Không gian Banach và các định lý cơ bản

Không gian Banach và các định lý cơ bản

1Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí MinhBộ môn Toán Ứng dụng-------------------------------------------------------------------------------------Giải tích hàm nâng caoChương 1. Không gian Banach và các định lý cơ bản•Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2007) 2 Chương 1. Không gian Banach và các định lý cơ bản. 1.1. Dạng giải tích và dạng hình học của định lý Hahn-Banach. 1.2. Định lý Banach – Steinhauss. Chương 2. Tôpô yếu và các không gian đặc biệt. 2.1. Tôpô yếu và tôpô yếu*. 2.2. Các không gian đặc biệt: phản xạ, khả ly, lồi đều. Chương 3. Không gian Hilbert. 3.1. Định nghĩa, tính chất cơ bản. Hình chiếu xuống tập lồi đóng. 3.2. Định lý Stampacchia và Lax-Milgram.ĐỀ CƯƠNG MÔN HỌC 3 Chương 4. Các không gian Lp. 4.1. Định nghĩa và tính chất cơ bản. 4.2. Tính phản xạ, khả ly của Lp. Đối ngẫu của Lp. 4.3. Tiêu chuẩn compact mạnh trong Lp. Chương 5. Toán tử compact. Phân tích phổ của toán tử tự liên hợp compact. 5.1. Định nghĩa và tính chất cơ bản. 5.2. Định lý Riesz – Fredholm. 5.3. Phân tích phổ của toán tử compact. 5.4. Phân tích phổ của toán tử tự liên hợp. 4Đánh giá, kiểm tra. Thi giữa học kỳ: hình thức viết (20%)Seminar trên lớp (30%) Thi cuối kỳ: hình thức vấn đáp (50%) 5Tài liệu tham khảo1. Haim Brezis. Giải tích hàm: lý thuyết và ứng dụng. Nguyễn Thành Long và Nguyễn Hội Nghĩa dịch, NXB ĐHQG tp. HCM, 2002.2. Hoàng Tụy. Giải tích hiện đại, tập 1,2,3. NXB Giáo dục, 1978. 3. Nguyễn Xuân Liêm. Giải tích hàm. NXB Giáo dục, 1997. 4. Nguyễn Xuân Liêm. Bài tập giải tích hàm. NXB Giáo dục, 1997. 5. Dương Minh Đức. Giải tích hàm. NXB ĐHQG tpHCM, 2000.6. Walter Rudin. Functional analyse. MC Graw – Hill Book company, 2000.7. N.I. Vilenkin. Functional analysis. Netherlands, 1972. 6Nội dung---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------0.2 – Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.0.3 – Định lý Banach-Steinhauss.0.1 – Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. 71. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa1 2 1 2 1 21. ( , ) ( ) ( ) ( )x x X x x x xϕ ϕ ϕ∀ ∈ + ≤ +2. ( , 0) ( ) ( )x X x xα ϕ α αϕ∀ ∈ ≥ = Hàm thực trên không gian tuyến tính X được gọi là hàm dưới tuyến tính (sơ chuẩn), nếuϕ Định nghĩa Ánh xạ tuyến tính từ không gian tuyến tính X vào tập số thực R được gọi là phiếm hàm tuyến tính.f 81. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa Cho S là tập hợp, trong đó giữa một số cặp phần tử a, b của nó có xác định một quan hệ < sao cho: 1. a < a (phản xạ) 2. a < b và b < c suy ra a < c (bắc cầu) 3. a < b và b < a suy ra a = b (phản xứng) Khi đó quan hệ < được gọi là quan hệ thứ tự trên tập S và S được gọi là sắp một phần theo thứ tự đó. 91. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa Cho S là tập hợp được sắp một phần theo thứ tự <, một tập hợp con P được gọi là sắp toàn phần (sắp tuyến tính) nếu ( , ) a b P a b b a∀ ∈ < ∨ < Một phần tử được gọi là cận trên của tập hợp P nếu a S∈ Định nghĩa( ) b P b a∀ ∈ < Một phần tử được gọi là phần tử tối đại của S nếu ( , ) a S m a m a∀ ∈ < =m S∈ 101. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bổ đề Zorn Nếu S là tập được sắp một phần và mọi tập con được sắp tuyến tính của S đều có cận trên, thì S phải có một phần tử tối đại. [...]... y a α α ≤ + − =(1 )r r r 31 1. Dạng giải tích của định lý Hahn -Banach. Bài tập 7 Cho v là một véctơ của không gian định chuẩn E . Chứng minh rằng ∈ = = * ,|| || 1 || || sup | ( ) | f X f v f v Hướng dẫn. Sử dụng bài tập 1. 29 1. Dạng giải tích của định lý Hahn -Banach. Bài tập 5 Cho M là không gian véctơ con của không gian định chuẩn E và . Khi nào tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên... α = + − ∈ 27 1. Dạng giải tích của định lý Hahn -Banach. 0x y x y≠ ⇔ − ≠ Giải Sử dụng bài tập 1. Bài tập 3 Cho x và y là hai véctơ khác nhau của khơng gian định chuẩn E. Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E sao cho ≠( ) ( )F x F y 19 1. Dạng giải tích của định lý Hahn -Banach. Hệ quả 2 Giả sử M là không gian con của khơng gian định chuẩn E và Khi đó tồn tại một phiếm hàm... ) ( ) ( )p x y p x p y⇒ + ≤ + 33 1. Dạng giải tích của định lý Hahn -Banach. Bài tập 9 Cho x là một véctơ của không gian định chuẩn E . Chứng minh rằng nếu với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên E ta đều có f(x) = 0 thì x = 0. Hướng dẫn. Sử dụng bài tập 8. 3 Chương 4. Các không gian L p . 4.1. Định nghĩa và tính chất cơ bản. 4.2. Tính phản xạ, khả ly của L p . Đối ngẫu của... tích của định lý Hahn -Banach. Cho họ véctơ độc lập tuyến tính của khơng gian định chuẩn E, là những số thực. Chứng minh rằng tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E sao cho Bài tập 10 ∀ = =( 1,2, , ) ( ) . k k k m F x c = 1 2 { , , , } m M x x x 1 2 , , , m c c c 47 2. Dạng hình học của định lý Hahn -Banach. Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng, lồi, và rời nhau của không gian định chuẩn... tập mở. Khi đó tồn tại siêu phẳng đóng tách A và B theo nghĩa rộng. Định lý Hahn -Banach (dạng hình học thứ nhất) 4 Đánh giá, kiểm tra. Thi giữa học kỳ: hình thức viết (20%) Seminar trên lớp (30%) Thi cuối kỳ: hình thức vấn đáp (50%) 23 1. Dạng giải tích của định lý Hahn -Banach. Hệ quả 3 Giả sử M là không gian con của khơng gian định chuẩn E và Khi đó tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên... Dạng giải tích của định lý Hahn -Banach. Giả sử P là một tập con được sắp toàn phần của S thì cận trên của nó là phiếm hàm có miền xác định bằng hợp các miền xác định của tất cả các phiếm hàm thuộc P và có giá trị bằng với giá trị của từng phiếm hàm g trên miền xác định của g. Theo bổ đề Zorn, S có phần tử tối đại F. F là hàm cần tìm. 48 2. Dạng hình học của định lý Hahn -Banach. Chứng minh... L p . Chương 5. Toán tử compact. Phân tích phổ của tốn tử tự liên hợp compact. 5.1. Định nghĩa và tính chất cơ bản. 5.2. Định lý Riesz – Fredholm. 5.3. Phân tích phổ của tốn tử compact. 5.4. Phân tích phổ của toán tử tự liên hợp. 25 1. Dạng giải tích của định lý Hahn -Banach. Bài tập 1 Với mọi của không gian định chuẩn E, tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E sao cho 1. || || 1F = 2.... ) 1F a ∀ ∈ =2. ( ) ( ) 0x M F x ∈ \a E M 30 1. Dạng giải tích của định lý Hahn -Banach. Bài tập 6 Cho E là không gian định chuẩn và f là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E, f khác không. Chứng minh rằng siêu phẳng λ ∈ = { : ( ) }x E f x là một tập khác rỗng. Hướng dẫn. Sử dụng bài tập 1. 43 2. Dạng hình học của định lý Hahn -Banach. (, vì mở , với đủ n1 ) hỏ.xC Cx C ε ε +∀ ∈ ∈ 3 ) { : ( )... giải tích của định lý Hahn -Banach. Giải Bài tập 2 Cho M là khơng gian con đóng của khơng gian định chuẩn E, . Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E sao cho 1. ( ) 1F v = 2. ( ) ( ) 0x M F x∀ ∈ = ∉ v M Vì M đóng, . Khi đó tồn tại hình cầu nằm ngồi M, suy ra ∉ v M ( , )B v M >( , ) 0d v M Sử dụng hệ quả 3. 9 1. Dạng giải tích của định lý Hahn -Banach. Định nghĩa Cho... của định lý Hahn -Banach. 3) Mỗi khơng gian con của khơng gian tuyến tính là tập hợp lồi. 4) Giao của một số bất kỳ tập hợp lồi là tập hợp lồi. 5) Nếu D, E là hai tập lồi, a là một điểm, là một số thực thì các tập hợp sau đây là những tập hợp lồi. λ { , }D a x a x D+ = + ∈ { , }D a x a x D− = − ∈ { , , }D E x y x D y E+ = + ∈ ∈ { , , }D E x y x D y E− = − ∈ ∈ 50 2. Dạng hình học của định lý Hahn -Banach. . caoChương 1. Không gian Banach và các định lý cơ bản Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2007) 2 Chương 1. Không gian Banach và các định lý cơ bản. . học của định lý Hahn -Banach. 0.3 – Định lý Banach- Steinhauss.0.1 – Dạng giải tích của định lý Hahn -Banach. 71. Dạng giải tích của định lý Hahn -Banach. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------