Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian

Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 2-Hình chóp đều S.ABCD Cách chọn 1: Cách chọn 2: Gốc O trùng với tâm của hình vuông ABCD, Oz Gốc O trùng với tâm của [r]

Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Hình học nói chung và hình không gian lớp 11 nói riêng là chuyên đề tương đối khó với đa số học sinh Khó khăn này bao gồm nhiều nguyên nhân, nhìn chung là các em chưa chuẩn bị kĩ càng và đầy đủ phương pháp, thuật toán để giải bài toán Do vậy, chúng tôi viết chủ đề này với mục đích trang bị, hệ thống cho các em phương pháp tốt để giải lớp các bài toán hình học A-MỘT SỐ BÀI TOÁN MỞ ĐẦU: (Kỳ thi Đại Học to àn quốc) Bài tập 1: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc tọa độ với B ( a;0;0 ) , D ( 0; a;0 ) , A ' ( 0;0; b ) ( a > 0, b > ) Gọi M là trung điểm cạnh CC’ a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a, b b) Xác định tỷ số a để mp(A’BD) và (MBD) vuông góc với b Bài tập 2: Cho tứ diện OABC với A 0;0; a , B ( a;0;0 ) , C 0; a 3;0 ( a > ) Gọi M là ( ) ( ) trung điểm BC Tính khoảng cách đường thẳng AB và OM Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD gốc tọa độ O ( ) Biết A ( 2;0;0 ) , B ( 0;1;1) , S 0;0;2 Gọi M là trung điểm SC a) Tính góc và khoảng cách đường thẳng SA, BM b) Giả sử mp(ABM) cắt đường thẳng SD điểm N Tính thể tích khối chóp S.ABMN Bài tập 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ Biết A ( a;0;0 ) , B ( - a;0;0 ) , C ( 0;1;0 ) , B ' ( -a;0; b ) ( a > 0, b > ) a) Tính khoảng cách đường thẳng B’C và AC’ theo a, b b) Cho a, b thay đổi, luôn thỏa a + b = Tìm a, b để khoảng cách đường thẳng B’C và AC’ lớn Bài tập 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ với A ( 0; -3;0 ) , B ( 4;0;0 ) , C ( 0;3;0 ) , B ' ( 4;0;4 ) a) Xác định tọa độ A’, C’ Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mp(BCC’B’) b) Gọi M là trung điểm A’B’ Viết phương trình mp(P) qua điểm A, M và song song BC’ Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A’C’ N Tính độ dài MN Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AC cắt BD gốc O Biết ( ) ( A - 2; -1;0 , B ) 2; -1;0 , S ( 0;0;3) a) Viết phương trình mặt phẳng qua trung điểm M cạnh AB, song song với đường thẳng AD và SC b) Gọi (P) là mp qua B và vuông góc với SC Tính diện tích thiết diện hình chóp S.ABCD với mp(P) Bài tập 7: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A ( 0;0;0 ) , B (1;0;0 ) , D ( 0;1;0 ) , A ' ( 0;0;1) Gọi M, N là trung điểm AB và CD a) Tính khoảng cách đường thẳng A’C và MN b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mp(Oxy) góc q với cos q = Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 Bài tập 8: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có A ( 0;0;0 ) , B ( 2;0;0 ) , C ( 0;2;0 ) , A ' ( 0;0;2 ) a) Chứng minh: A’C ^ BC’ Viết phương trình mp(ABC’) b) Viết phương trình hình chiếu vuông góc đường thẳng B’C lên mp(ABC’) B-NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP: I- Sự cần thiết phương pháp: + Xuất phát từ nhu cầu: có phương pháp hiệu việc giải các bài tập HHKG11 + Học sinh thường ngại và lúng túng gặp bài toán toán HHKG túy + Đáp ứng yêu cầu phát triển tư và nâng cao trình độ chất lượng bài học trường THPT + Giải kịp thời yêu cầu giảng dạy và học Toán tình hình II- Tư thuật toán: Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz Suy tọa độ các điểm liên quan (phụ thuộc theo giả thiết độ dài) Bước 2: Chuyễn ngôn ngữ (yêu cầu đề bài) hình học túy sang ngôn ngữ (kỹ năng) tọa độ Oxyz II- KỸ NĂNG CHỌN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ: Loại I-TAM DIỆN: 1-Tam diện vuông 2- Tam diện có góc vuông z z C 1 x 1 O y x O y Ta có thể chọn hệ tọa độ chứa góc phẳng đó Loại II -HÌNH CHÓP: 1-Hình chóp S.ABC Gốc O trùng với trọng tâm G đáy, Oz trùng với đường cao hình chóp Đáy chóp S.ABC: A z S x H B G y C C A y G x Giáo viên: LÊ BÁ BẢO B Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 2-Hình chóp S.ABCD Cách chọn 1: Cách chọn 2: Gốc O trùng với tâm hình vuông ABCD, Oz Gốc O trùng với tâm hình vuông trùng với đường cao hình chóp ABCD, Oz trùng với đường cao hình chóp z z S S D C O C D x A O y y B x A Đáy chóp S.ABCD: D B Đáy chóp S.ABCD: C D C O y O A B x A y B x 3- Hình chóp S.ABCD có SA ^ ( ABCD ) : 3-1) Đáy ABCD là hình chữ nhật Gốc O trùng với đỉnh A hình chữ nhật ABCD, Oz trùng với đường cao hình chóp z 3-2) Đáy ABCD là hình thoi, BAC = 600 Gốc O trùng với đỉnh A hình thoi ABCD, Oz trùng với đường cao hình chóp z S S D A y A B x x Đáy chóp S.ABCD: A D O C D y y B C Đáy chóp S.ABCD: A 60 B C x 30 B D x y C Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 4- Hình chóp S.ABC có SA ^ ( ABC ) : 4-1) Đáy ABC là tam giác vuông A 4-2) Đáy ABC là tam giác vuông B Gốc O trùng với đỉnh A tam giác ABC, Gốc O trùng với đỉnh A tam giác ABC, Oz trùng với đường cao hình chóp Oz trùng với đường cao hình chóp z z S S A C B A y x B x C y Đáy chóp S.ABC: Đáy chóp S.ABC: A x B C y C B A x y 4-3) Đáy ABC là tam giác Gốc O trùng với đỉnh A tam giác ABC, Oz trùng với đường cao hình chóp 4-3) Đáy ABC là tam giác cân A có BAC = 1200 Gốc O trùng với đỉnh A tam giác ABC, Oz trùng với đường cao hình chóp z z S S C A A y B x 30 30 C x y B Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 Đáy chóp S.ABC: Đáy chóp S.ABC: A A 30 30 B C x C x y y B 5- Hình chóp S.ABCD có ( SAB ) ^ ( ABCD ) 5-1 Đáy là hình chữ nhật ABCD 5-2 Đáy là hình thoi ABCD có góc BAD = 1200 Gốc O trùng với trung điểm cạnh AB, Oz trùng với đường cao hình chóp Gốc O trùng với trung điểm cạnh AB, Oz trùng với đường cao hình chóp z z S S B B C I I C y A A x D x D Đáy chóp S.ABCD: A y 60 Đáy chóp S.ABCD: D B y I I B x C A 60 C y x D Loại III- HÌNH LĂNG TRỤ: 1- Hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ 2- Hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ Gốc O trùng với đỉnh A hình vuông ABCD, Oz trùng với đường cao hình lăng trụ Gốc O trùng với đỉnh A tam giác ABC, Oz trùng với đường cao hình lăng trụ Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 z z A' A' C' D' C' B' B' D A y C A B x y C 30 x B Đáy lăng trụ ABCD.A’B’C’D’: Đáy lăng trụ ABC.A’B’C’: y A C D 30 x O C y B B A x 3- Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy làm tam giác ABC có BAC = 1200 4- Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy làm tam giác ABC có BAD = 1200 Gốc O trùng với đỉnh A tam giác ABC, Oz trùng với đường cao hình lăng trụ Gốc O trùng với đỉnh A tam giác ABC, Oz trùng với đường cao hình lăng trụ z z A' A' B' D' O' B' C' C' A A x D O B 30 x y B C C y Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 Đáy lăng trụ ABC.A’B’C’: Đáy lăng trụ ABCD.A’B’C’D’: A A 60 30 B C B x x 30 D y y C 6- Hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có hình chiếu A’ trùng với tâm đáy và ΔABC Gốc O trùng với trọng tâm G tam giác ABC, Oz trùng với đường cao lăng trụ 5- Hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có hình chiếu A’ trùng với tâm đáy và ΔABC vuông Gốc O trùng với đỉnh A tam giác ABC, Oz trùng với đường cao lăng trụ z z C' A' C' A' B' B' y A C B C A I y G x x Đáy lăng trụ ABC.A’B’C’: B Đáy lăng trụ ABC.A’B’C’: A A C y B x H G x B 7- Hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’: Gốc O trùng với đỉnh A hình chữ nhật ABCD, Oz trùng với đường cao hình lăng trụ 8- Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’: Gốc O trùng với đỉnh A hình vuông ABCD, Oz trùng với đường cao hình lăng trụ z z A' B Giáo viên: LÊ BÁ BẢO D' C' B' D A x A' D' C' B' C y D A y x C Lop12.net B y C Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 Đáy lăng trụ ABCD.A’B’C’D’: Đáy lăng trụ ABCD.A’B’C’D’: A D y y D C O B C A x B x III- Chuyển ngôn ngữ hình học túy sang ngôn ngữ tọa độ: Ngôn ngữ Hình Học 1) Chứng minh hai đường thẳng d1 và d2 vuông góc 2) Xác định góc hai đường thẳng 3) Chứng minh đường thẳng d1 và d2 song song 4) Tính diện tích tam giác ABC 5) Tính diện tích tứ giác ABCD Ngôn ngữ  Tọa độ d1 có vectơ phương u1 ( x1; x2 ; x3 )  d2 có vectơ phương u2 ( y1 ; y2 ; y3 )   Ycbt: u1.u2 = Û x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 =   u1.u2 cos a =   u1 u2      ìï[ u1 , u2 ] = ìu1 = ku2 í í ïî A Î d1 Þ A Ï d2 î A Î d1 Þ A Ï d2    S ABC = ëé AB, AC ûù     S ABCD = S ABC + S ACD = éë AB, AC ùû + éë AC , AD ùû 2 6) Tính kho ảng cách đường thẳng chéo d1 và d M Î d1 ; M Î d    [ u1 , u2 ] M 1M Þ d(d1 ; d ) =   [ u1 , u2 ] 7) Tính kho ảng cách từ điểm đến mặt ph ẳng M ( x0 ; y0 ; z0 ); ( P ) : ax + by + cz + d = 8) Tính kho ảng cách từ điểm đến đường thẳng 9) Tính thể tích hình chóp S.ABC 10) Tính th ể tích hình chóp S.ABCD 11) Th ể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ 12) Ch ứng minh CK ^ ( MNP ) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Þ d ( M ;( P ) ) = ax0 + by0 + cz0 + d a + b2 + c2  M ( x0 ; y0 ; z0 ); d có 1vtcp a ( a1 ; a2 ; a3 ) ; N Î d  é M N , a ù ë û Þ d (M ; d ) =  a    VS ABC = éë SA, SB ùû SC VS ABCD = VS ABC + VS ACD       = éë SA, SC ùû SB + éë SA, SC ùû SD 6    VABCD A ' B ' C ' D ' = ëé AB, AD ûù AA '   ïìCK MN = Chỉ rõ í   ïîCK MP = Tổ Toán THPT Phong Điền Lop12.net Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN  13) Chứng minh PH // ( ABC ) ìï PH.n ABC = ( ) Chỉ rõ í ïî P Ï ( ABC ) *Lưu ý: Các yêu cầu khác thì chuyển tương tự Luyện thi Đại học 2012 C- BÀI TẬP MINH HỌA: Bài tập 1: Cho tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông O, OB=a, OC= a , (a>0) và đường cao OA= a Gọi M là trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AB và OM Hư ớng dẫn: Cách 1: Ứng dụng tọa độ Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi đó: z æa a ö A O(0;0;0), A(0;0; a 3); B(a;0;0), C (0; a 3;0), M ç ; ; 0÷ è2 ø  ì AB = a;0; - a ïï Bước 2: Ta có: í  æ a a ö ;0 ÷÷ ïOM = çç ; O C y è2 ø îï ( )   æ 3a M 3a 3a ö  B Þ é AB, OM ù = çç ; ; ÷ và OB = ( a;0;0 ) x ÷ ë û 2 ø è    OB éë AB, OM ùû a 15 = Lúc đó: d ( AB; OM ) =   é AB, OM ù ë û Cách 2: Phương pháp hình học sơ cấp Gọi N là điểm đối xứng C qua O Ta có: OM // BN (tính chất đường trung bình) Þ OM // (ABN) Þ d(OM;AB) = d(OM;(ABN)) = d(O;(ABN)) Dựng OK ^ BN , OH ^ AK ( K Î BN ; H Î AK ) Ta có: AO ^ (OBC ); OK ^ BN Þ AK ^ BN BN ^ OK ; BN ^ AK Þ BN ^ ( AOK ) Þ BN ^ OH OH ^ AK ; OH ^ BN Þ OH ^ ( ABN ) Þ d (O; ( ABN ) = OH Từ các tam giác vuông OAK; ONB có: 1 1 ö 1 a 15 æ = + = +ç + = + + = Þ OH = 2 2 2 ÷ OH OA OK OA è OB ON ø 3a a 3a 3a a 15 Bài tập 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A1B1C1 có các mặt bên là hình vuông cạnh a Gọi D, E, F là trung điểm các đoạn thẳng BC , A1C1 , C1B1 Tính khoảng cách DE và A1F Vậy, d ( OM ; AB ) = OH = Hư ớng dẫn: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 Do các mặt bên hình lăng trụ là hình vuông cạnh a nên là hình lăng trụ tam giác có tất các cạnh a Cách 1: Ứng dụng tọa độ Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi đó: æa a ö æa a ö O(0;0;0), A1 ( 0;0;0 ) , C ( a;0; a ) , C1 ( a;0;0 ) , B1 ç ; ;0 ÷ , B ç ; ;a÷ è2 ø è2 ø æa ö æ 3a a ö æ 3a a ö Suy ra: E ç ;0;0 ÷ , D ç ; ; a ÷÷ , F çç ; ;0 ÷÷ 4 è2 ø çè 4 ø è ø ì  æ a a ö ; a ÷÷ ï ED = çç ; ï è4 ø Bước 2: Ta có: í ï  æ 3a a ö ï A1 F = çç ; ;0 ÷÷ è ø î z A C D B a   æ 3a 3a - 3a ö  æ 3a a ö Þ é ED, A1 F ù = çç ; ; ; a ÷÷ ÷ và A1 D = çç ; ë û 4 ø÷ è è 4 ø 30 y   3a 9a 3a 51a é ù + + = Ta có: ED, A1 F = B1 ë û 16 16 64    A1 F éë ED, A1 F ùû a 17 y Lúc đó: d ( A1 F; ED ) = =   17 é ù ë ED, A1 F û Cách 2: Phương pháp hình học sơ cấp Ta có: A1 F ^ ( BCC1 B1 ) Dựng EK // A1 F Þ EK ^ ( BCC1 B1 ) H A1 a C1 x K F A 30 a C B x Suy DK là hình chiếu vuông góc DE lên ( BCC1 B1 ) Dựng FH ^ DK Þ d ( ED, A1 F ) = FH Xét tam giác DFK vuông F: a 17 1 16 17 = + = + = Þ FH = 2 17 FH FK FD a a a a 17 17 Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân A, AB = AC = a (a > 0), hình chiếu S trên đáy trùng với trọng tâm G DABC Đặt SG = x (x > 0) Xác định giá trị x để góc phẳng nhị diện ( B; SA; C ) 60o Kết luận: d ( A1 F; ED ) = a a ; AG = Gọi E, F là hình chiếu G lên AB, AC Tứ giác AEGF là hình vuông a Þ AG = AE Þ AE = AF = Hư ớng dẫn: Ta có: BC = a Gọi M là trung điểm BC Þ AM = Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 10 Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 Cách 1: Ứng dụng tọa độ æa a ö æa a ö Chọn hệ trục hình vẽ: A(0;0;0), B(a;0;0), C(0; a; 0), G ç ; ; ÷ , S ç ; ; x ÷ è3 ø è2 ø  æ a a ö  æ 2a a   ö æ a 2a ö SA = ç ; ; x ÷ , SB = ç ; - ; - x ÷ , SC = ç - ; ; - x ÷ è3 ø è ø è 3 ø   æ ö é SA, SB ù = ç 0; ax; - a ÷ = a æç 0; x; - a ö÷ = a.n1 , với n1 = æç 0; x; - a ö÷ ë û ø 3ø 3ø è è è   æ ö é SA, SC ù = ç -ax;0; a ÷ = -a æç x;0; - a ö÷ = -a.n2 , với n2 = æç x; 0; - a ö÷ ë û ø 3ø 3ø è è è  é   ù Mặt phẳng (SAB) có vectơ pháp tuyến n1 = ë SA, SB û    Mặt phẳng (SAC) có vectơ pháp tuyến n2 = éë SA, SC ùû Góc phẳng nhị diện ( B; SA; C ) 60o Û cos 60 = o z a a 0.x + x.0 + 3 a2 0+ x + S a2 = 9x + a2 a2 x +0+ a2 a = Û x + a = 2a Û x = a Û x = 2 9x + a E a a Kết luận: x = B y Cách 2: Phương pháp hình học sơ cấp Gọi M là trung điểm BC Þ AM ^ BC (DABC vuông cân) Ta có: SG ^ ( ABC ) Þ SG ^ BC Suy ra: BC ^ ( SAM ) x Û F A a C G M Dựng BI ^ SA Þ IM ^ SA và IC ^ SA Þ BIC là góc phẳng nhị diện ( B; SA; C ) DSAB = DSAC (c - c - c) Þ IB = IC Þ DIBC cân I a a BC = ; AG = 2 AM a DAIM ~ DAGS Þ IM = SG = x = 2 AS SG + AG BC = a 2; AM = BM = MC = Û IM = 3ax 2 x + 2a ax 2 x2 + 2a a 3.3ax = 2 2 x + 2a a Û x + 2a = 3x Û x + 2a = 27 x Û 18 x = 2a Û x = a Û x = a Kết luận: x = Ta có: BIC = 60o Û BIM = 30o Û BM = IM tan 30o Û Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 11 Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền x Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 Bài tập 4: (Trích đề thi Đại học khối A – 2002) Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy là a Gọi M, N là trung điểm SB, SC Tính theo a diện tích DAMN, biết (AMN) vuông góc với (SBC) Hư ớng dẫn: Gọi O là hình chiếu S trên (ABC), ta suy O là trọng tâm DABC Gọi I là trung điểm a a a z BC, ta có: AI = BC = , OI = Þ OA = 2 S Trong mặt phẳng (ABC), ta vẽ tia Oy vuông góc với OA Đặt SO = h, chọn hệ trục tọa độ hình vẽ ta được: æa ö M N O ( 0;0;0 ) , S ( 0;0; h ) , A ç ; 0; ÷ h è ø æ a ö æ a a ö B ; 0; ÷ , B ç ; ; 0÷ , Þ I çC y 6 ø è ø è O a æ a a ö æ a a hö æ a a hö Cç;- ; 0÷ , M ç ; ; ÷ và N ç ; - ; ÷ A x ø 2ø è è 12 ø è 12    æ ah   æ 5a ö  a2 ö Þ n ( AMN ) = éë AM , AN ùû = ç ; 0; ÷ , n ( SBC ) = éë SB, SC ùû = ç - ah; 0; ÷ 24 ø ø è è   5a é   ù 10a 2 AMN SBC n n h S AM , AN ^ Û = Þ = Þ = = ( ) ( ) DAMN ( AMN ) ( SBC ) û 12 2ë 16 Bài tập 3: Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' cạnh a Chứng minh AC' vuông góc với mặt phẳng (A'BD) Hư ớng dẫn: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O º A; B Î Ox; D Î Oy và A' Î Oz Þ A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A'(0;0;a), C'(1;1;1) Þ Phương trình đoạn chắn mặt phẳng(A'BD): x + y + z = a hay  x + y + z –a = ÞPháp tuyến mặt phẳng (A'BC): n ( A ' BC ) = (1;1;1) và AC ' = (1;1;1) = 1.n ( A ' BC ) Kết luận: AC' vuông góc với (A'BC) Bài tập 5: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' các các mặt bên là hình vuông cạnh a Gọi D, F là trung điểm các cạnh BC, C'B' Tính khoảng cách hai đường thẳng A'B và B'C' Hư ớng dẫn: Cách 1: Ứng dụng tọa độ Vì các các mặt bên lăng trụ là hình vuông nên AB = BC = CA = A ' B ' = B ' C ' = C ' A ' = a Þ các tam giác ABC, A’B’C’ là các tam giác Chọn hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đôi vuông góc æa a ö æ a a ö æa a ö æ a a ö ; 0÷, C ç - ; ; ÷ , A '(0; 0; a ), B ' ç ; ; a ÷ , C 'ç - ; ; a÷ A(0;0;0), B ç ; è2 ø è 2 ø è2 ø è 2 ø Ta có: B ' C '//BC , B ' C '// ( A ' BC ) Þ d ( B ' C '; A ' B ) = d ( B ' C '; ( A ' BC ) ) = d ( B '; ( A ' BC ) )  æ a a ö  æ a a ö A' B = ç ; ; - a ÷ , A 'C = ç - ; ; - a÷ è2 ø è 2 ø Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 12 Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012   æ ö æ ö æ ö é A ' B, A ' C ù = ç 0; a ; a ÷ = a ç 0; 1; ÷ = a n , với n = ç 0; 1; ÷ ë û è ø è ø è ø  ’ ’ Phương trình mặt phẳng (A BC) qua A với vectơ pháp tuyến n : 3 a ( x - ) + 1( y - ) + =0 ( z - a ) = Û ( A ' BC ) : y + z 2 z a 3 a A' C' + a a 21 2 F Þ d ( B ', ( A ' BC ) ) = = B' 1+ H a 21 a Kết luận: d ( A ' B; B ' C ') = Nhận xét: Ở bài tập trên chúng ta đã dùng công thức!! Cách 2: Phương pháp hình học sơ cấp A a C x Vì các các mặt bên lăng trụ là hình vuông nên 30 AB = BC = CA = A ' B ' = B ' C ' = C ' A ' = a D y ’ ’ ’ Þ các tam giác ABC, A B C là các tam giác B Ta có: B ' C '//BC Þ B ' C '//( A ' BC ) Þ d ( A ' B; B ' C ') = d ( B ' C '; ( A ' BC ) ) = d ( F ; ( A ' BC ) ) ì BC ^ FD Ta có: í Þ BC ^ ( A ' FDA ) î BC ^ A ' D (DA'BC caân taïi A') Dựng FH ^ A ' D Vì BC ^ ( A ' FDA ) Þ BC ^ FH Þ H ^ ( A ' BC ) 1 a 21 = + = + = Þ FH = 2 FH A' F FD a 3a 3a a 21 Kết luận: d ( A ' B; B ' C ') = FH = Bài tập 6: Tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi vuông góc với nhau, AB = 3, AC=AD=4 Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) z Hư ớng dẫn: D + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A º O, D ÎOx; C Î Oy và B Î Oz Þ A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0) Þ Phương trình mặt phẳng (BCD) là: H x y z + + = Û x + y + z - 12 = C y A 4 12 Suy ra: d ( A; ( BCD ) ) = K 34 Xét ΔA ' FD vuông có: B x Bài tập 7: Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đôi vuông góc Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách đến các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) là 1, 2, Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ Hư ớng dẫn: Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 13 Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 d(M, (OAB)) = Þ zM = z Tương tự Þ M(1; 2; 3) A x y z Þ (ABC): + + = a b c 1 M Î ( ABC ) Þ + + = (1) Ta có: VO ABC = abc (2) a b c a 3 (1) Þ = + + ³ a b c a b c O c C y b Þ abc ³ 27 B x (2) Þ Vmin = 27 Û = = = a b c Bài tập 8: Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông A, AD = a, AC = b, AB = c Tính diện tích tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh 2S ³ abc ( a + b + c ) Hư ớng dẫn: Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có: A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a)  ìï BC = ( -c; b;0 )   Ta có: í  Þ éë BC , BD ùû = ( ab; ac; bc ) îï BD = ( -c;0; a )   2 Suy ra: S BCD = éë BC , BD ùû = a b + a 2c + b 2c 2 ñpcm Û a 2b + a 2c + b 2c ³ abc ( a + b + c ) Û a 2b + a 2c + b 2c ³ abc(a + b + c) Theo bất đẳng thức Cachy ta có: a 2b + b 2c ³ 2ab 2c ü ï b 2c + c a ³ 2bc a ý ï c a + a 2b ³ 2ca 2b þ Coäng veá : a 2b + a 2c + b 2c ³ abc ( a + b + c ) Bài tập 9: Cho hình lăng trụ ABC A1 B1C1 có đáy là tam giác cạnh a Biết AA1 = a và AA1 vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi D là trung điểm BB1 ; M di động trên cạnh AA1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ diện tích tam giác MC1 D Hư ớng dẫn: + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi đó: A(0;0;0), B(0;a;0); A1 ( 0;0;2a ) æa a ö C1 ç ; ; 2a ÷ và D(0;a;a) è 2 ø Do M di động trên AA1 , tọa độ M ( 0;0; t ) với t Î [ 0;2 a ]   Ta có : SDDC1M = éë DC1 , DM ùû Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 14 Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 ì  æ a a ö ;- ;a÷   ïï DC1 = ç ø Þ é DG , DM ù = æç - a ( t - 3a ) ; ( t - a ) ; a ö÷ Ta có: í è ë û è ø ï  ïî DM = ( 0; - a; t - a ) z   a 2 é ù A1 Þ ë DG, DM û = (t - 3a) + 3(t - a) + 3a C1 a B1 4t - 12at + 15a = 2a a SDDC1M = 4t - 12at + 15a D 2 M Giá trị lớn SDDC1M tùy thuộc vào giá trị tham số t Xét f ( t ) = 4t - 12 at + 15a ( t Î [ 0;2 a ] ) A B a y 30 3a Ta có: f ( t ) = 8t - 12 a = Û t = / x C 15 t =0 hay M º A Bài tập 10: (Trích đề thi Đại học khối A – 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B, AB = BC = a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm AB; mặt phẳng chứa SM và song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S BCNM và khoảng cách hai đường thẳng AB và SN theo a Hư ớng dẫn: Phân tích: ìï( SAB ) ^ ( ABC ) * í Þ SA ^ ( ABC ) Như đường cao S.ABC là SA ^ SAC ABC ) ( ) ( ïî ïì BC ^ ( SAB ) Þ BC ^ SB và BC ^ AB nên góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) * í ïî SB Ì ( SAB ) là góc SBA Þ SBA = 600 Suy ra: SA = AB.tan 600 = 3a S + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Lập bảng biến thiên ta giá trị lớn SDDC1M = ( Khi đó: B ( 0;0;0 ) , A ( a;0;0 ) , C ( 0;2 a;0 ) , S a;0;2 a Þ M ( a;0;0 ) , N ( a; a;0 )  ì BS = a;0;2 3a ï    ï Ta có: í BM = ( a;0;0 ) Þ éë BM, BN ùû = 0;0; a2 x ï  ï BN = ( a; a;0 ) î    3 Suy ra: VS BMN = BS é BM, BN ù = a (đ.v.t.t) ë û    3 a (đ.v.t.t) Tương tự: VS BNC = BS éë BN , BC ùû = ( Giáo viên: LÊ BÁ BẢO ) ( a ) z ) 15 Lop12.net y N A M 2a C 60 2a B Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 Lúc đó: VS BCNM = VS BNM + VS BCN = 3a (đ.v.t.t) * Tính khoảng cách hai đường thẳng AB và SN theo a  ì BA = ( a;0;0 )    ï Ta có: í  Þ éë BA, SN ùû = 0;4 3a2 ;2 a2 và BS = a;0;2 a SN = - a; a; -2 a îï    BS éë BA, SN ùû 3a3 a 39 = = Lúc đó: d ( SN ; AB ) =   13 é BA, SN ù a 52 ë û D- BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Loại I: CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHÓP TAM GIÁC Bài tập 1: (Trích đề thi Đại học khối D – 2002) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) Bài tập 2: Cho DABC vuông A có đường cao AD và AB = 2, AC = Trên đường thẳng vuông góc với (ABC) A lấy điểm S cho SA = Gọi E, F là trung điểm SB, SC và H là hình chiếu A trên EF a) Chứng minh H là trung điểm SD b) Tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) và (ACE) c) Tính thể tích hình chóp A.BCFE Bài tập 3: Cho hình chóp O.ABC có các cạnh OA = OB = OC = 3cm và vuông góc với đôi Gọi H là hình chiếu điểm O lên (ABC) và các điểm A’, B’, C’ là hình chiếu H lên (OBC), (OCA), (OAB) a) Tính thể tích tứ diện HA’B’C’ b) Gọi S là điểm đối xứng H qua O Chứng tỏ S.ABC là tứ diện Bài tập 4: Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đôi vuông góc Gọi a , b , g là góc nhị diện cạnh AB, BC, CA Gọi H là hình chiếu đỉnh O trên (ABC) a) Chứng minh H là trực tâm DABC 1 1 = + + b) Chứng minh 2 OH OA OB OC c) Chứng minh cos a + cos b + cos g = ( ) ( ) ( ) d) Chứng minh cos a + cos b + cos g £ Bài tập 5: Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vuông góc với đôi Gọi M, N, P là trung điểm BC, CA, AB a) Tính góc j (OMN) và (OAB) b) Tìm điều kiện a, b, c để hình chiếu O trên (ABC) là trọng tâm DANP 1 c) Chứng minh góc phẳng nhị diện [N, OM, P] vuông và = + a b c Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABC có DABC vuông cân A, SA vuông góc với đáy Biết AB = 2, góc hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) 600 a) Tính độ dài SA b) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC) c) Tính góc hợp hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) Bài tập 7: Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vuông góc với đôi a) Tính bán kính r mặt cầu nội tiếp hình chóp b) Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 16 Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 Bài tập 8: (trích đề thi Đại học khối D – 2003) Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, giao tuyến là đường thẳng (d) Trên (d) lấy hai điểm A và B với AB = a Trong (P) lấy điểm C, (Q) lấy điểm D cho AC, BD cùng vuông góc với (d) và AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) theo a Bài tập 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông B, AB = a, BC = 2a Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a Gọi M là trung điểm SC a) Tính diện tích DMAB theo a b) Tính khoảng cách MB và AC theo a c) Tính góc hợp hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) Bài tập 10: Cho tứ diện S.ABC có DABC vuông cân B, AB = SA = Cạnh SA vuông góc với đáy Vẽ AH vuông góc với SB H, AK vuông góc với SC K a) Chứng minh HK vuông góc với CS b) Gọi I là giao điểm HK và BC Chứng minh B là trung điểm CI c) Tính sin góc SB và (AHK) d) Xác định tâm J và bán kính R mặt cầu ngoại tiếp S.ABC Bài tập 11: Cho hình chóp S.ABC có DABC vuông C, AC = 2, BC = Cạnh bên SA = và vuông góc với đáy Gọi D là trung điểm cạnh AB a) Tính cosin góc hai đường thẳng AC và SD b) Tính khoảng cách BC và SD c) Tính cosin góc hợp hai mặt phẳng (SBD) và (SCD) Bài tập 12: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh a SA vuông góc với đáy và SA = a a) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC) b) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB và SC Bài tập 13: Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy là a, đường cao SH = h Mặt phẳng (a) qua AB và vuông góc với SC a) Tìm điều kiện h theo a để (a) cắt cạnh SC K b) Tính diện tích DABK c) Tính h theo a để (a) chia hình chóp thành hai phần có thể tích Chứng tỏ đó tâm mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHÓP TỨ GIÁC Loại 2: Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy Gọi E là trung điểm CD a) Tính diện tích DSBE b) Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBE) c) Mặt phẳng (SBE) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần đó Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a a) Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD) b) Tính khoảng cách hai đường thẳng SD và AC c) Tính góc hợp hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh 3cm Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = cm Mặt phẳng (a) qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD H, M, K a) Chứng minh AH vuông góc với SB, AK vuông góc với SD b) Chứng minh BD song song với (a) c) Chứng minh HK qua trọng tâm G DSAC Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 17 Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 d) Tính thể tích hình khối ABCDKMH Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = b Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2a Gọi M, N là trung điểm cạnh SA, SD a) Tính khoảng cách từ A đến (BCN) b) Tính khoảng cách SB và CN c) Tính góc hai mặt phẳng (SCD) và (SBC) d) Tìm điều kiện a và b để cos CMN = Trong trường hợp đó tính thể tích hình chóp S.BCNM Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a DSAD và vuông góc với (ABCD) Gọi H là trung điểm AD a) Tính d(D,(SBC)), d(HC,SD) b) Mặt phẳng (a) qua H và vuông góc với SC I Chứng tỏ (a) cắt các cạnh SB, SD c) Tính góc hợp hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O SO vuông góc với đáy và SO = 2a , AC = 4a, BD = 2a Mặt phẳng (a) qua A vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD B ', C ', D ' a) Chứng minh DB ' C ' D ' b) Tính theo a bán kính mặt cầu nội tiếp S.ABCD Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a Đường cao SA = 2a Trên cạnh CD lấy điểm M, đặt MD = m (0 £ m £ a) a) Tìm vị trí điểm M để diện tích DSBM lớn nhất, nhỏ a b) Cho m = , gọi K là giao điểm BM và AD Tính góc hợp hai mặt phẳng (SAK) và (SBK) CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH HỘP – LĂNG TRỤ ĐỨNG Loại 3: Bài tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi I, K, M, N là trung điểm A’D’, BB’, CD, BC a) Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng b) Tính khoảng cách IK và AD c) Tính diện tích tứ giác IKNM Bài tập 2: (Trích đề thi Đại học khối A – 2003) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tính góc phẳng nhị diện [B,A'C,D] Bài tập 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tìm điểm M trên cạnh AA’ cho (BD’M) cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ Bài tập 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a a) Chứng minh A’C vuông góc với (AB’D’) b) Tính góc (DA’C) và (ABB’A’) c) Trên cạnh AD’, DB lấy các điểm M, N thỏa AM = DN = k < k < a ( ) c-1) Chứng minh MN song song (A’D’BC) c-2) Tìm k để MN nhỏ Chứng tỏ đó MN là đoạn vuông góc chung AD’ và DB Bài tập 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 2, AD = 4, AA’ = Các điểm M,     N thỏa AM = m AD, BN = mBB ' (0 £ m £ 1) Gọi I, K là trung điểm AB, C’D’ a) Tính khoảng cách từ điểm A đến (A’BD) b) Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 18 Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp DA ' BD d) Tính m để diện tích tứ giác MINK lớn nhất, nhỏ Bài tập 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh là 2cm Gọi M là trung điểm AB, N là tâm hình vuông ADD’A’ a) Tính bán kính R mặt cầu (S) qua C, D’, M, N b) Tính bán kính r đường tròn (C) là giao (S) và mặt cầu (S’) qua A’, B, C’, D c) Tính diện tích thiết diện tạo (CMN) và hình lập phương Bài tập 7: (trích đề thi Đại học khối B – 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, góc BAD = 600 Gọi M, N là trung điểm cạnh AA’, CC’ a) Chứng minh B’, M, D, N cùng thuộc mặt phẳng b) Tính AA’ theo a để B’MDN là hình vuông Bài tập 8: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông A Cho AB = a, AC = b, AA’ = c Mặt phẳng (a) qua B và vuông góc với B’C a) Tìm điều kiện a, b, c để (a) cắt cạnh CC’ I (I không trùng với C và C’) b) Cho (a) cắt CC’ I b-1) Xác định và tính diện tích thiết diện b-2) Tính góc phẳng nhị diện thiết diện và đáy CÁC BÀI TẬP KHÁC: Bài tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’cạnh a a) CMR: A ' C ^ ( AB ' D ') b) CMR: A’C cắt (AB’D’) trọng tâm G DABC và A ' G = A ' C Bài tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh Gọi M, N là trung điểm BB’ và AD a) Tính khoảng cách đt C’D và MN b) Tính d ( A;(C ' MN )) Bài tập 3: Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD vuông góc với đôi Biết AB=b, AC=c, AD=d Gọi M, N là trung điểm AC, BC a) Tính góc đt AN và DM b) Tính góc AN và mp(DBC) c) Tính góc 2mp(ABC)&(DBC) Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA=h Tính khoảng cách đt AB và SC Bài tập 5: Chohình chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh a, SA=a, SA vuông góc với đáy Tính khoảng cách 2đt AB và SC Bài tập 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a a) Tính theo a khoảng cách đt A’B và B’D b) Gọi M, N, P là các trung điểm các cạnh A’B, CD, A’D’ Tính góc đt MP và C’N Bài tập 7: Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với đáy (BCD); AC=AD=4 cm, AB=3cm, BC=5cm Tính khoảng cách từ A đến (BCD) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 19 Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền