Hình học giải tích: Vecto trong không gian

Hình học giải tích: Vecto trong không gian

CHUYÊN ĐỀ 8

VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Các định nghĩa và phép toán của vectơ trong không gian cũng giống như trong mặt phẳng, ta cần lưu ý đến các vấn đề cơ bản thông dụng như :

Qui tắc 3 điểm : A, B, C thì ∀ ABJJJG + BCJJJG = ACJJJG

Cộng 2 vectơ cùng gốc là một vectơ cùng gốc và là đường chéo hình bình hành có 2 cạnh là 2 vectơ đã cho

I là trung điểm đoạn thẳng AB, với điểm M bất kỳ nào ta luôn có:

MI =

JJJG

2

MA MB+ JJJJG JJJJG

G là trọng tâm của ΔABC ⇔ GAJJJG + GBJJJG + GCJJJG = 0G

Ngoài ra ta còn có :

Ba vectơ khác gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song hoặc nằm trong một mặt phẳng

0 G

Bất kỳ vectơ a 0 nào đồng phẳng với hai vectơ không cùng phương , trong không gian, đều có thể phân tích theo

1

e

G , eG có nghĩa: 2

a = G αeG + 1 βeG 2 ( α ,β ∈ R) và sự phân tích trên là duy nhất

Bất kỳ vectơ a nào trong không gian cũng có thể phân tích được theo 3 vectơ không đồng phẳng , , có nghĩa :

G ≠ 0G

1

eG Ge2 Ge3

a = G αeG1 + βeG + 2 γ eG 3 ( α ,β,γ ∈ R) G được gọi là trọng tâm của tứ diện ABCD

+ + GC +

⇔ GAJJJG GBJJJG JJJG GDJJJG = 0G

Ghi chú :

1) Nếu một trong 3 vectơ , aG bG, cG là 0G thì chúng đồng phẳng

2) a, b , c đồng phẳng ⇔ G G G ⎡ ⎣ a b c G G G , ⎤ = ⎦ 0

3) OA , OB, JJJG JJJG OCJJJG đồng phẳng ⇔ O, A, B, C cùng nằm trên một mặt phẳng

Ví dụ 1:

Cho một hình lăng trụ ABCA′ B′C′ Gọi I, I′ lần lượt là trọng tâm của ΔABC và

Δ A′ B′C′ , O là trung điểm của II′

a) Chứng minh rằng

+ + OB

OAJJJG OA′JJJJG JJJG + OB′JJJJG + OCJJJG + OC′JJJJG = 0G b) Gọi G là trọng tâm của hình tứ diện ABCC′ và M là trung điểm của A′ B′ Chứng minh rằng O, M, G thẳng hàng

c) Tính tỉ số OM

OG

JJJJG JJJG

Giải

a) OAJJJG + OA + JJJJG′ OBJJJG + OB′JJJJG + OCJJJG + OC′JJJJG = 0G

I là trọng tâm của ABC ⇒ Δ IAJJG + IBJJG + ICJJG = 0G

( + ) + (IO + OB) + (

⇒ IOJJG OAJJJG JJG JJJG IOJJG + OCJJJG) = 0G

OA + + OC = 3OI

⇒ JJJG OBJJJG JJJG JJG

Tương tự, là trọng tâm của I′ Δ A′ B′C′

OA + + OC = 3OI

⇒ JJJJG′ OB′JJJJG JJJJG′ JJJG′

Vậy OA + JJJG OA′JJJJG + OB + JJJG OB′JJJJG + OCJJJG + OC′JJJJG =

= 3OIJJG + 3OI′JJJG = 3(OIJJG + OI′JJJG)

= 0G (vì 0 là trung điểm II′) b) O, M, G thẳng hàng

G là trọng tâm của tứ diện ABCC′

⇒ GA + JJJG GBJJJG + GC + JJJG GC′JJJJG = 0G

⇒ (GOJJJG + OA ) + ( GO + JJJG JJJG OBJJJG) + (GOJJJG + OCJJJG) + (GOJJJG + OC′JJJJG) = 0 G

⇒ OA + JJJG OBJJJG + OC + OCJJJG JJJJG′ = 4OGJJJG

M là trung điểm của A B′ ′

⇒ OA + JJJJG′ OB′JJJJG = 2OM JJJJG

⇒ OA + JJJG OBJJJG + OC + OCJJJG JJJJG′ + OA′JJJJG + OB′JJJJG = 4OGJJJG + 2OMJJJJG

⇒ 0 = 4G OGJJJG + 2OM JJJJG

⇒ OM = –2JJJJG OGJJJG

⇒ OM cùng phương với OGJJJJG JJJG

⇒ OM , OG cùng giá (vì cùng gốc O) JJJJG JJJG

⇒ O, M, G thẳng hàng

c) Tỉ số

JJJJG JJJG

OM OG

OMJJJJG = –2OGJJJG ⇒ OM

OG

JJJJG JJJG = –2

Ví dụ 2:

Cho hình hộp ABCD.A′ B′C′ D′ với AA′JJJJG = aG , ABJJJG = bG, /

AC

JJJJG = Hãy biểu thị các vectơ

c G AD

JJJG

, A CJJJJG′ , JJJJG JJJJGB D′ , BD′ theo các vectơ aG , bG, cG

Giải

Ta có với hình hộp ABCD A′ B′C′ D′ thì :

AD

JJJG = AC′JJJJG + /

C DJJJJJG′ + JJJJGD D′

= cG – bG – aG

A C′

JJJJG = A AJJJJG′ + /

AC

JJJJG + /

C C

JJJJG

A C′

JJJJG = –2aG + cG

B DJJJJG′ = B BJJJJG′ + BAJJJG + ADJJJG = – aG –bG + cG – – bG aG = – 2aG – 2bG + cG

BD′

JJJJG = BAJJJG + ADJJJG + DD′JJJJG

= –bG + (cG – – a) + bG G aG

= – 2bG + cG

* * *

D′

A

B′

′

c G

D

A

a

C′

G

b G