Bài tập và lý thuyết chương 3 hình học lớp 11 KHOẢNG CÁCH PHẦN 1 đặng việt đông file word

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 KHOẢNG CÁCH A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng Cho điểm M đường thẳng ∆ Trong mp ( M , ∆ ) gọi H hình chiếu vng góc M ∆ Khi khoảng cách MH gọi khoảng cách từ điểm M đến ∆ d ( M , ∆ ) = MH Nhận xét: OH ≤ OM , ∀M ∈ ∆ Khoảng cách hai đường thẳng Khoảng cách hai đường thẳng D D ' : - Nếu D D ' cắt trùng d(D, D ') = - Nếu D D ' song song với d(D, D ') = d(M , D ') = d(N , D) Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng Cho mặt phẳng ( α ) điểm M , gọi H hình chiếu điểm M mặt phẳng ( α ) Khi khoảng cách MH gọi khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( α ) d ( M , ( α ) ) = MH Khoảng cách từ đường thẳng tới mặt phẳng Trang Quan hệ vng góc – HH 11 Cho đường thẳng ∆ mặt phẳng ( α ) song song với Khi khoảng cách từ điểm ∆ đến mặt phẳng ( α ) gọi khoảng cách đường thẳng ∆ mặt phẳng ( α ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word d ( ∆, ( α ) ) = d ( M , ( α ) ) , M ∈ ∆ - Nếu D cắt (a) D nằm (a ) d(D,(a )) = Khoảng cách hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng ( α ) ( β ) song song với nhau, khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳn gọi khoảng cách hai mặt phẳng ( α ) ( β ) d ( ( α ) ,( β ) ) = d ( M ,( β ) ) = d ( N ,( α ) ) , M ∈( α ) , N ∈( β ) Khoảng cách hai đường thẳng Cho hai đường thẳng chéo a, b Độ dài đoạn vng góc chung MN a b gọi khoảng cách hai đường thẳng a b B – BÀI TẬP Câu 1: Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau đây? A Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm M mặt phẳng đến mặt phẳng B Nếu hai đường thẳng a b chéo vng góc với đường vng góc chung chúng nằm mặt phẳng (α) chứa đường (α) vuông góc với đường C Khoảng cách hai đường thẳng chéo a b khoảng cách từ điểm M thuộc ( α) chứa a song song với b đến điểm N b D Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (α) song song với a khoảng cách từ điểm A thuộc a tới mặt phẳng (α) Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A Câu 2: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Đường vng góc chung hai đường thẳng chéo vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng B Một đường thẳng đường vng góc chung hai đường thẳng chéo vng góc với hai đường thẳng C Đường vng góc chung hai đường thẳng chéo nằm mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với đường thẳng Trang Quan hệ vng góc – HH 11 D Một đường thẳng đường vng góc chung hai đường thẳng chéo cắt hai đường thẳng Hướng dẫn giải:  Đáp án A: Đúng  Đáp án B: Sai, phát biểu thiếu yếu tố cắt  Đáp án C: Sai, mặt phẳng chưa tồn  Đáp án D: Sai, phát biểu thiếu yếu tố vuông góc Chọn đáp án D Câu 3: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Nếu hai đường thẳng a b chéo vng góc với đường thẳng vng góc chung chúng nằm mặt phẳng (P) chứa đường thẳng vuông góc với đường thẳng B Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (P) song song với a khoảng cách từ điểm A thuộc a tới mp(P) C Khoảng cách hai đường thẳng chéo a b khoảng cách từ điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a song song với b đến điểm N b D Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm M mặt phẳng đến mặt phẳng Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word DẠNG 1: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM M ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG Δ Phương pháp: Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ ta cần xác định hình chiếu H điểm M đường thẳng Δ , xem MH đường cao tam giác để tính Điểm H thường dựng theo hai cách sau: d M( ,Δ )MH =  Trong mp( M ,Δ ) vẽ MHΔ⊥ ⇒  Dựng mặt phẳng ( α ) qua M vng góc với Δ H ⇒ d ( M ,Δ ) = MH Hai công thức sau thường dùng để tính MH  ΔMA B vng M có đường cao A H  MH đường cao ΔMA B MH = 1 = + 2 MH MA MB2 2SMAB AB Câu 1: Cho hình chóp tam giác S ABC với SA vng góc với ( ABC ) SA = 3a Diện tích tam giác ABC 2a , BC = a Khoảng cách từ S đến BC bao nhiêu? A 2a B 4a C 3a Hướng dẫn giải: Kẻ AH vng góc với BC : 2.S ∆ABC 4a S ∆ABC = AH BC → AH = = = 4a BC a Khoảng cách từ S đến BC SH Dựa vào tam giác vng ∆SAH ta có SH = SA2 + AH = (3a ) + (4a ) = 5a Câu 2: Cho hình chóp S ABCD SA, AB, BC đơi vng góc SA = AB = BC = Khoảng cách hai điểm S C nhận giá trị giá trị sau ? Trang D 5a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word A B C Quan hệ vng góc – HH 11 D Hướng dẫn giải:  SA ⊥ AB Do  nên SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ AC  SA ⊥ BC Như SC = SA2 + AC = SA2 + ( AB + BC ) = Chọn đáp án B Câu 3: Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC ⊥ ( BCD ) BCD tam giác cạnh a Biết AC = a M trung điểm BD Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM A a B a C a D a 11 Hướng dẫn giải: a Do ∆ ABC cạnh a nên đường cao MC = AC.MC 66 d ( C , AM ) = CH = =a 2 11 AC + MC Chọn đáp án C Câu 4: Trong mặt phẳng ( P ) cho tam giác ABC cạnh a Trên tia Ax vng góc với mặt phẳng ( P) lấy điểm S cho SA = a Khoảng cách từ A đến ( SBC ) A a B 2a C a 21 D a Hướng dẫn giải:  Gọi M trung điểm BC ; H hình chiếu vng góc A SM  Ta có BC ⊥ AM BC ⊥ SA nên BC ⊥ ( SAM ) ⇒ BC ⊥ AH Mà AH ⊥ SM , AH ⊥ ( SBC ) Vậy AH = d ( A, ( SBC ) ) a ; AH = Chọn đáp án C  AM = AS AM AS + AM = a 21 Câu 5: Cho tứ diện SABC SA , SB , SC vng góc với đôi SA = 3a , SB = a , SC = 2a Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng: Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word 3a Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B A B 7a C 8a Quan hệ vng góc – HH 11 5a D + Dựng AH ⊥ BC ⇒ d ( A, BC ) = AH   AS ⊥ ( SBC ) ⊃ BC ⇒ AS ⊥ BC + , AH cắt AS   AH ⊥ BC nằm ( SAH ) ⇒ BC ⊥ ( SAH ) ⊃ SH ⇒ BC ⊥ SH Xét ∆SBC vng S có SH đường cao ta có: 1 1 4a 2 = + = + = ⇒ SH = SH SB SC a 4a 4a 2a ⇒ SH = + Ta dễ chứng minh AS ⊥ ( SBC ) ⊃ SH ⇒ AS ⊥ SH ⇒ ∆ASH vuông S Áp dụng hệ thức lượng ∆ASH vuông S ta có: 4a 49a 7a 2 2 AH = SA + SH = 9a + = ⇒ AH = 5 Câu 6: Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC ⊥ ( BCD ) BCD tam giác cạnh a Biết AC = a M trung điểm BD Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM A a B a C a D a 11 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B Dựng CH ⊥ AM ⇒ d ( C , AM ) = CH a Vì ∆BCD tam giác cạnh a M trung điểm BD nên dễ tính CM = Xét ∆ACM vng C có CH đường cao, ta có: 1 1 11 = + = 2+ = 6a 2 2 3a CH CA CM 2a 6a ⇒ CH = 11 ⇒ CH = a 11 Câu 7: Cho hình chóp S ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD hình chữ nhật Biết AD = 2a, SA = a Khoảng cách từ A đến ( SCD ) bằng: Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word 3a 3a B Hướng dẫn giải: SA ⊥ ( ABCD ) nên SA ⊥ CD; AD ⊥ CD A C 2a Quan hệ vng góc – HH 11 2a D S Suy ( SAD ) ⊥ CD Trong ( SAD ) kẻ AH vng góc SD H H Khi AH ⊥ ( SCD ) d ( A, ( SCD ) ) = AH = SA AD SA + AD 2 = a.2a a + (2a) 2 = 2a 5 Chọn đáp án C Câu 8: Hình chóp S ABC có cạnh đáy 3a, cạnh bên B 2a Khoảng cách từ S đến ( ABC ) : A 2a C a B a A D C D a Hướng dẫn giải: Gọi O chân đường cao hình chóp 2 Ta có AO = AH = 3a =a 3 d ( O, ( ABC ) ) = SO = SA2 − AO = a Chọn đáp án C Câu 9: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = a Gọi M trung điểm CD Khoảng cách từ M đến ( SAB ) nhận giá trị giá trị sau? a A B 2a D a C a 2 Hướng dẫn giải:  Khoảng cách từ M đến ( SAB ) : d ( M , ( SAB ) ) = d ( D, ( SAB ) ) = a Chọn đáp án D Câu 10: Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC ⊥ ( BCD ) BCD tam giác cạnh a Biết AC = a M trung điểm BD Khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng: Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 a 11 D 3a 2a 4a B C 3 Hướng dẫn giải: Chọn D  AC ⊥ BD ⇒ BD ⊥ AM (Định lý đường vng góc) ⇒ d ( A; BD ) = AM Ta có:  CM ⊥ BD a (vì tam giác BCD đều) CM = A 3a a 11 = Câu 11: Cho hình chóp S ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD hình thoi cạnh a Bˆ = 60° Biết SA = 2a Tính khoảng cách từ A đến SC 3a 4a 2a 5a A B C D Hướng dẫn giải: Chọn C Kẻ AH ⊥ SC , d ( A; SC ) = AH ABCD hình thoi cạnh a Bˆ = 60° ⇒VABC nên AC = a Trong tam giác vng SAC ta có: 1 = 2+ AH SA AC SA AC 2a.a 5a ⇒ AH = = = SA2 + AC 4a + a Ta có: AM = AC + MC = 2a + Câu 12: Cho hình chóp S ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , SA = 2a , ABCD hình vng cạnh a Gọi O tâm ABCD , tính khoảng cách từ O đến SC a a a a A B C D 4 Hướng dẫn giải: Chọn A OH OC OC = ⇒ OH = SA Kẻ OH ⊥ SC , d ( O; SC ) = OH Ta có: VSAC : VOCH (g-g) nên SA SC SC a Mà: OC = AC = , SC = SA2 + AC = a 2 OC a a SA = = Vậy OH = SC 3 Câu 13: Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a góc hợp cạnh bên mặt đáy α Khoảng cách từ tâm đáy đến cạnh bên a a A a cot α B a tan α C D cosα sin α 2 Hướng dẫn giải: Chọn D SO ⊥ ( ABCD ) , O tâm hình vng ABCD · Kẻ OH ⊥ SD , d ( O; SD ) = OH , α = SDO Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Ta có: OH = OD sin α = Quan hệ vng góc – HH 11 a sin α Câu 14: Cho hình chóp S ABC SA , AB , BC vng góc với đôi Biết SA = 3a , AB = a , BC = a Khoảng cách từ B đến SC A a B 2a C 2a D a Hướng dẫn giải: Chọn B Vì SA , AB , BC vng góc với đơi nên CB ⊥ SB Kẻ BH ⊥ SC , d ( B; SC ) = BH Ta có: SB = SA2 + AB = 9a + 3a = 3a Trong tam giác vng SBC ta có: 1 ⇒ BH = SB.BC = 2a = + BH SB BC SB + BC Câu 15: Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a góc hợp cạnh bên mặt đáy α Khoảng cách từ tâm đáy đến cạnh bên bằng: a a A cosα B a tan C sinα D a cotα 2 Hướng dẫn giải: a  AC = a ⇒ OC =  Khoảng cách cần tìm đoạn OH a OH = OC sin α = sin α Chọn đáp án C Câu 16: Cho tứ diện ABCD có cạnh bên AC vng góc với mặt phẳng ( BCD) BCD tam giác cạnh a Biết AC = a M trung điểm BD Khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AM A a B a C a D a 11 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B Nối CM Kẻ CH ⊥ AM Suy d (C ; AM ) = CH Xét ∆ACM có 1 1 11 = + = + = 2 2 2 CH AC CM 6a a 3 a  ÷   ( ) Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word ⇒ CH = a Quan hệ vng góc – HH 11 11 11 Câu 17: Cho tứ diện ABCD có cạnh bên AC vng góc với mặt phẳng ( BCD) BCD tam giác cạnh a Biết AC = a M trung điểm BD Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BD 3a 2a 4a a 11 A B C D 3 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D a 11 AC ⊥ BCD ⇒ AC ⊥ BD ( ) Ta có d ( A; BD) = Lại có với M trung điểm BD mà ∆BCD nên CM ⊥ BD  AC ⊥ BD ⇒ AM ⊥ BD Từ ta có  CM ⊥ BD Suy d (A; BD) = AM Xét tam giác vng ACM , ta có Vậy d (C ; AM ) = CH = a AM = AC + CM = 2 ( a 2) 2 a 3 a 11 +  = ÷ ÷   a 11 Câu 18: Cho hình chóp S ABC SA, AB, BC vng góc với đôi Biết SA = 3a, AB = a 3, BC = a Khoảng cách từ B đến SC Vậy d ( A; BD ) = A a B 2a Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B Ta có  SA ⊥ AB ⇒ SB ⊥ BC   AB ⊥ BC Suy ∆SBC vuông B Kẻ BH ⊥ SC Ta có d ( B; SC ) = BH Lại có 1 1 1 = 2+ = + = 2 2 BH SB BC SA + AB BC 4a ⇒ d ( B; SC ) = BH = 2a C 2a D a Câu 19: Cho hình lập phương ABCD A′ B ′C ′D ′ có cạnh a Khoảng cách từ đỉnh A hình lập phương đến đường thẳng CD ′ Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word A a B a C a Quan hệ vng góc – HH 11 D a Hướng dẫn giải: Gọi M trung điểm CD′ Do ABCD A′ B ′C ′D ′ hình lập phương nên tam giác ACD ' tam giác cạnh a AM ⊥ CD′ ⇒ d ( A,CD′ ) = AM = a Đáp án: B Câu 20: Cho hình lập phương ABCD A′B ′C ′D ′ có cạnh a Khoảng cách từ đỉnh A hình lập phương đến đường thẳng DB ′ a a a A a B C D 2 Hướng dẫn giải: Gọi H chân đường vng góc hạ từ A xuống DB′ AD ⊥ ( ABB ' A′ ) ⇒ ∆ADB ' vuông A Dễ thấy đỉnh AD = a; AB′ = a ⇒ Đáp án D 1 a = + ⇒ AH = 2 AH AD AB ' Câu 21: Cho hình lập phương ABCD A′B ′C ′D ′ có cạnh a Khoảng cách từ ba điểm sau đến đường chéo AC ′ ? A A′, B, C ′ B B, C , D C B ′, C ′, D ′ D A, A′, D ′ Hướng dẫn giải: Dễ thấy tam giác ABC ',C′CA, ADC ′ tam giác vuông nên đường cao hạ từ đỉnh góc vng xuống canh huyền Vậy: d ( B, AC′ ) = d ( C, AC′ ) = d ( D, AC ′ ) Đáp án B Trang 10 Quan hệ vng góc – HH 11 Câu 17: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A1B1C1D1 có ba kích thước AB = a, AD = b, AA = c Trong kết sau, kết sai? A khoảng cách hai đường thẳng AB CC1 b ab B khoảng cách từ A đến mặt phẳng (B1BD) a + b2 abc C khoảng cách từ A đến mặt phẳng (B1BD) a + b2 + c2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word D BD1 = a + b + c Hướng dẫn giải:  d ( AB, CC1 ) = BC = b ⇒ Câu A  1 a + b2 d ( A, ( B1 BD ) ) = AH ; = + = ⇒ AH = AH a b ( ab ) ab a + b2 Câu B  Suy câu C sai  Suy câu D đúng, đường chéo hình chữ nhật BD1 = a + b + c Chọn đáp án C · Câu 18: Cho hình chóp S ABCD có mặt đáy hình thoi tâm O, cạnh a góc BAD = 120o, đường cao SO = a Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( SBC ) a 67 a 47 B 19 19 Hướng dẫn giải: · Vì hình thoi ABCD có BAD 120° Suy tam giác ABC cạnh a Kẻ đường cao AM tam giác ABC a ⇒ AM = AM a Kẻ OI ⊥ BC I ⇒ OI = = Kẻ OH ⊥ SI ⇒ OH ⊥ ( SBC ) A C a 37 19 D a 57 19 ⇒ d ( O, ( SBC ) ) = OH Xét tam giác vuông SOI ta có: 1 a 57 = + ⇒ OH = 2 OH SO OI 19 Chọn D Câu 19: Cho hình chóp S ABCD có mặt đáy ABCD hình chữ nhật với AB = 3a; AD = 2a Hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt phẳng ( ABCD ) điểm H thuộc cạnh AB cho AH = HB Góc mặt phẳng ( SCD ) mặt phẳng ( ABCD ) 60o Khoảng từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) tính theo a A a 39 13 B 3a 39 13 C Trang 18 6a 39 13 D 6a 13 13 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 Hướng dẫn giải: Kẻ HK ⊥ CD ⇒ góc hai mặt phẳng ( SCD ) ( ABCD ) · SKH = 60° Có HK = AD = 2a , SH = HK tan 60° = 2a Có BC ⊥ ( SAB ) , Kẻ HJ ⊥ SB , mà HJ ⊥ BC HJ ⊥ ( SBC ) d ( A, ( SBC ) ) d ( H , ( SBC ) ) = BA =3 BH d ( A, ( SBC ) ) = 3.d ( H , ( SBC ) ) = 3HJ 1 1 13 = + = 2+ = 2 2 HJ HB SH a 12a 12a 2a 39 6a 39 ⇒ HJ = ⇒ d ( A, ( SBC ) ) = 13 13 Chọn C · Câu 20: Cho hình chóp S ABCD có mặt đáy ABCD hình thoi cạnh a; ABC = 120o Hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt phẳng ( ABCD ) trọng tâm G tam giác ABD, ·ASC = 90o Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBD ) tính theo a Mà a Hướng dẫn giải: A B a C a D a S Xác định khoảng cách: · - Đặc điểm hình: Có đáy hình thoi, góc ABC = 120o a nên tam giác ABD cạnh a; AC = a 3; AG = Tam giác SAC vuông S , có đường cao SG nên SA = AG AC = a a a = a ; SG = 3 H D C G O Xét hình chóp S ABD có chân đường cao trùng với tâm A B đáy nên SA = SB = SD = a - Dựng hình chiếu A lên mặt phẳng ( SBD ) : Kẻ đường cao AH tam giác SAO với O tâm hình thoi  BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ ( SAO ) ⇒ BD ⊥ AH   BD ⊥ SG  AH ⊥ BD ⇒ AH ⊥ ( SBD ) Vậy d ( A, ( SBD ) ) = AH   AH ⊥ SO - Tính độ dài AH SG AO AH = SO Trang 19 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 a a a ; SG = ; SO = a AH = Cách khác: Nhận xét tứ diện S ABD có tất cạnh a; Do S ABD tứ diện đều, a AH = SG = Chọn đáp án D Câu 21: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, SA = a SA vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M , N trung điểm cạnh AD, DC Góc mặt phẳng ( SBM ) mặt Với AO = phẳng ( ABCD ) 45o Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ( SBM ) a a B 3 Hướng dẫn giải: + Đặc điểm hình: Đáy hình vng ABCD nên AN ⊥ BM Góc mặt phẳng ( SBM ) mặt phẳng A C a D a S ( ABCD ) góc ·AIS = 45o Vậy tam giác ASI vuông cân A AI = a Xác định khoảng cách: d ( D, ( SBM ) ) = d ( A, ( SBM ) ) = AH Với H chân đường cao tam giác ASI 1 = + = Tính AH : 2 AH AS AI a a Chọn đáp án D ⇒ AH = a D M Aj I N C B Câu 22: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a Hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng ( ABCD ) trung điểm H cạnh AD, góc hai mặt phẳng ( SAC ) ( ABCD ) 60o Khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( SBC ) tính theo a a 11 a 11 B 33 11 Hướng dẫn giải: - Đặc điểm hình: Góc hai mặt phẳng · ( SAC ) ( ABCD ) SIH = 60o A C a 33 11 D 2a 33 11 S a a ⇒ SH = IH tan 600 = 4 - Xác định khoảng cách: d ( H , ( SAC ) ) = HK Với HK đường cao tam giác SHM với M trung điểm BC - Tính HK IH = K D C H Trang 20A M O B Quan hệ vng góc – HH 11 1 1 11 = + = + = 2 2 2 HS HM 3a  6a  ( a ) Xét tam giác vng SHM có HK  ÷   http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word 33a Chọn đáp án C 11 Câu 23: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ( ABCD ) trùng với trọng tâm tam giác ABD Cạnh bên SD tạo với mặt phẳng HK = ( ABCD ) góc 60o Khoảng cách từ A tới mặt phẳng ( SBC ) tính theo a 3a 285 19 Hướng dẫn giải: A B a 285 19 C a 285 18 D 5a 285 18 5a 2 · Đặc điểm hình: Góc SD tạo với mặt phẳng ( ABCD ) SDE ; = 60o DE = OD + OE = 15 SE = DE.tan 600 = a S Xác định khoảng cách 3 d ( A, ( SBC ) ) = d ( E , ( SBC ) ) = EH 2 Tính EH : 1 1 57 = + = + = 2 2 EH EK ES 20a  2a   15a   ÷     ÷  H 60 D 5a A EH = Vậy 57 E 3 a 285 O d ( A, ( SBC ) ) = d ( E , ( SBC ) ) = EH = B 2 19 C K Chọn đáp án B Câu 24: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm I với AB = 2a 3; BC = 2a Biết chân đường cao H hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD trùng với trung điểm đoạn DI SB hợp với mặt phẳng đáy ( ABCD ) góc 60o Khoảng cách từ D đến ( SBC ) tính theo a a 15 2a 15 B 5 Hướng dẫn giải: Đặc điểm hình: Góc SB tạo với mặt phẳng A C 4a 15 D 3a 15 S · ( ABCD ) SBM = 60o BM = BD = 3a ; SM = BM tan 60 = 3a Xác định khoảng cách: 4 d ( D, ( SBC ) ) = d ( M , ( SBC ) ) = MH 3 H D A Trang 21 M I B K C Quan hệ vuông góc – HH 11 1 1 = + = + = 2 2 MK MS 27a Tính khoảng cách MH : MH 3  3 a  3a ÷ 4  27 4 15 MH = a , d ( D, ( SBC ) ) = d ( M , ( SBC ) ) = MH = a 3 Chọn đáp án C Câu 25: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a, AC = 2a, SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) , SC tạo với mặt phẳng ( SAB ) góc 30o Gọi M điểm cạnh AB http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word ( ) cho BM = 3MA Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SCM ) 34a 34a B 51 51 Đặc điểm hình: SC tạo với mặt phẳng · ( SAB ) góc CSB = 30o BC = 3a ; SB = BC.tan 300 = a ; A 57  3a  MC =  ÷ + 3a = a;   AC = 2a ; AS = 2a MA = C 34a 51 D 34a 51 S 300 a ; H 2S 19 AK = AMC = a MC 19 Xác định khoảng cách: d ( A, ( SBC ) ) = AH Tính AH D A M K B C 1 1 153 = + = + = 2 2 2 AH AK AS 8a  19  2a a÷   19  34 Vậy d ( A, ( SBC ) ) = AH = 51 Chọn đáp án B Câu 26: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M , N P trung điểm cạnh AB, AD DC Gọi H giao điểm CN DM , biết SH vng góc ( ABCD ) , SH = a Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( SBP ) tính theo a ( a Hướng dẫn giải: A B ) a C Trang 22 a D a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 Ta chứng minh : NC ⊥ MD µ = 900 ; AD = DC ; AM = DN Thật : ∆ADM = ∆DCM µA = D · · · · ⇒ ·ADM = DCN ; mà ·ADM + MDC = 900 ⇒ MDC + DCN = 900 ⇒ NC ⊥ MD Ta có : BP ⊥ NC ( MD / / BP ) ; BP ⊥ SH ⇒ BP ⊥ ( SNC ) ⇒ ( SBP ) ⊥ ( SNC ) Kẻ HE ⊥ SF ⇒ HE ⊥ ( SBP ) ⇒ d ( H , (SBP ) ) = d (C , (SBP )) = HE DC 2a a = ⇒ HF = NC 5 SH HF SH HF a = = Mà HE = 2 SF SH + HF Câu 27: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân có hai đường chéo AC , BD vng góc với nhau, AD = 2a 2; BC = a Hai mặt phẳng ( SAC ) ( SBD ) vng góc với Do DC = HC.NC ⇒ HC = Góc hai mặt phẳng ( SCD ) ( ABCD ) 60o Khoảng cách từ M trung điểm đoạn AB đến mặt phẳng ( SCD ) mặt đáy ( ABCD ) a 15 Hướng dẫn giải: A B a 15 20 C 3a 15 20 Do ( SAC ) ⊥ ( ABCD ) , ( SBD ) ⊥ ( ABCD ) , ( SAC ) ∩ ( SBD ) = SO ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) Dựng góc ( SCD ) , ( ABCD) : · ( SCD ) ∩ ( ABCD ) = DC Kẻ OK ⊥ DC ⇒ SK ⊥ DC ⇒ ( (·SCD ) , ( ABCD ) ) = SKO Kéo dài MO cắt DC E Trang 23 D 9a 15 20 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Ta có Quan hệ vng góc – HH 11 : 0 àA = D ả ;à ả ¶ ¶ µ ¶ µ µ · µ 1 A1 = M ; M = M = O1 ⇒ D1 = O1 ; O1 + EOD = 90 ⇒ E = 90 ⇒E≡K 2a.a AB a 9a ; OM = = ; MK = Ta có: OK = 2 10 a d (O, ( SCD )) OE = = ⇒ d ( M , ( SCD ) ) d ( M , ( SCD )) ME 9 OK OS a 15 9a 15 = d ( O, ( SCD ) ) = OH ⇒ OH = = ⇒ d ( M , ( SCD) ) = 4 20 OK + OS 2a 15 OS = OK tan 600 = Câu 28: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, mặt bên SAD tam giác vuông S , hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ( ABCD ) điểm H thuộc cạnh AD cho HA = 3HD Gọi M trung điểm cạnh AB Biết SA = 3a đường thẳng SC tạo với mặt đáy góc 30o Khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( SBC ) tính theo a 66a 11a B 11 66 Hướng dẫn giải: SC có hình chiếu vng góc lên mp ( ABCD ) HC · , ABCD = SCH · ⇒ SC = 300 A ( C 66a 11 ) Đặt AD = x ( x > ) Ta có : SA2 = AH AD ⇒ 12a = 12 x ⇒ x = a ⇒ AD = 4a, AH = 3a, HD = a Mà : SH = SA2 − AH = a ⇒ HC = 3a ⇒ DC = 2a Kẻ HE ⊥ BC , SH ⊥ BC ⇒ ( SHE ) ⊥ ( SBC ) Trang 24 D 66a 11 Quan hệ vng góc – HH 11 HK Kẻ HK ⊥ SE ⇒ HK ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( H , SBC ) = HK ⇒ d ( M , (SBC ) ) = SH EH 2a 66 a 66 HK = = ⇒ d ( M , ( SBC ) ) = 2 11 11 SH + EH Câu 29: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm I , AB = a; BC = a , tam giác SAC vuông S Hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H đoạn AI Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( SAB ) tính theo a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word a a B Hướng dẫn giải: Ta có : AC = AB + BC = 2a , mà ∆SAC vuông AB =a S ⇒ SI = A ⇒ SH = SI − HI = a − C 3a D a a2 a = Kẻ HK ⊥ AB; AB ⊥ SH ⇒ AB ⊥ ( KHS ) ⇒ ( SAB ) ⊥ ( KHS ) Mà ( SAB ) ∩ ( KHS ) = SK Kẻ HE ⊥ SK ⇒ HE ⊥ ( SAB ) ⇒ d ( H , (SCD )) = HE A = HC ∩ ( SAB ) ⇒ d ( C , ( SAB ) ) d ( H , ( SAB ) ) = CA = ⇒ d ( C , (SAB) ) = 4d ( H , (SAB )) = HE HA a a = a 15 2a 15 HE = = ⇒ d ( C , ( SAB ) ) = 2 2 10 HK + SH 3a 3a + 16 Câu 30: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a tâm O, hình chiếu vng góc S ( ABCD ) trung điểm AO, góc ( SCD ) ( ABCD ) 60o Khoảng cách từ trọng tâm HK SH tam giác SAB đến mặt phẳng ( SCD ) tính theo a 2a a B 3 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: HI CH 3a = = ⇒ HI = AD CA 4 SH 3 tan 600 = ⇒ SH = a HI A C 2a D a S L G K Trang 25 B J A 600 D I H O C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vuông góc – HH 11  3a   3a  SI = SH + HI =  ÷ ÷ + ÷ = 2a     2 d ( G, ( SCD ) ) = d ( J , ( SCD ) ) = d ( K , ( SCD ) ) = d ( H , ( SCD ) ) 3 3 3a a 8 SH HI 4 = 3a = d ( H , ( SCD ) ) = HL = = 3a 9 SI · Câu 31: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác ABC cân A, AB = AC = a, BAC = 120o Hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm G tam giác ABC Cạnh 2 Khoảng cách từ điểm C đến mặt bên SC tạo với mặt phẳng đáy góc α cho tan α = phẳng ( SAB ) tính theo a a 13 3a 13 B 13 13 Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có: Gọi H hình chiếu J lên AB Gọi G hình chiếu G lên AB Gọi I hình chiếu G lên SZ A C SG + GZ I α B C G a a=a Z 1200 a J A d ( C , ( SAB ) ) = 3d ( G , ( SAB ) ) = 3GI = =3 3a 13 S 1 3a S ∆BAJ = AB AJ sin1200 = JH AB ⇔ JH = 2 GZ BG = = ⇒ GZ = a JH BJ SG SG SG tan α = ⇔ = ⇔ = GC BG BJ SG.GZ D a BJ = BA2 + AJ − BA AJ cos1200 = ⇔ SG = 5a 13 13 a = 3 a = SG.GZ SZ 13 a 13 H   a + a÷   Câu 32: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy 60o Gọi M , N trung điểm cạnh AB, BC Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( SMN ) tính theo a a 7a 3a a A B C D 7 Trang 26 Quan hệ vng góc – HH 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: 3a = a Gọi E , F hình chiếu G MN SE Khi d ( C, ( SMN ) ) = 3d ( G, ( SMN ) ) = 3GF Trong ∆SGC vuông G suy SG = GC = 1 d ( G , AC ) = d ( M , AC ) 2 Ta có : 1 a = d ( M , AC ) = d ( B, AC ) = 12 Trong ∆SGE vuông H suy a a GE.SG a 12 GF = = = 2 GE + SG a 3  ÷ +a  12  GE = S F 60 N B C E a G M A Câu 33: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Gọi I trung điểm cạnh AB Hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt phẳng đáy trung điểm H CI , góc đường thẳng SA mặt đáy 60o Khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng ( SBC ) a 21 a 21 B 29 29 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: Trong ∆ACI có trung tuyến AH suy A AH = ( ) AI + AC − CI = C 4a 21 29 D a 21 29 S 7a a = 16 a 21 Gọi E , F hình chiếu H BC SE Khi d ( H , ( SBC ) ) = HF Trong ∆SHA vuông H suy SH = AH = Ta có : HE = 1 a d ( I , BC ) = d ( A, BC ) = F B C 60 I A Trang 27 H a E Quan hệ vng góc – HH 11 a a 21 HE.SH a 21 = = 2 2 29 HE + SH  a   a 21   ÷ + ÷     http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Trong ∆SHE vuông H suy HF = Trang 28 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 DẠNG 3: KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG Câu 1: Cho hình chóp S ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD hình thang vng cạnh a Gọi I J trung điểm AB CD Tính khoảng cách đường thẳng IJ ( SAD ) a a B Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: Vì IJ // AD nên IJ // ( SAD ) A C a D a D a a Câu 2: Cho hình thang vng ABCD vng A D , AD = 2a Trên đường thẳng vng góc D với ( ABCD ) ⇒ d ( IJ ; ( SAD ) ) = d ( I; ( SAD ) ) = IA = lấy điểm S với SD = a Tính khỏang cách đường thẳng DC ( SAB ) 2a a A B C a Hướng dẫn giải: Chọn A Vì DC // AB nên DC // ( SAB ) ⇒ d ( DC ; ( SAB ) ) = d ( D; ( SAB ) ) Kẻ DH ⊥ SA , AB ⊥ AD , AB ⊥ SA nên AB ⊥ ( SAD ) ⇒ DH ⊥ AB suy d ( D; SC ) = DH Trong tam giác vng SAD ta có: 1 ⇒ DH = SA AD = 2a = 2+ DH SA AD SA2 + AD 2a Câu 3: Cho hình chóp O ABC có đường cao OH = Gọi M N trung điểm OA OB Khoảng cách đường thẳng MN ( ABC ) bằng: a Hướng dẫn giải: Chọn D A B a C a Vì M N trung điểm OA OB nên MN // AB MN // ( ABC ) a Ta có: d ( MN ; ( ABC ) ) = d ( M ; ( ABC ) ) = OH = (vì M trung điểm OA) Câu 4: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có AB = SA = 2a Khoảng cách từ đường thẳng AB đến ( SCD ) bao nhiêu? Trang 29 D a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word a Hướng dẫn giải: A B a a C Quan hệ vng góc – HH 11 D a Gọi I , M trung điểm cạnh AB CD CD ⊥ ( SIM ) Vẽ IH ⊥ SM H ∈ SM IH ⊥ ( SCD) SO.IM ⇒ d ( AB, ( SCD) ) = d ( I , ( SCD) ) = IH = SM ∆ SAB cạnh 2a ⇒ SI = a ⇒ SM = a 2 Và OM = IM = a ⇒ SO = SM − OM = a 2 SO.IM a 2.2a 2a = = Cuối d ( AB, ( SCD) ) = SM a Chọn đáp án B Câu 5: Cho hình chóp S ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD hình thang vng có chiều cao AB = a Gọi I J trung điểm AB CB Tính khỏang cách đường thẳng IJ ( SAD ) a 2 Hướng dẫn giải: A B a C a 3 D a IJ / / AD ⇒ IJ / /( SAD)  ⇒ d ( IJ,(SAD) ) = d ( I , ( SAD ) ) = IA = a Chọn đáp án B 2a Gọi M N trung điểm OA OB Tính khoảng cách đường thẳng MN ( ABC ) Câu 6: Cho hình chóp O ABC có đường cao OH = a a B Hướng dẫn giải: Khoảng cách đường thẳng MN ( ABC ) : A d ( MN , ( ABC ) ) = d ( ( MNP ) , ( ABC ) ) = C a D a OH a = 2a Gọi M và N trung điểm OA OB Khoảng cách đường thẳng MN ( ABC ) Câu 7: Cho hình chóp O ABC có đường cao OH = a Hướng dẫn giải: A B a C Trang 30 a D a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 Do MN // ( ABC ) ⇒ d ( MN , ( ABC ) ) = d ( M , ( ABC ) ) Lại có OA d ( O, ( ABC ) ) = = ⇒ d ( M , ( ABC ) ) MA d ( M , ( ABC ) ) = OH a d ( O, ( ABC ) ) = = 2 Chọn D Chọn đáp án A Câu 8: Cho hình chóp S ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , mặt đáy ABCD hình thang vng có chiều cao AB = a Gọi I J trung điểm AB CD Tính khoảng cách đường thẳng IJ ( SAD ) a Hướng dẫn giải: A B a C a D a SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ AI Lại có AI ⊥ AD ( hình thang vng) suy IA ⊥ ( SAD ) IJ P AD theo tính chất hình thang, nên d ( IJ , ( SAD ) ) = d ( I , ( SAD ) ) = IA = a Câu 9: Cho hình thang vng ABCD vng A D, AD = 2a Trên đường thẳng vng góc với ( ABCD ) D lấy điểm S với SD = a Tính khoảng cách DC ( SAB ) 2a a a A B C a D 3 Hướng dẫn giải: * Trong tam giác DHA , dựng DH ⊥ SA ; * Vì DC / / AB ⇒ d ( DC ; ( SAB ) ) = d ( D; ( SAB ) ) = DH Xét tam giác vng SDA có : 1 a 12 2a = + ⇒ DH = = 2 DH SD AD 3 Chọn A Câu 10: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Khi khoảng cách đường thẳng AB mặt phẳng ( SCD ) a a 2a a A B C D Hướng dẫn giải: Trang 31 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 Gọi O tâm hình vng ABCD Khi SO ⊥ ( ABCD ) Kẻ OI ⊥ CD, OH ⊥ SI ⇒ OH ⊥ ( SCD ) Ta tính AO = a a , SO = SA2 − AO = 2 AD a = 2 1 a a = + ⇒ OH = ⇒ d ( A, ( SCD ) ) = 2 OH SO OI Chọn D OI = Câu 11: Cho hình lập phương ABCD A′ B ′C ′D ′ có cạnh a Khi đó, khoảng cách đường thẳng BD mặt phẳng (CB ′D ′) a 2a B Hướng dẫn giải: Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ A ( 0;0;0 ) ; B ( 1;0;0 ) ; D ( 0;1;0 ) ; A′ ( 0; 0;1) A C C ( 1;1; ) ; B′ ( 1;0;1) ; D ′ ( 0;1;1) ; C ′ ( 1;1;1) uuur uuuu r CB′ = ( 0; −1;1) ; CD′ = ( −1;0;1) Viết phương trình mặt phẳng ( CB′D′ ) r uuur uuuu r Có VTPT n = CB′; CD′ = ( −1; −1; −1) ( CB′D′ ) :1( x − 1) + 1( y − 1) + 1( z − ) = ⇔ x + y + z − = d ( BD; ( CB′D′ ) ) = d ( B; ( CB′D′ ) ) = Vậy d ( BD; ( CB′D′ ) ) = 1+ + − 12 + 12 + 12 = = 3 a Trang 32 a D a ... ABCD ) 60o Khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( SBC ) tính theo a a 11 a 11 B 33 11 Hướng dẫn giải: - Đặc điểm hình: Góc hai mặt phẳng · ( SAC ) ( ABCD ) SIH = 60o A C a 33 11 D 2a 33 11 S a a ⇒... (C1D1M ) ⇒ d ( A1 , (C1 D1M ) ) = AH = ⇒ d ( A1 , (C1 D1M ) ) = A1 D12 = A1 N A1 D12 A1 D12 + ND12 2a Chọn đáp án A Câu 14 : Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy  3a, cạnh bên 2a Khoảng cách. .. SBC ) tính theo a A a 39 13 B 3a 39 13 C Trang 18 6a 39 13 D 6a 13 13 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 Hướng dẫn giải: Kẻ HK ⊥ CD ⇒