Hình học giải tích: Đường tròn

Hình học giải tích: Đường tròn

CHUYÊN ĐỀ 4

ĐƯỜNG TRÒN

1 Để tìm phương trình của một đường tròn ta cần lưu ý:

Phương trình của đường tròn (C) tâm I(a, b) bán kính R là :

y b− Phương trình của (C) ở dạng khai triển :

x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 ( hay x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0)

với c = a2 + b2 – R2 ⇔ R2 = a2 + b2 −c

Do đó ta phải có điều kiện a2 + b2 – c 0 ≥

Phương trình tham số của đường tròn tâm I(a, b) bán kính R là:

(t

x a R cos t

y b R sin t

= +

⎧

⎨ = +

2 Để viết phương trình tiếp tuyến với một đường tròn ta cần phân biệt :

a) Trường hợp biết tiếp điểm : ta dùng công thức phân đôi tọa độ :

Tiếp tuyến (Δ) tại tiếp điểm M0(x0, y0) với :

- đường tròn (C) : ( )2 + = R2 là

y b− )

)

(x0 – a) (x – a) + (y0 – b) (y – b) = R2

- đường tròn (C) : x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là

x0x + y0y – a(x0 + x) – b(y0 + y) + c = 0

b) Trường hợp không biết tiếp điểm, ta áp dụng tính chất :

Đường thẳng (Δ) tiếp xúc với đường tròn tâm I bán kính R

⇔ d( I , )Δ = R

c) đường tròn (C) : ( ) + = R2 có 2 tiếp tuyến cùng phương với Oy là x =

a R Ngoài 2 tiếp tuyến x = a

2

y b−

± ± R, mọi tiếp tuyến khác với đường tròn ( C) đều có dạng y = kx + m hoặc dạng y = k ( x –x0 ) + y0 nếu tiếp tuyến đi qua ( x0 , y0 ) là điểm nằm ngoài đường tròn

Ví dụ

Trong mặt phẳng Oxy cho A(–2, 0), B(0, 4)

a) Viết phương trình đường tròn (C) qua 3 điểm O, A, B

b) Viết phương trình các tiếp tuyến với đường tròn (C) tại A, B

c) Viết phương trình các tiếp tuyến với (C) phát xuất từ điểm M(4, 7)

Giải

a) Phương trình đường tròn (C) có dạng :

x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 Đường tròn (C) qua 3 điểm O, A, B nên :

0

c

a c

b c

=

⎧

⎪ + + =

⎨

⎪ − + =

⎩

⇔

0 1 2

c a b

=

⎧

⎪ = −

⎨

⎪ =

⎩ Vậy (C) : x2 + y2 + 2x – 4y = 0

Cách khác: Tam giác ABC vuông tại O nên có tâm là trung điểm của AB và đường kính là

AB nên pt dường tròn (C) là:

Cách khác: Tam giác ABC vuông tại O nên với M x y( , )∈( )C ta có

0

=

AM.BM

JJJJG JJJJG

Vậy pt đường tròn ( C ) là ( x x )( x x ) ( y y )( y y )− A − B + − A − B =0 b) Phương trình tiếp tuyến với (C) tại :

Tiếp điểm A(–2, 0) là : –2x + 0.y + (–2 + x) – 2(0 + y) = 0

⇔ x + 2y + 2 = 0 Tiếp điểm B(0, 4) là : 0.x + 4.y + (0 + x) – 2(4 + y) = 0

⇔ x + 2y – 8 = 0 c) Đường tròn (C) : x2 + y2 + 2x – 4y = 0 có tâm I(–1, 2) và bán kính R = 2

1+2 −0 =

5.Hai tiếp tuyến cùng phương với Oy là x a R= ± = − ±1 5 Hai tiếp tuyến này không qua M(4, 7)

Vậy phương trình tiếp tuyến qua M(4, 7) có dạng:

( )Δ : y – 7 = k(x – 4)

⇔ kx – y + 7 – 4k = 0

( )Δ tiếp xúc với đường tròn (C) ⇔ d( I , ) = R Δ

⇔

2

2 7 4 1

k

− − + −

+ = 5 ⇔ 5 5k− = 5 2

1

k +

⇔ 4k2 – 10k + 4 = 0 ⇔ k = 2 hay k = 1

2 Vậy có 2 tiếp tuyến với đường tròn (C) phát xuất từ điểm M(4, 7) với phương trình là :

k = 2 ⇒ 2x – y – 1 = 0

k = 1

2x – y + 5 = 0

Ví dụ (ĐH KHỐI B-2003)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC có AB=AC, n 0

90

BAC= Biết M(1,–1) là trung điểm cạnh BC và G(2

3; 0) là trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa độ các đỉnh A , B, C

G là trọng tâm ΔABC ⇔ AG 2GMJJJG= JJJJG

⎨

⎪− = − − = −

⎩

A

A

⇔ ⎧⎨

=

⎩

A A

2 ⇔ A (0, 2)

y

PT: BC qua M (1, −1) ⊥ AMJJJJG = (1, −3): x – 3y – 4 = 0

PT đ.tròn (C) tâm M, bán kính R = AM= 1 9 + = 10

(x – 1)2 + (y + 1)2 = 10

Tọa độ B, C thỏa : ⎧⎨ − − =

x 3y 4 0

x 3y 4

(3y 3) (y 1) 10 (y 1) 1

=

⎧

⎩

x 4

y 0 ∨ ⎧⎨ = −

= −

⎩

Vậy B (4, 0); C(−2, −2) hay B(−2, −2); C (4, 0)

Ví dụ (ĐH KHỐI D-2003) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc Oxy cho đường

tròn (C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4 và đường thẳng d: x – y – 1 = 0 Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d Tìm tọa độ các giao điểm (C) và (C’)

Giải

(C1) có tâm I (1, 2), R = 2

Gọi I’ là đối xứng I qua (d)

Gọi (Δ) là đường thẳng qua I và (Δ) ⊥ (d)

(Δ) : x + y – 3 = 0 (Δ) ∩ (d) = H(2, 1)

H là trung điểm của II’

Giả sử I’ (x, y) thì ⇒

+

⎧ =

⎪⎪

⎪ =

⎪⎩

x 1 2 2

y 2 1 2

⇒ ⎧⎨ =⎩x 3y 0=

Giải hệ ⎧⎪⎨ − + − = ⇔

⎪⎩

2 2

⎨

− − =

⎩

2 2

x y 1 0

⇔ ⎧⎨ = + ⇔ ∨

x y 1

=

⎧

⎩

x 1

y 0

=

⎧

⎩

x 3

y 2

Vậy giao điểm của (C) và (C’) là A (1, 0) và B (3, 2)

Ví dụ (ĐH KHỐI A-2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng

d1 : x – y = 0 và d2 : 2x + y – 1 = 0.Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d1, đỉnh C thuộc d2 và các đỉnh B, D thuộc trục hoành

Giải

A ∈ d1 ⇔ A (m; m) C ∈ d2 ⇔ C (n; 1 – 2n)

Vì B, D ∈ Ox và ABCD là hình vuông nên :

A và C đối xứng nhau qua Ox ⇔ m n

m 2n 1

=

⎧

⎨ = −

n 1

=

⎧

⎨ =

⎩

Suy ra A(1; 1), C(1; -1) Gọi (C) là đường tròn đường kính AC

⇒ Phương trình (C) : (x–1)2 +y2=1 B và D là giao điểm (C) và Ox nên tọa độ của B, D là nghiệm của hệ : (x 1)2 y2 1

y 0

⎨

=

⎪⎩

⇔ ⎧⎨ =⎩x 0 x 2y 0= ∨ = Suy ra B (0; 0), D(2; 0) hay B(2; 0), D(0; 0)

Vậy A(1; 1), B (0; 0), C(1; -1), D(2; 0)

hay A(1; 1), B(2; 0), C(1; -1), D(0; 0)

Ví dụ (ĐH KHỐI B-2005)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2; 0), B(6; 4)

Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5

Giải

Gọi I (x; y) là tâm của (C) Ta có : (C) tiếp xúc Ox tại A ⇒ IAJJG⊥JGi= (1; 0) ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2

IB = 5 ⇔ (x – 6)2 + (y – 4)2 = 25

⇔ (2 – 6)2 + (y – 4)2 = 25 ⇔ (y – 4)2 = 9

⇔ y – 4 = ±3 ⇔ y = 7 hay y = 1

Trường hợp 1: I(2; 7) ⇒ R = d(I, Ox) = 7

Suy ra pt (C) : (x – 2)2 + (y – 7)2 = 49

Trường hợp 2: I (2; 1) ⇒ R = d(I, Ox) = 1

⇒ pt (C) : (x – 2)2 + (y – 1)2 = 1

Ví dụ

(ĐỀ DỰ BỊ KHỐI A -2002)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy, cho hai đường tròn:

(C1) : x2

+ y2 – 10x = 0; (C2) : x2 + y2 + 4x – 2y – 20 = 0

1) Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của (C1), (C2) và có tâm nằm trên đường thẳng x + 6y – 6 = 0

2) Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn (C1) và (C2)

Giải

1) Phương trình chùm đường tròn qua các giao điểm của (C1), (C2) là :

m(x2 + y2 – 10x) + n(x2 + y2 + 4x – 2y – 20) = 0 với m2 + n2 > 0

⇔ (m + n)x2 + (m + n)y2 + (4n – 10m)x – 2ny – 20n = 0

⇔ x2 + y2 + 4n 10m x 2n y 20n

−

Có tâm I 5m 2n; n

−

Vì tâm I ∈ d : x + 6y – 6 = 0 ⇒ 5m 2n 6n 6m 6n 0

m n

= +

⇒ m = −2n Cho n = 1 ⇒ m = −2

Vậy phương trình đường tròn là :x2 + y2 – 24x + 2y + 20 = 0

2) Viết phương trình các tiếp tuyến chung của (C1), (C2)

(C1) có tâm I1(5; 0), bán kính R1 = 5 ⇒ I

1 I 2 < R 1 + R 2 (C2) có tâm I2(−2; 1), bán kính R2 = 5

Vì (C1), (C2) cắt nhau tại 2 điểm nên có 2 tiếp tuyến chung

Vì x = xo không thể là tiếp tuyến chung nên pt tt chung Δ có dạng :

y = ax + b ⇔ ax – y + b = 0

Δ tiếp xúc với (C1) ⇔ d(I1, Δ) = R1 ⇔

2

= +

⇔⏐5a + b⏐ = 5 a 2 + 1 (1)

Δ tiếp xúc với (C2) ⇔ d(I2, Δ) = R2 ⇔

2

2a 1 b

+ = 5 ⇔ ⏐−2a – 1 + b⏐ = 5 a 2 + 1 (2)

(1) và (2) ⇒ ⏐5a + b⏐ = ⏐−2a – 1 + b⏐

⇔ 5a b 2a 1 b ⇔

⎡

⎣

1 a 7 3a 1 b

2

⎡ = −

⎢

⎢

⎢ =

⎢⎣

Thế a = 1

7

− vào (1) ta có : b1 = 5 25 2

7

7

−

Vậy ta có 2 tiếp tuyến là : x + 7y – 5 + 25 2 = 0

x + 7y – 5 − 25 2 = 0

Cách khác: Vì R = R2 và 2 đường tròn cắt nhau nên 2 tiếp tuyến chung là 2 đường thẳng song song với I IJJJJG1 21 = − ( 7;1) Vậy phương trình 2 tiếp tuyến có dạng :

x + 7y+m = 0 (Δ)

d(I1, Δ) = 5 ⇔ ⏐5 + m⏐ = 5 7 2 + 1⇔ m = – 5 ± 25 2 Vậy phương trình 2 tiếp tuyến là x + 7y – 5 ± 25 2 = 0

GHI CHÚ :

Bài đường tròn trong chương trình lớp 12 bao gồm các vấn đề chính là : Tìm phương trình đường tròn; các bài toán liên quan đến vị trí tương đối giữađường thẳng và đường tròn, giữa hai đường tròn; phương tích của một điểm đối với đường tròn; trục đẳng phương của hai đường tròn không đồng tâm Ngoài ra còn có một số câu hỏi liên quan đến phương trình x2 +

y2 + 2Ax + 2By +C = 0 (1) Chẳng hạn tìm điều kiện để (1) là phương trình đường tròn Từ phương trình (1) tìm tâm và bán kính của đường tròn, tìm tham số để bán kính thoả một điều kiện nào đó

Sau đây, chúng tôi chỉ đề cập đến cách tìm phương trình đường tròn nội tiếp tam giác và vài ứng dụng trục đẳng phương của hai đường tròn không đồng tâm Đây là vấn đế các em thường “ sợ” khi gặp phải

A/ Cách tìm phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC :

Trước hết cần lưu ý :

• Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của hai đường phân giác trong

• Muốn tìm phương trình đường tròn ta tìm tâm I (a ; b) và bán kính R Khi đó phương trình đường tròn có dạng (x – a)2 + (y – b)2 = R2

• Cho k là số thực khác 1, ta có :

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

−

=

−

−

=

⇔

=

k 1

ky y

y

k 1

kx x

x MB k

MA

B A

M

B A

M

(I)

1/ Nếu đề bài cho biết tọa độ A, B, C thì :

• Gọi D là chân đường phân giác trong kẻ từ A của tam giác ABC

Ta có : DC

AC

AB

DB −= Sử dụng công thức (I) với k =

AC

AB

− ta xác định được tọa độ điểm D

A

I

• Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì I chính là chân đường phân giác trong kẻ từ B của tam giác ABD

Ta có : ID

BD

BA

IA −= Sử dụng công thức (I) với k =

BD

BA

− là xác định được tọa độ tâm I

Còn bán kính đường tròn nội tiếp tam giác chính là khoảng cách từ tâm I đến một trong 3 cạnh của tam giác ABC

Chú ý : Nếu một trong ba đỉnh của tam giác trùng với gốc tọa độ và hai đỉnh còn lại nằm trên hai trục tọa độ thì cách giải được thu gọn hơn vì biết trước được 1 đường phân giác trong kẻ từ gốc tọa độ Đường phân giác còn lại được tìm thông qua tìm chân đường phân giác trong như đã trình bày ở trên

2/ Nếu đề bài cho biết phương trình 3 cạnh của tam giác ABC thì từ phương trình 3 cạnh đó, ta tìm được tọa độ các điểm A, B, C bằng cách giải hệ phương trình tọa độ giao điểm và sử dụng cách giải như phần 1

Ngoài ra còn có thể giải bằng kiến thức miền tạo bởi 1 đường thẳng và khoảng cách đại số từ một điểm đến đường thẳng

B/ Trục đẳng phương của hai đường tròn không đồng tâm :

1/ Cho hai đường tròn không đồng tâm :

(C1) : x2 + y2 + 2a1x + 2b1y + c1 = 0 (1) (C2) : x2 + y2 + 2a2x + 2b2y + c2 = 0 (2) Trục đẳng phương của (C1) và (C2) là tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với (C1) và (C2) và có phương trình là :

2(a1 – a2)x + 2(b1 – b2)y + c1 – c2 = 0

2/ Ứng dụng :

Trong chương trình Hình học lớp 10 ta đã biết cách dựng trục đẳng phương của (C1) và (C2)

• Nếu (C1) và (C2) cắt nhau tại 2 điểm A và B thì trục đẳng phương của (C1) và (C2) là đường thẳng AB

• Nếu (C1) và (C2) tiếp xúc nhau (Tiếp xúc trong hoặc tiếp xúc ngoài) thì trục đẳng phương của (C1) và (C2) là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2) tại tiếp điểm

• Nếu (C1) và (C2) không cắt nhau thì vẽ thêm đường tròn (C3) sao cho cắt được (C1), (C2) và có tâm không nằm trên đường nối tâm của (C1), (C2) Gọi M là giao điểm của hai trục đẳng phương của (C1) và (C3), (C2) và (C3) Khi đó trục đẳng phương của (C1) và (C2) là đường thẳng qua M và vuông góc với đường nối tâm của (C1) và (C2)

Bài toán : Cho đường tròn (C) và M là điểm nằm ngoài (C) Từ M kẻ MA và MB là hai tiếp tuyến của (C) (A và B là hai tiếp điểm) Viết phương trình đường thẳng AB

Cách giải : Gọi I là tâm và R là bán kính của đường tròn (C)

Gọi (C’) là đường tròn tâm M, bán kính :

R’ = MA = IM −2 R2 Suy ra (C) và (C’) cắt nhau tại A và B

Do đó đường thẳng AB chính là trục đẳng phương của (C) và (C’)

A

B

M

I

Qua kết quả trên ta ghi nhớ ngay 2 kết quả :

• Đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường tròn (C1) và (C2) chính là trục đẳng phương của (C1) và (C2) [Nghĩa là không cần tìm tọa độ giao điểm của (C1) và (C2)]

• Tiếp tuyến chung của 2 đường tròn (C1) và (C2) tiếp xúc nhau tại tiếp điểm chính là trục đẳng phương của (C1) và (C2)

Sau đây, lưu ý thêm 2 bài toán thường gặp :

Bài 1 : Cho (C1) và (C2) ở ngoài nhau Tìm quỹ tích những điểm M từ đó vẽ được đến (C1) và (C2) những đoạn tiếp tuyến bằng nhau

Cách giải : Gọi MA và MB (như hình vẽ) là 2 tiếp tuyến từ M đến (C1) và (C2)

Ta có : MA = MB ⇔ MA2 = MB2

⇔

/( ) /( )

M C M C

P =P

Do đó quỹ tích M là trục đẳng phương của (C) và (C )

• M

A •

Bài 2 : Tìm tiếp điểm M của hai đường tròn tiếp xúc nhau (C1) và (C2)

Gọi I1 và I2 là tâm của (C1) và (C2) Tiếp điểm M chính

là giao điểm của trục đẳng phương của (C1) và (C2) với đường nối tâm I1I2

(C 2 ) (C 1 )

M

d

Ví dụ (ĐỀ DỰ BỊ KHỐI B -2005)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho 2 đường tròn :

(C1 ): x2 + y2 và (C2 ): x2 + y2 Viết phương trình trục đẳng phương d của

2 đường tròn (C1) và (C2) Chứng minh rằng nếu K thuộc d thì khỏang cách từ K đến tâm của (C1) nhỏ hơn khỏang cách từ K đến tâm của ( C2 )

9

= − −2x 2y−23= 0

Giải:

Đường tròn ( )C1 có tâm O 0( ),0 bán kính R1=3

Đường tròn ( )C2 có tâm I 1( ),1 , bán kính R2 =5

Phương trình trục đẳng phương của 2 đường tròn ( )C1 , ( )C2 là

(x2+y2− −9) (x2 +y2−2x 2y 23− − )= 0

x y 7 0

⇔ + + = (d)

Gọi K x ,y( k k) ( )∈ d ⇔yk = − −xk 7

IK = x −1 + y −1 = x −1 + −x −8 =2x +14x + 56

IK −OK = 2x +14x +65 − 2x +14x +49 =16 0>

K >OK ⇔IK OK(đpcm)>

Vậy I 2 2

* * *