Giải tích vectơ trong không gian En và ứng dụng

LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy giáo, cô giáo khoa tốn, thầy giáo giáo trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội bạn sinh viên Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc em tới thầy giáo Phó giáo sư-Tiến sĩ Nguyễn Năng Tâm, người tận tình giúp đỡ em suốt q trình hồn thành khố luận Do lần làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, thời gian lực thân hạn chế, cố gắng khơng thể tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận đóng góp ý kiến thầy bạn để khố luận em hồn thiện tốt có ứng dụng thực tế Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nộ, ngày 10 tháng năm 2013 Sinh viên Đỗ Thị Ngọc LỜI CAM ĐOAN Khố luận tốt nghiệp hồn thành nhờ hướng dẫn thầy giáo PGS-TS Nguyễn Năng Tâm, q trình nghiên cứu tơi có sử dụng sách tham khảo số tác giả, nhà nghiên cứu (đã nêu mục tài liệu tham khảo) Tơi xin cam đoan khố luận kết thân trình học tập bậc Đại học, kết đề tài bảo đảm xác, khách quan, trung thực Nếu sai tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2013 Sinh viên Đỗ Thị Ngọc MỤC LỤC MỞ ĐẦU .1 Chương I GIẢI TÍCH VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN n E §1 Khơng gian vectơ Euclid n chiều §2 Hàm vectơ 2.1 Định nghĩa 2.2 Phép toán hàm vectơ .4 2.3 Giới hạn hàm vectơ 2.4 Hàm vectơ liên tục .11 §3 Đạo hàm hàm vectơ biến số .12 3.1 Định nghĩa 12 3.2 Tính chất 12 3.3 Đạo hàm cấp cao 17 3.4 Đổi biến số 17 3.5 Nguyên hàm, tích phân hàm vectơ biến số .19 3.6 Nhận xét .20 Chương ỨNG DỤNG 21 n §1 Nghiên cứu đường E 21 1.1 Vectơ tiếp xúc 21 1.2 Cung tham số 22 1.3 Cung E n 23 1.4 Cung quy 24 1.5 Cung định hướng trường vectơ tiếp xúc đơn vị 27 1.6 Cung song quy 28 1.7 Công thức Frenet 29 §2: Nghiên cứu mặt E 36 2.1 Mảnh tham số 36 2.2 Ánh xạ Weingarten .38 KẾT LUẬN .46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 Lý chọn đề tài MỞ ĐẦU Tốn học mơn học nghiên cứu số, cấu trúc không gian phép biến đổi Nói cách khác người ta cho mơn hoc “Hình Số” Bên cạnh phát triển “Số” “Hình” môn phần lớn phát triển đa dạng với nhiều mơn học như: hình xạ ảnh, hình Euclid, hình học vi phân,…Trong hình học vi phân mơn có tính hệ thống cao, chặt chẽ, tính logic trìu tượng cao Ở khái niệm: khơng gian vectơ Euclid n-chiều, hàm vectơ, đạo hàm của hàm vectơ biến số,…là khái niệm Tuy nhiên vấn đề trình bày cách sơ lược chưa phân loại hệ thống cách chi tiết Xuất phát tư mong muốn niềm đam mê tìm hiểu sâu sắc vấn đề em định chọn đề tài “Giải tích vectơ khơng gian En Ứng dụng” làm khố luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài tìm hiểu nâng cao kiến thức giải tích vectơ n chiều không gian E n ứng dụng chúng Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Kiến thức hàm vectơ, bán kính hàm vectơ, đạo hàm hàm vectơ n ứng dụng không gian E 3.2 Phạm vi nghiên cứu n Khái niệm giải tích vectơ n chiều khơng gian E Phương pháp nghiên cứu Phân tích tổng hợp tài liệu Chương I GIẢI TÍCH VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN E n §1 Khơng gian vectơ Euclid n chiều 1.1 Đ ịnh nghĩa (xem [1.1], tr.5) Không gian vectơ n-chiều trường số thực gọi không gian  n  vectơ Euclid n-chiều kí hiệu E với cặp có thứ tự ( a , b ) thuộc  n  xác định số thực gọi tích vơ hướng hai vectơ E n E      a , b Kí hiệu a b a thỏa mãn tiên đề sau đây: b      n ,  ta có: Với a , b , c, E i ii iii iv v   a.b  b.a      a.(b  c)  a.b  a.c    (a).b  .(b.a)    a.a  dấu ( ) xảy a       .  dấu ( ) xảy   1.2 Đ ịnh nghĩa (xem [1.1], tr.5) n Trong không gian Euclid n-chiều E không gian afin liên kết với  n   n không gian Euclid n-chiều E n ta ln tìm Lưu ý rằng: với điểm ME , x E      n điểm N E cho MN  x Nếu MN  x viết: N  M  x 1.3 Đ ịnh nghĩa (xem [1.1], tr.5)   n Hệ {ei}i1,n E gọi hệ trực chuẩn nếu:  ei e j   {ei}i1,n Nếu O  En sở trực chuẩn không gian Euclid    hệ {O,e1, e2 , ,e n} gian Euclid E Nếu n n E , điểm gọi hệ toạ độ trực chuẩn không thường gọi hệ tọa độ Đề vng góc    {O,e1, e2 , ,e n} hệ toạ độ trực chuẩn không gian n n  n   n   n     Euclid E x  E , y E với x   x ei , y   yi ei ta có: i i1 n  x.y   xi yi i1  n , || x ||   x 2i i1 i1 Giả sử M(x 1, x , , x n ), N(y , y , , y ) ta có: n  y )2      (x nny )2 || MN || (x 11y )2  (x  22 1.4 Định nghĩa (xem [1.1], tr.5)  , ta gọi số 2 độ dài  n (chuẩn/môđun) vectơ  Khoảng cách điểm M,N E  MN Ta kí hiệu d(M,N) khoảng cách điểm M,N  Khi d(M,N)  MN giá trị Cho không gian vectơ Euclid  n E , §2 Hàm vectơ 2.1 Định nghĩa (xem [1.2], tr.6)   n Trong E cho U tập hợp tùy ý Ánh xạ X : U  E , u  X  u   n hàm vectơ ( xác định U, giá trị E )      Cho X hàm vectơ tập hợp U, X : U  E n (e1, e2 , ,e n )  n sở khơng gian vectơ E Khi ta có: n xi : U  R , u  x i (u) i=1,2,…,n cho u  U :    n X(u)  x (u).e1      x (u).en  gọi hàm toạ độ hàm vectơ X 2.2 Phép toán hàm vectơ (xem [1.3], tr.7)   Cho tập hợp U E n  cho hàm vectơ X, Y : U  V  E hàm số : U  R Ta định nghĩa: a Tổng hai hàm vectơ xác định        n , u  (X  Y)(u)  X(u)  Y(u) XY:UE b Tích hàm số với với hàm vectơ    , u  (X)(u)  (u).X(u)  n X : U  E c Tích vơ hướng hai hàm vectơ       , u  (X.Y)(u)  X(u).Y(u)  n X.Y : U  E d Chuẩn hàm vectơ   n   || X ||: U  E , u || X ||  u  || X(u) || n  e Khi n  có hướng ta định nghĩa tích có hướng hai E hàm vectơ:   X  Y : U  En     u  (X  Y)(u)  X(u)  Y(u) Sử dụng biểu thức toạ độ ta có: n  n    i i X(u)   x (u).ei , Y(u)   y (u).ei i1 i1 a Ta có: n n   n   (X  Y)(u)   (x (u)  y (u)).ei   x (u).ei   y (u).ei i    X(u)  Y(u) i i i1  i i1 i1 b Ta có:  n  suy X  (x , x , , x ) n X  (x , x , , x )  n n    i suy (X)(u)  (u).x (u).ei  (u). x (u).ei  (u).X(u) i i1 i1   (X)(u)  (u).X(u) c Ta có:   n n X  (x , x , , x ) , Y  (y , y , , y )   1 2 n n X.Y  x y  x y      x y   1 2 n n Suy (X.Y)(u)  (x y )(u)  (x y )(u)      (x y )(u) 1 2 n n  x (u).y (u)  x (u).y (u)      x (u).y (u) Mặt khác: n    n i X(u)   x (u).ei suy X(u)  (x (u), x (u), , x (u)) i1 (1) n    n i Y(u)   y (u).ei suy Y(u)  (y (u), y (u), , y (u)) i1 Khi đó:   1 2 n n X(u).Y(u)  x (u).y (u)  x (u).y (u)      x (u).y (u)     Từ (1) (2) suy ra: (X.Y)(u)  X(u).Y(u)    (2) d Với n=3, E có hướng ta có: X  (x1, x , x3 Y  (y , y , y ) ), Ta có:   XY  x2  y2  x3 , x3 x1 y3 ,  y1 y2  y3 y1 3  x1 x 1 2  (x y  x y , x y  x y , x y  x y )   (X  Y)(u)   (x y 3 1 2  x y )(u),(x y  x y )(u),(x y  x y )(u) 3 1   (x (u).y (u)  x (u).y (u), x (u).y (u)  x (u).y (u), 2 x (u).y (u)  x (u).y (u)) (3)    i Mặt khác: X(u)   x (u).ei suy X(u)  (x (u), x (u), x (u)) i1    i Tương tự: Y(u)   y (u).ei suy Y(u)  (y (u), y (u), y (u)) i1 Ta có:   x (u)  X(u)  Y(u)    y2 (u)  3 1 x (u)    y (u)  x (u) x (u) x (u) x (u) , , y (u) y (u) y (u) y (u) 3 2  (x (u).y (u)  x (u).y (u), x (u).y (u)  x (u).y (u), 2 x (u).y (u)  x (u).y (u)) (4) DT ds DB ds  kN  N Trong k,  theo thứ tự độ cong, độ xoắn  DN Ta tính ds DN DN khai triển theo T B Từ N.N=1 ta suy N  nên ds DN ds  DT N  k ds ds DN DN Từ N.B=0 suy B  N  ds ds DN Vậy  kT  B ds Từ T.N=0 suy T Tóm lại ta có công thức: DT ds DN ds DB ds  kN  kT  B  N Và có dạng ma trận: T     d N  k    B     k  T      N    B    gọi công thức Frenet *Nhận xét: Khi đổi hướng cung định hướng T đổi hướng,N đổi hướng, B đổi hướng E3 (có hướng) Vì độ cong k độ xoắn  khơng đổi dấu (vì Cơng thức tính độ cong, độ xoắn Cung  có tham số hóa: t  (t) Độ cong cung  là: k(t)  ||  '(t)  ''(t) || || '(t) || Độ xoắn cung  là: k(t)  ('(t)  ''(t)).'''(t) || '(t)  ''(t) || DB ds  N ) §2: Nghiên cứu mặt E 2.1 Mảnh tham số (xem [1.1], tr.141) 2.1.1 Định nghĩa: Mỗi ánh xạ khả vi r : U  E n , (u, v)  r(u, v) ; U mở R n gọi mảnh tham số E *Các đường toạ độ a) Cố định v0 cho u thay đổi cung tham số: u  r(u, v0 ) gọi toạ độ u qua (u , v0 ) : v  v0 b) Cố định u0 cho v thay đổi, cung tham số : v  r(u , v) gọi đường toạ độ v qua (u , v0 ) : u  u c) Có trường vectơ tiếp xúc dọc đường toạ độ: u  r 'u (u, v0 ) v  r 'v (u , v) Và cho u , v0 thay đổi ta được: u  r 'u (u, v) v  r 'v (u, v) trường vectơ dọc r 2.1.2 Mảnh tham số quy a Định nghĩa a) Điểm (u0 , v0 ) mảnh tham số r mà   r ' (u u  0, v0 ), r 'v (u0 , v0 ) độc lập tuyến tính gọi điểm quy (r dìm (u0 , v0 ) ) Trái lại, điểm (u , v0 ) gọi điểm kì dị b) Mảnh tham số r mà điểm quy gọi mảnh tham số quy b Mặt phẳng tiếp xúc Tại điểm quy (u , v0 ) mảnh tham số r Mặt phẳng qua   r(u , v0 ) có khơng gian vectơ phương r 'u (u0 , v0 ), r 'v (u , v0 ) gọi mặt phẳng tiếp xúc (hay tiếp diện) mảnh tham số r mảnh cho Khi n  đường thẳng qua r(u , v0 ) vng góc với tiếp diện gọi pháp tuyến mảnh tham số r điểm 2.1.3 Mảnh E n a Hai mảnh tham số tương đương n Cho hai mảnh tham số E : n r:UE r :  En U có vi phơi (vi phơi bảo tồn hướng):  : U  U cho r  r hai mảnh tham số cho gọi hai mảnh tham số tương đương (tương đương định hướng) b Mảnh, mảnh định hướng Mỗi lớp tương đương theo quan hệ tương đương hai mảnh tham số tương đương (hai mảnh tham số tươnng đương định hướng) tương ứng gọi n mảnh (mảnh định hướng) E c Chú ý: Khi n  mảnh S mảnh quy định hướng E có hướng xác định tham số hoá r : (u, v)  r(u, v) n(u, v)  r 'u  r 'v r 'u  r 'v xác định trường vectơ: (u, v) trường vectơ đơn vị hoàn toàn xác định vectơ phương pháp tuyến S 2.2 Ánh xạ Weingarten 2.2.1 Cơ sở lí thuyết ánh xạ Weingarten 1) Đa tạp 2-chiều (xem [2.2], tr.152) Định nghĩa Cho tập mở U  R Khi ánh xạ r : U  En , (u, v)  r(u, v) khả vi gọi mảnh tham số Định nghĩa n Tập S E gọi mảnh hình học ảnh dìm, đồng phơi lên ảnh r : U  E n từ tập mở U  R vào En Khi r gọi tham số hố mảnh hình học S Định nghĩa Giả sử E3 với hệ toạ độ afin (x1, x , x3 ) cho tập mở U  R , ánh xạ f : U  R , (u, v)  f (u, v) khả vi Khi tập S   u, v,f (u, v) E | (u, v)  U mảnh hình học ứng với tham số hố r : U  E , (u, v)   u, v,f (u, v) r gọi tham số hố kiểu đồ thị mảnh hình học S Định nghĩa S tập En , tập S gọi mở S giao S với tập mở n E Với pS , tập S chứa tập mở S chứa p gọi lân cận p S Tập không rỗng S E với pS n n gọi đa tạp 2-chiều E có lân cận mở (của p S) mảnh hình học Khi tham số hố mảnh hình học gọi tham số hoá địa phương đa tạp 2-chiều S 2) Phép tính vi phân đa tạp 2-chiều a Ánh xạ khả vi (xem [3.1], tr.157) Định nghĩa Cho S đa tạp 2-chiều E3 Khi ánh xạ j : S  E3 , p  p gọi phép nhúng tắc Định nghĩa Cho tập mở V E3 Khi ánh xạ f : V  S gọi khả vi j  f : V  E ánh xạ khả vi Định nghĩa 3 Cho tập mở W gọi ánh xạ khả vi E , ánh xạ g : S  W tham số hoá địa phương r : U  S ta có g  r : U  W xạ khả vi Định nghĩa Cho S ,S đa tạp E3 , ánh xạ ánh h : S1  S2 gọi ánh xạ khả vi thoả mãn: i h ánh xạ liên tục r1 : U1  S1 , ii Với tham số hoá địa phương  h  r1  U1    r2  U2  r2 : U  S2 mà r2  h  r1 : U1  U2 ánh xạ khả vi Định nghĩa Ánh xạ khả vi f : S1  S2 gọi vi phôi có ánh xạ khả vi g : S2  S1 cho g  f  idS f  g  idS Ví dụ i idS : S  S vi phôi ii Nếu f : S1  S2 , g : S2  S3 ánh xạ khả vi g  f : S1  S3 pp khả vi b Trường vectơ trường vectơ tiếp xúc đa tạp (xem [3.2], tr.159) Định nghĩa Cho S đa tạp 2-chiều E Với  vectơ không gian  vectơ phương mặt phẳng tiếp xúc S p  Ta định nghĩa TpS  p  (p, ) không gian vectơ tiếp xúc S   p Việc đặt tương ứng pS  với vectơ X(p)  TpE3 gọi trường vectơ X S Trường vectơ X hoàn toàn xác định hàm vectơ S,    X : S  E , p  X(p) mà X(p)  (p, X(p)) Hàm vectơ gọi hàm vectơ khả vi với tham số hoá địa phương r : U  S ta có  X  r : U  E hàm vectơ khả vi  Trường vectơ X gọi khả vi X khả vi Định nghĩa Cho J khoảng mở R S đa tạp 2-chiều S Khi j ta gọi ánh xạ khả vi  : J  SE cung tham số S t  (t)  (t) 40 Ta kí hiệu ( j  ) '(t0 cách đơn giản  '(t ) TpS gồm tất )    nằm cung tham số nói thoả mãn {(t0 )  p '(t )  } ( '(t ) 0 mặt phẳng tiếp xúc) Nói cách khác : J S   p  (p,)  TpS ln tồn cung tham số với J khoảng mở R, t J {(t0 )  p  '(t0 )  } Định nghĩa Trường vectơ X gọi trường vectơ tiếp xúc S với pS X(p)  T S p c Đa tạp 2-chiều định hướng E (xem [3.4], tr.165) Định nghĩa Một hướng đa tạp 2-chiều E việc đặt tương ứng điểm pS hướng không gian vectơ thực chiều cho p S tồn tham số hoá địa phương r : U  S, p0  r(u) với (u, v) U Ánh xạ tiếp xúc r (u, v) biến hướng tắc R thành hướng không gian vectơ TpS với p  (u, v) Tức hướng T S p xác định sở {R(u), R(v)} Nhận xét: Một đa tạp 2-chiều S E3 định hướng tồn pháp tuyến khả vi S Cụ thể tham số hoá địa phương r : U  S tương thích với định hướng vectơ pháp tuyến đơn vị 42 Ru  Rv Ru  Rv 2.2.2 Ánh xạ Weingarten (Vain-Gác-Ten) a Định nghĩa (xem [5.1], tr.181) Cho S đa tạp 2-chiều E , S định hướng trường vectơ pháp tuyến đơn vị n S Khi với   T S, pS , p  thoả mãn p  (p,) ta xét cung tham số : J S , t  (t)  (t)  p  đạo hàm n theo phương  Đặt  p  '(t )  , t  J Ta gọi D n  (n  )'  tương ứng với vectơ (p, (n  )'(t0 ))  TpS ta ánh xạ Weingarten kí hiệu h p : TpS  TpS hp  p  Dn  (p, (n  )'(t0 )) Nhận xét: h p tự đồng cấu TpS ' '  Thật vậy, cho   TpS ta   (r. ) '(t )  r u u '(t )  r v v '(t ) r:US tham số hố địa phương S p  : J  U , t  (u(t), v(t)) mà r(u(t ), v(t ))  p ' ' Đẳng thức   ru.u '(t0 )  r v v'(t ) chứng tỏ ' ' (u '(t0 ), v '(t0 )) sở (r u , TpS rv ) Theo định nghĩa : h p ()  D n  (n.r. ) '(t )  [(n.r). ]'(t ) ' '  (n.r)u u '(t0 )  (n.r)v u '(t ) ' (n.r)u v (n.r) '   có toạ độ hai vectơ cố định TpS Nên từ h ()  (n.r)' u '(t )  (n.r)' v'(t dễ thấy h () tự đồng cấu p )p u v tuyến tính TpS Chú ý Khi p thay đổi, kí hiệu chung h p h Ánh xạ đóng vai trò quan trọng nghiên cứu hình dạng S E nên đơi gọi ánh xạ dạng b Tính chất (xem [5.2], tr.181) Tính chất bản: Ánh xạ h : T S  p p TpS tự đồng cấu đối xứng TpS Nghĩa là: với ,  TpS h p ()  hp () c Một số định nghĩa Mỗi giá trị riêng h p gọi độ cong S p Mỗi vectơ riêng h p xác định phương gọi phương Định thức tự đồng cấu h p gọi độ cong Gauss p S kí hiệu K(p) Nửa vết h p gọi độ cong trung bình p S Kí hiệu H(p) Nhận xét: Vì h p tự đồng cấu đối xứng không gian vectơ 2-chiều nên xảy trường hợp sau: Khả h p có giá tri riêng phân biệt k1, k , (k1  k )   Gọi e1,e2 vectơ riêng đơn vị ứng với k1, k sở trực chuẩn TpS     e1,e2    hp (e1 )  1.e1 Khi    k  h p (e2 )  k 1.e2 là:  k Định thức h p Suy ra: K(p)  k k  k1.k k 2 H(p)  (k1  k ) Khả h p có giá trị riêng thực k1  k  k   sở trực chuẩn TpS gồm vectơ riêng ứng với Gọi e1,e2   giá trị riêng k  TpS ,   a.e1  b.e2 ; a,bR ta có: h p ()  h p (a.e1  b.e2 )  a.h p (e1 )  b.h p (e2 )  a.k.e1  b.k.e2  k.(a.e1  b.e2 )  k. k độ cong S p Mọi phương phương   Ma trận h p sở K(p)  k Suy H(p)  k Hay K(p)  [H(p)] Định nghĩa e , e   k   0 0    k  Điểm pS mà K(p)>0 gọi điểm eliptic Điểm pS mà K(p)