HOT hệ phương trình và các phương pháp giải nguyễn bá tuấn

Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA PEN – C 2015 - 2016 MÔN TOÁN NGUYỄN BÁ TUẤN HỆ PHƯƠNG TRÌNH & CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI (Phần 1: Biến đổi đại số phép thế) Tài liệu dành tặng học sinh https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 Khi gặp hệ phương trình ta có thứ tự ưu tiên cho hướng giải sau: + Sử dụng phép biến đổi đại số làm xuất phương trình tích phép - - - Phép : Hệ có phương trình bậc theo ẩn x y rút x theo y y theo x thay vào phương trình lại Ngoài tùy thuộc vào đề cụ thể mà ta cụm biểu thức hay số Nếu phương trình hệ có dạng hàm bậc x (y) giải PT bậc bình thường để tìm mối quan hệ x y Phương pháp hệ số bất định (UCT): Với vài hệ đơn giản ta quan sát thấy phương trình hệ có form giống thử cộng (trừ) vế tương ứng phương trình hệ xuất nhân tử chung Đỉnh cao việc kết hợp phương trình để tìm mối liên hệ x, y phương pháp hệ số bất định (UCT) Phương pháp liên hợp: biến đổi đưa phương trình hệ dạng nhân tử + Sử dụng PP đặt ẩn phụ: - Quan sát phương trình có chứa biệt thức: xy, x  y, ( x  y) , x  y , (x  y )2 đặt tổng – tích (P=x+y, S=xy) - Sơ chế hệ phép nhân, chia x, y, xy, x , y , x k , y k để xuất dấu hiệu đặt ẩn - phụ Với có chứa thường đặt thức làm ẩn phụ + Sử dụng PP hàm số + Sử dụng PP đánh giá + Sử dụng PP lượng giác + Kết hợp vận dụng nhiều phương pháp https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 CHUYÊN ĐỀ Sử dụng phép biến đổi đại số làm xuất phương trình tích phép 1.1 Phép rút -  x  x y  y  y x  x y  x (1)  Bài Giải hệ phương trình:  3 (2) x  y  x    Giải Dựa vào PT(2) => x=y nghiệm=> x  y Từ PT(1) nhận thấy hệ số tương ứng hạng tử bậc nhau, ta dễ dạng ghép cặp để tìm nhân tử chung: (1)   x  xy    x3 y  x y    x  y     x  y   x  x  xy  y   x y  9      x  y   x  x  y   9     x  x  y    (do x  y )  x  x  y   (3)  x  (2)  y  x3  7  y  x3  x x Thay vào (3) ta được:  7 x  x  x3     x     7 x3   x  x  x  x    x x    9     x3  x x3  7   x  x     x x   x  x x  x  x  x     (4) Xét hàm số: f ( x)  x3  x x  x  x  x  7  9, x  https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1   x  14 x  x8  70 x  49 3 f '( x)  3x   x  x    0, x    3  x  x   3 x  x  2     Suy f ( x ) đồng biến  0;   mà: f (1)  Suy ra: (4) có nghiệm x   y  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm:  x; y   1;   x  y  xy  x  3  Bài Giải hệ phương trình:  2 2  x 1  xy   y 1  x   Giải Bình phương vế phương trình (1): x  y  x y  x  3 Hệ phương trình tương đương với:  xy  x  3   xy  x  3    2 2   2  x  y  x y  x  3   x y  x  3    2 2 2 2  x  y  x y  8x y  x  y  x y  x  3    x   xy  x  3    x  0; y   2   y    x y  x  1     x  1  x  1; y      2 2    x  y  x y  x  3  x  y  x y  x  32    xy   y x   Bài Giải hệ phương trình:   y   x  1 x  x   x  x  1 2  Giải Nhận xét: từ phương trình (1) ta rút y theo biến x x   x  x  x  x  x  x    x   x   x   https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang Nên ta có (1)  y  Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i  x2   x   y  x 2x Phần 1  x2   x Thế y  x   x vào phương trình (2) ta có:   x   x   x  1 x  x   x  x   x x   x   x  1 x  x     x  1 1     x  1      x  1      x   (*)     Xét hàm số f ( x)  t  t  ta có: f '(t )   t   t2 t2   0, t    f (t ) đồng biến  (*)  f  x  1  f   x  x    x  x    x   x    y  Vậy hệ cho có nghiệm  2 y 1   x3  y  y  16 x (1)  Bài 4: Giải hệ phương trình:  2 1  y  1  x  (2)  Giải “Thế số” PT (2)  y  x  (3) Thay vào (1) ta được: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 x  x   y  x  y  y  16  x  x y  16 x     x  xy  16  x   y2   y  x  xy  16   y  x  16 5x  x  16  2    x   124 x  132 x  256   x  5x    x   y  3   x  1  y  2 x y  xy  x  y  Bài Giải hệ phương trình:  7 y   x  x  Giải Ta có từ (2) suy ra: y  x2  9x  (3) Thay (3) vào (1) ta được:  2x2  9x    x  x   7.4 x  2x2  9x   2x2   3x    9    7 7         x  x   x  x    28 x  x  24 x3  31x  99 x  54   x    x  2 1    x    x    x  18 x  54      x  9  33 2     x  9  33  Với x  1  y   suy hệ phương trình có nghiệm Với x  2  y    1   ;  2  16 suy hệ phương trình có nghiệm https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan 16    2;    Trang Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Với x  9  33  y  suy hệ phương trình có nghiệm  9  33  ;3       Với x  9  33  y  suy hệ phương trình có nghiệm Phần 1  9  33  ;3       Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y  là:  1   ; , 2  16    2; ,    9  33   9  33  ;3  ,  ;3       4      x2  y   Bài Giải hệ phương trình:   y   x  3 y  48 y  48 x  155   Giải Ta có (1)   x2 y Thay vào (2) ta có:   x2  y   x  3 y  48    48 x  155     y   x  3 y  16 x  48 x  11    y  x  11 y  x  1   y  4 x  11 (3)   y  4 x  (4)   x2 y   Từ (3) (1) ta  2   x   4 x  11 (*)     https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1  x  x   (6) (*)  x  18 x  36 x  18  x  18  x  1    x  x   (7)    18  12 12  36  24 x  y 12 Ta có (6)     x   18  12  y  12  36  24   12  3  18  12 12  36  24 x  y 12 (7)     x  3  18  12  y  12  36  24   12 2   x2 y   Thay (4) (1) ta có:  2   x   4 x  (**)     (**)  x  18 x  36 x  72    x  x  12  x  x  6   x  x   ( x  x  12  0, x)  x  3   y      x  3   y      x3  y  x  y  Bài Giải hệ phương trình:  2  x   1  y   Giải x   1  y    x  y Xét  x   x  2, y  x  2, y  (cả hai thỏa mãn HPT) Xét y  suy x  x  2 (thỏa mãn HPT) Xét y  x  2 Ta có: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 4 x  x3    y  y   x   x    y  y     (*)    2 2 4  x  y 4  x  y    y  3 xy  (1)  Suy xy    y  2 Vậy   x  10  xy (2)  Nhân (1) với + (2) ta được: y  x  6 xy  y  x  xy    y2 y  1  x x y y 1 đến bạn tự làm tiếp  1,  x x 2 y x  x  y  y   y  Bài Giải hệ phương trình:  2 y  xy   y  Giải Hệ phương trình cho tương đương:  y  2 y  y  1  x  y  y   y   2 y  y   y  2 x  y  y  y    2 y  xy   y  2 x  y  y  y    2 y  y  y  y  y  1   y  2 x  y  y  y     y  y  10 y  y    2 x  y  y  y   x      y  1  y 1   Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y    2;1   x y 1 1  y 1 1  Bài Giải hệ phương trình:   x y  x y   13 y  x  12  Giải https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i ĐK: y  1 Phần 1 Phương trình thứ hai hệ cho, tương đương: x  13  y  1  x y    (*) Ta thấy x  không nghiệm hệ => x  , phương trình thứ hệ cho tương đương: x   y 1 1  y 1 1  7  x y 1  x 1  Thế y 1  y 1  x 1 7x x 1 vào (*) ta được: 7x  x   x  x  1  13  1   7x 7x  x  x3  x  33 x  36  x Với x  , ta Với x  , ta x    x  1 x  3  x  x  12     x  y 1   y   y 1   y  8  Vậy hệ choc có nghiệm  x; y    1;   ,  3;0  9  16 x y  x   xy  y   xy  3  Bài 10 Giải hệ phương trình:  2 2 4 x y  xy  y   Giải Với y  không nghiệm hệ Với y  , ta chia phương trình thứ cho y , phương trình thứ hai cho y ta https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 10 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 cde  abf  ae2  bd  fc  * Như có công thức để tính k, xong việc giải PT(*) để tìm k công việc cồng kềnh, nhiều thời gian tính toán Nên sử dụng PP ta dùng phương pháp khác (đặt ẩn phụ, ) mà chưa tìm lời giải  x  xy  y  3(1)  Bài Giải hệ phương trình:   x  xy  x  y   0(2)  Giải Dùng PP UCT  x  y  xy   0(1)  HPT    xy  x  y   0(2) x  a   k1, b  1, c   k , d  7 k , e  5 k , f    k cde  4abf  ae  bd  fc  1  2k  7 k   5k   1  k  3  9k   1  k  5k    7k    3  9k  1  2k  2  k 1 Như sử dụng PP UCT ta k=1 Vậy ta có lời giải x  y   Cộng theo vế phương trình ta được: ( x  y  2)(2 x  y  3)    2 x  y   Với x + y – = ta có hệ: x  y   y   x x     2  x  xy  y   x  x(2  x)  (2  x)   y  Với 2x + y – = ta có hệ:  x   2 x  y    y   2x y 1    2  x  xy  y   x  x(3  x)  (3  x)    x     y  1  https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 36 Vậy hệ có nghiệm (1;1), (2;-1) Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1  x   2 x  y    y   2x y 1    2  x  xy  y   x  x(3  x)  (3  x)    x     y  1   x  y  (1)   Bài Giải hệ phương trình:   x  x  57   y (3 x  1)(2)  25  Giải Sử dụng UCT ta k  50 25 Lấy 25 lần phương trình (1) cộng theo vế với 50 lần phương trình (2) ta được:  3 x  y  25(3 x  y )2  50(3 x  y )  119    3 x  y  17      11  Giải ta nghiệm hệ  ;  ,  ;   5   25 25   x  xy  y  x  0(1)  Bài Giải hệ phương trình:   xy  y  y   0(2)  Giải Sử dụng UCT ta k  Lấy phương trình (1) cộng theo vế với lần phương trình (2) ta được:  x  y  1 ( x  y )  3( x  y )      x  y  2  y    x  3  2 Với x + 2y = -1, thay vào (2) ta được: y  y      y    x  3  2  https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 37 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1  1  x  3  y  2 Với x + 2y = -2, thay vào (2) ta được: y  y      1  x  3  y   Vậy hệ cho có nghiệm  y  xy  y  x  1  Bài Giải hệ phương trình sau:  2  y  xy  y  x  x   Giải  y  xy  x  y   (1)  Hệ cho   2 6 x  y  xy  x  y   (2)  Cộng (1) (2) vế theo vế ta được: y  3x  1 y  x  x  (*) Có  y  x  x  Do đó, (*) có hai nghiệm: y = x + 1; y = 2x * Với y  x  thay vào (1) ta được: - 3= (Vô nghiệm)  2  y  2 x   * Với y = 2x thay vào (1) ta được:  2  y  2 x   2  2  Vậy hệ cho có hai nghiệm:  ;    ;2           II Bài toán đặt với hệ mà dạng a1 x  b y  c1 xy  d1 x  e1 y  f1  1  ta dùng UCT để xử lý?  2 a2 x  b y  c2 xy  d x  e2 y  f     Dạng hệ mà x, y độc lập với https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 38 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1  x3  y  35(1)  Bài Giải hệ phương trình:  2 2 x  y  x  y (2)  Giải Phân tích: thấy pt (1) có bậc 3, PT(2) có bậc bậc biến x, y độc lập với nhau=> ta liên tưởng tới đẳng thức  u  v  => ý tưởng kết hợp PT đề đưa dạng  x  a   y  b Hướng dùng UCT: Do PT(2) có bậc nhỏ nên ý tưởng ta nhân thêm số k vào PT(2) kết hợp với PT(1) để đưa dạng  x  a    y  b  3 Vậy: PT (1)  kPT (2)  x3  kx2  4kx  y3  3ky  9ky  35  Ta cần tìm k để đưa PT dạng  x  a    y  b   3  k  3  Sử dụng đồng thức hệ số ta a  2 b   =>Lời giải Lấy phương trình (1) trừ lần phương trình (2) ta được: ( x  2)  (3  y )3  x  y  5(3)  y  2  x  Thế (3) vào phương trình (2) hệ ta được: y  y      y  3  x  Vậy nghiệm hệ (3;-2), (2;-3) Hướng dựa vào hệ số tự do: Từ hệ số tự 35 ta phân tích 35 thành số có dạng lập phương quen thuộc 35  27   33  23 ( x  2)3  ( y  3)3 =>ta hi vọng đưa dạng sau  3 ( x  3)  ( y  2) Nếu dạng ( x  2)  ( y  3)3 => hệ số x là: 6 => ta phải nhân 3 vào pt(2) Nếu dạng ( x  3)  ( y  2)3 => hệ số x là: 9 => ta phải nhân  (thằng nhân số lẻ => khả không được) nên thử: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan vào pt(2) Trang 39 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 Lấy phương trình (1) trừ lần phương trình (2) ta được: ( x  2)  (3  y )3  x  y  5(3)  y  2  x  Thế (3) vào phương trình (2) hệ ta được: y  y      y  3  x  Vậy nghiệm hệ (3;-2), (2;-3)  x3  y  91  Bài Giải hệ phương trình:  2 4 x  y  16 x  y  Giải Phần tích: Tương tự  k  3  + Nếu dùng UCT ta được: a  4 b   + Nếu phân tích hệ số tự do: ta có 91  64  27  43  33  x  3  x  4  9 x2 => ta cần nhân PT(2) với   12 x2 => ta cần nhân PT(2) với (ưu tiên hướng này) vậy: Lời giải Lấy phương trình (1) trừ lần phương trình (2) theo vế ta được: ( x  4)3    y   x   y (3) Thay (3) vào phương trình (2) hệ ta được: y   x  y  y  12    y  3 x  Vậy nghiệm hệ (3;4), (4;3)  x  y  240 (1)  Bài 7: Giải hệ phương trình:  3 2  x  y   x  y    x  y  (2)  Giải: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 40 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 Nhân (2) với lấy (1) trừ (2) ta được: x  y  x  16 y  240  24  x  y   32  x  y   x  x  24 x  32 x  16  y  16 y  96 y  256 y  256   x  2   y  4 2 x  y   x   y Với: x  y  lại vào (1) ta có:  y  2  y  240  y  y  y  28    y    y  y  14    y  2  x   Với x   y lại vào (1) ta có:  y  6  y  240  y  y  36 y  44    y    y  y  22    y 2 x 4 Vậy hệ cho có nghiệm  x; y    2; 4 , 2;  Dạng hệ mà x, y không độc lập với nhau:  x3  3xy  49(1)  Bài Giải hệ phương trình sau:  2  x  xy  y  y  17 x(2)  Giải Vì bậc x > bậc y nên ta biến đổi PT hệ theo ẩn y 3 y x  x  49  0(1)  PT   2  y  y  x  1  x  17 x  0(2)  Vì PT(2) có chứa y mà PT(1) không chứa y => thử với x= - để xem PT(1), (2) có dạng tương đương không? https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 41  3  y  16   Ta có với x=-1 hệ :    y  16   Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 Như ta nhân 3.PT(2)+PT(1) nhân tử chung (x+1) => lời giải Lấy phương trình (1) cộng theo vế với lần phương trình (2) ta được:  x  1; y  4  ( x  1)  ( x  1)  3( y  4)      x  1; y  Vậy nghiệm hệ (-1;-4), (-1;4) 6 x y  y  25  0(1)  Bài Giải hệ phương trình:  2 5( x  y )  xy  x  13 y  0(2)  Giải Vì bậc x < bậc y nên ta biến đổi PT hệ theo ẩn x 6 x y  y  35  0(1)  HPT   2 5 x  x  y  5  y  13 y  0(2)  15  15 x   5  Tương tự thử với y  vào hệ ta được:  5 x     Như ta nhân 3.PT(2)+PT(1) nhân tử chung (x+5/2) Lấy phương trình (1) cộng theo vế với lần phương trình (2) ta được: (6 y  15) x  3(2 y  5)x  y  15 y  39 y  35  5  y x    1  5  2  (2 y  5)   x     y          1 5 2  2  x    y   2 2 https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Vậy hệ cho có nghiệm Trang 42 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1  x3  xy  35  0(1)  Bài 10 Giải hệ phương trình:  2 2 x  xy  y  x  10 y  35  0(2)  Hướng dẫn: Lấy PT 1  PT  2 ta nhân tử chung (x - 2)  x3  3xy  xy  3x  39  0(1)  Bài 11 Giải hệ phương trình:  2  x  xy  y  10 y  25 x   0(2)  Hướng dẫn: Lấy PT 1  PT  2 ta nhân tử chung (x + 1) Nhận xét: Như với hệ mà ta đoán nghiệm (a; b) thay x=a (hoặc y=b) vào hệ PT(1) PT(2) có dạng tương đương ta xử lý Vậy thay vào hệ mà PT(1) PT(2) dạng tương đương ta xử lý sao? + ta dùng kĩ thuật casio để dự đoán mối quan hệ tuyến tính x y + từ ngược lại vào hệ để tìm hệ số k biểu thức (chứa x,y,xy ) làm cho tổ hợp PT(1) PT(2) xuất nhân tử chung  x y  x  y   0(1)  Bài 12 Giải hệ phương trình:  2  x y  xy  y  y  x   0(2)  Hướng dẫn Dùng casio dự đoán mối quan hệ x y là: x   y ngược lại vào hệ ta 1  y  y  3  y   y   0(1)  y  1 y  0(1)      2  1  y  y    y  y  y  y   y   0(2)   y  1 y  0(2)  Như ta nhân (1-y).PT(2)+PT(1) nhân tử chung (x+y-1)  x  y  xy  y (1)  Bài 13 Giải hệ phương trình:  2 2 x  xy  y  x y (2)  Giải https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 43 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Với y = => x = nghiệm hệ Phần 1 Với y  , nhân vào vế (1) với –y sau cộng theo vế phương trình (2) ta được: x3  y  x y  xy   x  y(3) Thay (3) vào phương trình (1) ta được: y  y  y   x  Vậy nghiệm hệ (0;0), (1;1) 4 x  y  xy  (1)  Bài 14: Giải hệ phương trình:  2 2 x  y  xy  (2)  Giải: Nhân vế (2) với -2 cộng cho (1) vế theo vế ta được: y  y  xy  xy     y  1  xy  y  1    y  1 y   xy    y   y  1  y2   xy  x  x  Nếu y  thay vào (1) ta được: x   x   x  x  1    x   x  1 Nếu y  1 thay vào (1) ta được: x   x   x  x  1    Nếu y   xy   x  y2 1 (vì y = không thỏa mãn phương trình) Thay vào (1) ta 4y được: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 44 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1  y2 1   y2 1  4  y4     y   5y  6y   4y  4y    y 1 x   y  1  x     y   x   5   5 x y   5  Vậy hệ phương trình có nghiệm là:   x; y   1;1 ,  0;1 ,  1; 1 ,  0; 1 ,     5  5 ; ;  ,  5   5     CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG LIÊN HỢP  xy  y   y  x   y  3x   Bài Giải hệ phương trình:  1  y  x  y   x  1   x  y  1 y   x, y    Giải y  2 x  y 1  x   Điều kiện:   (*) 2  y  10  y  x 1  y  3x   Ta có phương trình (2)  1  y    1  y  Do    x  y    x  y  1  y    1  2x  y 1   (3)  2x  y 1 1 y      1    y  nên phương trình (3)  y  x  2x  y 1 1 y Với y  x  vào PT (1) ta được: x    x  2x  5x  (điều kiện:  x  ) https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 45     Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i  Phần 1  x    x2  x  3  x  1  x  1     x  3    x  1    1    x  (4)  x 1  x  1   x  1  x 1  Xét f ( x)  f '( x)   1  g ( x )  x  với x   2; 4 , ta có g ( x )  g (2)  x  1  x 1 x2 f ( x)  f (2)     x  1  4 x    x 1  0, x   2; 4  f ( x) nghịch biến Do f ( x)  g ( x), x  2;  hay phương trình (4) vô nghiệm 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm (3; 5) 2 x  xy  y   Bài Giải hệ phương trình:  2  y xy  y  y  xy     Giải ĐK: y  x  y  Trừ vế với vế ta được: x  xy  y  y Chia hai vế cho y ta có: Đặt   xy  y  y  xy  x x    5   1  y  y x x   4  y y x  t  t   2; 4 Khi ta y https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 46 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i 2t  5t   t    t   2t  6t  t   2t  t  3    t  3   Phần 1  t  1  1  t  t2 t  1  t 3 0 1  t   t2   t  3  2t   0  t  1 1  t    Ta thấy 2t  t2   với t   2; 4 t  1 1  t Vậy t  suy x  y vào phương trình (1) hệ ta phương trình y2   y  x 2   Kết luận: phương trình có nghiệm  x; y    ;   2 1  y  x  y  x  y  xy (1)  Bài Giải hệ phương trình   y   x  y   x  y (2)  Giải ĐK: y  1 Xét 1 : 1  y  x  y  x  y  xy Đặt x2  y  t t   Phương trình (1) trở thành: t  1  y t  x2  y  x  y  3xy    1  y    x  y  x  y  xy    x  y  1 2 2 t   x  y   x  y   x  y      x2  y  x  y t  x  y  Với x  y   x  y  thay vào (2) ta có: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 47 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1  y   y 1  3y 1    y0 9 y  y    x   x  (vô nghiệm) Với  1  x   y   2 x    x  y  x  y , ta có hệ:  2  x  2y  x  2y y  1     1    Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y     ;        x 1  x x  y  x x  3y  y   Bài Giải hệ phương trình:  3 xy   x  y  x  Giải x  Điều kiện:  y 1  y 1  y    y 1 Với x  , ta được:  3 y  y    Suy  x; y   1;1 nghiệm hệ Với x  , phương trình thứ tương đương: x 1  y 1  3 x  y   x  x  y    x y  3 x  y   x  x  y   x 1  y 1     x  y 3 x    x 1  y 1    x y Thế y  x vào phương trình thứ hai ta được: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 48 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 3x3  x  3x     x  1 x  1 3x    x Với x  4 , ta y  x  3 4 4 Vậy hệ cho có nghiệm  x; y   1;1 ,  ;  3 3  x x  y  y  x  x3  x  Bài Giải hệ phương trình:   x  y  x   y ( x  1)   DK : x  1, y  HD PT 1  x x  y  y  x x  x  x x    x2  y  x2  x  x  y x  y  x x  y  x2  x    x  y  1    x y  x y  0 x2  y  x2  x   x Do với x  1, y   Thế vào PT(2) ta x x  y  x2  x 0  25 25  ĐS :  ;   16 16    4x  3xy  7y  x  5xy  6y  3x  2xy  y (1)  Bài Giải hệ phương trình:   3x  10xy  34y  47 (2)      Giải https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 49 3x  2xy  y    Điều kiện:  4x  3xy  7y     Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 Chuyển vế nhân liên hợp phương trình 1 , ta được:     0   x  5xy  6y   4   4x  3xy  7y  3x  2xy  y      2  x  y t / m   x  6y t / m    x   y  Với x  y Thay vào 2 , ta được: x    x  1  y  1  y  47  x  6  82 Với x  6y Thay vào 2 , ta được: 82y  47    y   47  x   82 47 82 47 82 HẾT PHẦN Các phần phát hành sớm, em ý theo dõi thông tin facebook thầy https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 50