Ứng dụng hình học xạ ảnh để giải và sáng tạo ra các bài toán sơ cấp
Trang 1D
C M
I
J
N J
I M C
A O
(b) (a)
ỨNG DỤNG HÌNH HỌC XẠ ẢNH VÀO GIẢI VÀ SÁNG
TẠO CÁC BÀI TOÁN SƠ CẤP
Tóm tắt: Bài viết trình bày một số ví dụ về việc ứng dụng hình học xạ ảnh để giải và
sáng tạo ra các bài toán sơ cấp trong hình học phẳng Nội dung tập trung chủ yếu vào việc thể hiện, khai thác các kết quả cơ bản của hình học xạ ảnh trong mặt phẳng
xạ ảnh P 2 như: Định lí Desagues, hình bốn đỉnh, hình bốn cạnh toàn phần , tỉ số kép, phép phối cảnh, phép đối hợp,… vào việc giải và sáng tạo các bài toán hình học sơ cấp.
1 Mở đầu:
2 Một số kiến thức cơ bản của hình học xạ ảnh trong mặt phẳng.
* Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afine(ơclit)
* Hình ba đỉnh và định lí Desagues
* Hình bốn đỉnh và tính chất của hình bốn đỉnh
* Tỉ số kép
.* Liên hệ xạ ảnh, liên hệ phối cảnh, phép đối hợp
3 Ứng dụng hình học xạ ảnh vào giải và sáng tạo các bài toán sơ cấp a) Tứ giác toàn phần và các bài toán sơ cấp:
Rất nhiều bài toán trong hình học phẳng khi chuyển qua bài toán xạ ảnh tương ứng ta thì bài toán đó chính là nội dung định lí Desagues hoặc áp dụng tính chất của hình bốn cạnh toàn phần
*) Các bài toán chứng minh:
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng cho hình thang ABCD có đáy là AB và CD CMR đường
thẳng đi qua giao điểm của hai cạnh
bên và giao điểm của hai đường chéo
sẽ đi qua trung điểm của hai cạnh
đáy
Giải: Đây chính là bài toán Afine
AC BD Ta cần chứng minh OM
đi qua trung điểm của AB và CD
thẳng vô tận ta thu được mặt
điểm nằm trên đường thẳng vô tận Ta thu được bài toán xạ ảnh sau: Trong mặt phẳng
xạ ảnh cho đường thẳng và hình bốn cạnh toàn phần ABCD sao cho giao điểm N =
AB CD Gọi O = AD BC, M = AC BD Đường thẳng OM cắt cạnh AB và
CD tại I và J Chứng minh rằng (A, B, I, N) = -1 và (D, C, J, N) = -1
Trang 2Để giải bài toán này ta chỉ cần áp dụng tính chất của hình bốn cạnh toàn phần.
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng afine cho tam giác ABC và các hình bình hành sao cho mỗi
một hình trong chúng có một đường chéo là là một cạnh của tam giác, còn hai cạnh
kề nhau là hai cạnh còn lại của tam giác Chứng minh rằng các đường chéo thứ hai của các hình bình hành đồng quy tại một điểm
Giải: Bài toán đã cho
tương ứng với bài
toán xạ ảnh sau:
Trong P2 cho tam
giác ABC và đường
thẳng không đi qua
đỉnh của tam giác
Các cạnh của tam giác
cắt đường thẳng tại
bai điểm I, J, K Dựng
các đường thẳng IC,
JA, KB Gọi P = JA
KB, Q = JA IC,
R = KB IC Chứng
minh rằng ba đường
thẳng Ả, BQ, CR đồng quy tại một điểm O
Áp dụng định lí Desagues cho hai tam giác ABC và RQP ta có giao điểm của các cặp cạnh tương ứng thẳng hàng suy ra đường thẳng đi qua các cặp đỉnh tương ứng đồng quy tại một điểm O
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng afine cho tam giác A1A2A3 và một đường thẳng d không đi qua các đỉnh của tam giác Gọi P1 = d A2A3, P2 = d A1A3 , P3= d A1A2 Với mỗi cặp đỉnh (Pi ,Pj ), dựng đường thẳng qua Pj và song song với cạnh của hình tam giác chúa Pi Gọi Mij là giao điểm của các đường thẳng đó Chứng minh rằng ba điểm
M12, M13, M23 thẳng hàng
Bài toán
xạ ảnh
tương
ứng:
Cho
hình ba
đỉnh
(tam
giác)
A1A2A3
và hai
đường
thẳng
phân
A
C B
R
O
A
B R C Q I
J
K
P
O
A 1
A2 A3
P3
P1
P2
M13
M12
M23
P 3
P1
P2
Q 3
Q1
Q2
M13
M12
M23
A1
Trang 3biệt d, không đi qua đỉnh nào của tam giác Gọi P1 = d A2A3, P2 = d A1A3 , P3=
d A1A2 Gọi Q1 = A2A3, Q2 = A1A3 , Q3= A1A2
*) Các bài toán dựng hình:
Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng song song a, b của mặt phẳng afine A2 , A, B là hai điểm nằm trên a Hãy dựng trung điểm của đoạn AB bằng cách chỉ dùng thức kẻ
Bổ sung vào mặt phẳng afine đường thẳng vô tân và gọi O = a b Bài toán tương ứng trong mặt phẳng xạ ảnh: Trong mặt phẳng xạ ảnh, cho trước một đường thẳng
và hai đường thẳng a, b cắt nhau tại một điểm O nằm trên Trên a lấy hai điểm A,B tuỳ ý Hãy dựng điểm I thuộc a sao cho (A, B, I, O)=-1 Từ đó, ta suy ra chỉ cần dựng
tứ giác toàn phần sao cho A,B là hai đỉnh và I, O là hai điểm chéo Từ đó ta suy ra cách dựng như sau:
Giải: Lấy một điểm S không nằm trên
hai đường thẳng a, b Đường thẳng SA,
SB cắt đường thẳng b tại P, Q Gọi M
=PB QA Dựng đường thẳng SM cắt
AB tại I I chính là trung điểm của AB
(Hình 1)
Ví dụ 3: Trong A2 cho đoạn AB và
trung điểm I của đoạn đó Chỉ dùng
thước kẻ, qua một điểm M cho trước
hãy dựng một đường thẳng song song với đường thẳng AB
Giải: Lấy một điểm S không nằm trên đường thẳng a và khác M Dựng đường thẳng
SI cắt đường thẳng BM tại P Dựng đường thẳng AP cắt đường thẳng SB tại Q Đường thẳng đi qua hai điểm MQ chính là đường thẳng b cần dựng (Hình 2)
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng afine cho một tam giác ABC, một đường trung bình IJ của
nó và một đường thẳng d Chỉ dùng các đường thẳng hãy dựng qua một điểm P đã cho , một đường thẳng song song với đường thẳng d
A
H 2
H 1
S
P
b
a a
b M
Q P
S
Trang 4Giải:
P
d
Vì từ một bài toán xạ ảnh ta có thể có nhiều bài toán afine khác nhau do việc lựa chọn các đường thẳng vô tận khác nhau Dựa vào nhận xét này ta có thể sáng tạo ra nhiều bài toán afine khác nhau từ một bài toán ( kết quả) của hình học xạ ảnh Để làm ví dụ,
ta xét định lí Desagues:
Định lí: Cho hai hình ba đỉnh giác ABC và A’B’C’ Nếu các đường thẳng nối các cặp
đỉnh tương ứng của hai tam giác đi qua một điểm thì giao điểm của các cặp cạnh tương ứng nằm trên một đường thẳng và ngược lại.
Nếu ta chọn đường thẳng
vô tận không chứa bất
kì đỉnh nào nói trên thì ta
thu được bài toán afine
tương ứng như trên:
Trong mặt phẳng, Cho
hai tam giác ABC và
A’B’C’ Nếu các đường
thẳng nối các cặp đỉnh
tương ứng của hai tam
giác đi qua một điểm thì
giao điểm của các cặp cạnh tương ứng nằm trên một đường thẳng và ngược lại.
Bây giờ, Nếu ta chọn đường thẳng
MN làm đường thẳng vô tận thì ta
thu được bài toán: Cho hai tam giác
ABC và A’B’C’ có các đường thẳng
đi qua các cặp đỉnh tương ứng
đồng quy và có hai cặp cạnh tương
P
N
M
O C'
B'
A' C
A B
A
B
A'
C'
Trang 5ứng song song Chứng minh rằng cặp cạnh tương ứng còn lại cũng song song với nhau.
4 Kết luận
5.Hướng phát triển của đề tài:
