Hình học giải tích: Parabol

Hình học giải tích: Parabol

CHUYÊN ĐỀ 7

PARABOL

Các bài toán về parabol thường qui về việc xác định các yếu tố của parabol (tiêu điểm, đường chuẩn), lập phương trình của parabol và các vấn đề về tiếp tuyến của parabol

Do đó ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản sau đây :

Parabol (P) = { M∈ (Oxy) / MF = dM( )Δ }

F là tiêu điểm và (Δ) là đường chuẩn

Các dạng phương trình chính tắc :

(P) : y2 = 2px ( )Δ : x =

2

p

−

2

p ,

M ∈ (P) ⇒ xM 0 ≥ và r = MF = xM +

2 p

(d) : Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (P) ⇔

pB2 = 2AC Tiếp tuyến với (P) tại tiếp điểm

(P) : y2 = –2px

y

x

(P)

F

y

( )Δ : x =

2 p

2

p ,

M ∈ (P) x⇒ M 0 ≤ và r = MF = –xM +

2 p

(d) : Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (P) ⇔

pB2 = –2AC Tiếp tuyến với (P) tại tiếp điểm

x

(P)

F( P 2, 0)

P

2

−

O

( )Δ

P

2

O ( )Δ

M0(x0, y0) có phương trình

y0y = p(x0 + x)

(P) : x2 = 2py ( )Δ : y =

2

p

−

F 0 2

p ,

M ∈ (P) ⇒ yM 0 ≥ và r = MF = yM +

2 p

(d) : Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (P) ⇔

pA2 = 2BC Tiếp tuyến với (P) tại tiếp điểm

M0(x0, y0) có phương trình

x0x = p(y0 + y)

M0(x0, y0) có phương trình

y0y = –p(x0 + x)

(P) : x2 = –2py ( )Δ : y =

2 p

F 0

2

p ,

M ∈ (P) y⇒ M 0 ≤ và r = MF = –yM +

2 p

(d) : Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (P) ⇔

pA2 = –2BC Tiếp tuyến với (P) tại tiếp điểm

M0(x0, y0) có phương trình

x0x = –p(y0 + y)

Ví dụ1 :

Cho parabol (P) : y2 – 8x = 0

1) Xác định tiêu điểm F và đường chuẩn ( )Δ của (P)

2) Viết phương trình tiếp tuyến với (P) tại điểm M(2; –4)

y

x

(P)

F P

2

O

( )Δ

y

x

(P)

F

− P 2

O

2

Δ

3) Viết phương trình tiếp tuyến với (P) biết nó song song với đường thẳng (D) : 2x – y +

5 = 0 Suy ra tọa độ tiếp điểm

4) Viết phương trình tiếp tuyến với (P) biết nó xuất phát từ điểm

I(–3, 0), suy ra tọa độ tiếp điểm

Giải

1) Tiêu điểm và đường chuẩn

(P) : y2 – 8x = 0 ⇔ y2 = 8x có dạng y2 = 2px với p = 4

Tiêu điểm F(2, 0) và đường chuẩn

2) Phương trình tiếp tuyến với (P) tại M(2; –4)

Tiếp tuyến với (P) : y2 = 8x tại tiếp điểm M(2, –4) có phương trình cho bởi công thức phân đôi tọa độ :

–4(y) = 4(2 + x) ⇔ x + y + 2 = 0 3) Phương trình tiếp tuyến với (P) và song song với (D)

Đường thẳng (d) // (D) với (D) : 2x – y + 5 = 0

(d) : 2x – y + C = 0

⇒

(d) tiếp xúc với (P) : y2 = 8x

4 = 2 2C = 4C

Vậy tiếp tuyến với (P) phải tìm có phương trình

2x – y + 1 = 0 Tiếp tuyến (d) với (P) : y2 = 8x tại tiếp điểm M0(x0, y0) còn có phương trình

y0y = 4(x0 + x) ⇔ 4x – y0y + 4x0 = 0 mà (d) : 2x – y + 1 = 0, do đó :

4

2 = 0

1

y = 4 0

1

0

1 2 2

x y

⎪

⎨

⎩

hay M0 1

2

2,

4) Phương trình tiếp tuyến với (P) xuất phát từ I(–3, 0)

Tiếp tuyến với (P) và cùng phương với 0y là x = 0 Vậy pt tiếp tuyến ( ) qua d′

I(–3, 0) có dạng:

(d ) : y – 0 = k(x + 3) ′ ⇔ kx – y + 3k = 0

( ) tiếp xúc với (P) : yd′ 2 = 8x

4 = 2k(3k) = 6k2 k =

6 = ± 6

3

Vậy từ điểm I(–3, 0) có 2 tiếp tuyến với parabol (P) là:

6

3 x – y + 6 = 0 hay – 6

3 x – y – 6 = 0

6

3

⇔ x – y + 6 = 0 hay 6x +3 y +3 6 = 0 Tiếp tuyến (d ) với (P) tại tiếp điểm M′ 0(x0, y0) có phương trình

4x – y0y + 4x0 = 0

Do đó với (d ) : ′ 6

3 x – y + 6 = 0 ⇒ 4

6 3

= 0

1

y = 4 0

6

x

⇒

0

0

3 12

2 6 6

x y

=

⎧

⎪

⎪⎩

Với ( ) : d′ 6x + 3y + 3 6 = 0 ⇒ 4

6 = 0

3

y

− = 4 0

3 6x

⇒

0

0

3 12

2 6 6

x y

=

⎧

⎪

⎪⎩

Vậy 2 tiếp điểm phải tìm là (3; 2 6 ) và (3; –2 6 )

Ví du2( ĐỀ DỰ TRỮKHỐI A –2003) : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy, cho parabol (P) có phương trình y 2 = x và điểm I (0; 2) Tìm tọa độ hai điểm M, N thuộc (P) sao cho

IN

4

IM =

Giải

Gọi M(m 2 ; m) ∈ (P), N(n 2 ; n) ∈ (P)

IM⎯→ = (m 2 ; m – 2)

IN

⎯→

= (n 2 ; n – 2)

IN

⎯→

= (4n 2 ; 4n – 8)

⇒ 4

Vì IM⎯→ = 4 IN⎯→ ⇔ m2 4n2

m 2 4n 8

⎪

⎨

⎪⎩

⎧⎪

⎨

1 2

=

2

⇒ M 1 (4; −2), N 1 (1; 1), M 2 (36; 6), N 2 (9; 3)

Ví du 3 ( ĐỀ DỰ TRỮKHỐI A –2003) :Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy cho

1

y 4

x2 + 2 = M(−2; 3); N(5; n) Viết phương trình các đường thẳng d

1 , d 2 qua M và tiếp xúc với (E) Tìm n để trong số các tiếp tuyến của (E) đi qua N có một tiếp tuyến song song với d 1 hoặc d 2

Giải

1) Viết phương trình các đường thẳng qua M tiếp xúc với E

x = 2 là 2 tiếp tuyến thẳng đứng của (E) ±

Vậy d 1 : x = −2 là 1 tiếp tuyến của (E) qua M

Phương trình tiếp tuyến d qua M(−2; 3) khác dường thẳng x = −2

có dạng : y – 3 = k(x + 2)

O

3

x

y

−2

M

⇔ kx – y + 3 + 2k

d tiếp xúc với (E)

⇔ 4k 2 + 1 = (3 + 2k) 2

⇔ 4k 2 + 1 = 9 + 4k 2 + 12k

−

= − ⇔ k =

d 2 : 2x + 3y – 5 = 0

2) dễ thấy tiếp tuyến d của (E) qua N(5; n) không song song với :

x = −2

k = −2

2

d : −2x y − 10 + n = 0 ⇔ −2x – 3y + 10 + 3n = 0

d tiếp xúc với E ⇔ 4(−2) 2 + 1.(−3) 2 = (10 + 3n) 2

− 5 3 ⇔ 3n 2 + 20n + 25 = 0⇔ n = – 5 hay n=

− 5

3: loại vì khi đó d trùng với d1

n =

Vậy N(5; −5)

* * *