hoctoancapba com PP toa do hoa cac bai toan hinh hoc khong gian

hoctoancapba.com Chuyên đề luyện thi đại học-PP tọa độ không gian PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA Ứng dụng phương pháp tọa độ giải toán hình học không gian tổng hợp a Lý thuyết cần nhớ Đối với số loại hình chóp, hình lăng trụ số toán ta sử dụng việc đặt hệ trục tọa độ thích hợp, để chuyển từ việc giải hình học không gian tổng hợp (mà việc gặp nhiều khó khăn dựng hình, tính toán với em học sinh) sang việc tính toán dựa vào tọa độ Cách giải toán gọi phương pháp tọa độ hóa Đối với phương pháp tọa độ hóa, việc tính toán dài dòng phức tạp phương pháp tổng hợp Nhưng cách giải thực hữu ích cho nhiều bạn học sinh mà việc nắm vững phương pháp cách giải hình học không gian tổng hợp yếu toán hình không gian xác định GTLN, GTNN; toán quỹ tích điểm Để làm tốt toán giải phương pháp tọa độ hóa em học sinh phải nắm công thức phần “Phương pháp tọa độ không gian” kiến thức hình học không gian Một lần nhắc lại cho em học sinh rằng: “ Không có phương pháp giải vạn năng”, em phải không ngừng rèn luyện để tạo sợi dây liên kết phần kiến thức mình, em vận dụng linh hoạt phương pháp cho giải khoa học nhất, hay Sau trình bày số lưu ý với em học sinh việc chọn hệ trục tọa độ Đề nghị em lưu ý nhớ thật kỹ vấn đề ⊕ Đặt hệ trục với hình lập phương, hình hộp chữ nhật Ta chọn gốc tọa độ đỉnh hình lập phương hình hộp chữ nhật chọn tia Ox, Oy, Oz ba cạnh hình xuất phát từ đỉnh GV Ths Nguyễn Mạnh Hùng 0947876689 Trang hoctoancapba.com Chuyên đề luyện thi đại học-PP tọa độ không gian ⊕ Đặt hệ trục với hình tứ giác chóp ⊕ Đặt hệ trục tọa độ với hình tam diện vuông ⊕ Đặt hệ trục tọa độ với hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy, đáy hình vuông, hình chữ nhật ⊕ Đặt hệ trục tọa độ với hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy, đáy có yếu tố vuông góc đỉnh mà cạnh bên vuông góc: Ví dụ hình thang vuông, tam giác vuông, tứ giác có hai cạnh vuông góc ⊕ Đặt hệ trục với hình chóp tam giác GV Ths Nguyễn Mạnh Hùng 0947876689 Trang hoctoancapba.com Chuyên đề luyện thi đại học-PP tọa độ không gian ⊕ Đặt hệ trục với hình lăng trụ đứng, đáy tam giác vuông Trên số dạng số loại hình khối mà tọa độ hóa cách đơn giản Các bạn lưu ý tọa độ hóa khối đa diện Chỉ cần xác định đường cao khối đa diện thông thường lý thuyết ta đặt gốc tọa độ chân đường cao khối đa diện; trục cao (trục Oz) đường cao, sau ta dựng hai tia lại Nhưng thực hành giải toán tùy toán để đặt hệ trục tìm tọa độ đỉnh liên quan đến hình khối cần tính tìm cách dễ dàng không phức tạp Ví dụ toán sau: (Các bạn xem suy nghĩ nên đặt hệ trục sao) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, mặt phẳng (SBC) tạo với đáy góc 60 Mặt bên (SAB) vuông góc với đáy, tam giác SAB cân S Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SA, BC Bình luận Rõ ràng việc tính thể tích khối chóp không khó khăn, cần bạn nắm cách xác định góc hai mặt phẳng xác định Vì ý tính thể tích để bạn đọc tự suy nghĩ thực Với câu hỏi tính khoảng cách hai đường thẳng chéo này, bạn hoàn toàn thực theo hình tổng hợp Ở bàn luận việc đặt hệ trục tọa độ để thực ý thứ hai +) Trước hết bạn cần lưu ý: Xác định chiều cao hình chóp nào? Điều không khó: Vì sao? Hãy nhớ: “Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau, mặt dựng đường thẳng vuông góc với giao tuyến đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia” hoctoancapba.com Gắn vào hình chóp này: ta thấy mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy, mà giao tuyến hai mặt phẳng AB Ta cần tìm chiều cao cho nên, bạn cần từ S dựng SH vuông góc với AB, H thuộc AB, tam giác SAB cân S H trung điểm AB Tức bạn xác định chiều cao chân đường vuông góc Vậy đặt hệ trục tọa độ Các bạn vẽ hình đặt hệ trục sau: GV Ths Nguyễn Mạnh Hùng 0947876689 Trang hoctoancapba.com Chuyên đề luyện thi đại học-PP tọa độ không gian a a 3a Tính toán tọa độ điểm (căn vào phần trước), ta có: O(0;0;0), A(0; − ;0), B(0; ;0), C ( a;0;0), S (0;0; ) 2 áp dụng công thức tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: SA, BC ta có: uur uuur uuur |  SA, BC  AB | d ( SA, BC ) = uur uuur , ta thu kết cần tính |  SA, BC  | Kể không phức tạp không bạn Các bạn suy nghĩ có cách đặt hệ trục tọa độ khác không Sau trình bình số ví dụ cụ thể dạng toán để bạn hiểu rõ vấn đề b Các ví dụ Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi N trung điểm B’C’ a Chứng minh rằng: AC’ vuông góc với (A’BD) b Tính thể tích khối tứ diện ANBD’ c Tính góc khoảng cách hai đường thẳng AN BD’ d Tính khoảng cách từ C đến mp(AC’D) Giải Các bạn lưu ý, tính toán chứng minh yếu tố liên quan đến hình lập phương, thực phương pháp tổng hợp, không trình bày phương pháp nữa, mà giải toán theo phương pháp tọa độ hoctoancapba com Như nói phần trước, với hình lập phương hình hộp chữ nhật việc chọn hệ trục tọa độ dễ dàng Tôi chọn hệ trục sau (Các bạn chọn hệ trục khác giải theo cách bạn) Khi ta có tọa độ đỉnh hình lập phương sau: A '(0;0;0), B '( a;0;0), D '(0; a;0), C '(a; a;0), A(0;0; a), B( a;0; a ), a C ( a; a; a ), D(0; a; a ), N (a; ;0) a Mục đích ta chứng minh đường thẳng vuông góc với GV Ths Nguyễn Mạnh Hùng 0947876689 Trang hoctoancapba.com Chuyên đề luyện thi đại học-PP tọa độ không gian mp Ta véc tơ phương đường thẳng phương với véc tơ pháp tuyến mp (A’BD) uuuu r uuuur uuuur 2 Ta có: AC ' = ( a; a; − a),  A ' B, A ' D  = (− a ; − a ; a ) véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (A’BD) Ta thấy hai véc tơ phương Vì ta có AC’ vuông góc với mp (A’BD) b Tính thể tích tứ diện ANBD’ Ta có công thức tính thể tích tứ diện là: VANBD ' = uuu r uuur  uuuur a    Ta có:  AB, AN  =  0; a ; ÷, AD ' = (0; a; −a ),   uuur uuur uuuur |  AN , AB  AD ' |  uuur uuur uuuur a  AB, AN  AD ' = Do thể tích tìm là: V = a   12 c Để tính góc hai đường thẳng khoảng cách hai đường thẳng ta sử dụng hai công thức sau: rr r r uuu r rr r r | a.b | | [a,b] AB | rr Cos(a, b)=|cos(a,b)|= r r ; d ( a, b) = Với a, b véc tơ phương đường thẳng a b | a || b | | [ a,b] | Đường thẳng a,b qua hai điểm A B uuur uuuu r | AN BD ' | r = Do ta có góc hai đường thẳng AN BD’ là: cos(AN, BD')= uuur uuuu | AN || BD ' | uuuuruuuu r uuu r |  AN , BD ' AB | a 26 = uuuuruuuu r Khoảng cách hai đường thẳng là: d ( AN , BD ') = 26 |  AN , BD ' | d Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (AC’D) Viết trình mp (AC’D), Mặt phẳng (AC’D) có véc tơ pháp uuuu r uphương uur r tuyến phương với 2 [ AC ', AD]=(-a ;0;-a ) Ta chọn véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (AC’D) n = (1;0;1) Vì phương trình mặt phẳng (AC’D) là: x + z –a =0 Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ta có khoảng a cách là: d (C , ( AC ' D)) = Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có cạnh AB =1, AD = 1, AA’ = a Tính khoảng cách hai đường thẳng A’C BD b Gọi (Q) mặt phẳng qua A vuông góc với A’C Tính diện tích thiết diện hình chóp A’.ABCD cắt mặt phẳng (Q) Chúng ta đặt hệ trục tọa độ giống ví dụ Từ ta tính tọa độ đỉnh sau: A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A '(0;0; 2) a Dành cho bạn đọc tự tính toán GV Ths Nguyễn Mạnh Hùng 0947876689 Trang hoctoancapba.com Chuyên đề luyện thi đại học-PP tọa độ không gian b Với toán này, bạn viết phương trình mp (Q) , đường thẳng: A’B, A’C, A’D tìm 2 1 2 giao điểm với mp (Q), ta có tọa độ giao điểm là: M ( ;0; ), N ( ; ; ), P(0; ; ) 3 2 3 Ta có thiết diện tứ giác AMNP Và diện tích tứ giác là: S AMNP = S AMN + S ANP = 2 Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh BD = 2 Mặt bên tạo với mặt đáy góc 600 a Tính thể tích khối chóp, xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SB AC c Tính góc hai mặt phẳng (SAB) (SCD) d Gọi I trọng tâm tam giác SAB, tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABCD) (SCD) Giải hoctoan capba.com Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có tọa độ đỉnh sau: O(0;0;0), B ( 2;0;0), D( − 2;0;0), C (0; 2;0), A(0; − 2;0), S (0;0; 3) Đến công việc lại tính toán, để dành cho bạn đọc Các bạn thấy tọa độ hóa khối đa diện việc giải toán hình không gian trở nên đơn giản nhiều Sau xét số khối đa diện mà việc tọa độ tính toán phức tạp Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh tâm O, SO vuông góc với đáy; cạnh bên SA = 3, SB = Gọi M trung điểm cạnh SC a Tính góc khoảng cách hai đường thẳng: SA BM b Mp (AMB) cắt SD N Tính thể tích khối chóp S.ABMN GV Ths Nguyễn Mạnh Hùng 0947876689 Trang hoctoancapba.com Chuyên đề luyện thi đại học-PP tọa độ không gian Giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Ta có tọa độ đỉnh sau: O(0;0;0), A(2;0;0), B(0;1;0), S (0;0; 2), D(0; −1;0), C ( −2;0;0), M (−1;0; 2) uur uuuu r | SA.BM | r = a Ta có cos( SA, BM ) = uur uuuu Do góc | SA | | BM | hai đường thẳng 600 Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi vuông góc S Tìm M hình chóp cho tổng khoảng cách từ M đến mp (SAB), (SAC), (SBC) bằng: a b OM Giải Đặt hệ trục tọa độ hình vẽ Khi điểm M (x;y;z), x, y , z ≥ Ta được: d ( M , Oxy )) =| z |= z , d ( M , (Oyz )) =| x |= x, d ( M , (Ozx)) =| y |= y Từ tổng khoảng cách là: d = x + y + z a Ta có ngay: x + y + z = Vậy M thuộc mặt phẳng giới hạn tam giác ABC , A(1;0;0), B(0;1;0), C (0;;0;1) b Ta có x + y + z = OM ⇔ ( x + y + z ) = 2OM ⇔ ( x + y + z ) = 2( x + y + z ) ⇔ ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = Vậy M thuộc mặt cầu tâm I(1;1;1), bán kính R = Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA = a a Tính góc hai mp (SAD) (SBC) b Tính góc hai mp (SCD) (SBC) c Tính khoảng cách từ A, D đến (SBC) cách từ AB đến mp(SCD) d Tính khoảng Giải GV Ths Nguyễn Mạnh Hùng 0947876689 Trang hoctoancapba.com Chuyên đề luyện thi đại học-PP tọa độ không gian Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Ta có A(0;0;0), B(2a;0;0), C ( 3a a a a ; ;0), D( ; ;0), S (0;0; a 3) 2 2 ur uu r uu r Gọi n1 , n2 , n3 véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (SAD), (SBC), (SCD), Ta có: ur uu r uu r n1 (− 3;1;0), n2 ( 3;1; 2), n3 (0; 2;1) Từ áp dụng công thức tính góc khoảng cách ta tính góc khoảng cách cần tìm c Bài tập tự luyện Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, SA = a Gọi M trung điểm AB Tính khoảng cách hai đường thẳng SM BC (ĐS: d = a / ) Bài Cho hình vuông ABCD cạnh a Từ điểm H cạnh AB dựng SH vuông góc với (ABCD), biết góc hai mp (SAD) mặt đáy 600 a Tính SH khoảng cách từ H đến (SCD) cạnh AD (ĐS: a SH = b Tính góc hai mp (SBC) (SCK) biết K trung điểm a , d ( H , ( SCD)) = a 21 / , b α = 900 ) Bài Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, AC = a Tam giác SAB cân S, nằm mp vg với đáy, cạnh bên SA tạo với đáy góc α cho tan α = a Tính thể tích khối chóp S.ABCD b Tính khoảng cách từ O đến (SCD) c Tính khoảng cách từ A đến (SBC) (ĐS: b d (O, ( SCD)) = a 21 /14 , b d ( A, ( SBC )) = 2a 57 /19 ) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông, đường cao AB, BC = 2a, SA = a SA vuông góc với đáy Biết SC vuông góc với BD a Tính độ dài đoạn thẳng AD b tính thể tích khối chóp S.ABCD c Gọi M điểm đoạn SA, AM =x, Tính độ dài đường cao DE tam giác BDM theo a, x Tìm x để DE có giá trị lớn nhất, nhỏ (ĐS: a AD = a , c DE max = a x = a, DE = a x = ) 2 · Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông C, với AB =2a, BAC = 300 , SA = 2a vuông góc với đáy a Tính thể tích khối chóp S.ABC b Gọi M điểm di động cạnh AC cho AM = x, ( ≤ x ≤ a ) Tính khoảng cách từ S đến BM theo a, x Tìm x để khoảng cách đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Bài (ĐH Đà Nẵng khối A năm 2001.) Cho tứ diện S.ABC có SC = CA = AB = a SC vuông góc với (ABC), tam giác ABC vuông A, điểm M , N thuộc SA BC cho AM=CN=t (0< t