Bài tập và lý thuyết chương 3 hình học lớp 11 VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN đặng việt đông file word

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Trang Quan hệ vng góc – HH 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 VÉCTƠ TRONG KHƠNG GIAN A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP Định nghĩa phép tốn • Định nghĩa, tính chất, phép tốn vectơ khơng gian xây dựng hồn tồn tương tự mặt phẳng • Lưu ý: uuur uuur uuur + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB + BC = AC uuu r uuur uuur + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB + AD = AC uuur uuur uuur uuuur + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD A′ B′ C′ D′ , ta có: AB + AD + AA ' = AC ' + Hê thức trung điểm đoạn trung uur thẳng: uur r ChouuIu rlà u uur điểm uur đoạn thẳng AB, O tuỳ ý Ta có: IA + IB = 0; OA + OB = 2OI + Hệ thức trọng tâm tamuuu giác: r uuu rChouuG ur rtrọng utâm uu r uuu r tam uuugiác r ABC, uuur O tuỳ ý Ta có: GA + GB + GC = 0; OA + OB + OC = 3OG + Hệ thức trọng tâm tứ diện: tứ ABCD, tuỳ Ta uuu r uCho uu r G uuulà r trọng uuur tâm uuu rdiện uuu r uuur Ouu ur ý u uurcó: r GA + GB + GC + GD = 0; OA + OB + OC + OD = 4OG r r r r r r + Điều kiện hai vectơ phương: a b phương (a ≠ 0) ⇔ ∃!k ∈ R : b = ka + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ≠ 1), O tuỳ ý Ta có: uuu r uuu r uuur uuur uuuu r OA − kOB MA = k MB; OM = 1− k Sự đồng phẳng ba vectơ • Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng r r r r r • Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a , b , c , a b khơng r r r r r r phương Khi đó: a , b , c đồng phẳng ⇔ ∃ ! m, n ∈ R: c = ma + nb r r r r • Cho ba vectơ a , b , c không đồng phẳng, x tuỳ ý r r r r Khi đó: ∃ ! m, n, p ∈ R: x = ma + nb + pc Tích vơ hướng hai vectơ • Góc hai vectơ khơng gian: uuu r r uuur r r r · · AB = u , AC = v ⇒ (u , v ) = BAC (00 ≤ BAC ≤ 1800 ) • Tích vơ hướng hai vectơ khơng gian: rr r r r r r r r u v = u v cos(u , v ) + Cho u , v ≠ Khi đó: rr r r r r + Với u = hoaëc v = Qui ước: u v = r r rr + u ⊥ v ⇔ u v = Các dạng toán thường gặp: a) Chứng minh đẳng thức vec tơ b) Chứng minh ba vec tơ đồng phẳng bốn điểm đồng phẳng, phân tích vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng + Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta chứng minh cách: - Chứng minh giá ba vectơ song song với mặt phẳng r r r r r - Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu có m, n ∈ R: cr = ma + nb a, b, c đồng phẳng r r r r + Để phân tích vectơ x theo ba vectơ a, b,c không đồng phẳng, ta tìm số m, n, p cho: r r r r x = ma + nb + pc Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word c) Tính tích vơ hướng cuả hai véc tơ khơng gian d) Tính độ dài đoạn thẳng, véctơ Quan hệ vng góc – HH 11 r2 r r r2 + Để tính độ dài đoạn thẳng theo phương pháp vec tơ ta sử dụng sở a = a ⇒ a = a Vì để tính độ dài đoạn MN ta thực theo bước sau: r r r - Chọn ba vec tơ không đồng phẳng a,b, c so cho độ dài chúng tính góc chúng có thểuutính uur r r r - Phân tích MN = ma+ nb+ pc uuuur uuuur r r r - Khi MN = MN = MN = ma+ nb+ pc ( ) r2 r2 r2 r r r r r r = m2 a + n2 b + p2 c + 2mn cos a,b + 2npcos b, c + 2mpcos c, a ( ) ( ) ( ) e) Sử dụng điều kiện đồng phẳng bốn điểm để giải tốn hình khơng gian Sử dụng kết uuur uuur uuur • A , B,C , D bốn điểm đồng phẳng ⇔ DA = mDB + nDC • A , B,C , D bốn điểm đồng phẳng với điểm O ta có uuur uuur uuur uuur OD = xOA + yOB + zOC x + y + z = B – BÀI TẬP uuu r r uuu r r uuur r Câu 1: Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ , M trung điểm BB′ Đặt CA = a , CB = b , AA′ = c Khẳng định sau đúng? uuuu r r r 1r uuuu r r r 1r uuuu r r r 1r A AM = b + c − a B AM = a − c + b C AM = a + c − b D 2 uuuu r r r 1r AM = b − a + c Hướng dẫn giải: Chọn D Ta phân tích sau: uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuur AM = AB + BM = CB − CA + BB′ r r uuur r r r = b − a + AA′ = b − a + c 2 Câu 2: Trong không gian cho điểm O bốn điểm A , B , C , D không thẳng hàng Điều kiện cần đủ để A , B , C , D tạo thành hình bình hành uuu r uuu r uuur uuur r A OA + OB + OC + OD = B OA + OC = OB + OD 1 1 C OA + OB = OC + OD D OA + OC = OB + OD 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn B Trước hết, điều kiện cần đủ để ABCD hình bình hành là: uuur uuu r uuur BD = BA + BC Với điểm O khác A , B , C , D , ta có: uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuu r BD = BA + BC ⇔ OD − OB = OA − OB + OC − OB uuu r uuur uuur uuur ⇔ OA + OC = OB + OD uur r uur r uuu r r Câu 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Đặt SA = a ; SB = b ; SC = c ; uuu r r SD = d Khẳng định sau đúng? Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file wordr r Quan hệ vng góc – HH 11 r r r r r r r r r r r r r r r A a + c = d + b B a + b = c + d C a + d = b + c D a + b + c + d = Hướng dẫn giải: Chọn A r Gọi O tâm hình bình hành ABCD Ta phân tích sau: d uur uuu r uuu r r r r a  SA + SC = SO c b u u r u u u r u u u r (do tính chất đường trung tuyến)   SB + SD = 2SO uur uuu r uur uuu r r r r r ⇒ SA + SC = SB + SD ⇔ a + c = d + b Câu 4: Cho tứ diện ABCD Gọi M P trung điểm AB CD Đặt AB = b , uuur r uuur r AC = c , AD = d Khẳng định sau đúng? uuur r r r uuur r r r A MP = c + d − b B MP = d + b − c 2 uuur r r r uuur r r r C MP = c + b − d D MP = c + d + b 2 Hướng dẫn giải: Chọn A r Ta phân tích: r b uuur uuuu r uuuu r d MP = MC + MD (tính chất đường trung tuyến) r c r uuur uuuu r r r uuuu r uuur uuuu = AC − AM + AD − AM = c + d − AM 2 u u u r r r r r r = c + d − AB = c + d − b 2 ( ( ) ) ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ( ( ) ) uuuu r r Câu 5: Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ có tâm O Gọi I tâm hình bình hành ABCD Đặt AC ′ = u , r r uuur r uuuu r r uuuu CA ' = v , BD′ = x , DB′ = y Khẳng định sau đúng? uur r r r r uur r r r r A 2OI = ( u + v + x + y ) B 2OI = − ( u + v + x + y ) 2 uur r r r r uur r r r r C 2OI = ( u + v + x + y ) D 2OI = − ( u + v + x + y ) 4 Hướng dẫn giải: r r x v Chọn D Ta phân tích: r uuur uuur uuuu r uuu r uuur uuur r r r r uuuu y u u + v = AC ′ + CA′ = AC + CC ′ + CA + AA′ = AA′ r uuuu r uuur uuuur uuur uuur uuur uuur r r uuuu x + y = BD′ + DB′ = BD + DD′ + DB + BB′ = 2BB′ = AA′ uuur uuur uur r r r r ⇒ u + v + x + y = AA′ = −4 A′A = −4.2OI uur r r r r ⇒ 2OI = − ( u + v + x + y ) Câu 6: Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ Gọi I K tâm hình bình hành ABB′A′ BCC ′B′ Khẳng định sau sai? uur uuur uuuur A IK = AC = A′C ′ 2 B Bốn điểm I , K , C , A đồng phẳng uuur uur uuur C BD + IK = BC uuur uur uuuur D Ba vectơ BD ; IK ; B′C ′ không đồng phẳng Hướng dẫn giải: ( ( ) ( ) ( ) ) Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 Chọn D A tính chất đường trung bình ∆B′AC tính chất hình bình hành ACC ′A′ B IK // AC nên bốn điểm I , K , C , A đồng phẳng C tích: uuu r uu r việc uuur ta uphân uur u uur uuur uuur uuur uuur BD + IK = BC + CD + AC = BC + CD + AD + DC uuur uuur uuur = BC + BC = BC uuur uur uuuur D sai giá ba vectơ BD ; IK ; B′C ′ song song trùng với mặt phẳng ( ABCD ) Do đó, theo định nghĩa đồng phẳng vectơ, ba vectơ đồng phẳng Câu 7: Cho tứ diện ABCD Người ta định nghĩa “ G trọng tâm tứ diện ABCD uuu r uuu r uuur uuur r GA + GB + GC + GD = ” Khẳng định sau sai? A G trung điểm đoạn IJ ( I , J trung điểm AB CD ) B G trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm AC BD C G trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm AD BC D Chưa thể xác định Hướng dẫn giải: Chọn D Ta gọi I J trung điểm AB CD Từ uuu rgiảuuthiết, ur uuta ur biến uuurđổirnhư sau: uur uuu r r uur uuu r r GA + GB + GC + GD = ⇔ 2GI + 2GJ = ⇔ GI + GJ = ⇒ G trung điểm đoạn IJ Bằng việc chứng minh tương tự, ta chứng minh phương án B C phương án đúng, phương án D sai r r uuur uuur r uuu Câu 8: Cho tứ diện ABCD có G trọng tâm tam giác BCD Đặt x = AB ; y = AC ; zr = AD Khẳng định sau đúng? uuur r r r uuur r r r A AG = ( x + y + z ) B AG = − ( x + y + z ) 3 uuur r r r uuur r r r C AG = ( x + y + z ) D AG = − ( x + y + z ) 3 Hướng dẫn giải: Chọn A Gọi M trung điểm CD Ta phân tích: uuur uuu r uuur uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r r AG = AB + BG = AB + BM = AB + AM − AB r x z 3 r uuu r  uuur uuur uuu r  uuu r uuur uuur r r r y = AB +  AC + AD − AB  = AB + AC + AD = ( x + y + z ) 2  ( ( ) ( ) ) uuu r r uuur r Câu 9: Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ có tâm O Đặt AB = a ; BC = b M điểm xác định uuuu r r r OM = a − b Khẳng định sau đúng? ( ) Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 A M tâm hình bình hành ABB′A′ B M tâm hình bình hành BCC ′B′ C M trung điểm BB′ D M trung điểm CC ′ Hướng dẫn giải: Chọn C Ta phân tích: uuuu r r r uuur uuur uuur uuur uuur OM = a − b = AB − BC = AB − AD = DB 2 2 ′ ⇒ M trung điểm BB r ( ) ( ) ( ) a r r r r r r u r r b r r r r r Câu 10: Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng Xét vectơ x = 2a − b; y = −4a + 2b; z = −3b − 2c Chọn khẳng địnhu rđúng? r r u r A Hai vectơ y; z phương B Hai vectơ x; y phương r r r u r r C Hai vectơ x; z phương D Ba vectơ x; y; z đồng phẳng Hướng dẫn giải: Chọn B u r r r u r + Nhận thấy: y = −2 x nên hai vectơ x; y phương Câu 11: Trong mặt phẳng cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O Trong khẳng định sau, khẳng định sai? uuu r uuur uuur uuur r A Nếu ABCD hình bình hành OA + OB + OC + OD = uuu r uuur uuur uuur r B Nếu ABCD hình thang OA + OB + 2OC + 2OD = uuu r uuur uuur uuur r C Nếu OA + OB + OC + OD = ABCD hình bình hành uuu r uuur uuur uuur r D Nếu OA + OB + 2OC + 2OD = ABCD hình thang Hướng dẫn giải: Chọn B Câu 12: Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 Chọn khẳng định đúng? uuur uuuu r uuuu r uuuu r uuur uuuur A BD, BD1 , BC1 đồng phẳng B CD1 , AD, A1 B1 đồng phẳng uuuu r uuur uuur uuur uuur uuur C CD1 , AD, A1C đồng phẳng D AB, AD, C1 A đồng phẳng Hướng dẫn giải: D Chọn C C + M , N , P, Q trung điểm AB, AA1 , DD1 , CD Ta có CD1 / /( MNPQ ); AD / / ( MNPQ ) ; A1C / /(MNPQ ) uuuu r uuur uuuu r ⇒ CD1 , AD, A1C đồng phẳng A B D1 A1 r r r r C1 B1 r r u r r r r r r r Câu 13: Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng Xét vectơ x = 2a + b; y = a − b − c; z = −3b − 2c Chọn khẳng địnhr đúng? u r r A Ba vectơ x; y; z đồng phẳng r r B Hai vectơ x; a phương Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 r r r u r r C Hai vectơ x; b phương D Ba vectơ x; y; z đôi phương Hướng dẫn giải: Chọn A u r r r r u r r Ta có: y = x + z nên ba vectơ x; y; z đồng phẳng Câu 14: Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 Tìm giá trị k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: uuu r uuuur uuuur uuuu r AB + B1C1 + DD1 = k AC1 A k = B k = C k = D k = Hướng dẫn giải: D Chọn B C ( ) uuu r uuuur uuuur uuu r uuur uuuu r uuuu r + Ta có: AB + B1C1 + DD1 = AB + BC + CC1 = AC1 Nên k = A B D1 C1 A1 B1 uuuu r r Câu 15: Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D ′ có tâm O Gọi I tâm hình bình hành ABCD Đặt AC ′ = u , r u r uuur r uuuu r r uuuu CA′ = v , BD′ = x , DB′ = y Trong đẳng thức sau, đẳng thức đúng? uur r uur r r r r u r r r u A 2OI = − (u + v + x + y ) B 2OI = − (u + v + x + y ) uur r r r u r uur r r r u r C 2OI = (u + v + x + y ) D 2OI = (u + v + x + y ) Hướng dẫn giải: D Chọn A + Gọi J , K trung điểm AB, CD +Ta có: J A K C B O D’ A’ uur uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuur r r r r u 2OI = OJ + OK = OA + OB + OC + OD = − (u + v + x + y ) ( ) Trang C’ B’ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word uuur Quan hệ vuông góc – HH 11 r uuur r uuur r uuur ur Câu 16: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A1 B1C1 Đặt AA1 = a, AB = b, AC = c, BC = d , đẳng thức sau, r đẳng r r thức ur r đúng? r r r ur A a + b + c + d = B a + b + c = d Hướng dẫn giải: Chọn C r r ur r C b − c + d = r r r D a = b + c A C uuur uuur uuu r r r ur r r + Dễ thấy: AB + BC + CA = ⇒ b + d − c = B A1 C1 B1 Câu 17: Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi I tâm hình bình hành ABEF K tâm hình bình hành BCGF Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? uuur uuur uuur uuur uur uuur A BD, AK , GF đồng phẳng B BD, IK , GF đồng phẳng uuur uuur uuur uuur uur uuur C BD, EK , GF đồng phẳng D BD, IK , GC đồng phẳng Hướng dẫn giải: Chọn B  IK //( ABCD ) uur uuur uuur  + GF //( ABCD ) ⇒ IK , GF , BD đồng phẳng  BD ⊂ (ABCD)  + Các véctơ câu A, C , D khơng thể có giá song song với mặt phẳng D C A B K I H E Câu 18: Trong khẳng định sau, khẳng định sai? r r r A Nếu giá ba vectơ a, b, c cắt đơi ba vectơ đồng phẳng Trang G F http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 r r r r B Nếu ba vectơ a, b, c có vectơ ba vectơ đồng phẳng r r r C Nếu giá ba vectơ a, b, c song song với mặt phẳng ba vectơ đồng phẳng r r r D Nếu ba vectơ a, b, c có hai vectơ phương ba vectơ đồng phẳng Hướng dẫn giải: Chọn A + Nắm vững khái niệm ba véctơ đồng phẳng Câu 19: Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 Trong khẳng định sau, khẳng định sai? uuuu r uuur uuur uuuu r uuur uuuu r r A AC1 + A1C = AC B AC1 + CA1 + 2C1C = uuuu r uuur uuur uuur uuur uuuu r C AC1 + A1C = AA1 D CA1 + AC = CC1 Hướng dẫn giải: Chọn A D C + Gọi O tâm hình hộp ABCD A1B1C1D1 + Vận dụng cơng thức trung điểm để kiểm tra A B O D1 C1 A1 B1 Câu 20: Hãy chọn mệnh đề mệnh đề sau đây: uuu r uuur uuur uuur ur A Tứ giác ABCD hình bình hành AB + BC + CD + DA = O uuur uuur B Tứ giác ABCD hình bình hành AB = CD uur uuu r uur uuu r C Cho hình chóp S ABCD Nếu có SB + SD = SA + SC tứ giác ABCD hình bình hành uuu r uuur uuur D Tứ giác ABCD hình bình hành AB + AC = AD Hướng dẫn giải: Chọn C uur uuu r uur uuu r uur uuur uur uuur uur uur uuur SB + SD = SA + SC ⇔ SA + AB + SA + AD = SA + SA + AC uuur uuur uuur ⇔ AB + AD = AC ⇔ ABCD hình bình hành B A D C uuur uuur Câu 21: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh a Ta có AB.EG bằng? A a 2 C a B a Hướng dẫn giải: Chọn B D ( B A uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuuruuuu r AB.EG = AB EF + EH = AB.EF + AB.EH uuur2 uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur = AB + AB AD ( EH = AD ) = a (Vì AB ⊥ AD ) ) Trang a2 C D F E H G http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 Câu 22: Trong không gian cho điểm O bốn điểm A, B, C , D không thẳng hàng Điều kiện cần đủ để A, B, C , D tạo thành hình bình hành là: uuu r uuu r uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur A OA + OB = OC + OD B OA + OC = OB + OD uuu r u uur uuur uuu2r uuu r 2uuu r uuur uuu2r r C OA + OC = OB + OD D OA + OB + OC + OD = Hướng dẫn giải: Chọn C uuu r uuur uuur uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur A OA + OC = OB + OD ⇔ OA + OA + AC = OA + AB + OA + BC uuur uuur uuur ⇔ AC = AB + BC B D C Câu 23: Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ Gọi I K tâm hình bình hành ABB’ A’ BCC ′B′ Khẳng định sau sai ? uur uuur uuuur A Bốn điểm I , K , C , A đồng phẳng B IK = AC = A′C ′ 2 uuur uur uuuur uuur uur uuur C Ba vectơ BD; IK ; B′C ′ không đồng phẳng D BD + IK = BC Hướng dẫn giải: Chọn C uur uuur A Đúng IK , AC thuộc ( B′AC ) uur uuu r uuuur r r r r r r uuur uuuur B Đúng IK = IB′ + B ' K = a + b + −a + c = b + c = AC = A′C ′ 2 2 uur uuu r uuuur r r r r r r C Sai IK = IB′ + B ' K = a + b + −a + c = b + c 2 uuur uur r r r r r uuuur ⇒ BD + IK = −b + c + b + c = 2c = 2B′C ′ ⇒ ba véctơ đồng phẳng uuur uur r r r r r uuuur uuur D Đúng theo câu C ⇒ BD + IK = −b + c + b + c = 2c = B′C ′ = BC Câu 24: Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD BC lấy M , N cho AM = 3MD , BN = 3NC Gọi P, Q trung điểm AD BC Trong khẳng định sau, khẳng định sai? uuur uuur uuuu r uuuu r uuur uuur A Các vectơ BD, AC , MN đồng phẳng B Các vectơ MN , DC , PQ đồng phẳng uuu r uuur uuur uuu r uuur uuuu r C Các vectơ AB, DC , PQ đồng phẳng D Các vectơ AB, DC , MN đồng phẳng Chọn A ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur uuur  MN = MA + AC + CN  MN = MA + AC + CN r uuuu r uuur uuur ⇒  uuuuur uuuuu r uuur uuur A Sai  uuuu  MN = MD + DB + BN 3MN = 3MD + 3DB + 3BN uuuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuuu r ⇒ MN = AC − 3BD + BC ⇒ BD, AC , MN không đồng phẳng Trang 10 http://dethithpt.com chun tài Quan hệ vng góc – HH 11 uuur uuuur uuu r – Website uuuur uuur uđề uu r thiuu uurliệuuufile uur word Do BC = B1C1 BA = B1 A1 nên BC + BA = B1C1 + B1 A1 A uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuur Do AD + D1C1 + D1 A1 = AD + D1 B1 = A1 D1 + D1 B1 = A1 B1 = DC nên uuur uuuur uuuur uuur AD + D1C1 + D1 A1 = DC nên B uuur uuu r uuur uuur uuuur uuuu r Do BC + BA + BB1 = BD + DD1 = BD1 nên C Câu 52: Cho tứ diện ABCD Gọi P, Q trung điểm AB CD Chọn khẳng định đúng? uuur uuur uuur uuur uuur uuur A PQ = BC + AD B PQ = BC + AD uuur uuur uuur uuur uuur uuur C PQ = BC − AD D PQ = BC + AD Hướng dẫn giải: : Chọn B.uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuur Ta có : PQ = PB + BC + CQ PQ = PA + AD + DQ uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur nên 2PQ = PA + PB + BC + AD + CQ + DQ = BC + AD Vậy PQ = BC + AD Câu 53: Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ M điểm AC cho AC = 3MC Lấy N đoạn C ′D cho xC ′D = C ′N Với giá trị x MN //D′ 1 A x = B x = C x = D x = 3 Hướng dẫn giải: : Chọn A ( ( ( ) ) ) ( ( ) ) ( ) Câu 54: Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ Tìm giá trị k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: uuur uuuur uuuur uuur BD − D′D − B′D′ = k BB′ A k = Hướng dẫn giải: : Chọn C B k = C k = uuur uuuur uuuur uuur Ta có BD + DD′ + D′B′ = BB′ nên k = Trang 20 D k = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Câu 55: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề sai? Quan hệ vng góc – HH 11 uur uuu r uuu r A Vì I trung điểm đoạn AB nên từ O ta có: OI = OA + OB uuu r uuur uuur uuu r r B Vì AB + BC + CD + DA = nên bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng uuuu r uuur r C Vì NM + NP = nên N trung điểm đoạn NP uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur D Từ hệ thức AB = AC − AD ta suy ba vectơ AB, AC , AD đồng phẳng Hướng dẫn giải: : Chọn uuu rB uuur uuur uuu r r Do AB + BC + CD + DA = với điểm A, B, C , D nên câu B sai Câu 56: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề sai? r r r A Ba véctơ a, b, c đồng phẳng ba véctơ có giá thuộc mặt phẳng B Ba tia Ox,Oy,Oz vng góc với đơi ba tia khơng đồng phẳng r r r r r C Cho hai véctơ không phương a b Khi ba véctơ a, b, c đồng phẳng có r r r , cho c = ma + nb , cặp số mn , cặp số mn r r r r r r r D Nếu có ma + nb + pc = ba số m, n, p khác ba véctơ a, b, c đồng phẳng Hướng dẫn giải: : Chọn A r r r Ba véctơ a, b, c đồng phẳng ba véctơ có giá song song thuộc mặt phẳng Câu A sai Câu 57: Gọi M , N trung điểm cạnh AC BD tứ diện ABCD Gọi I trung điểm đoạn MN P làuur1 điểm khơng gian Tìm giá trị k thích hợp điền vào đẳng uu r uur uur r thức vectơ: IA + (2k − 1) IB + k IC + ID = A k = B k = C k = D k = Hướng dẫn giải: : Chọn C uu r uur uur uur r Ta chứng minh IA + IB + IC + ID = nên k = r r r Câu 58: Cho ba vectơ a, b, c Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? r r r r r r r A Nếu a, b, c không đồng phẳng từ ma + nb + pc = ta suy m = n = p = r r r r r r r B Nếu có ma + nb + pc = , m + n + p > a, b, c đồng phẳng r r r r r r r C Với ba số thực m, n, p thỏa mãn m + n + p ≠ ta có ma + nb + pc = a, b, c đồng phẳng r r r r r r D Nếu giá a, b, c đồng qui a, b, c đồng phẳng Hướng dẫn giải: : Chọn D Câu D sai Ví dụ phản chứng cạnh hình chóp tam giác đồng qui đỉnh chúng không đồng phẳng uur r uuu r r uuur r Câu 59: Cho hình lăng trụ ABCA′B′C ′ , M trung điểm BB’ Đặt CA = a , CB = b , AA ' = c Khẳng định sau đúng? uuuu r r r 1r uuuu r r r 1r uuuu r r r 1r A AM = a + c − b B AM = b + c − a C AM = b − a + c D 2 uuuu r r r 1r AM = a − c + b Hướng dẫn giải: : Chọn C uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuur r r r Ta có AM = AB + BM = CB − CA + BB ′ = b − a + c 2 Trang 21 ( ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word uuur Quan hệ vng góc – HH 11 r uuu r r uuur r uuur ur Câu 60: Cho hình lăng trụ tam giác ABCA′B′C ′ Đặt AA′ = a, AB = b, AC = c, BC = d Trong biểu thức véctơ r rsaur đây, biểu thức nàorđúng r r ur r r r ur r r r ur A a = b + c B a + b + c + d = C b − c + d = D a + b + c = d Hướng dẫn giải: Chọn C r r ur uuur uuur uuur uuu r uuur r Ta có: b − c + d = AB − AC + BC = CB + BC = Câu 61: Cho tứ diện ABCD I trọng tâm tam giác ABC Đẳng thức uur uur uur uuu r uur uur uur uuu r A 6SI = SA + SB + SC B SI = SA + SB + SC uu r uur uur uuu r uu r uur uur uuu r C SI = SA − SB + SC D SI = SA + SB + SC 3 Hướng dẫn giải: Chọn D uur uur uuu r uu r uu r uur uur uuu r Vì I trọng tâm tam giác ABC nên SA + SB + SC = 3SI ⇔ SI = SA + SB + SC 3 Câu 62: Trong mệnh đề sau, mệnh đề A Ba véctơ đồng nằm mặt phẳng r r rphẳng ba véctơ r r r B Ba véctơ a, b, c đồng phẳng có c = ma + nb với m, n số ur r r r ur C Ba véctơ khơng đồng phẳng có d = ma + nb + pc với d véctơ D Ba véctơ đồng phẳng ba véctơ có giá song song với mặt phẳng Hướng dẫn giải: Chọn D Câu A sai ba véctơ đồng phẳng ba r rvéctơ có giá song song với mặt phẳng Câu B sai thiếu điều kiện véctơ a, b khơng phương ur r r r r r r ur Câu C sai d = ma + nb + pc với d véctơ khơng phải điều kiện để véctơ a, b, c đồng phẳng Câu 63: Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ Tìm giá trị k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: uuur uuur uuur uuuur r AC + BA′ + k DB + C ' D = ( ) ( ) A k = B k = C k = D k = Hướng dẫn giải: Chọn B uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuu r uuur uuuur uuur uuur r Với k = ta có: AC + BA ' + DB + C ' D = AC + BA ' + C 'B = AC + C 'A' = AC + CA = ( ) Câu 64: Cho hình chóp S ABC Lấy điểm A′, B′, C ′ thuộc tia SA, SB, SC cho SA = a.SA′, SB = b.SB′, SC = c.SC ′ , a, b, c số thay đổi Tìm mối liên hệ a, b, c để mặt phẳng ( A′B′C ′ ) qua trọng tâm tam giác ABC Trang 22 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 A a + b + c = B a + b + c = C a + b + c = D a + b + c = Hướng dẫn giải: Chọn A Nếu a = b = c = SA = SA′, SB = SB ′, SC = SC ′ nên ( ABC ) ≡ ( A′B′C ′ ) Suy ( A′B′C ′ ) qua trọng tâm tam giác ABC => a + b + c = đáp án uur r uur r uuu r r uuu r ur Câu 65: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Đặt SA = a, SB = b, SC = c , SD = d Khẳngrđịnh r ur sau r r r ur r r r ur r r r r r ur A a + c = d + b B a + c + d + b = C a + d = b + c D a + b = c + d Hướng dẫn giải: Chọn A r r uur uuu r uuu r a + c = SA + SC = 2SO r r ur r r uuu r => a + c = d + b Gọi O tâm hình bình hành ABCD Ta có:  r ur uur uuu b + d = SB + SD = SO Câu 66: Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G Mệnh đề sau sai uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuur A AG = AB + AC + AD B AG = AB + AC + AD uuur uuu r uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur uuur r C OG = OA + OB + OC + OD D GA + GB + GC + GD = Hướng dẫn giải: Chọn A uuur uuu r uuu r uuur uuur Theo giả thuyết với O điểm ta ln có: OG = OA + OB + OC + OD Ta thay điểm O điểm A ta có: uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuur AG = AA + AB + AC + AD ⇔ AG = AB + AC + AD 4 uuur uuu r uuur uuur Do AG = AB + AC + AD sai Câu 67: Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 với tâm O Chọn đẳng thức sai uuur uuur uuur uuuur uuuu r uuur uuur uuur A AB + AA1 = AD + DD1 B AC1 = AB + AD + AA1 uuu r uuuu r uuur uuuu r r uuu r uuur uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r C AB + BC1 + CD + D1 A = D AB + BC + CC1 = AD1 + D1O + OC1 Hướng dẫn giải: Chọn A uuur uuur uuur uuur uuuur uuuu r uuur uuuu r uuur uuur uuur uuuur Ta có AB + AA1 = AB1 , AD + DD1 = AD1 mà AB1 ≠ AD1 nên AB + AA1 = AD + DD1 sai uuur r uuur r Câu 68: Cho tứ diện ABCD Gọi M P trung điểm AB CD Đặt AB = b , AC = c uuur ur , AD = d Khẳng định sau uuur r ur r uuur ur r r A MP = (c + d + b) B MP = (d + b − c ) 2 uuur r r ur uuur r ur r C MP = (c + b − d ) D MP = (c + d − b) 2 Hướng dẫn giải: Chọn D r ur r uuur uuur uuu r uuu r uuuu r uuur uuur r ur r Ta có c + d − b = AC + AD − AB = AP − AM = MP ⇔ MP = (c + d − b ) Câu 69: Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 Chọn khẳng định uuur uuuu r uuuu r uuur uuuu r uuur A BD, BD1 , BC1 đồng phẳng B BA1 , BD1 , BD đồng phẳng ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ( ) ) ( ) Trang 23 ) http://dethithpt.com uuur uuuu r uuur – Website chuyên đề thi tài liệu file word uuur uuuu r uuuu rQuan hệ vng góc – HH 11 C BA1 , BD1 , BC đồng phẳng D BA1 , BD1 , BC1 đồng phẳng Hướng dẫn giải: Chọn C uuur uuuu r uuur Ta có véctơ BA1 , BD1 , BC đồng phẳng chúng có giá nằm mặt phẳng ( BCD1 A1 ) r uuu r u r uuur r uuur Câu 70: Cho tứ diện ABCD có G trọng tâm tam giác BCD Đặt x = AB; y = AC ; z = AD Khẳng định sau đúng? uuur r u r r uuur r r r u A AG = ( x + y + z ) B AG = − ( x + y + z ) 3 uuur r u r r uuur r r r u C AG = ( x + y + z ) D AG = − ( x + y + z ) 3 Hướng dẫn giải: Chọn A uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Ta có: AG = AB + BG; AG = AC + CG; AG = AD + DG uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuur r u r r ⇒ 3AG = AB + AC + AD + BG + CG + DG = AB + AC + AD = x + y + z uuur uuur uuur r Vì G trọng tâm tam giác BCD nên BG + CG + DG = Câu 71: Cho hình chóp S ABCD Trong khẳng định sau, khẳng định sai? uur uuu r uur uuu r A Nếu ABCD hình bình hành SB + SD = SA + SC uur uuu r uur uuu r B Nếu SB + SD = SA + SC ABCD hình bình hành uur uuu r uur uuu r C Nếu ABCD hình thang SB + SD = SA + 2SC uur uuu r uur uuu r D Nếu SB + SD = SA + 2SC ABCD hình thang Hướng dẫn giải: Chọn C Đáp án C sai ABCD hình thang có đáy AD BC ta có uuu r uur uuu r uur SD + SB = SC + SA Câu 72: Cho tứ diện ABCD Gọi M N trung điểm AB CD Tìm giá trị k uuuu r uuur uuur thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: MN = k AD + BC ( B k = A k = ) D k = C k = Hướng dẫn giải: Chọn B uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur MN = MA + AD + DN  r uuur uuur uuur  ⇒ 2MN = AD + BC + MA + MB + DN + CN Ta có: uuuu MN = MB + BC + CN  uuur uuuu r uuur uuur uuur uuur Mà M N trung điểm AB CD nên MA = BM = − MB; DN = NC = −CN uuuu r uuur uuur uuuu r uuur uuur Do MN = AD + BC ⇒ MN = AD + BC 2uuu r r uuur r uuur r Câu 73: Cho tứ diện ABCD Đặt AB = a, AC = b, AD = c, gọi M trung điểm BC Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? uuuur r r r uuuur r r r A DM = a + b − 2c B DM = −2a + b + c 2 uuuur r r r uuuur r r r C DM = a − 2b + c D DM = a + 2b − c 2 Hướng dẫn giải: Chọn A ( ( ( ) ) ) ( ( Trang 24 ) ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 uuuur uuur uuu r uuuu r uuu r uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur Ta có: DM = DA + AB + BM = AB − AD + BC = AB − AD + BA + AC 2 r uuur uuur r r r r r r uuu = AB + AC − AD = a + b − c = a + b − 2c 2 2 Câu 74: Cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm tam giác ABC Tìm giá trị k thích hợp điền vào uuur uuur uuur uuur đẳng thức vectơ: DA + DB + DC = k DG 1 A k = B k = C k = D k = Hướng dẫn giải: Chọn C uuur uuur uuur uuur Chứng minh tương tự câu 61 ta có DA + DB + DC = 3DG uuur uuu r uuur uuu r Câu 75: Cho tứ diện ABCD Gọi E, F điểm thỏa nãm EA = kEB, FD = kFC P ,Q , R uuur uuur uuur uuur uuu r uuur điểm xác định PA = lPD ,QE = lQF , RB = lRC Chứng minh ba điểm P ,Q , R thẳng hàng.Khẳng định sau đúng? A P, Q, R thẳng hàng B P, Q, R không đồng phẳng C P, Q, R không thẳng hàng D Cả A, B, C sai Hướng dẫn giải: ( ( ) ) Chọn C uuur uuu r uuur uuur Ta có PQ = PA + AE + EQ ( 1) uuur uuur uuur uuur PQ = PD + DF + FQ ( ) uuur uuur uuur uuur Từ ( ) ta có l PQ = l PD + l DF + l FQ ( 3) Lấy ( 1) − ( 3) theo vế ta có uuur uuur uuur ( 1− l ) PQ = AE − l DF uuur uuur l uuur ⇒ PQ = AE − DF 1− l 1− l uuu r r uuu l uuur EB − FC Tương tự QR = − l − l uuu r uuu r uuur uuur Mặt khác EA = k EB, FD = k FC nên uuur r kl uuur uuu r uuur l uuur −k uuu PQ = AE − DF = EB − FC = −kQR 1− l 1− l 1− l 1− l Vậy P, Q, R thẳng hàng Câu 76: Cho tứ diện ABCD Gọi I , J trung điểm AB CD , G trung điểm IJ uu r uuur uuur a) Giả sử a.IJ = AC + BD giá trị a là? A B C −1 D b) Chouu đẵng thức sau, đẵng thức đúng? u r uuu r uuur uuur r uuu r uuur uuur uuur ur A GA + GB + GC + GD = B GA + GB + GC + GD = 2IJ uuu r uuu r uuur uuur uu r uuu r uuu r uuur uuur uu r C GA + GB + GC + GD = JI D GA + GB + GC + GD = −2 JI uuur uuur uuuu r uuuu r c) Xác định vị trí M để MA + MB + MC + MD nhỏ A Trung điểm AB B Trùng với G C Trung điểm AC Trang 25 D Trung điểm CD http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Hướng dẫn giải: uu r uu r uuur uuu r  IJ = IA + AC + CJ uu r uuur uuur r uur uuur uuu r ⇒ IJ = AC + BD a)  uu  IJ = IB + BD + DJ uuu r uuur uuur uuur uuu r uuu r uuur uuur b) GA + GB + GC + GD = GA + GB + GC + GD ( ) ( Quan hệ vng góc – HH 11 ) uur uuu r uur uuu r r = 2GI + 2GJ = GI + GJ = uuur uuur uuuu r uuuu r uuuu r c) Ta có MA + MB + MC + MD = MG nên uuur uuur uuuu r uuuu r MA + MB + MC + MD nhỏ M ≡ G ( ) Câu 77: Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Xác định vị trí điểm M , N AC DC ' MN bằng? BD ' B cho MN P BD ' Tính tỉ số Hướng dẫn giải: A C D Chọn A uuu r r uuur r uuur r BA = a, BC = b, BB ' = c uuuu r uuur uuur uuuur Giả sử AM = x AC , DN = yDC ' uuuu r r r uuur r r r Dễ dàng có biểu diễn BM = ( − x ) a + xb BN = ( − y ) a + b + yc uuuu r r r r Từ suy MN = ( x − y ) a + ( − x ) b + yc ( 1) uuuu r uuuu r r r r Để MN P BD ' MN = zBD ' = z a + b + c ( ) r r r r r r Từ ( 1) ( ) ta có: ( x − y ) a + ( − x ) b + yc =z a + b + c r r r r ⇔ ( x − y − z ) a + ( − x − z ) b + ( y − z ) c =0 ( ) ( )  x = x − y − z =    ⇔ 1 − x − z = ⇔  y = y − z =    z =  uuuu r uuur uuur uuuur Vậy điểm M , N xác định AM = AC , DN = DC ' 3 uuuu r uuuu r uuuu r MN = Ta có MN = zBD ' = BD ' ⇒ BD ' Câu 78: Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a góc · ' A ' D ' = 600 , B · ' A' A = D · ' A ' A = 1200 B a) Tính góc cặp đường thẳng AB với A ' D ; AC ' với B' D A (·AB, A ' D ) = 600 ; (·AC ', B ' D ) = 900 B (·AB, A ' D ) = 500 ; (·AC ', B ' D ) = 900 C (·AB, A ' D ) = 400 ; (·AC ', B ' D ) = 900 D (·AB, A ' D ) = 300 ; (·AC ', B ' D ) = 900 Trang 26 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 b) Tính diện tích tứ giác A ' B ' CD ACC ' A ' A S A ' B ' CD = a ; S AA 'C 'C = a 2 B S A ' B 'CD = a ; S AA 'C ' C = a 2 2 C S A ' B 'CD = a ; S AA 'C ' C = 2a 2 D S A ' B 'CD = a ; S AA 'C 'C = a 2 c) Tính góc đường thẳng AC ' với đường thẳng AB, AD, AA ' A ·AC ', AB = ·AC ', AD = ·AC ', AA ' = arccos B ·AC ', AB = ·AC ', AD = ·AC ', AA ' = arccos C ·AC ', AB = ·AC ', AD = ·AC ', AA ' = arccos D ·AC ', AB = ·AC ', AD = ·AC ', AA ' = arccos ( ( ( ( ) ) ) ) ( ( ( ( ) ) ) ) ( ( ( ( ) ) ) ) Hướngudẫn uur giải: r uuuuu r r uuuuur r a) Đặt AA ' = a, A ' B ' = b, A ' D ' = c uuuur r r Ta có A ' D = a + c nên uuur uuuur cos ·AB, A ' D = cos AB, A ' D ( ) ( ) r r r uuu r uuuur a a+c AB A ' D = uuur uuuur = r r r AB A ' D a a+c r r r r r a2 Để ý a + c = a , a a+ c = Từ cos ·AB, A ' D = ⇒ (·AB, A ' D ) = 60 uuuu r r r uuuur r r r Ta có AC ' = b + c − a, B ' D = a − b + c , từ tính uuuu ruuuur r r r r r r AC 'B ' D = b + c − a a − b + c = ⇒ (·AC ', B ' D ) = 900 ( ) ( ( ) ) ( )( ) uuuur r r r uuuur r r r uuuur uuuur r r r r r r b) A ' C = a + b + c, B ' D = a − b + c ⇒ A ' C B ' D = a + b + c a − b + c = ⇒ A ' C ⊥ B ' D nên S A ' B ' DC = ( )( ) A ' C.B ' D 2 Dễ dàng tính A ' C = a 2, B ' D = a ⇒ S A ' B ' CD = a 2a = a uuur uuur S AA 'C 'C = AA ' AC sin AA ', AC , AA ' = a, Ac = a ( ) uuur uuur uuur uuur Tính sin AA ', AC = − cos AA ', AC = uuur uuur Vậy S AA ' C ' C = AA ' AC sin AA ', AC = a.a = a2 c) ĐS: ·AC ', AB = ·AC ', AD = ·AC ', AA ' = arccos ( ) ( ( ( ) ( ) ) ) ( ) Trang 27 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 Câu 79: Cho tam giác ABC , cơng thức tính diện tích sau AB AC − BC 2 1 uuur uuur C S = AB AC − AB.AC 2 Hướng dẫn giải: A S = ( 1 uuur uuur AB AC + AB AC 2 uuu r uuur AB AC − AB AC D S = ( B S = ) ( ) ) Chọn D 1 ABAC sin A = AB AB sin A = AB AC ( − cos A ) 2 uuu r uuur = AB AC − AB AC Câu Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M , N , P, Q thuộc AB, BC , CD, DA cho uuuu r uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur AM = AB, BN = BC , AQ = AD, DP = k DC 3 M , N , P , Q Hãy xác định k để đồng phẳng 1 1 A k = B k = C k = D k = Hướng dẫn giải: S ABC = ( ) Chọn A Cách uuuu r uuu r uuuu r uuu r r uuu Ta có AM = AB ⇒ BM − BA = − BA 3 uuuu r uuu r ⇒ BM = BA uuur uuur Lại có BN = BC MN P AC Vậy Nếu M , N , P, Q đồng phẳng ( MNPQ ) ∩ ( ACD ) = PQ P AC uuur uuur PC QA ⇒ = = hay DP = DC ⇒ k = PD QD 2 uuur r uuur r uuur r Cách Đặt DA = a, DB = b, DC = c khơng khó khăn ta có biểu diễn uuuu r r uuuu r r r uuur 2r 1r 1r 1r MN = − a + b , MP = − a − b + kc , MN = − a − b 3 3 uuuu r uuur uuuu r Các điểm M , N , P, Q đồng phẳng vec tơ MN , MP, MQ đồng phẳng uuur uuuu r uuuu r ⇔ ∃x, y : MP = xMN + yMQ r 2r 1r  r r  r 1r ⇔ − a − b + kc = x  − a + c ÷+ y  − a − b ÷ 3     r urr Do vec tơ a, b,c không đồng phẳng nên điều tương đương với Trang 28 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11  − x − y = −   ⇔ x = , y = 1, k = − y = −  2 3 x = k  · · Câu 80: Cho hình chóp S ABC có SA = SB = SC = a , ·ASB = BSC = CSA = α Gọi ( β ) mặt phẳng qua A trung điểm SB, SC Tính diện tích thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng ( β ) a2 cos α − 16 cos α + a2 C S = cos α − cos α + Hướng dẫn giải: a2 cos α − cos α + a2 D S = cos α − 16 cos α + A S = B S = Chọn D Gọi B ', C ' trung điểm SB, SC Thiết diện tam giác AB ' C ' uuuu r uuuu r AB '2 AC '2 − AB '.AC ' Theo tập S AB 'C ' = uuuu r uuur uur uur uur Ta có AB ' = SB ' − SA = SB − SA uuruur ⇒ AB '2 = SB + SA2 − SASB a = ( − cos α ) Tính tương tự, ta có uuuu ruuuu r a2 AB ' AC ' = ( − 3cos α ) ( Vậy SAB'C ' = ) 2 a4 a4 5− 4cos α ) − ( − 3cos α ) ( 16 16 a2 = cos α − 16 cos α + Câu 81: Cho hình chóp S ABC , mặt phẳng ( α ) cắt tia SA, SB, SC , SG ( G trọng tâm tam giác SA SB SC SG + + =k ABC ) điểm A ', B',C ',G ' Ta có Hỏi k bao nhiêu? SA ' SB ' SC ' SG ' A B C D Hướng dẫn giải: Chọn A Do G trọng tâm ∆ABC nên uuu r uuur uuur r uuu r uur uur uuu r GA + GB + GC = ⇒ 3SG = SA + SB + SC SG uuur SA uuur SB uuur ⇔3 SG ' = SA ' + SB ' SG ' SA ' SB ' SC uuur + SC ' SC ' Mặt khác A ', B ', C ', G ' đồng phẳng nên Trang 29 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word SA SB SC SG + + =3 SA ' SB ' SC ' SG ' Quan hệ vuông góc – HH 11 Chú ý: Ta có kết quen thuộc hình học phẳng uuur : uuur uuuu r r Nếu M điểm thuộc miền tam giác ABC S a MA + Sb MB + Sc MC = S a , Sb , Sc diện tích tam giác MBC , MCA, MAB Vì ta có tốn tổng qt sau: Cho hình chóp S ABC , mặt phẳng ( α ) cắt tia SA, SB, SC , SM ( M điểm thuộc miền tam giác ABC ) điểm A ', B ', C ', M ' S a SA Sb SB S c SC S SM + + = ( Với S a , Sb , Sc diện tích tam giác SA ' SB ' SC ' SM ' MBC , MCA, MAB S diện tích tam giác ABC ) Câu 82: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Một mặt phẳng ( α ) cắt cạnh SA, SB, SC , SD A ', B ', C ', D ' Đẳng thức sau đúng? SA SC SB SD SA SC SB SD +2 = +2 + = + A B SA ' SC ' SB ' SD ' SA ' 2SC ' SB ' 2SD ' SA SC SB SD SA SC SB SD + = + − = − C D SA ' SC ' SB ' SD ' SA ' SC ' SB ' SD ' Hướng dẫn giải: uur uuu r uur uuu r uuu r Gọi O tâm hình bình hành ABCD SA + SC = SB + SD = 2SO SA uuur SB uuur SB uuur SC uuur ⇔ SA ' + SC ' = SB ' + SC ' Do A ', B ', C ', D ' đồng phẳng SA ' SB ' SB ' SC ' SA SC SB SD + = + nên đẳng thức ⇔ SA ' SC ' SB ' SD ' Chứng minh: Câu 83: Cho hình chóp S ABC có SA = a, SB = b, SC = c Một mặt phẳng ( α ) qua trọng tâm tam giác ABC , cắt cạnh SA, SB, SC A ', B ', C ' Tìm giá trị nhỏ 1 + + 2 SA ' SB ' SC '2 A B C D 2 2 2 a +b +c a +b +c a + b2 + c2 a +b +c Hướng dẫn giải: Chọn D uuu r uur uur uuu r Gọi G trọng tâm tam giác ABC Ta có 3SG = SA + SB + SC SA uuur SB uuur SC uuur = SA ' + SB ' + SC ' SA ' SB ' SC ' SA SB SC a b c + + =3⇔ + + =3 Mà G, A ', B ', C ' đồng phẳng nên SA ' SB ' SC ' SA ' SB ' SC ' Theo BĐT Cauchy schwarz: 1  b c    a 2 Ta có  + + a +b +c ) ≥ + + ÷ 2 ÷(  SA ' SB ' SC '   SA ' SB ' SC '  Trang 30 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 1 ⇔ + + ≥ SA '2 SB '2 SC '2 a + b + c Đẳng thức xảy 1 a b c = = + + = ta kết hợp với aSA ' bSB ' cSC ' SA ' SB ' SC ' a + b2 + c a + b2 + c a + b2 + c SA ' = , SB ' = , SC ' = 3a 3b 3c 1 + + Vậy GTNN 2 SA ' SB ' SC ' a + b2 + c2 Câu 84: Cho tứ diện ABCD , M điểm nằm tứ diện Các đường thẳng AM , BM , CM , DM cắt mặt ( BCD ) , ( CDA ) , ( DAB ) , ( ABC ) A ', B ', C ', D ' Mặt phẳng ( α ) qua M song song với ( BCD ) cắt A ' B ', A ' C ', A ' D ' điểm B1 , C1 , D1 Khẳng định sau Chứng minh M trọng tâm tam giác B1C1 D1 A M trọng tâm tam giác B1C1D1 B M trực tâm tam giác B1C1 D1 C M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác B1C1 D1 D M tâm đường tròn nội tiếp tam giác B1C1 D1 Hướng dẫn giải: Chọn D Vì M nằm tứ diện ABCD nên uuur uuur uuuu r uuuu r r tồn x, y , z , t > cho xMA + yMB + zMC + tMD = ( 1) Gọi ( α ) mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng ( BCD ) ( α ) P( BCD )  Ta có ( BB ' A ') ∩ ( α ) = MB1 ⇒ MB1 P BA '  ( BB ' A ') ∩ ( BCD ) = BA ' MB1 MB ' uuuur MB ' uuur = ⇒ MB1 = BA ' ( ) BA ' BB ' BB ' Trong ( 1) , chiếu vec tơ lên đường thẳng BB ' theo phương Do ( ACD ) ta được: uuuur uuur uuuur uuuur r uuuur uuur r xMB ' + yMB + zMB ' + tMB ' = ⇒ ( x + y + z ) MB ' + yMB = uuuur uuur MB ' y ⇒ ( x + y + z + t ) MB ' = yBB ' ⇒ = BB ' x + y + z + t uuuur uuur y BA ' ( 3) Từ ( ) suy MB1 = x+ y+ z+t uuuur uuur z CA ' ( ) Tương tự ta có MC1 = x+ y+ z+t uuuur u u u u r z MD1 = DA ' ( ) x+ y+ z+t Trang 31 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 Mặt khác chiếu vec tơ ( 1) lên mặt phẳng ( BCD ) theo phương AA ' tì thu uuuur uuuur uuuur r y A ' B + z A ' C + t A ' D = Vậy từ ( 3) , ( ) , ( ) ta có uuuur uuuur uuuur uuur uuur uuuu r r MB1 + MC1 + MD1 = yBA ' + zCA ' + t DA ' = , hay M trọng tâm tam giác B1C1D1 x+ y+ z +t Câu 85: Cho tứ diện ABCD có BC = DA = a,CA = DB = b, AB = DC = c Gọi S diện tích tồn phần ( tổng diện tích tất mặt) Tính giá trị lớn 1 + 2+ 2 2 ab bc ca 2 A B C D S S S S Hướng dẫn giải: Do tứ diện ABCD có BC = DA = a, CA = DB = b, AB = DC = c nên ∆BCD = ∆ADC = ∆DAB = ∆CBA abc Gọi S ' diện tích R bán kính đường trịn ngoại tiếp mặt S = S ' = , nên bất R 1 2 2 đẳng thức cần chứng minh 2 + 2 + 2 ≤ ⇔ a + b + c ≤ R ab bc ca S Theo công thức Leibbnitz: Với điểm M G trọng tâm tam giác ABC MA2 + MB + MC = GA2 + GB + BC + 3MG = ( a + b + c + 9MG ) Cho M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta R = aa + b + c + 9OG ≥ a + b + c Câu 86: Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' điểm M , N , P xác định uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuu r MA = k MB ' ( k ≠ ) , NB = xNC ', PC = yPD ' Hãy tính x, y theo k để ba điểm M , N , P thẳng hàng 2+k + 2k 1+ k +k D x = ,y=− ,y =− ,y=− A x = B x = C x = , y = − 2−k k − 2k 2k 1− k k 2−k 2k Hướng dẫn giải: ( ) Chọn D uuur r uuu r r uuur r Đặt AD = a, AB = b, AA ' = c Từ giả thiết ta có : uuuu r k r r AM = b + c ( 1) k −1 uuu r r r uuur r y r r x r r c − b ( 3) AN = b + a + c ( ) AP = a + b + y −1 x −1 Từ ta có uuuu r uuur uuuur x r r  x k r = a − b + − MN = AN − AM  ÷c x −1 k −1  x −1 k −1   x y r + − ÷c  x −1 y −1  uuur uuur uuuu r r y r  y k r MP = AP − AM = a − ( + )b +  − ÷c y −1 k −1  y −1 k −1  Ba điểm M , N , P thẳng hàng tồn λ cho uuuu r uuur MN = λ MP ( *) ( ) ( ) ( ) Trang 32 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 uuuu r uuur r r r 1+ k ,y=− Thay vec tơ MN , MP vào ( *) lưu ý a, b, c không đồng phẳng ta tính x = 1− k k Câu 87: Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Một đường thẳng ∆ cắt đường thẳng AA ', BC , C ' D ' lần uuuur uuur MA lượt M , N , P cho NM = NP Tính MA ' MA MA =1 = A B MA ' MA ' Hướng dẫn giải: C MA =2 MA ' D MA = MA ' Chọn C uuur r uuu r r uuur r Đặt AD = a, AB = b, AA ' = c uuuu r uuur r Vì M ∈ AA ' nên AM = k AA ' = kc uuur uuur r uuuur r N ∈ BC ⇒ BN = l BC = la , P ∈ C ' D ' ⇒ C ' P = mb uuuur uuur uuu r uuuur r r r Ta có NM = NB + BA + AM = −la − b + kc uuur uuur uuur uuuuu r uuuur r r r NP = BN + BB ' + B ' C ' + C ' P = (1 − l )a + mb + c uuuur uuur r r r r r r Do NM = NP ⇒ −la − b + kc = 2[ ( − l ) a + mb + c ] −l = ( − l )  MA ⇔  −1 = 2m ⇔ k = 2, m = − , l = Vậy = 2 MA ' k =  Câu 88: Giả sử M , N , P ba điểm nằm ba cạnh SA, SB, SC cỏa tứ diện SABC Gọi I giao điểm ba mặt phẳng ( BCM ) , ( CAN ) , ( ABP ) J giao điểm ba mặt phẳng ( ANP ) , ( BPM ) , ( CMN ) Ta S , I , J thẳng hàng tính đẳng thức sau đúng? MS NS PS JS MS NS PS JS + + + = + + + = A B MA NB PC JI MA NB PC JI MS NS PS JS MS NS PS JS + + + = + + +1 = C D MA NB PC JI MA NB PC JI Hướng dẫn giải: Chọn D Goi E = BP ∩ CN , F = CM ∩ AP , T = AN ∩ BM Trong ( BCM ) có I = BF ∩ CT ( ANP ) có NF ∩ PT = J uur r uur r uuu r r Đặt SA = a, SB = b, SC = c uuur uuur uuu r uuur uur uuur SM = xMA, SN = y NB, Sp = zPC uuur r x r uuu y r uur z r a, SN = b, SP = c ( x > 0, y > 0, z > ) Ta có SM = x +1 y +1 z +1 uuu r uuur uur  ST = α SM + ( − α ) SB T ∈ AN ⇒  uuu r uuu r uur Do T = AN ∩ BM nên  T ∈ BM  ST = β SN + ( − β ) SA uuur uur uuu r uur ⇒ α SM + ( − α ) SB = β SN + ( − β ) SA Trang 33 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 r βy r r r r αx r ⇔ a + (1−α ) b = b + ( − β ) a Vì a, b khơng phương nên ta có x +1 y +1 x   αx α= = 1− β   r r r x + y + uuu x y  x +1  ⇔ ⇒ ST = a+ b  βy y x + y +1 x + y +1  β = = 1− α  y +1 x + y +1   Hoàn toàn tương tự ta có : uur r r uuu r r r y z z x SE = b+ c, SF = c+ a y + z +1 y + z +1 z + x +1 z + x +1 Làm tương tự hai giao điểm I = BF ∩ CT NF ∩ PT = J ta : uur r r r uur r r r 1 SI = xa + yb + zc , SJ = xa + yb + zc x + y + z +1 x+ y+z+2 uur x + y + z + uur uur uu r SI ⇒ SJ = ( x + y + z + 1) IJ Suy SJ = x+ y+z+2 SI SM SN SP = x + y + z +1 = + + +1 Vậy S , I , J thẳng hàng IJ MA NB PC ( ) ( Trang 34 ) ... − 2b + 4c = m 3a − 3b + 2c + n 2a − 3b − 3c ⇔  −3m − 3n = −2 (hệ vô nghiệm)  2m − 3n =  r u r r Vậy không tồn hai số m, n : x = m y + nz Câu 37 : Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành... chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 VÉCTƠ TRONG KHƠNG GIAN A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP Định nghĩa phép tốn • Định nghĩa, tính chất, phép tốn vectơ khơng gian xây dựng hồn tồn... BN 3MN = 3MD + 3DB + 3BN uuuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuuu r ⇒ MN = AC − 3BD + BC ⇒ BD, AC , MN không đồng phẳng Trang 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word