phương pháp giải nguyên hàm tích phân và ứng dụng

NGỌC HUYỀN LB (facebook.com/huyenvu2405) Một số vấn đề chọn lọc Đây tài liệu nhỏ chị viết gấp gáp để dành tặng NGUYÊN HÀM cho em nhân ngày Valentine 2017 Tuy CHƯA TÍCH PHÂN phần khó khăn trình ôn luyện! VÀ ỨNG DỤNG Tác giả “Bộ đề tinh túy Toán” & “Chắt lọc tinh túy toán” ĐẦY ĐỦ, chị tin giúp ích cho em NGỌC HUYỀN LB Một số vấn đề chọn lọc Nguyên hàm – Tích phân Ứng dụng Đời phải trải qua giông tố không cúi đầu trước giông tố! Đừng bỏ Em nhé! Chị tin EM làm được! Ngọc Huyền LB Đã nói làm – Đã làm không hời hợt – Đã làm – Đã làm không hối hận! facebook.com/huyenvu2405 Nguyên hàm – Tích phân ứng dụng The best or nothing Chủ đề: Nguyên hàm – tích phân ứng dụng I Nguyên hàm tính chất Kí hiệu K khoảng, đoạn hay nửa khoảng Định nghĩa Cho hàm số f xác định K Hàm số F gọi nguyên hàm hàm số f     K F ' x  f x với x thuộc K Định lý STUDY TIP: Từ định nghĩa nguyên hàm ta có Nếu F nguyên hàm f K với số C, hàm G  x   F  x   C nguyên hàm hàm f K   f  xdx'  f  x Đảo lại F G hai nguyên hàm hàm số f K tồn số C cho F  x   G  x   C Kí hiệu:  f  x  dx  F  x   C Người ta chứng minh rằng: “Mọi hàm số liên tục K có nguyên hàm K.” Tính chất nguyên hàm Định lý sau cho ta số tính chất nguyên hàm Định lý Nếu f, g hai hàm số liên tục K   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx  af  x  dx  a f  x  dx với số thực a khác d   f  x dx  f  x dx Bài toán tìm nguyên hàm toán ngược với toán tìm đạo hàm Việc tìm nguyên hàm hàm số thường đưa tìm nguyên hàm số hàm số đơn giản Dưới ta có bảng số nguyên hàm :  dx  x  C   x  a    ax  b dx  a  ax  b   C , a   x   dx  1 1  C a  ,   1   ax  b  dx   ax  b  dx    a 1   ax  b  a ln ax  b  C  e dx  e e x C  a dx  ln a a x x  C ,  a  0, a  1  sin xdx   cos x  C  cos xdx  sin x  C  cos x dx  tan x  C  C ,    1  x  a dx  ln x  a  C x 1 dx  e ax b  C a px  q px  q  a dx  p.ln a a  C ,  a  0, a  1 ax  b  cos ax  C,  a  0 a sin ax  cos axdx  a  C ,  a    sin2 x dx   cot x  C  sin axdx  The best or nothing | Quà tặng Valentine Ngọc Huyền LB II Hai phương pháp để tìm nguyên hàm a, Phương pháp đổi biến số Định lí Cho hàm số u  u  x  có đạo hàm liên tục K hàm số y  f  u  liên tục cho hàm hợp f u  x  xác định K Khi F nguyên hàm f  f u x  u'  x  dx  F u x   C Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm   x  1 10 dx Lời giải STUDY TIP: Với phương pháp đổi biến ta cần trọng công thức mà suy từ định lý sau: Nếu u  f  x  , du  f'  x  dx Theo định lý ta cần viết dạng  f u du Mà u '   x  1 '  ,   x  1 10 dx    x  1  x  1 ' dx    x  1 d  x  1 10 10  x  1  11 11 C Từ ví dụ ta có bước gợi ý để xử lý toán tìm nguyên hàm theo phương pháp đổi biến Đặt u  g  x  Biến đổi x dx u du Giải toán dạng nguyên hàm hàm hợp  f u du , sau thay biến x vào nguyên hàm tìm kiểm tra lại kết Ta đến với ví dụ Ví dụ 2: Tìm  x 1  x  dx Ở toán này, ta thấy số mũ cao mà lại có biểu thức ngoặc phức tạp x Do ta đặt 1  x  để đổi biến, lời giải áp dụng gợi ý bước Lời giải Đặt u   x  du  1  x  ' dx  du  dx ta có  x 1  x    dx   1  u u7  1 du   u7  2u8  u9 du 1  x   1  x   1  x  u8 2u9 u10    C  10 10 10  C b, Phương pháp lấy nguyên hàm phần Định lý Nếu u v hai hàm số có đạo hàm liên tục K  u x  v '  x  dx  u x .v  x    v  x u'  x  dx Công thức thường viết gọn dạng  udv  uv   vdu Ngọc Huyền LB | Nguyên hàm – Tích phân ứng dụng The best or nothing Ví dụ 3: Thầy Điệp Châu cho toán “ Tìm  sin x cos xdx ” ba bạn Huyền, Lê Hằng có ba cách giải khác sau: Bạn Huyền giải phương pháp đổi biến số sau: “Đặt u  sin x , ta có: du  cos xdx Vậy  sin x.cos xdx   udu  Bạn Lê giải phương pháp lấy nguyên hàm phần sau: “Đặt u  cos x, v '  sin x Ta có u'   sin x, v   cos x Công thức nguyên hàm phần cho ta  sin x cos xdx   cos x   sin x cos xdx u sin x C  C ” 2 Bạn Hằng chưa học đến hai phương pháp nên làm sau: “  sin x.cos xdx  sin x cos2 x dx    C ” Giả sử F nguyên hàm sin x.cos x Theo đẳng thức ta có F  x    cos2 x  F  x   C cos2 x C  2 cos x Điều chứng tỏ  nguyên hàm sin x.cos x cos2 x Vậy  sin x.cos xdx    C ” Suy F  x    STUDY TIP: Bài toán củng cố định lý nêu trên, củng cố cách giải nguyên hàm Kết luận sau đúng? A Bạn Hằng giải đúng, bạn Lê Huyền giải sai B Bạn Lê sai, Huyền Hằng C Ba bạn giải sai D Ba bạn giải Nhận xét: Sau soát kĩ ba lời giải, ta thấy ba lời giải không sai bước cả, nhiên, đến cuối đáp án lại khác nhau? Ta xem giải thích lời giải sau: Lời giải cos x sin x cos2 x  ; 2 nguyên hàm sin x.cos x chúng khác số Thật Cả ba đáp số đúng, tức ba hàm số sin x  cos2 x     ; 2     2 sin x  cos x  sin x   sin x       4  III Khái niệm tính chất tích phân a Định nghĩa Cho hàm số f liên tục K a, b hai số thuộc K Tích phân f từ a b đến b, kí hiệu  f  x  dx, số xác định công thức sau a b  f  x  dx  F  b   F  a  F nguyên hàm f K a b Các tính chất tích phân Định lý Giả sử hàm số f, g liên tục K a, b, c ba số thuộc K Khi ta có The best or nothing | Quà tặng Valentine Ngọc Huyền LB a  f  x  dx  a b a  f  x  dx   f  x  dx a b b c a b c  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx a b b a a   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx a y A b b b a a  kf  x  dx  k  f  x  dx,  k   Định lý x A O Cho f hàm số xác định K a điểm cố định thuộc K Xét hàm số G  x  xác định K công thức x G  x    f  t  dt Hàm số chẵn a Khi G nguyên hàm f Hình 3.1 y A Định lý Tích phân hàm lẻ hàm chẵn a  Nếu f hàm số chẵn, Hàm số lẻ a a f  x  dx   f  x  dx a O Hình 3.2 Nếu f hàm số lẻ, x A  f  x  dx  a Đọc thêm Ta vừa đưa tính chất tích phân theo chương trình chuẩn Dưới tính chất bổ sung: b  0dx  a b  cdx  c  b  a  a Nếu f  x   , x   a, b b  f  x  dx  a Hệ 3: Nếu hai hàm số f  x  g  x  liên tục thỏa mãn f  x   g  x  , x  a, b b b a s  f  x  dx   g  x  dx Chú ý: Nếu f  x  liên tục dương  a , b  b  f  x  dx  a b b a a  f  x  dx   f  x  dx ,  a  b  Nếu m  f  x   M , x  a , b  ; m, M số b m  b  a    f  x  dx  M  b  a  hay m  a Ngọc Huyền LB | b f  x  dx  M b  a a Nguyên hàm – Tích phân ứng dụng The best or nothing IV Hai phương pháp tính tích phân a Phương pháp đổi biến số Quy tắc đổi biến số Đặt u  u  x  , Biến đổi f  x  dx  g  u du Tìm nguyên hàm G  u  g  u  u b  Tính  g  u du  G u  b    G u  a   u a  b Kết luận  f  x dx  G  u  b   G  u  a a b Phương pháp tích phân phần Cho hai hàm số u, v có đạo hàm liên tục K a, b hai số thuộc K Khi b b a a  u  x  v '  x  dx  u  b  v  b   u  a  v  a    u '  x  v  x  dx IV Ứng dụng hình học tích phân a Tính diện tích hình phẳng Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành   y Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f x liên tục, trục hoành hai đường thẳng x  a, x  b tính theo công thức S  b  f  x  dx a x a O b Hình 3.3 Chú ý: Trong trường hợp dấu f  x  thay đổi đoạn  a; b  ta phải chia đoạn  a; b  thành số đoạn để dấu f  x  không đổi, ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối đoạn Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong     Cho hai hàm số y  f x y  g x liên tục đoạn  a; b  Khi diện tích     S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f x , y  g x hai đường thẳng x  a, x  b S  b  f  x   g  x  dx a Tương tự ý toán ta phải xét đoạn mà dấu f  x   g  x  không đổi y Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng ( hình tô màu) biểu diễn hình 3.4 Lời giải O a c Hình 3.4 d b x Nhận thấy  a; c  d; b  f1  x   f2  x  ; c; d  f1  x   f2  x  Do b c a a   d   b   S   f1  x   f2  x    f1  x   f2  x  dx   f  x   f1  x  dx   f1  x   f  x  dx c d (Trên cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối) The best or nothing | Quà tặng Valentine Ngọc Huyền LB Ví dụ 5: Cho hình thang cong  H  giới hạn đường y  e x , y  , x  y x x  ln Đường thẳng x  k (0  k  ln 4) chia  H  thành hai phần có diện tích S1 S2 hình vẽ bên Tìm k để S1  2S2 A k  ln x O x C k  ln B k  ln D k  ln ( Trích đề minh họa môn Toán lần – Bộ GD&ĐT) k O Lời giải Đáp án D Nhìn vào hình vẽ ta có công thức sau: k ln k ln4 k k x k x ln x x e dx  0 k e dx  e  2.e k  e  e  2.e  2.e  3e   e k   k  ln Ví dụ 6: Ông An có mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn 16m độ dài trục bé 10 m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng 8m nhận trục bé elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng 8m hoa 100.000 đồng/1 m2 Hỏi ông An cần tiền để trồng hoa dải đất ? (Số tiền làm tròn đến hàng nghìn.) A 7.862.000 đồng B.7.653.000 đồng C 7.128.000 đồng D 7.826.000 đồng ( Trích đề minh họa môn Toán lần – Bộ GD&ĐT) Lời giải Đáp án B Nhận thấy toán áp dụng ứng dụng tích phân vào tính diện tích hình phẳng Ta có hình vẽ bên: Ta thấy, diện tích hình phẳng cần tìm gấp lần diện tích phần gạch chéo, y ta cần tìm diện tích phần gạch chéo x -8 -4 O -5 Ta có phương trình đường elip cho y  x2 y   Xét 0;  nên y  52 5  x2 Khi Scheo    x2 dx , diện tích trồng hoa ông 8  x2 dx  76, 5289182 An mảnh đất S  4. Khi số kinh phí phải trả ông An 76, 5289182.100000  7.653.000 đồng b Tính thể tích vật thể   Cho H vật thể nằm giới hạn hai mặt phẳng x  a x  b Gọi S x diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vuông góc với trục hoành     điểm có hoành độ x a  x  b Giả sử S x hàm liên tục Khi thể b    tích V H V  S x dx (hình 3.5) a Ngọc Huyền LB | Nguyên hàm – Tích phân ứng dụng The best or nothing P Q S(x) x O x a b Hình 3.5 Ví dụ 7: Tính thể tích vật thể tạo lấy giao vuông góc hai ống nước hình trụ có bán kính đáy a ( hình 3.6) A V  16a B V  2a 3 3 C V  4a D V  a3 (Trích sách đề tinh túy ôn thi THPT QG môn Toán) Ta gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào vật thể này, tức ta tính thể tích vật thể 2 V giới hạn hai mặt trụ: x2  y  a2 x  z  a  a   Hình 3.6 z a z O x y y a a Hình 3.7 x Hình vẽ mô tả phần tám thứ vật thể này, với x  0; a  , thiết diện vật thể (vuông góc với trục Ox ) x hình vuông có cạnh y  a2  x2 ( phần gạch chéo hình 3.7) Do diện tích thiết diện là: S  x   a2  x2 a2  x2  a2  x2 x  0; a  Khi áp dụng công thức * thể tích vật thể cần tìm bằng: a a  x3 V   S  x  dx 8  a2  x dx   a2 x   0    a 16a3   0 Ví dụ 8: Tính thể tích vật thể H biết đáy H hình tròn x2  y  thiết diện cắt mặt phẳng vuông góc với trục hoành tam giác Lời giải The best or nothing | Quà tặng Valentine Ngọc Huyền LB Giả sử mặt phẳng vuông góc với trục hoành chứa thiết diện tam giác y C ABC điểm có hoành độ x  1  x  1 với AB chứa mặt phẳng xOy (hình 3.8)  B O x A x  A Hình 3.8 y y = f (x) O x a  AB2   x2 Vậy 1  x3  ( đvtt) V   S  x  dx    x dx   x      1 1 c Tính thể tích khối tròn xoay Một hình phẳng quay quanh trục tạo nên khối tròn xoay Định lý Ta có AB   x2 Do S  x      Cho hàm số y  f x liên tục, không âm đoạn  a , b  Hình phẳng giới hạn   đồ thị hàm số y  f x , trục hoành hai đường thẳng x  a, x  b quay b x quanh trục hoành tạo nên khối tròn xoay Thể tích V khối tròn xoay b    V   f x dx Hình 3.9 a Ví dụ 9: Thể tích khối tròn xoay thu quay hình phẳng giới hạn đường cong y  sin x , trục hoành hai đường thẳng x  0, x   (hình y 3.10) quanh trục Ox y = sinx A x O  (đvtt) B 2 (đvtt) x C  (đvtt) D 2 (đvtt) Lời giải Đáp án B Áp dụng công thức định lý ta có Hình 3.10  V   sin xdx     2    x  sin x  cos x dx      2 2 0 0 Tiếp theo toán thường xuất đề thi thử, toán đưa dạng quen thuộc tính toán nhanh Ví dụ 10: Tính thể tích khối tròn xoay thu quay hình phẳng giới y hạn đường cong y  A2  x2 trục hoành quanh trục hoành Lời giải tổng quát -A O A x Ta thấy y  A2  x2  y  A2  x2  x2  y  A2 A2  x2  với x, phương trình nửa đường tròn tâm O, bán kính R  A nằm phía trục Ox Khi quay quanh trục Ox hình phẳng tạo nên khối cầu tâm O, bán kính R  A (hình 3.11) Do ta có Do Hình 3.11 V  .A3 Vậy với toán dạng này, ta không cần viết công thức tích phân mà kết luận theo công thức tính thể tích khối cầu Ngọc Huyền LB | Nguyên hàm – Tích phân ứng dụng The best or nothing Đọc thêm Định lý     Cho hàm số y  f x liên tục, không âm đoạn  a , b  a  Hình phẳng   giới hạn đồ thị hàm số y  f x , trục hoành hai đường thẳng x  a, x  b quay quanh trục tung tạo nên khối tròn xoay Thể tích V b    khối tròn xoay V  2 xf x dx a The best or nothing | Quà tặng Valentine Ngọc Huyền LB Bài tập rèn luyện kỹ Nguyên hàm – chọn lọc tập nguyên hàm đề thi thử Câu 1: Tìm nguyên hàm I    2x  1 e  xdx A I    2x  1 e  x  C B I    2x  1 e  x  C C I    2x   e  x  C D I    2x   e  x  C Câu 6: Tìm nguyên hàm F  x  hàm số f  x  (Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN – Hà Nội) Câu 2: Tìm nguyên hàm I   x ln  2x  1 dx A I  B I  C I  4x  ln x   x  x  1 4  biết F    cos 3x 9 A F  x   tan 3x  3 B F  x   4tan3x  3 C C F  x   tan 3x  3 x  x  1 4x2  ln x   C 4 D F  x    tan 3x  3 x  x  1 4x2  ln x   C (Trích đề thi thử THPT chuyên Hoàng Văn Thụ) x  x  1 4x2  ln x   C D I  (Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN – Hà Nội) Câu 3: Tìm nguyên hàm I    x  1 sin2xdx Câu 7: Tìm nguyên hàm hàm số f  x   x x A  f  x  dx  x B  f  x  dx  x 2 A I  1  2x  cos2x  sin 2x  C C B I    2x  cos2x  sin 2x  C  f  x  dx  x D  f  x  dx  C I  1  2x  cos2x  sin 2x  C D I  2 Câu 8:   2x  cos2x  sin 2x  C (Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN – Hà Nội)  k f  x  dx  k. f  x  dx với k số   f  x  g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx C   f  x  g  x  dx   f  x  dx. g  x  dx D   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx B Câu 5: Họ nguyên hàm hàm số f  x   e 2017 x là: 2017 x e C 2017 C 2017.e 2017 x  C B e 2017 x  C D 1 2017 x e C 2017 (Trích đề thi thử THPT chuyên Hoàng Văn Thụ) C x C x C ln x dx bằng: x  3 D 2 ln x B C  ln x   ln x  C C (Trích đề thi thử THPT chuyên Lam Sơn) Câu 9: Cho hàm số f  x   Nếu F  x  sin x nguyên hàm hàm số f  x  đồ thị hàm số   y  F  x  qua M  ;0  F  x  là: 3  A C  cot x B  cot x  cot x D  cot x  C (Trích đề thi thử THPT chuyên Lam Sơn) Câu 10: Cho hàm số f  x   sai: Ngọc Huyền LB | 10 (Trích đề thi thử THPT chuyên Kim Thành – Hải Dương) A x C A  ln x   C Tìm khẳng định sai khẳng định sau? A x C (Trích đề thi thử THPT Lương Thế Vinh lần 2) Câu 4: Cho f  x  , g  x  hàm số liên tục Hãy chọn mệnh đê x2 Nguyên hàm – Tích phân ứng dụng A The best or nothing Câu 16: Tìm nguyên hàm F  x  hàm số  x  dx  ln  x    C   nguyên hàm f  x  B ln x  f  x   3x  , biết F    C ln x   C họ nguyên hàm f  x  A F  x   38 3x   3 D ln x  nguyên hàm f  x  B F  x    3x   3x   163 C F  x   56 3x   3x    9 D F  x    3x   3x   83 (Trích đề thi thử THPT chuyên Lam Sơn) Câu 11: x 1  xe dx bằng: B e x 1  C A 2e x 1  C 2 x2 1 e C (Trích đề thi thử THPT chuyên Lam Sơn) C x2 e x 1  C Câu 12: 3x   C   x  x2   1 A  x2  2 D (Trích đề thi thử THPT chuyên Hạ Long) Câu 17: Tìm nguyên hàm hàm số f  x   dx bằng:  D  x   2 A  x2  C B x2  1  x2  C  x2  C  x2  C (Trích đề thi thử THPT chuyên Lam Sơn) Câu 13: Tìm nguyên hàm hàm số  f  x  dx  ln  x  1  C C  f  x  dx  x ln  x  1  C D  2x  3 dx  C  f  x  dx   2x  3  C  2x  3  C C  f  x  dx  3  f  x  f  x  dx  ln  x  2x  3 dx  C (Trích đề thi thử THPT chuyên Hạ Long) f  x   3sin3x  cos3x B  f  x dx  cos3x  sin3x  C  f  x dx  cos3x  sin3x  C C  f  x  dx   cos3x  sin3x  C D  f  x  dx   cos3x  sin 3x  C 1  1 C Câu 15: Tìm nguyên hàm hàm số f  x   e x  e  x  f  x  dx  e  e  C B  f  x  dx  e  e  C C  f  x  dx  e  e  C D  f  x  dx  e  e  C x x x x x x x   2x  1 e B   2x  1 e C   2x  1 e D   2x  1 e 3x 3x 3x dx  3x dx  3x  2x  1 e 3x 3x  dx  C 2e x C  x  x e 3x  C   dx  x2  x e x  C (Trích đề thi thử THPT chuyên Hạ Long) Câu 19: Tìm nguyên hàm I   dx  x2 x2 A I  ln C x2 x2 B I  ln C x2 x2 C I  ln C x2 x2 D I  ln C x2 (Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN – Hà Nội) Câu 20: Hàm số sau không nguyên hàm hàm số f  x   A F  x   x  x  x  1 x2 x1 B F  x   x2  x  x1 x2  x  x2  x  D F  x   x1 x1 (Trích đề thi thử THPT chuyên Hoàng Văn Thụ) C F  x   x (Trích đề thi thử THPT chuyên Hạ Long)   2x  1 e  2x  1 e  2e dx  3x A (Trích đề thi thử THPT chuyên Hạ Long) A Câu 18: Tính nguyên hàm Câu 14: Tìm nguyên hàm hàm số A (Trích đề thi thử THPT chuyên Hạ Long) B D f  x    2x    f  x 3x C 6  f  x  dx  2x B A x3 x4  Câu 21: x dx bằng: x2 The best or nothing | 11 Quà tặng Valentine A Ngọc Huyền LB x1 ln C x2 B x2 ln C x1 x2 D ln C x1 x 1 C ln C x2 (Trích đề thi thử THPT chuyên Lam Sơn) ln x  Câu 22: Hàm số F  x   e  x   nguyên hàm C f  x   e Câu 23: Nguyên hàm hàm số: I   ln 2x  ln 2x  B f  x   e x ln x e   2x dx 2x   là:  2x     C 2x   4ln  x     C 2x   ln  x     C 2x   4ln  x     C A F  x   2x   4ln B F  x   C F  x   hàm số sau đây? A f  x   (Trích đề thi thử THPT chuyên Thái Bình lần 2) D F  x   (Trích đề thi thử THPT Triêụ Sơn ln x  D f  x   2e ) Tích phân – chọn lọc tập tích phân đề thi thử Câu 1: Biết tích phân I    x  1 e xdx  a  be A 2 a C 3 2 ;b  Khi tích a.b B 1 A có giá trị bằng: C D B (Trích đề thi thử THPT chuyên Thái Bình lần 2) Câu 2: Biết  f  x  dx  f  x  hàm số lẻ Khi I  cos2x dx  ln Tìm giá trị  2sin x Câu 6: Cho I   a là: f  x  dx có giá trị bằng: A 1 A I  B (Trích đề thi thử THPT chuyên Thái Bình lần 2) 2 1 A I  C I  B I  2 D I  3 (Trích đề thi thử THPT chuyên Thái Bình lần 2) Câu 4: Cho tích phân I   x Câu 7: Tích phân 1 x  A A f  t   t  t B f  t   2t  2t e 1 C f  t   t  t D f  t   2t  2t (Trích đề thi thử THPT chuyên Thái Bình lần 2)  Câu 5: Tính tích phân  sin x  sin x dx Ngọc Huyền LB | 12  x2 B dx bằng: e 1 e 1 e 1 C D 2e 2e (Trích đề thi thử THPT Triệu Sơn 2) Câu 9: Tính tích phân:  2  xe B   ln D   ln (Trích đề thi thử THPT Triệu Sơn 2) dx đặt t  x  I   f  t  dt đó: cos x  sin x dx bằng: A  ln C  ln Câu 8: Tích phân D  Câu 3: Tích phân I   x x  1dx có giá trị bằng: C (Trích đề thi thử THPT Cái Bè) D I  C I  2 B I  2 2 (Trích đề thi thử THPT Cái Bè) D  a 0  2 A C  ln x x1 dx B 2ln  42 D ln  (Trích đề thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu) Nguyên hàm – Tích phân ứng dụng The best or nothing Câu 10: Giá trị dương a cho: (Trích đề thi thử THPT Bảo Lâm) a x  2x  a dx   a  ln là: x1 a  2 A B Câu 19 Nếu  xe dx  giá trị a bằng: x C B C D e (Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN) A D (Trích đề thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu)  dx  ln c Giá trị c là: Câu 11: Giả sử  x 1 A B C 81 Câu 20 Nếu  sin D A A B  x  1 n1 dx có giá trị là: 1 D (Trích đề thi thử THPT Diệu Hiền) Câu 21 Giá trị lim n A 1 C   Câu 13 Giả sử x f  t  dt   C I  B I  D I   A  ln B ln2  Câu 14 Tính tích phân I   cos xdx C I  B I  D I  Câu 24 Tích phân (Trích đề thi thử Sở GD – ĐT Phú Thọ)  t dt  x cos(x) Tính A f (4) B f (4)  1 D f (4)  12 (Trích đề thi thử Sở GD – ĐT Phú Thọ) C f (4)  a   Câu 16 Đẳng thức  cos x  a2 dx  sin a xảy nếu: B a   A a   C a  3 D a  2 (Trích đề thi thử Sở GD – ĐT Phú Thọ) B e2  e2  e C D (Trích đề thi thử THPT Quảng Xương I) Câu 26: Hàm số sau không nguyên hàm x( x  2) hàm số f ( x)  ? ( x  1)2 A B D B x2  x  x1 x2 D x1 (Trích đề thi thử THPT Quảng Xương I) x2  x  x1 x  x1 C x1 Câu 27: Nếu  sin x  sin x dx A C I  D I  1 (Trích đề thi thử THPT Bảo Lâm) B d d a a  f ( x)dx  5;  f ( x)  với a  d  b b  f ( x)dx 2 ; 3 e 1 2 Câu 18 Tính tích phân xdx có giá trị bằng: e Câu 17: Tính tích phân I   x.sin xdx   x2 Câu 25 Tích phân I   x 1  ln x  dx bằng:  B I  e 2e  e 1 e 1 C  D 2e 2e (Trích đề thi thử THPT Phạm Văn Đồng) e 1 A f (4)  D ln f  x Câu 15 Cho biết C ln4 (Trích đề thi thử THPT Phạm Văn Đồng) C  x xdx có giá trị Câu 23 Tích phân  cot x.dx có giá trị (Trích đề thi thử Sở GD – ĐT Phú Thọ) A   A I  dx bằng: 10 B C D 3 (Trích đề thi thử THPT Phạm Văn Đồng) A 3 A I  x n f  r dr  Tính I   f  u  du A I   1 e B C e D (Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN) Câu 22 Tích phân 1 1 n bằng: 64 B C D (Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN) (Trích đề thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu) Câu 12: Tích phân I   x cos xdx  n  2 2 2 bằng: a A 2 B C D (Trích đề thi thử THPT Quảng Xương I) The best or nothing | 11 Quà tặng Valentine Ngọc Huyền LB Ứng dụng tích phân hình học Câu 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  y  3x : 1 C D (Trích đề thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu) A B A V  a3 12 C V  a3 12 B V  a3 a3 (Trích đề thi thử sở GD&ĐT Phú Thọ) D V  Câu 2: Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay Câu 8: Công thức tính diện tích S hình thang quanh trục Ox hình phẳng giới hạn đồ thị cong giới hạn hai đồ thị x hàm số y    x  e hai trục tọa độ là: A 2e  10  C  2e  10 B 2e  10   D  2e  10 A S   b a  (Trích đề thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu) Câu 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  y  f  x  , y  g  x  , x  a, x  b ,  a  b  x1 trục tọa độ Chọn kết x2 nhất?  f  x  g  xdx B S   f  x   g  x  dx b a C S   b a D S   b a  f  x  g  x dx  f  x   g  x dx 2 (Trích đề thi thử THPT Bảo Lâm) Câu 9: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) A 3ln6 B 3ln C 3ln  2 D 3ln  hàm số y  2x3  x2  x  đồ thị (C’) hàm số y  x2  x  bằng: A B C D (Trích đề thi thử THPT Quảng Xương I) (Trích đề thi thử THPT Bảo Lâm) Câu Cho hàm số f ( x)  x  3x  2x Tính diện tích Câu 10: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x) đường y   x  1 e x , y  x2  trục tung, trục hoành đường thẳng x  A S  e  B S  e  C S  e  D S  e  12 D S  (Trích đề thi thử sở GD&ĐT Phú Thọ) Câu 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị Câu Tính thể tích vật thể giới hạn hai mặt hàm số y   x  1 e x , trục hoành đường thẳng 10 11 C S  B S  A S  phẳng x  x  , biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vuông góc với trục 0x điểm có hoành độ x   x   hình chữ nhật có hai kích thước x  x2 A 18 B 19 C 20 D 21 (Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN – HN) x  0, x  A e4 e2   4 B e4 e2   4 C e4 e2   4 D e4 e2   4 (Trích đề thi thử sở GD&ĐT Phú Thọ) (Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN – HN) Câu Tính diện tích hình phẳng S giới hạn đồ thị Câu 12: Tính thể tích khối tròn xoay cho hình hàm số y  y   x , trục hoành trục tung phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x2  2x x ln C S   ln A S   B S  D S  y  x2 quay quanh trục Ox A B 4 C  D (Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN – HN) (Trích đề thi thử sở GD&ĐT Phú Thọ) Câu Tính thể tích tứ diện có cạnh a Ngọc Huyền LB | 12 Lưu ý: Lời giải chi tiết gửi vào 23h ngày 25/02/2017 Đề nghị bạn đăng ký http://ngochuyenlb.gr8.com/ để gửi vào thời gian Nguyên hàm – Tích phân ứng dụng The best or nothing Bổ sung số dạng nguyên hàm – tích phân Đọc thêm Tích phân nguyên hàm số hàm lượng giác a Dạng  sin m x.cosn xdx m, n số tự nhiên Trường hợp 1: Trong hai số m, n có số lẻ Lũy thừa cos x số lẻ, n  2k  đổi biến u  sin x  sin m   Lũy thừa sin x số lẻ, m  2k  đổi biến u  cos x k  sin x.cosn xdx   sinm x cos2 x cos xdx    sinm x  sin x  sin x  ' dx k    um  u2  k      cosn x  cos2 x du k x.cosn xdx   cosn x sin2 x sin xdx m     u2  k  cos x  'dx k un du Ví dụ 1: Tìm  sin5 x.cos2 xdx Lời giải Vì lũy thừa sin x số lẻ nên ta đổi biến u  cos x  sin      u2   x.cos2 xdx    cos2 x cos2 x  cos x  ' dx    u2 du   2u4  u2  u6 du  2u5 u3 u7   C cos5 x cos3 x cos7 x   C Trường hợp 2: Cả hai số m, n số chẵn: Ta sử dụng công thức hạ bậc để giảm nửa số mũ sin x; cos x , để làm toán trở nên đơn giản  sin mx.cos nxdx ,  sin mx.sin nxdx ,  cos mx.cos nxdx b Dạng Ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng lượng giác c Dạng tan m x  cos n x dx m, n số nguyên Lũy thừa cos x số nguyên dương chẵn, n  2k ta đổi biến u  tan x tan m x  cos  n dx   x tan m x tan m x cos k 2 m k 1 cos x Khi u '  sin x , cos x tan m x tan k tan x dx   cosn x  cosn1 cos x dx dx  tan x  ' dx  cos x    tan x 1  tan x  Lũy thừa tan x số nguyên dương lẻ, m  2k  ta đổi biến u  cos x k k 1  d  tan x    um  u2  k 1 du    1   cos x  sin x  dx n 1 cos cos x   k   u2  un1 du The best or nothing | 13 Quà tặng Valentine Ngọc Huyền LB Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm a tan x  cos x dx b tan x  cos x dx Lời giải a.Do lũy thừa cos x số nguyên dương chẵn nên đặt u  tan x Từ công thức tổng quát chứng minh ta có   tan6 x dx   u6  u2 tan x dx   u2  u6 du  u9 u7 tan9 tan7   C   C  cos4 x 9 b Do lũy thừa tan x số lẻ nên ta đặt u  , vậy, từ công thức cos x tổng quát chứng minh ta có  cos   du  u11 2u9 u7   C 11 x    C 11 11cos x cos x cos7 x Đổi biến lượng giác Khi nguyên hàm, tích phân hàm số mà biểu thức có chứa dạng x2  a2 , x2  a2 , a2  x2 , ta có cách biến đổi lượng giác sau: Biểu thức có chứa Đổi biến x2  a2    x  a tan t , t    ;   2 Hoặc x  a cos t , t   0;  x2  a2    , t    ;  \0 sin t  2 a  Hoặc x  , t  0;  \   cos t 2 x a    x  a sin t , t    ;   2 a2  x2 Hoặc x  a cos t , t  0;  ax ax  ax ax x  a cos 2t  x  a  b  x    x  a   b  a  sin t , t  0;   2 Nguyên hàm tích phân hàm phân thức hữu tỉ STUDY TIP: Kí hiệu   deg P  x  bậc đa thức P  x Ngọc Huyền LB | 14 Cho hàm số y  f  x  có dạng f  x   P  x Q  x P Q đa thức, P không chia hết cho Q Hàm f gọi hàm phân thức hữu tỉ thực deg  P   deg Q  Nguyên hàm – Tích phân ứng dụng The best or nothing Trong toán tìm nguyên hàm tích phân hàm phân thức hữu tỉ, f  x  chưa phải hàm phân thức hữu tỉ thực ta thực chia đa thức tử số cho đa thức mẫu số để được: f  x  P  x Q  x  S  x  R  x  S  x  h  x , Q  x Khi đó, h  x  hàm phân thức hữu tỉ thực Định lý: Một phân thức thực phân tích thành tổng phân thức đơn giản 1 ax  b ax  b Đó biểu thức có dạng ; ; ; k k x  a  x  a  x  px  q x  px  q   hàm số tìm nguyên hàm cách dễ dàng.Để tách phân thức ta dùng phương pháp hệ số bất định a Trường hợp phương trình Q  x   nghiệm phức nghiệm nghiệm đơn Q  x    a1 x  b1  a2 x  b2   ak xk  bk  (Số nhân tử bậc đa thức Q  x  ) Trong trường hợp này, g biểu diễn dạng g  x  R  x Q  x  A1 a1 x  b1  A2 a2 x  b2   Ak ak x  bk Sau biểu diễn g  x  dạng này, toán trở thành toán Ví dụ 3: Họ nguyên hàm hàm số f  x   A F  x   4ln x   ln x 1 C x2 B F  x   4ln x   ln x 1 C x2 C F  x   4ln x   ln D F  x   4ln x   ln 4x  x  3x  2 x2 C x 1 x2 C x 1 Phân tích Đáp án B Ta có 4x  4x  A B Ax  A  Bx  B     x  x  x  3x   x   x  1  x  1 x   Khi  A  B x  A  B  4x  , đồng hệ số ta A  B   A  1   2 A  B   B  Lời giải The best or nothing | 15 Quà tặng Valentine Kiểm tra khả vận dụng từ ví dụ 3: Tìm x2  2x  dx  3x2  2x Ngọc Huyền LB Ta có x  1 4x   dx      dx   ln x   5.ln x   C  3x   x 1 x  2  4.ln x   ln  2x x2 x 1  C  4.ln x   ln C x2 x 1 Đáp số tập kiểm tra khả vận dụng: x2  2x  1 1  2x3  3x2  2x dx  ln x  10 ln 2x   10 ln x   D Ví dụ 4: Biết I   x3  dx  a ln  b ln  c ln  d ln  e ln Khi x  5x  6a  3b  6c  3d  2e có giá trị B  A 16 19 C 16 D 19 Phân tích Đáp án A x3  x3  A B C D      x  x  x  x 2 x  5x   x  1 x  1 x   x   Ta có STUDY TIP: dạng toán tích phân chống casio gặp đề minh họa lần      x   A x   x  1  B x   x       C x2   x  1  D x   x   , x  *  Thay x  vào  *  ta có A   Thay x  vào  *  ta có B  Thay x  1 vào  *  ta có C  Thay x  2 vào  *  ta có D  Lời giải  I16   x 2 dx x  5x  4 5 5 dx dx dx dx          x  1 x  x  x   5 1    ln x   ln x   ln x   ln x   6  4  ln2    1 1 ln3  ln6  ln7    ln3  ln2  ln5  ln6  6 6   11 1 ln2  ln3  ln5  ln6  ln7 6 Khi 6a  3b  6c  3d  2e  11      16  b Trường hợp Q  x   nghiệm phức, có nghiệm thực nghiệm bội Nếu phương trình Q  x   có nghiệm thực a1 ; a2 ; ; an a1 nghiệm bội k ta phân tích g  x   Ngọc Huyền LB | 16 R  x Q  x dạng Nguyên hàm – Tích phân ứng dụng The best or nothing g  x  A1  A2 x  a  x  a    Ak x  a  k  B1 x  a2  B2 x  a3   Bn1 x  an Trên phần lý thuyết phức tạp, ta đến với tập ví dụ đơn giản sau: Ví dụ 5: Họ nguyên hàm hàm số f  x   2x 1  x  A F  x    C x   x  12 B F  x   C F  x   1  C  x   x 4 D F  x    C x   x  12 1  C  x   x 4 Phân tích Nhận thấy x  nghiệm bội ba phương trình  x  1  , ta biến đổi  2x 1  x   Kiểm tra khả vận dụng từ ví dụ 4: Tìm  x4  2x2  4x  x3  x2  x   A x2  2x   B 1  x   C A B C      x   x 2   x 3 1  x  Ax2   2 A  B  x  A  B  C 1  x  A  A    Từ ta có 2 A  B    B  2 A  B  C  C    Lời giải   2x   2   C Ta có  dx  dx   3   x  x  1  x x  x           Đáp số tập kiểm tra khả vận dụng ví dụ 4: dx  x4  2x2  4x  x3  x2  x  dx  x2  x  ln x   ln x   C x1 TỔNG QUÁT: Việc tính nguyên hàm hàm phân thức hữu tỉ thực đưa dạng nguyên hàm sau: A dx  A.ln x  a  C xa A A dx   C  k k   x  a  k 1  x  a  The best or nothing | 17 Quà tặng Valentine Ngọc Huyền LB Bảng số nguyên hàm thường gặp 1)  k.dx  k.x  C n  x dx  2) 1 dx    C x x 1 5)  dx   C n ( ax  b) a(n  1)( ax  b)n1 3)  x n 1 C n1 4)  x dx  ln x  C 6)  ax  b dx  a ln ax  b  C 1 7)  sin xdx   cos x  C 8) cos xdx  sin x  C 9)  sin  ax  b  dx   cos  ax  b   C a 11)  dx  (1  tan x)dx  tan x  C cos2 x 1 13)  dx  tan( ax  b)  C a cos ( ax  b) 10)  cos  ax  b  dx  sin  ax  b   C a 12)  dx   (1  cot x)dx   cot x  C sin x 1 14)  dx   cot( ax  b)  C a sin ( ax  b) 15)  e x dx  e x  C 16)  e  x dx  e  x  C 17)  e ax  b dx  e ax b  C a 19)  ax dx  21)  23) 25)  27)  ax C ln a 1 x 1 dx  ln C x1 x 1 x 1 xa dx  ln C 2 xa a a x 2 x2  a2 dx  arcsin Ngọc Huyền LB | 18 x C a dx  ln x  x2  a2  C 29)  x2  a2 dx   ax  b  18)   ax  b  dx  a n1 20)  dx  arctan x  C x 1 x 22)  2 dx  arctan  C a x a n1 n 24)  26)  1  x2 x 1 dx  arcsin x  C dx  ln x  x2   C 28)  a2  x2 dx  x a2 x  a2  ln x  x2  a2  C 2  C  n  1 x a2 x a  x2  arcsin  C 2 a Nguyên hàm – Tích phân ứng dụng The best or nothing III Ứng dụng nguyên hàm, tích phân thực tế Dạng toán chuyển động Ví dụ 1: Một ô tô chạy với vận tốc 10 m/s tài xế đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần với vận tốc v  t   5t  10  m / s  , t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ô tô di chuyển mét? A 0,2 m B m C 10 m D 20 m (Trích đề minh họa lần I- BGD&ĐT) Lời giải Đáp án C Nguyên hàm hàm vận tốc quãng đường s  t  mà ô tô sau quãng đường t giây kể từ lúc tài xế đạp phanh xe Vào thời điểm người lái xe bắt đầu đạp phanh ứng với t  Thời điểm ô tô dừng lại ứng với t1 , v  t1    t1  Vậy từ lúc đạp phanh đến dừng lại quãng đường ô tô  5 2 s    5t  10  dt   t  10t   10 m  0 STUDY TIP: Hàm số thể quãng đường vật tính theo thời gian biểu thức nguyên hàm hàm số vận tốc Ví dụ 2: Một ô tô đường với vận tốc v  t   t   t  30  (m/s) Giả sử thời điểm t  s  Phương trình thể quãng đường theo thời gian ô tô 4 A s  B s  t  m C s  t  m  D s  2t  m  t  m 3 Lời giải Đáp án A Tương tự ví dụ ta có s  t    tdt   t dt  1 1 t  t (m) Ví dụ 3: Một vật chuyển động với vận tốc đầu 0, vận tốc biến đổi theo quy luật, có gia tốc a  0,3(m / s2 ) Xác định quãng đường vật 40 phút A 12000m B 240m C 864000m D 3200m (Trích đề thi thử THPT Hoàng Diệu) STUDY TIP: Biểu thức gia tốc đạo hàm cấp biểu thức vận tốc, đạo hàm cấp hai biểu thức quãng đường Phân tích: Nhận thấy toán khác với hai ví dụ chỗ toán cho biểu thức gia tốc mà không cho biểu thức vận tốc, ta có thêm kiến thức sau: Biểu thức gia tốc đạo hàm biểu thức vận tốc, đến đây, kết hợp với ví dụ đầu ta kết luận: “Biểu thức gia tốc đạo hàm cấp biểu thức vận tốc, đạo hàm cấp hai biểu thức quãng đường” Từ ta có lời giải sau: Lời giải Ta có v  t    0, 3dt  0, 3t (do ban đầu vận tốc vật 0) Vậy quãng đường vật 40 phút 40.60  0, 3tdt  0, 2400 t  864000m The best or nothing | 19 Quà tặng Valentine Ngọc Huyền LB Bài tập rèn luyện kỹ Câu 1: Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo Câu 5: Một ôtô chạy với vận tốc 10 m/s người thời gian tính công thức v  t   3t  2, thời gian lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ôtô chuyển động chậm tính theo đơn vị giây, quãng đường vật tính dần với vận tốc v  5t  15 theo đơn vị m Biết thời điểm t  2s vật (m/s), t khoảng thời gian tính giây, kể quãng đường 10m Hỏi thời điểm t  30s vật từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ôtô di chuyển mét? quãng đường bao nhiêu? A 1410m B 1140m C 300m A 20m D 240m (Trích đề thi thử THPT chuyên Hạ Long) B 10 m C 22,5 m D m Câu 6: Cho chuyển động thẳng xác định phương Câu 2: Một tàu lửa chạy với vận tốc 200 m/s trình S  2t  t  , t tính giây S người lái tàu đạp phanh; từ thời điểm đó, tàu chuyển tính mét Gia tốc chuyển động t = 2s động chậm dần với vận tốc v  t   200  20t (m/s) là: A 63m/s2 Trong t khoảng thời gian tính giây, kể từ B 64m/s2 C 23m/s2 D 24m/s2 (Trích đề thi thử THPT Ngọc Tộ) lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi thời gian tàu quãng đường 750 m (kể từ lúc bắt đầu đạp phanh) Câu 7: Cho vật chuyển động có phương trình là: giây so với lúc tàu dừng hẳn? s  2t  A s B s C 15 s D 10 s (Trích đề thi thử THPT Hoàng Văn Thụ)  (t tính giây, S tính mét) t Vận tốc chuyển động thẳng t  2s là: Câu Giả sử vật từ trạng thái nghỉ t   s  A chuyển động thẳng với vận tốc v  t   t   t  m / s  B 49 47 (Trích đề thi thử THPT Ngọc Tộ) C 12 D Tìm quãng đường vật dừng lại Câu Cho chuyển động thẳng xác định phương 125  m  B 125  m  C 125  m  D 125  m 12 (Trích đề thi thử THPT Lương Thế Vinh lần 2) trình S  2t  t  , t tính giây S A Câu 4: Một người xe đạp dự định buổi sáng tính mét Vận tốc chuyển động t = 1s là: A 24m/s B 23m/s hết quãng đường 60km Khi 12 quãng đường, thấy vận tốc 23 vận tốc dự định, đạp nhanh vận tốc dự định 3km/h, đến nơi chậm 45 phút Hỏi vận tốc dự định người xe đạp bao nhiêu? A 5km / h B 12km / h C km / h D 18km / h (Trích đề thi thử THPT TVB) C 7m/s D 8m/s (Trích đề thi thử THPT Ngọc Tộ) Câu 9: Một xe ô tô chạy đường với vận tốc tăng dần với vận tốc v = 10t (m/s) t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu chạy Hỏi quảng đường xe phải từ lúc xe bắt đầu chạy đến đạt vận tốc 20 (m/s)? A 10m B 20m C 30m D 40m (Trích đề thi thử THPT Hoàng Diệu) Lưu ý: Lời giải chi tiết gửi vào 23h ngày 25/02/2017 Đề nghị bạn đăng ký http://ngochuyenlb.gr8.com/ để gửi vào thời gian Ngọc Huyền LB | 20 ... Hàm f gọi hàm phân thức hữu tỉ thực deg  P   deg Q  Nguyên hàm – Tích phân ứng dụng The best or nothing Trong toán tìm nguyên hàm tích phân hàm phân thức hữu tỉ, f  x  chưa phải hàm phân. .. facebook.com/huyenvu2405 Nguyên hàm – Tích phân ứng dụng The best or nothing Chủ đề: Nguyên hàm – tích phân ứng dụng I Nguyên hàm tính chất Kí hiệu K khoảng, đoạn hay nửa khoảng Định nghĩa Cho hàm số f xác định K Hàm. .. a Nguyên hàm – Tích phân ứng dụng The best or nothing IV Hai phương pháp tính tích phân a Phương pháp đổi biến số Quy tắc đổi biến số Đặt u  u  x  , Biến đổi f  x  dx  g  u du Tìm nguyên