khỏc : yG = A B ' D ' = (2) 3 z A + z B ' + z D ' 2a = zG = 3 x = t y = t z = a t x + y z = Phng trỡnh tng quỏt ca mt phng ( AB' D' ) ( AB' D' ) : x + y z = Trong ú vect phỏp tuyn ca mt phng ( AB' D' ) [ D A' C = (a; a;a ) Ta cú : AB' = (a;0; a) AD' = (0; a; a) A' C AB' = a + a = A' C AB' Vỡ A' C AD' A' C AD' = + a a = Nờn A' C mp( AB' D' ) A' C AB' A' C ( AB' D' ) Nu A' C AD' A' C C A B x = t A' C : y = t (t R) z = a t D ] n1 = AB', AD' = (a ; a ; a ) So sỏnh (1) v (2), kt lun Vy giao im G ca ng chộo A' C v mt phng ( AB' D' ) l trng tõm ca tam giỏc AB' D' c Tớnh d ( ( AB' D' ), (C ' BD) ) Ta cú : Phng trỡnh tng quỏt ca mt phng (C ' BD) (C ' BD) : x + y z a = Trong ú vect phỏp tuyn ca mt phng (C ' BD) [ ( AB' D' ) : x + y z = (C ' BD) : x + y z a = ( AB' D ' ) // (C ' BD) a d ( ( AB' D' ), (C ' BD) ) = d ( B, ( AB' D' ) ) = ] n2 = C ' B, C ' D = (a ; a ;a ) d Tớnh cos( ( DA' C ), ( ABB' A' ) ) Oy ( ABB' A' ) Vec t phỏp tuyn ca Vec t phỏp tuyn ca ( ABB' A' ) l j = (0 ; ; 0) Vect phỏp tuyn ca ( DA' C ) ( ABB' A' ) l j = (0 ; ; 0) : n3 = (0;1;1) Vect phỏp tuyn ca ( DA' C ) : [ ] cos( ( DA' C ), ( ABB' A' ) ) = n3 = DA', DC = (0; a ;a ) = a (0;1;1) 2 ( ( DA' C ), ( ABB' A' ) ) = 45 o Vớ d Cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD cnh l a Gi N l trung im ca BC a Chng minh rng: AC vuụng gúc vi (ABD) b Tớnh th tớch t din ANBD c Tớnh gúc v khong cỏch gia hai ng thng AN v BD d Tớnh khong cỏch t C n mp(ACD) Hng dn Bi gii Dng hỡnh : Chn h trc to ờcac vuụng gúc Oxyz nh sau : O A '(0;0;0) ; A(0;0; a) B (a;0; a ) ; B '( a;0;0) C ( a; a; a ) ; C '(a; a;0) D(0; a; a ) ; D '(0; a;0) uuuu r a Chng minh : Mc ớch ca ta uuuur uuuur a AC ' = (a; a; a), A ' B, A ' D = (a ; a ; a ) l vộc t phỏp tuyn ca mt phng (ABD) l chng minh mt ng thng vuụng gúc vi 2 mt mp Ta s ch rng vộc t ch phng ca ng thng ny cựng phng vi vộc t phỏp tuyn ca mp (ABD) Ta thy hai vộc t ny cựng phng Vỡ th ta cú AC vuụng gúc vi mp (ABD) b Tớnh th tớch t din ANBD Ta cú cụng thc tớnh th tớch t din l: VANBD ' = uuur uuur uuuur | AN , AB AD ' | uuu r uuur AB, AN = 0; a ; a ữ uuuur uuu r uuur uuuur a , AD ' = (0; a; a ), AB, AN AD ' = VANBD ' = c tớnh gúc gia hai ng thng v khong cỏch gia hai ng thng ta s dng hai cụng thc sau: a3 Do ú ta cú gúc gia hai ng thng AN v BD l:r uuur uuuu | AN BD ' | r = cos(AN, BD')= uuur uuuu | AN || BD ' | rr rr | a.b | Cos(a, b)=|cos(a,b)|= r r ; | a || b | r r uuur Vi | [a,b] AB | rr d ( a , b) = | [a,b] | r r a, b l cỏc vộc t ch phng ca Khong cỏch gia hai ng thng ny l: uuuuruuuu r uuu r | AN , BD ' AB | a 26 d ( AN , BD ') = = uuuuruuuu r 26 | AN , BD ' | ng thng a v b ng thng a,b ln lt i qua hai im A v B d tớnh khong cỏch gia mt im v mt phng ta ỏp dng cụng thc:cho (P): Ax + By + Cz + D = v im M ( x0 ; y0 ; z0 ) d ( M ,( P ) ) = d.Tớnh khong cỏch t C n mp(ACD) * Vit phng trỡnh mp (ACD) Vec t phỏp tuyn cựng phng vi uuuu r uuur [ AC ', AD]=(-a ;0;-a ) Ta chn vộc t phỏp tuyn ca mt r phng (ACD) l n = (1;0;1) Phng trỡnh mt phng (ACD) l: x + z a =0 Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B + C d (C , ( AC ' D)) = a Vớ d Cho hỡnh lp phng ABCD A' B' C ' D' cú cnh bng a Chng minh hai ng chộo B' D' v A' B ca hai mt bờn l hai ng thng chộo Tỡm khong cỏch gia hai ng thng chộo B' D' v A' B Hng dn Dng hỡnh : Chn h trc to ờcac vuụng gúc Oxyz nh sau : A C y A x chộo nhau, ta chng minh ba D B O A(0;0;0) ; A' (0;0; a ) ; B (0; a;0) ; B ' (0; a; a ) C ( a; a;0) ; C ' ( a; a; a) D(a;0;0) ; D' (a;0; a ) Chng minh B' D' v A' B Bi gii z D B C Ta cú : B' D' = (a; a;0) A' B = (0; a;a) ; BB' = (0;0; a) Cn chng minh [B' D', A' B] = (a ; a ; a ) [B' D', A' B].BB' = a tớch hn hp ca ba vect ba vect B ' D'; A' B, BB ' khụng ng phng vect B' D'; A' B, BB' khụng ng phng B ' D'; A' B, BB ' khỏc Tớnh d ( B' D' , A' B ) d ( B ' D' , A' B ) = 2 hay B' D' v A' B chộo d ( B ' D' , A' B ) = [ B ' D', A' B ].BB ' [ B ' D', A' B ] a3 a +a +a 4 = a3 a = a 3 3.a.1.Loi 2:Lng tr ng tam giỏc ỏy l tam giỏc vuụng Vi hỡnh lng tr ng tam giỏc ỏy l tam giỏc ABC vuụng A Ch Chn h trc ta cho : z A B O A(0;0;0) , Tia Ox trựng tia AC; Tia Oy trựng tia AB; C B OA y C Vớ d 1:(khi B-2005)Trong khụng gian vi h to Oxyzx cho hỡnh lng tr ng ABC A1B1C1 vi A(0;3;0) ; B(4;0;0) ; C (0;3;0) ; B1 (4;0;4) Tỡm to cỏc nh A1 ; C1 Vit phng trỡnh mt cu cú tõm l A v tip xỳc vi mt phng ( BCC1B1 ) Gi M l trung im ca A1B1 Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua hai im A, M v song song vi BC1 Hng dn Bi gii Dng hỡnh : A1 Chn h trc to ờcac vuụng gúc Oxyz nh sau : O(0;0;0) ; Vi : A(0;3;0) ; B(4;0;0) ; C (0;3;0) ; B1 (4;0;4) B1 z M C1 A (0;3;4) C1 (0;3;4) A To trung im M ca A1B1 M 2; ;4) x B O C y Ta cú : A1 (0;3;4) mp(Oyz ) To hai nh A1 ; C1 C1 (0;3;4) mp(Oyz ) Phng trỡnh mt cu cú tõm l A v tip xỳc vi mt phng ( BCC1B1 ) Vit phng trỡnh mp ( BCC1 B1 ) Tỡm bỏn kớnh ca mt cu (S) R = d ( A, ( BCC1B1 ) ) Phng trỡnh mt cu (S) : Phng trỡnh mt phng (P) : Vect phỏp tuyn ca mp ( BCC1B1 ) n = [ BC , BB1 ] = (12; 16; 0) Phng trỡnh tng quỏt ca mp ( BCC1B1 ) : ( BCC1B1 ) : x + y 12 = Bỏn kớnh ca mt cu (S) : R = (S) : x + ( y + 3) + z = 576 25 Vect phỏp tuyn ca (P) : nP = [ AM , BC1 ] = ( 6;24;12) 24 Tỡm vect phỏp tuyn ca (P) AM ( P ) nP = [ AM , BC1 ] BC1 // ( P ) Phng trỡnh mt phng (P) : AM = 2; ;4 ; BC1 = (4;3;4) ( P ) : x + y z + 12 = Vớ d 2:(khi B-2008): Cho lng tr ng ABC.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng, AB = BC = a , cnh bờn AA ' = a Gi M l trung im ca BC Tớnh theo a th tớch ca lng tr ABC.ABC v khong cỏch gia hai ng thng AM, BC Hng dn Bi gii z Dng hỡnh : B Chn h trc to ờcac vuụng gúc Oxyz nh sau : A C B (0;0;0) A ( 0; a;0 ) ; C ( a;0;0 ) ; B ( 0;0; a ) M ;0;0 ữ a uuuu r a uuuur AM = ; a;0 ữ ; B ' C = a;0; a 2 uuuu r AB ' = 0; a; a ( ( ) B ) y A M x C Chng minh AM v BC chộo uuuu r uuuur AM , B ' C = a 2; a ; a ữ + Th tớch ca lng tr ABC.ABC VABC A ' B 'C ' = AA '.S ABC = a 2 vtt + Khong cỏch gia AM v BC uuuu r uuuur uuuu r a3 Vỡ : AM , B ' C AB ' = AM v BC chộo uuuu r uuuur uuuu r AM , B ' C AB ' d ( AM , B ' C ) = uuuu r uuuur AM , B ' C a a = = 2a + a + a Vớ d 2:(khi B-2010): Cho hỡnh lng tr tam giỏc u ABC.ABC cú AB = a, gúc gia hai mt phng (ABC) v (ABC) bng 60 Gi G l trng tõm tam giỏc ABC Tớnh th tớch lng tr ó cho v bỏn kớnh mt cu ngoi tip t din GABC theo a Hng dn Bi gii Gi O l trung im ca cnh BC Tam giỏc ABC u cnh a nờn AO BC v AO = A a Chn h trc Oxyz vi O l gc ta , tia OA tia Ox, tia OC tia Oy, tia Oz song song v cựng hng vi tia AA C z B x y G A C O B O l trung im ca cnh BC Chn h trc ta nh hỡnh v Khi ú : a a ;0;0),B(0; ;0), 2 a 3a a C(0; ;0),A( ;0; ) 2 a a G( ;0; ) A( Ta cú gúc gia mt phng (ABC) v(ABC) l gúc Aã' OA = 60o AA ' = OA.tan 60o = 3a VABC A ' B ' C ' = AA '.S ABC 3a a 3a 3 = = Gi dng phng trỡnh mt cu ngoi tip t din GABC l: x + y + z 2bx 2cy 2dz + e = Thay ln lt ta G, A, B, C vo phng trỡnh trờn ta cú 10 uuuur M B ' C = (a;0; a 2) uuuu r uuuur a2 2 AM , B ' C = ( a 2; ;a ) uuur Mt khỏc: AC = (a; a;0) uuuu r uuuur uuur a AM , B ' C AC a d ( AM , B ' C ) = = 22 = uuuu r uuuur a AM , B ' C 3.b.Dng 2:Hỡnh chúp 3.b.1.Loi 1:Hỡnh chúp cú cnh bờn vuụng gúc vi ỏy v ỏy cú ớt nht mt gúc vuụng Vi hỡnh chúp S.ABCD cú ABCD l hỡnh ch nht ,hỡnh vuụng v SA (ABCD) z S ABCD l hỡnh ch nht AB = a; AD = b chiu cao bng h Chn h trc ta nh hỡnh v cho A(0;0;0) y D A O Khi ú : B ( a;0;0 ) ; C ( a; b;0 ) B D ( 0; b;0 ) ; S (0;0; h) C x Vi hỡnh chúp S.ABC cú SA (ABC) v ABC vuụng ti A z Tam giỏc ABC vuụng ti A cú AB = a; AC = b ng cao bng h S Chn h trc ta nh hỡnh v cho A(0;0;0) Khi ú : B ( a;0;0 ) ; C ( 0; b;0 ) S ( 0;0; h ) y C A z B S x Vi hỡnh chúp S.ABCD cú SA (ABCD) v ABCD l hỡnh thang vuụng ti A Chn h trc ta nh hỡnh v cho A(0;0;0) Tia Ox trựng vi D OA 12 B x C y tia AB.Tia Oy trựng vi tia AD Tia Oz trựng vi tia AS Vớ d 1(H A 2010) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a Gi M v N ln lt l trung im ca cỏc cnh AB v AD; H l giao im ca CN v DM Bit SH (ABCD) v SH = a Tớnh th tớch chúp S.CDNM v khong cỏch gia hai ng thng DM v SC theo a Hng dn Dng hỡnh : Bi gii S z Chn h trc to ờcac vuụng gúc Oxyz nh hỡnh v v cho C(0;0;0) Tia Ox trựng vi tia CB.Tia Oy trựng vi tia CD Tia Oz vuụng vi mp(ABCD) ti C Ta cú : C O(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A(a;a;0) y N H M *VS CDNM = VS ABCD VS BCM VS AMNCO uuu r uuuur uuuu r CS , DM CM d ( SC , DM ) = uuu r uuuu r * CS , DM A D B x *Tớnh th tớch chúp S.CDNM Ta cú: VS CDNM = VS ABCD VS BCM VS AMN = SH ( S ABCD S BCM S AMN ) a2 a2 5a 3 = a 3( a ) = 24 * Tớnh khong cỏch gia hai ng thng DM v SC theo a Chn h trc Oxyz nh hỡnh v, ta cú C O(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A(a;a;0) 13 a M l trung im AB M (a; ;0) a N l trung im AD N ( ; a;0) H (Oxy ) H ( x; y;0) H = DM CN uuur uuur uuuu r uuuur CH , CN cựng phng v DH , DM cựng phng x y x ya 2a 4a = = ,y= a a v a a x= 5 2 2a 4a 2a a Vy H( ; ;0 ) S ( ; ; a 3) 5 5 Khi ú, uur 2a 4a uuuur a CS = ( ; ; a 3), DM = ( a; ;0) 5 2 uur uuuur a CS , DM = ( ; a 3; a ) uuuu r a Mt khỏc CM = (a; ;0) uuu r uuuur uuuu r CS , DM CM d ( SC , DM ) = uuu r uuuur CS , DM a3 2a 57 = = 19 a 19 Vớ d 2:(C-2008):Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thang , ã ã BAD = ABC = 900 AB = BC = a , AD = 2a , SA vuụng gúc vi ỏy v SA = 2a Gi M,N ln lt l trung im ca SA v SD Chng minh rng BCNM l hỡnh ch nht v tớnh th tớch ca chúp S.BCNM theo a Hng dn Bi gii z Dng hỡnh : S Chn h trc to ờcac vuụng gúc Oxyz nh sau : M 14 N A(0;0;0) ; B ( a;0;0 ) ; C ( a; a;0 ) ; D ( 0; 2a;0 ) ; S ( 0;0; 2a ) D A M ( 0;0; a ) ; N ( 0; a; a ) B C x uuuu r uuur MN = ( 0; a;0 ) ; BC = ( 0; a;0 ) uuur MB = ( a;0; a ) uuur uuu r SM = ( 0;0; a ) ; SC = ( a; a; a ) uur uuu r SB = ( a; 0; 2a ) ; SN = ( 0; a; a ) uuur uuu r SM , SC = a ; a ;0 ( y + Chng minh BCNM l hỡnh ch nht uuuu r uuur MN = BC BCNM l hỡnh ch nht r uuur uuuu MN MB = + Tớnh th tớch ca chúp S.BCNM theo a VS BCNM = VSMCB + VSMCN ) VSMCB = uuur uuu r uur SM , SC SB = a uuur uuu r uuu r SM , SC SN = a VSMCN r uur a uuur uuu SB = SM , SC 6 = uuur uuu r uuu r SM , SC SN = a VS BCNM = VSMCB + VSMCN = a3 vtt Vớ d 3:(Khi D-2002)Cho hỡnh t din ABCD cú cnh AD vuụng gúc vi mt phng(ABC); AC=AD=4 cm ;AB=3 cm; BC=5 cm Tớnh khong cỏch t im A n mt phng (BCD) Hng dn Dng hỡnh : Bi gii z D ABC cú : AB + AC = BC = 25 nờn vuụng ti A Chn h trc to ờcac vuụng gúc Oxyz nh sau O A(0;0;0) ; B (3;0;0) ; C (0;4;0) D(0;0;4) ; Tớnh : AH = d ( A, ( BCD) ) A B H C y I x Vit phng trỡnh tng quỏt ca mt phng (BCD) Phng trỡnh tng quỏt ca mt phng (BCD) ( BCD) : S dng cụng thc tớnh 15 x y z + + = x + y + 3z 12 = 4 khong cỏch t mt im n mt mt phng d ( A, ( BCD) ) = 12 16 + + = 12 34 = 17 34 3.b.2.Loi 2:Hỡnh chúp cú ỏy l a giỏc u Vi hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD z Chn h trc ta nh hỡnh v S Gi s cnh hỡnh vuụng bng a v ng cao SO = h Chn O(0;0;0) l tõm ca hỡnh vuụng D A a a ;0;0 ; C ;0;0 Khi ú : A a a B 0; ;0 ữ ữ; D 0; ;0 ữ ữ; S (0;0; h) y O B C x Vi hỡnh chúp tam giỏc u S.ABC Chn h trc ta nh hỡnh v z Gi s cnh tam giỏc u bng a v S ng cao bng h Gi I l trung im ca BC Chn h trc ta nh hỡnh v cho I(0;0;0) a a Khi ú : A ;0;0 ữ; B ;0;0 ữ a a C 0; ;0 ữ ữ; S 0; ; h ữ ữ y C A H I B x (Hoc ta cng cú th chn gc O trựng H) Vớ d 1(Khi B-2007) Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng cnh a Gi E l im i xng ca D qua trung im ca SA, M l trung im ca AE, N l trung im ca BC Chng minh MN vuụng gúc vi BD v tớnh (theo a ) khong cỏch gia hai ng thng MN v AC Hng dn Bi gii z Dng hỡnh : Gi O l tõm ca hỡnh vuụng ABCD SO ( ABCD) E S P M Chn h trc to ờcac vuụng gúc Oxyz nh sau : y A 16 B N O D C x O(0;0;0) ; S ( 0;0; h ) ; a a ;0;0 ữ ;0;0 ữ A ; C ữ ữD a a 0; ;0 ; B 0; ;0 2 To trung im P ca SA P a a a h ; 0; ữ ; ;hữ ; E ữ 2ữ 2 a a h ; ; ữ N M 2ữ a a ; ;0 ữ ữ Tớnh (theo a) khong cỏch gia hai ng thng MN v AC uuuu r 3a h uuur MN = ; 0; ữ ữ; BD = (0; a 2; 0) Vỡ : MN BD = MN BD uuuu r uuur ah ;0 ữ Ta cú : MN , AC = 0; ữ uuuu r a h AM = 0; ; ữ 2ữ uuuu r uuur uuuu r a2h Vỡ : MN , AC AM = MN v AC chộo Chng minh MN v AC chộo S dng cụng thc tớnh khong cỏch gia hai ng thng chộo d ( MN , AC ) = [ MN , AC ] AM = [ MN , AC ] a 2h =a a 2h 2 Vớ d 2:Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú cỏc cnh u bng a a Tớnh th tớch chúp S.ABCD b Tớnh khong cỏch t im A n mt phng (SCD) Hng dn Bi zgii S Dng hỡnh : Gi O = AC BD SO ( ABCD) a2 a SO = SC OC = a = 2 2 y A 17 B D O C x Chn h trc to ờcac vuụng gúc Oxyz nh sau : a O(0;0;0) ; S 0;0; ữ; ữ a a ;0;0 ữ ;0;0 ữ A ; C ữ ữD a a 0; ; B 0; ; ;0 2 a.Tớnh th tớch chúp S.ABCD VS ABCD a Khong cỏch t im A n mt phng Phng trỡnh mt phng (SCD) x (SCD) Phng trỡnh mt phng (SCD) z + =1 a a 2 2 a x+ y+z =0 (SCD): a + y 1 a a3 = SO.S ABCD = a = 3 a =0 a a 2 (SCD): x + y + z d ( A, ( SCD) ) = = a a = 3 Qua cỏc vớ d trờn ta thy vic ỏp dng phng phỏp ta vo gii bi toỏn hỡnh khụng gian rt kh thi nu bi cú yu t vuụng gúc gn vo h trc ta Oxyz Sau õy ta cựng tỡm hiu thờm mt s bi cú ý tng rừ rng hn vic chn v trớ cho h trc Oxyz Vớ d 1: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi cnh l tõm O, SO vuụng gúc vi ỏy; cỏc cnh bờn SA = 3, SB = Gi M l trung im ca cnh SC a) Tớnh gúc v khong cỏch gia hai ng thng: SA v BM b) mp (AMB) ct SD ti N Tớnh th tớch chúp S.ABMN Hng dn Bi gii Chn h trc ta cho O(0;0;0) Tia Ox trựng tia OA; Tia Oy trựng tia OB; Tia Oz trựng tia OS; uur uuuu r z S N | SA.BM | uuuu r | SA | | BM | a, cos( SA, BM ) = uur d ( SA, BM ) = d ( A,( P ) ) M D x A b, C O By Chn h trc ta nh hỡnh v Ta cú ta 18 VS ABMN = VS ABN + VS BMN cỏc nh nh sau: O(0;0;0), A(2;0;0), B(0;1;0), S (0;0; 2), D(0; 1; 0), C ( 2;0;0), M (1;0; 2) uur uuuu r | SA.BM | a,*Ta cú cos( SA, BM ) = uur uuuur = | SA | | BM | Do ú gúc gia hai ng thng ny l 600 *Khong cỏch: uuuruuuu r SA, BM = 2, 0, ( ) =>Phng trỡnh mp(P) cha BM v song song vi SA l: 2x + z = d( SA, BM ) = d( A,( P ) ) = b,Vỡ M l trung im SC nờn N l trung im SD.Suy N 0; ; ữ VS ABMN = VS ABN + VS BMN Vớ d 2:: Cho hình chóp SABC, cạnh có độ dài 1, O tâm ABC I trung điểm SO a,Mặt phẳng (BIC) cắt SA M Tìm tỉ lệ thể tích tứ diện SBCM tứ diện SABC b, H chân đờng vuông góc hạ từ I xuống cạnh SB CMR: IH qua trọng tâm G SAC Hng dn Bi gii Vỡ SA=SB=SC ;O l tõm ABC u nờn SO vuụng vi (ABC) => Cỏch chn h trc ta z S I B O C y A x Chọn hệ trục Oxyz cho O gốc tọa 19 độ AOx, S Oz, BC//Oy Tọa độ điểm: 3 ;0;0) ; B ( ; ;0) ; C ( ; ;0) ; 6 6 S (0;0 ) ; I (0;0; ) uuur uur Ta cú: BC = (0;1;0) ; IC = ( ; ; ) ; 6 uuur uur BC , IC = ( ;0; ) 6 A( Phơng trình mặt phẳng (IBC) là: 6 ( x 0) + 0( y 0) + (z )=0 6 6 Hay: 2+z =0 m ta uur uur r SA = ( ;0; ) SA // u SA (1;0; 2) 3 li cú: Phơng trình đờng thẳng SA: x= + t ; y = 0; z = 2t + Tọa độ điểm M nghiệm hệ: +t (1) x = (2) y = Thay (1) (2) (3) vào (4) (3) y = 2t x + z = (4) có: 6 ; y = 0; z = M ( ;0; ); 12 12 uuur uur uuur SM = ( ;0; ) SA = 4SM 12 12 SM = M nằm đoạn SA SA V( SBCM ) = V ( SABC ) x= Do G trọng tâm ASC SG qua trung điểm N AC GI (SNB) GI SB đồng phẳng (1) 20 Ta lại có tọa độ G ( ; ; ) 18 uur GI = ( ; ; ) 18 18 uur uur uur GI = ( ; ; ) GI SB = GI SB (2) 18 18 Từ (1) (2) GI SB = H Vớ d (Khi A 2002) Cho hỡnh chúp tam giỏc u S.ABC cú di cnh ỏy l a Gi M, N l trung im SB, SC Tớnh theo a din tớch D AMN, bit (AMN) vuụng gúc vi (SBC) Hng dn Vỡ S.ABC l hỡnh chúp tam giỏc u ,nờn nu O l tõm tam giỏc ABC thỡ SO vuụng gúc vi (ABC).T ú ta cú cỏch chn h trc Oxyz Bi gii Gi O l hỡnh chiu ca S trờn (ABC), ta suy O l trng tõm D ABC Gi I l trung im ca BC, ta cú: a BC = 2 a a ị OA = , OI = AI = Trong mp(ABC), ta v tia Oy vuụng gúc vi OA t SO = h, chn h trc ta nh hỡnh v : ổa ữ ữ O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A ỗỗỗố ; 0; 0ứ ữ ổa ổa a ữ ị Iỗ ; 0; 0ữ ữ ữ , B ỗỗố- ; 2; 0ứ ỗ ữ ữ, ỗ ố ứ ỗ ổa ổ a a a ữ ỗ Cỗ ; ; M ; ; ữ ữ ữ , ỗ ỗ ữ ỗ ỗ ữ ố ứ ố 12 ứ 21 ổa a ữ ữ v N ỗỗỗố- 12 ; - 4; ứ ữ uuur uuur r ah 5a2 ự= ổ ữ ỗ ị n(AMN) = ộ AM, AN ; 0; ữ ỳ ữ, ỗ4 ỷ ỗ 24 ứ ố uur uur r a2 ữ ự= ổ ỗ n(SBC) = ộ SB, SC ah; 0; ữ ỗ ỳ ỗ ỷ ữ ứ ố r r 5a2 (AMN) ^ (SBC) ị n(AMN).n(SBC) = ị h2 = 12 ộuuur uuur ự a2 10 ị SDAMN = ờAM, AN ỳ = ỷ 2ở 16 Bi t luyn Bi Cho D ABC vuụng ti A cú ng cao AD v AB = 2, AC = Trờn ng thng vuụng gúc vi (ABC) ti A ly im S cho SA = Gi E, F l trung im ca SB, SC v H l hỡnh chiu ca A trờn EF Chng minh H l trung im ca SD Tớnh cosin ca gúc gia hai mt phng (ABC) v (ACE) Tớnh th tớch hỡnh chúp A.BCFE Bi Cho hỡnh chúp O.ABC cú cỏc cnh OA = OB = OC = 3cm v vuụng gúc vi tng ụi mt Gi H l hỡnh chiu ca im O lờn (ABC) v cỏc im A, B, C ln lt l hỡnh chiu ca H lờn (OBC), (OCA), (OAB) Tớnh th tớch t din HABC Gi S l im i xng ca H qua O Chng t S.ABC l t din u Bi Cho hỡnh chúp S.ABC cú D ABC vuụng cõn ti A, SA vuụng gúc vi ỏy Bit AB = 2, gúc gia mp(ABC) v mp(SBC) bng 600 Tớnh di SA Tớnh khong cỏch t nh A n (SBC) Tớnh gúc phng nh din [A, SB, C] Bi (Khi D 2003) Cho hai mt phng (P) v (Q) vuụng gúc vi nhau, giao tuyn l ng thng (d) Trờn (d) ly hai im A v B vi AB = a Trong (P) ly im C, (Q) ly im D cho AC, BD cựng vuụng gúc vi (d) v AC = BD = AB Tớnh bỏn kớnh mt cu ngoi tip t din ABCD v khong cỏch t nh A n (BCD) theo a Bi Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy l tam giỏc vuụng ti B, AB = a, BC = 2a Cnh SA vuụng gúc vi ỏy v SA = 2a Gi M l trung im ca SC Tớnh din tớch D MAB theo a Tớnh khong cỏch gia MB v AC theo a Tớnh gúc phng nh din [A, SC, B] Bi Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy hỡnh vuụng cnh a, SA = a v vuụng gúc vi ỏy Gi E l trung im CD Tớnh din tớch D SBE Tớnh khong cỏch t nh C n (SBE) 22 (SBE) chia hỡnh chúp thnh hai phn, tớnh t s th tớch hai phn ú Bi Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh ch nht, AB = a, AD = b Cnh bờn SA vuụng gúc vi ỏy v SA = 2a Gi M, N l trung im cnh SA, SD Tớnh khong cỏch t A n (BCN) Tớnh khong cỏch gia SB v CN Tớnh gúc gia hai mt phng (SCD) v (SBC) ã = Tỡm iu kin ca a v b cosCMN Trong trng hp ú tớnh th tớch hỡnh chúp S.BCNM Bi (Khi B 2003) Cho hỡnh lng tr ng ABCD.ABCD cú ỏy hỡnh thoi ã cnh a, BAD = 600 Gi M, N l trung im cnh AA, CC Chng minh B, M, D, N cựng thuc mt mt phng Tớnh AA theo a BMDN l hỡnh vuụng Bi 9: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thang vuụng ti A v B BA = BC = a, AD = 2a Cnh SA vuụng gúc vi ỏy v SA = a H l hỡnh chiu ca A lờn SB Chng minh rng tam giỏc SCD vuụng v tớnh theo a khong cỏch t H n mt phng (SCD) Bi 10 Cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD cnh a Chng minh AC vuụng gúc vi (ABD) Tớnh gúc gia (DAC) v (ABBA) Trờn cnh AD, DB ly ln lt cỏc im M, N tha AM = DN = k (0 < k < a 2) a Chng minh MN song song (ADBC) b Tỡm k MN nh nht Chng t ú MN l on vuụng gúc chung ca AD v DB Bi 11: Cho hỡnh hp ch nht ABCD.ABCD cú AB = a; AD = 2a; AA = a a) Gi M l im nm AD cho AM = Tớnh khong cỏch MD t im M n (ABC) b) Tớnh th tớch t din ABDC Bi 12: Cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD, cnh bng a Gi s M, N ln lt l trung im ca BC v DD a) Chng minh rng MN// (ABD) b) Tớnh khong cỏch gia on thng BD v MN theo a Bi 13: Cho hỡnh chúp O.ABC cú OA = a; OB = b; OC = c ụi mt vuụng gúc im M c nh thuc tam giỏc ABC cú khong cỏch ln lt n cỏc mt phng (OBC); (OCA); (OAB) lỏ 1; 2; Tớnh a; b; c th tớch chúp O.ABC nh nht Bi 14 (Cao ng -2009) Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú AB = a, SA = a Gi M, N, P ln lt l trung im ca cỏc cnh SA, SB v CD Chng minh rng ng thng MN vuụng gúc vi ng thng SP Tớnh theo a th tớch ca t din AMNP 23 Bi 15 (Khi B 2011) Cho hỡnh lng tr ABCD.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht, AB = a, AD = a Hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn (ABCD) trựng vi giao im ca AC v BD Gúc gia hai mt phng (ADDA) v (ABCD) bng 60 Tớnh th tớch lng tr ó cho v khong cỏch t B n mt phng (ABD) theo a 24 C-KT QU SAU KHI THC HIN TI Sau thc hin ti ti cỏc lp 12A2; 12A6 trng THPT Chỳc ngnm hc2014-2015 tụi ó kho sỏt cht lng ca hc sinh thụng qua kim tra vit v cỏc thi th i hc, tt nghip *Kt qu nh sau: ó cú nhiu hc sinh t im khỏ, gii im yu, kộm ó gim C th: Lp TS 12A2 41 12A6 40 Tng 81 Gii SL 12 14 26 Khỏ % SL 29% 17 35% 16 32% 33 T bỡnh % SL 41% 40% 41% 14 % SL 20% 15% 17% Yu % SL 10% 10% 10% Kộm % 0% 0% 0% Mt s hc sinh khỏ, gii cũn bit dng vo cỏc bi toỏn mc khú hn Tri qua thc tin ging dy ni dung cỏc bi ging liờn quan n SKKN v cú s tham gia gúp ý ca ng nghip, dng SKKN vo ging dy tụi ó thu c mt s kt qu nht nh sau: - Hc sinh trung bỡnh ó hiu v bit dng tt hn phng phỏp ta gii quyt bi toỏn hỡnh hc khụng gian - Hc sinh trung bỡnh tr lờn nm vng c phng phỏp, bit dng thnh tho v linh hot hn cỏc bi toỏn hỡnh hc khụng gian - Cht lng bi gii v k nng gii toỏn tt hn 25 Phn 3-KT LUN V KHUYN NGH Cựng vi kin thc phn phng phỏp ta khụng gian ca hỡnh hc 12 vi vic tip thu nhng kin thc v to im, ta vect, phng trỡnh ng v mt, qua vic s dng cụng c l dựng phng phỏp ta trong khụng gian cỏc em ó ch ng hn, t tin hn tip xỳc vi bi toỏn hỡnh hc khụng gian ti ny cng cung cp thờm cho cỏc em mt cụng c hu ớch gii bi hỡnh khụng gian thi tt nghip ,cao ng i hc Dự ó rt c gng hon thin ti, cng khụng th trỏnh c nhng thiu sút ỏng tic Rt mong cỏc thy, cụ, ng nghip v cỏc em hc sinh gúp ý v úng gúp thờm nhng t liu ti ny gúp phn phc v tt hn i vi vic ging dy ca giỏo viờn v vic hc ca cỏc em hc sinh Tụi xin chõn thnh cm n! H Ni, ngy 20 thỏng 05 nm 2015 Tụi xin cam oan õy l SKKN ca mỡnh vit, khụng chộp ni dung ca ngi khỏc 26 ... vuụng vi (ABC) => Cỏch chn h trc ta z S I B O C y A x Chọn hệ trục Oxyz cho O gốc tọa 19 độ AOx, S Oz, BC//Oy Tọa độ điểm: 3 ;0;0) ; B ( ; ;0) ; C ( ; ;0) ; 6 6 S (0;0 ) ; I (0;0; ) uuur uur Ta... SC nờn N l trung im SD.Suy N 0; ; ữ VS ABMN = VS ABN + VS BMN Vớ d 2:: Cho hình chóp SABC, cạnh có độ dài 1, O tâm ABC I trung điểm SO a,Mặt phẳng (BIC) cắt SA M Tìm tỉ lệ thể tích tứ... ;0; ) SA // u SA (1;0; 2) 3 li cú: Phơng trình đờng thẳng SA: x= + t ; y = 0; z = 2t + Tọa độ điểm M nghiệm hệ: +t (1) x = (2) y = Thay (1) (2) (3) vào (4) (3) y = 2t x + z =