Hình học giải tích: Đường thẳng

Hình học giải tích: Đường thẳng

CHUYÊN ĐỀ 3

ĐƯỜNG THẲNG

I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, muốn viết phương trình một đường thẳng ta cần phải biết:

( )Δ 1) (Δ) qua điểm M0(x0, y0) và có vectơ chỉ phương aG = (a1, a2) sẽ có:

Phương trình tham số : 0 (t

⎧

⎨ = +

⎩

Phương trình chính tắc : 0

1

x x a

2

y y a

− (a1, a2 ≠ 0)

Từ phương trình chính tắc ta có thể đổi thành dạng phương trình tổng quát :

Ax + By + C = 0 (A2 + B2 > 0) 2) ( qua điểm M0(x0, y0) và có 1 pháp véctơ là (a,b) có phương trình : a(x –

x0) + b(y – y0) = 0

) Δ

3) i) Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng có dạng

Ax + By + C = 0 với A2 + B2 > 0 (1)

ii) Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng có dạng

x = x0 hoặc y = kx + m (2)

Ta dễ dàng thấy (1) và (2) là tương đương

+ (2) ⇔ kx –y + m = 0 ⇒ (2 ) thỏa (1) với A = k, B = - 1 , C = m

+ Nếu B = 0 ⇒ x= −C

A , có dạng x = x0 với x0 =−

C

A Nếu B ≠ 0 ⇒ = − −

B B, có

dạng y = kx + m

3) (Δ) qua hai điểm A(xA, yA), B(xB, yB) có phương trình :

A

x x

−

y y

−

− nếu ( xB− x )( yA B − y )A ≠ 0

Nếu (Δ) qua A(a, 0) ∈ Ox và B(0, b) ∈ Oy với a.b ≠ 0; ta nói ( )Δ có đoạn chắn a, b với phương trình:

x

a +

y

b = 1

* Ghi chú:

Nếu đề bài toán yêu cầu ta viết phương trình của đường thẳng, thông thường ta nên viết phương trình ở dạng tổng quát và lưu ý :

( )Δ : Ax + By + C = 0 thì ( )Δ có : một pháp vectơ = (A, B) nG

G một vectơ chỉ phương a = (–B, A)

hệ số góc k = tg(OxJJJG, ) = Δ A

B

−

( )Δ′ // ( )Δ ⇒ (Δ′) : Ax + By + C0 = 0

( )Δ′ ⊥( )Δ ⇒ (Δ′) : Bx – Ay + C0 = 0

Ta tìm được C0 nếu biết thêm một điểm nằm trên ( )Δ′

Ngoài ra khi viết phương trình của một đường thẳng ( )Δ theo hệ số góc k, bài toán có thể bị thiếu nghiệm do trường hợp ( )Δ ⊥ x′x (hệ số góc k không tồn tại), do đó ta phải xét thêm trường hợp ( )Δ có phương trình x = C để xem đường thẳng ( )Δ này có thỏa mãn điều kiện của đầu bài không

Ghi chú - Nếu nG = (A, B) là 1 pháp véc tơ của đường thẳng ( )Δ thì

k.nG = (kA, kB) cũng là pháp véc tơ của ( )Δ với mọi số thực k ≠ 0

- Nếu a (a ,a )JG= 1 2 là 1 véc tơ chỉ phương của đường thẳng ( )Δ thì

k.a (ka ,ka )JG= 1 2 cũng là véc tơ chỉ phương của( )Δ với mọi số thực k khác 0

II VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ta cần nhớ

Cho (d1) : A1x + B1y + C1 = 0

và (d2) : A2x + B2y + C2 = 0

D = 1 1

A B ; Dx =

B C ; Dy =

1

1 thì :

D ≠ 0 ⇔ (d1) cắt (d2) tại I

1

x I y

D x D D y D

⎪⎪

⎨

⎪⎩

D = 0 và Dx 0 hoặc D≠ y ≠ 0 ⇔ (d1) // (d2)

D = Dx = Dy = 0 ⇔ (d1) ≡ (d2) hoặc với A2, B2, C2 0 ta có : ≠

1 2

A

A ≠ 12

B

B ⇔ (d1) cắt (d2)

1 2

A

A = 12

B

B ≠ 12

C

C ⇔ (d1) // (d2)

1 2

A

A = 12

B

B = 12

C

C ⇔ (d1) ≡ (d2)

Ghi chú 1 1

C B ;

A C

III GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Để tìm góc giữa hai đường thẳng, ta gọi α là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng (d1) : A1x + B1y + C1 = 0 (d2) : A2x + B2y + C2 = 0

2

+

IV KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Để tìm khoảng cách từ điểm M(xM, yM) đến đường thẳng

( )Δ : Ax + By + C = 0 ta áp dụng công thức :

d(M,Δ) =

+ Khoảng cách đại số từ đường thẳng ( )Δ đến điểm M(xM, yM) là :

t =

+ C

G

Đặt pháp vectơ = (A, B) có gốc lên n ( )Δ thì :

t > 0 nếu điểm M và nG nằm cùng một bên đối với ( )Δ

t < 0 nếu điểm M và nG nằm khác bên đối với ( )Δ

Phương trình đường phân giác của góc hợp bởi 2 đường thẳng

(d1) : A1x + B1y+ C1 = 0 và (d2) : A2x + B2y+ C2 = 0 là :

1

A x B y C

A x B y C

+

Ví dụ 1:

Cho tam giác ABC với A(–2, 1), B(4, 3), C(2,–3)

a) Tìm phương trình tham số và tổng quát cạnh BC

b) Tìm phương trình đường cao AH

c) Tìm phương trình đường thẳng qua A(–2, 1) và song song với BC

Giải

a) Đường thẳng qua cạnh BC nhận BCJJJG = (–2, –6) hay (1,3) làm vectơ chỉ phương và qua B(4, 3) nên có phương trình tham số :

3 3

= +

⎧

⎨ = +

⎩

1

−

3

−

y (phương trình chính tắc)

⇔ 3x – y – 9 = 0 là phương trình tổng quát của BC

b) ΔABC có đường cao AH ⊥ BC : 3x – y – 9 = 0

⇒ pt AH : x + 3y + C1 = 0

A(–2, 1) ∈ AH ⇔ –2 + 3(1) + C1 = 0 ⇔ C1 = –1

Vậy pt AH : x + 3y – 1 = 0

c) Đường thẳng Au // BC ⇒ pt Au : 3x – y + C2 = 0

A(–2, 1) ∈ Au ⇔ 3(–2) – 1 + C2 = 0 ⇔ C2 = 7

Vậy pt Au : 3x – y + 7 = 0

Ví dụ 2:

Cho tam giác ABC với A(1, –1), B(–2, 1), C(3, 5)

a) Viết phương trình đường vuông góc AH kẻ từ A đến trung tuyến BK của tam giác ABC

b) Tính diện tích tam giác ABK

Giải

a) K là trung điểm của AC ⇔

2 2

2 2

K

K

x

y

+

⎪⎪

⎪⎩

hay K(2, 2)

Phương trình cạnh BK : 2

2 2

x −

− − = 2

1 2

y −

− ⇔ x – 4y + 6 = 0

AH ⊥ BK ⇒ pt AH : 4x + y + C0 = 0

A(1, - 1) ∈ AH ⇔ 4(1) + (–1) + C0 = 0

⇔ C0 = –3 hay AH : 4x + y – 3 = 0 b) Diện tích tam giác ABK là S = 1

2AH.BK với

AH = dA (BK ) = 1 4 6

17 + +

2 11

17 2 2

4 +1 = 11

2 ( đvdt )

Ví dụ 3: ( Đề dự trữ khối A năm 2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác

ABC cân tại đỉnh A có trọng tâm G( ; )4 1

3 3 , phương trình đường thẳng BC là và phương trình đường thẳng BG là

x− y− = 0 0

7x−4y− =8 Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C

Bài giải

Tọa độ đỉnh B là nghiệm của hệ pt ⎧⎨ − − =⎩x 2y 4 07x 4y 8 0− − = ⇒B 0, 2( − )

Vì ΔABC cân tại A nên AG là đường cao của ΔABC

Vì GA BC⊥ ⇒ pt GA: 2(x−4) 1(y+ −1) 0= ⇔2x y 3 0+ − =

⇒ GA BC∩ = H ⎧⎨ − − =⎩2x y 3 0x 2y 4 0+ − = ⇒H 2, 1( − )

Ta có H là trung điểm BC ⇒ ⎧⎨ + = ⇒⎧⎨ = − = − =

)

⇒ C 4,0( Ta có : = A+ B+ C = A+ B+ C

Vậy A 0,3 ,C 4,0 ,B 0, 2( ) ( ) ( − )

Ví dụ 4 ( ĐH KHỐI A -2002) 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho

hình chữ nhật ABCD có tâm I 1

; 0 2

⎞

⎟

⎝ ⎠

⎛

⎜ ,phương trình đường thẳng AB là

x – 2y + 2 = 0 và AB = 2AD Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm

BÀI GIẢI: A ∈ đường thẳng x – 2y + 2 = 0

⇒ A (2a – 2, a) (a < 1)

I là trung điểm AC ⇒ C (3 – 2a, −a)

BC qua C và BC ⊥ AB

⇒ pt BC : 2x + y + 5a – 6 = 0

AB ∩ BC = B ⇒ B (2 – 2a, 2 – a)

Ta có : AB = 2AD ⇔ (1 – a)2 = 1 ⇔ a = 0 hay a = 2 (loại)

Vậy A (−2, 0) B (2, 2), C (3, 0), D (−1, −2)

Ví dụ 5 ( ĐH KHỐI D -2004) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có các đỉnh

A (−1; 0); B (4; 0); C (0; m) với m ≠ 0 Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m Xác định m để tam giác GAB vuông tại G

BÀI GIẢI: G 1;m

3

3

= − −

JJJG

; GB (3; m)

3

JJJG

Tam giác GAB vuông tại G ⇔ GA.GB 0JJJG JJJG=

⇔ 6 m2

9

− + = 0 ⇔ m = ± 3 6

Ví dụ6 ( ĐH KHỐI B -2004) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm

A(1; 1), B(4; -3) Tìm điểm C thuộc đường thẳng x−2y− =1 0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6

BÀI GIẢI: A (1; 1); B (4; −3) ⇒ phương trình AB: x 1 y 1

=

⇔ 4x + 3y – 7 = 0 C ∈ đt : x – 2y – 1 = 0 ⇒ C (2t + 1; t)

Ta có: d (C, AB) = 6 ⇔ 8t 4 3t 7 6

5

+ + −

=

− =

⎡

⎣

t 3 27 t 11

=

⎡

⎢

⎢ = −

⎢⎣

Vậy C (7; 3) hay C 43 27;

11 11

Ví dụ7 ( Đề DỰ TRỮ KHỐI D -2003) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A (1; 0) và hai đường thẳng lần lượt chứa các đường cao vẽ từ B và C có phương trình tương ứng là :

x – 2y + 1 = 0 và 3x + y – 1 = 0.Tính diện tích của tam giác ABC

BÀI GIẢI: Vì AC ⊥ BB' ⇒ phương trình AC : 2x + y + m = 0

A(1; 0) ∈ AC ⇒ 2 + m = 0 ⇒ m = −2

Phương trình AC : 2x + y – 2 = 0

Vậy t đ C là nghiệm của ⎧⎨ + − =

+ − =

⎩

2x y 2 0

Vì AB ⊥ CC' ⇒ phương trình AB : x – 3y + n = 0

A(1; 0) ∈ AB ⇒ 1 + n = 0 ⇒ n = −1

Phương trình AB : x – 3y – 1 = 0

x 2y 1 0

⎧

⎨ − + =

S ΔABC = 12 ⎡⎢−⎣−62 4−2⎦

⎤

⎥ = 14 (đvdt)

Ví dụ8 ( ĐỀDỰ TRỮ KHỐI B -2004) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm I (–2; 0) và hai đường thẳng d 1 : 2x – y + 5 = 0, d 2 : x + y – 3 = 0 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và cắt hai đường thẳng d 1 , d 2 lần lượt tại A, B sao cho : 2

=

IA IB BÀI GIẢI: P.trình đường thẳng d qua I (–2, 0), hệ số góc k : y = k(x + 2)

⎩

⎨

⎧

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−

−

−

⇒

= +

−

= +

−

k

k , k

k A k

y kx

y x

A

2 2

5 2 0

2

0 5 2

⎩

⎨

⎧

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+ +

−

⇒

= +

−

=

− +

k

k , k

k B

k y kx

y

x

B

1

5 1

2 3 0

2

0 3

2 k 2 k

= ⎜⎝ − − ⎟⎠

JJG

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+ +

=

k

k

; k

IB

1

5 1

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+ +

=

k

k

; k

IB

1

10 1

10 2

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

=

⇒ +

=

−

−

=

⇒ +

=

−

−

⇔

=

3

7 0 1

10 2

3

7 1

10 2

1 2

k , k k

k k k

k k k

IB

IA

Do đó phương trình đường thẳng d là y =

3

7 (x + 2)

⇔ 7x – 3y + 14 = 0

* * *