Không gian định chuẩn lồi đều

LèI CÃM ƠN Trưóc tiên em xin bày tó lòng biet ơn chân thành sâu sac nhat cúa tói thay giáo hưóng dan- Th.S Hồng Ngoc Tuan, ngưòi ó húng dan tắn tỡnh v thũng xuyờn đng viờn em q trình hồn thành khóa lu¾n Em xin chân thành cám ơn thay cô giáo to Giái tích, khoa Tốn tao đieu ki¾n đóng góp ý kien đe em hồn thành khóa lu¾n tot nghi¾p Do thòi gian khn kho cho phép cúa đe tài han che nên chac chan khơng tránh khói nhung thieu sót Em rat mong nh¾n đưoc sn đóng góp ý kien tiep tnc xây dnng đe tài cúa quý thay cô ban đe khóa lu¾n cúa em đưoc hồn thi¾n Em xin chân thành cám ơn! Hà N®i, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Tran Th% Hà LèI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa lu¾n ket cúa nghiên cúu cúa riêng tơi có sn hưóng dan t¾n tình cúa Th.S Hồng Ngoc Tuan Khóa lu¾n vói đe tài: “Khơng gian đ%nh chuan loi đeu” chưa tùng đưoc công bo bat kỳ cơng trình nghiên cúu khác Hà N®i, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Tran Th% Hà Mnc lnc Mé đau Chương Kien thNc chuan b% 1.1 Không gian đ%nh chuan .3 1.2 Không gian Hilbert 12 Chương Không gian đ%nh chuan loi đeu 14 2.1 Modul loi không gian đ%nh chuan 14 2.2 Sn bieu dien huu han không gian đ%nh chuan .23 Ket lu¾n .44 Tài li¾u tham kháo 45 Me ĐAU 1.Lý chon đe tài Năm 1936 Clarkson ó nen múng cho mđt húng nghiờn cỳu rat quan trong Giái tích tốn hoc “ Hình hoc khơng gian Banach” Đây cơng cn quan đe giái quyet nhieu van đe khoa hoc ky thu¾t Năm 1948 khái ni¾m modul loi (moduls of convexity), đ¾c trưng loi (Characteristic of convexity) đưoc xuat hi¾n, thu hút nhieu nhà tốn hoc nghiên cúu ve quan h¾ giua modul loi, đ¾c trưng loi không gian đ%nh chuan loi đeu như: Bynum, Day, James, Goebel, Vói mong muon đưoc tìm hieu sâu ve moi quan h¾ giua modul loi, đ¾c trưng loi, không gian đ%nh chuan loi đeu sn bieu dien huu han không gian đ%nh chuan loi đeu, vói sn giúp đõ hưóng dan t¾n tình cúa Th.S Hồng Ngoc Tuan tơi manh dan chon đe tài nghiên cúu: “Không gian đ%nh chuan loi đeu” 2.Mnc đích nghiên cNu Mnc đích nghiên cúu cúa đe tài xây dnng m®t tong quan ve modul loi, không gian đ%nh chuan loi đeu sn bieu dien huu han khơng gian đ%nh chuan loi đeu 3.Nhi¾m nghiên cNu Vói mnc đích nghiên cúu ó trên, nhi¾m nghiên cúu : - Nghiên cúu moi quan h¾ giua modul đ¾c trưng loi khơng gian đ%nh chuan Nghiên cúu đ¾c trưng cúa khơng gian đ%nh chuan loi đeu - Nghiên cúu sn bieu dien huu han không gian đ%nh chuan loi đeu 4.Đoi tưeng nghiên cNu Đoi tưong nghiên cúu modul loi, không gian đ%nh chuan loi đeu sn bieu dien huu han không gian đ%nh chuan loi đeu 5.Phương pháp nghiên cNu - D%ch, đoc, nghiên cúu tài li¾u - Phân tích, tong hop kien thúc, v¾n dnng cho mnc đích nghiên cúu 6.Đóng góp méi Đây tong quan ve không gian đ%nh chuan loi đeu sn bieu dien huu han không gian đ%nh chuan Giúp ngưòi đoc hieu đưoc khái ni¾m ve khơng gian đ%nh chuan loi đeu, tính chat, đ¾c trưng cúa khơng gian loi đeu sn bieu dien huu han không gian đ%nh chuan loi đeu 7.Cau trúc cúa khóa lu¾n Ngồi phan mó đau, ket luắn, ti liắu tham khỏo, nđi dung khúa luắn oc trien khai theo chương: Chương 1: Kien thúc mó đau Chương 2: Không gian đ%nh chuan loi đeu Chương Kien thNc chuan b% Trong chương se trỡnh by mđt so khỏi niắm c bỏn ve không gian đ%nh chuan, không gian Banach, không gian Hilbert, m®t so tính chat quan ví dn minh hoa ve không gian 1.1 Không gian đ%nh chuan Đ%nh nghĩa 1.1 Cho X không gian vectơ trưòng K (K= R ho¾c K= C), ánh xa "." : X → R đưoc goi m®t chuan X neu: (i) "x" ≥ vói moi x ∈ X; (ii) "x" = ⇔ x = θ (ký hi¾u phan tú khơng θ ); (iii) "λ x" = |λ | "x" vói moi x ∈ X vói moi vơ hưóng λ ∈ K; (iv) "x + y" ≤ "x" + "y" vói moi x, y ∈ X (bat thúc tam giác) M®t khơng gian vectơ vói m®t chuan (X, ".") đưoc goi m®t khơng gian tuyen tính đ%nh chuan (hay đơn gián không gian đ%nh chuan) Đ%nh nghĩa 1.2 Dãy điem {xn} cúa không gian đ%nh chuan X goi h®i tn tói điem x ∈ X, neu lim "xn − x" = Ký hi¾u lim xn = x hay xn → x (n → n→∞ n→∞ ∞) Đ%nh nghĩa 1.3 Dãy điem {xn} cúa không gian đ%nh chuan X goi dãy bán (hay dãy Cauchy), neu lim m,n→∞ "xm − xn " = Đ%nh nghĩa 1.4 Không gian đ%nh chuan X đưoc goi không gian Banach neu moi dãy bán X đeu h®i tn Ví dn 1.1 C [0, 1], khơng gian so giá tr% thnc liên tnc đoan [0, 1] m®t khơng gian Banach vói chuan " f "∞ = sup {| f (t)| : t ∈ [0, 1]} = max {| f (t) : t ∈ [0, 1]|} Th¾t v¾y, de kiem tra đưoc C [0, 1] m®t khơng gian đ%nh chuan Xét m®t dãy bán { fn} ∞ C [0, 1] Vì | fk (t) − fl (t)| ≤ " fk − fl", ∞ nên dãy { fn (t)}n= m®t dãy bán vói moi t Đ¾t f (t) = lim ( fn (t)) n→∞ Khi f liên tnc fn h®i tn đeu đen f Cho ε > 0, có n0 cho | fn (t) − fm (t)| ≤ ε vói moi t ∈ [0, 1] moi n, m ≥ n0 Co đ%nh n ≥ n0 cho m → ∞, ta đưoc | fn (t) − f (t)| ≤ ε vói moi n ≥ n0 moi t ∈ [0, 1] Lay t0 ∈ [0, 1] ε > co đ%nh Chon δ > đe fn0 (t) − fn0 (t0) < ε |t − t0 | < δ The | f (t) − f (t0)| ≤ f (t) − fn0 (t) + fn0 (t) − fn0 (t0) + fn0 (t0) − f (t0) < 3ε |t − t0 | < δ Bói v¾y, f ∈ C [0, 1] { fn} h®i tn đeu (theo chuan ".") tói f Do C [0, 1] khơng gian Banach Khơng gian C (K) hàm vơ hưóng liên tnc khơng gian compact K, cho bói chuan supremum, l¾p thành m®t khơng gian Banach Đ%nh nghĩa 1.5 Hai chuan "."1 "."2 khơng gian tuyen tính X goi tương đương neu ton tai hai so dương α, β cho: α"x"1 ≤ "x"2 ≤ β "x"1 , ∀x ∈ X Đ%nh nghĩa 1.6 Cho không gian đ%nh chuan X dãy điem {xn} ⊂ X Ta goi chuoi bieu thúc dang: x1 + x2 + + xn + Chuoi (∗) thưòng viet k (∗) ∞ ∑ xn n=1 ∑ xn,, (k = 1, ) tong riêng thú k cúa chuoi Bieu thúc sk n= = Neu ton tai lim sk = s chuoi ( ∗) đưoc goi h®i tn s tong cúa k→ ∞ ∞ ∑ xn) chuoi (ta viet s n= = Chuoi (∗) đưoc goi l hđi tn tuyắt oi, neu chuoi sau hđi tn: "x1" + "x2" + + "xn" + Đ%nh lý 1.1 Không gian đ%nh chuan X không gian Banach chí khơng gian X moi chuoi hđi tn tuyắt oi eu hđi tn %nh nghĩa 1.7 M®t dãy {xn} khơng gian đ%nh chuan X đưoc goi b% ch¾n neu có hang so C cho "xn" ≤ C vói moi n ∈ N M¾nh đe 1.1 Cho X khơng gian đ%nh chuan Neu dãy {xn} ∞ dãy Cauchy, b% ch¾n X n= ⊂ X Ta có đieu phái chúng minh Chúng minh Đ%nh lý 2.6: (1) ⇒ (2): Cho εn = 2−n−3, n ∈ N, ta tìm tù Bo đe 2.4 m®t chuan tương đương |"."|n X thóa mãn có |"x + y"|n ≤ |"x"|n + |"y"|n − ηn εn ∞ Đ%nh nghĩa m®t chuan |"."|0 X bói |"x"|0 = ∑ n=1 |"x"|n 2n Cuoi cùng, ta đ%nh 1nghĩa m®t chuan tương đương "."0 X bói 2 "x"0 |"x"|0 + Ta đ%nh rang "."0 loi đeu Cho xm, ym ∈ X = "x" cho lim m→∞ − "xm + ym" "xm"2 + "ym" = {xm} b% ch¾n The lim (|"xm"|0 − |"ym "|0 ) = lim (|"xm"| − |"ym "|) = Giá sú rang m→∞ m→∞ lim |"xm"|0 = lim |"ym"|0 = lim |"xm"| = lim |"ym"| = a > Xét m→∞ vectơ um = ta có m→∞ xm "xm vm = " ym m→∞ m→∞ Khi lim "um − vm "0 = Th¾t "ym v¾y, m→ ∞ " "xm − aum "0 = |"xm"| − a|"um "|0 → tù {um} b% ch¾n Tương tn, "ym − avm "0 → bói v¾y "xm − ym " → Ngưoc lai, giá sú rang "um − vm "0 ≥ δ > vói δ > moi m Co đ %nh n0 cho δ ∈ , 2n0+3 2n0+2 Tù Bo đe 2.4 argument loi, ta có |"um"|0 + |"vm"|0 − |"um + vm"|0 ≥ |"um"|n0 + |"vm"|n0 − |"um + vm"|n0 2nn00 εn0 η ≥ 2n0 , , Đieu mâu thuan vói thnc te |"um"|0 → a, |"vm "|0 → a, Do đó, (i) suy (ii) |"um + vm"|0 = x → + m "x " m ym "ym" a (2) ⇒ (3): Neu X chúa m®t chuan tương đương loi đeu, X ∗ chúa m®t chuan tương đương vi Fréchet đeu theo Đ%nh lý 2.2 Tù M¾nh đe 2.1, moi khơng gian Y có the bieu dien huu han X ∗ đeu chúa m®t chuan vi Fréchet đeu, theo Đ%nh lý 2.4, moi khơng gian Y phán xa Vì the, X ∗ siêu phán xa tù (i) ⇒ (ii) ta có X ∗ chúa m®t chuan "." tương đương loi đeu Chuan đoi ngau vói "." X vi Fréchet đeu theo Đ%nh lý 2.2 (3) ⇒ (1): Cho |"."| chuan tương đương vi Fréchet đeu (X, ".") Cho Y có the bieu dien huu han (X, ".") và, tù M¾nh đe 2.1, Y chúa chuan tương đương vi Fréchet đeu Vì v¾y, Y phán xa theo Đ%nh lý 2.4 Do X siêu phán xa Bây giò ta chúng minh (1) − (3) suy (4) Cho "." m®t chuan tương đương loi đeu X cho "."0 m®t chuan tương đương vi Fréchet đeu X Đ%nh nghĩa ∗ "." "." n ∗ ∗ "." n ="f" n chuan đoi ngau cúa "."0 Tù ta đưoc "." ∗2 X ∗ bói " f " ∗2 ∗ + (" f " ) , n loi đeu theo Đ%nh lý 2.4, ∗ loi đeu, chuan đoi ngau cúa X vi "."n 2 Fréchet đeu theo Đ%nh lý 2.2 bói |"x"| = ∑ 2−n "x " Chú ý rang đao hàm cúa "." n b% ch¾n cácn t¾p hop b% ch¾n "." vi Fréchet đeu "."n 2 Neu xm, ym ∈ X thóa mãn 2|"xm"| + 2|"ym"| − |"xm + ym"| → {xn} b% ch¾n, the khang đ%nh van vói moi chuan "."n, v tự "."n hđi tn eu trờn cỏc b% ch¾n tói ".", ta có .2"xm" 2+ 2"ym"2 − "xm + ym" → Tù "." loi đeu, ta có lim "xm − ym " = Do đó, |"."| loi đeu m→ ∞ Đ%nh lý 2.8 ([13]) Cho (X, ".") không gian Banach loi đeu vói modul ∞ ∑δ loi δ (ε) Neu ∑ xi hđi tn tuyắt oi X, thỡ j= xj < ∞ Ta chúng minh đ%nh lý dna vào bo đe sau Cùng kí hi¾u trên, cho z1, , zn ∈ X Bo đe 2.6 cho n max ∑ εizi ≤ The n ∑δ j εi=±1 z ≤ j=1 Chúng minh Khơng mat tính tong qt, giá sú rang vói sn = n ∑ z j , ta có j= n "sn" ≥ ∑ ε jz j vói moi cách chon cúa ε j = ±1 Khi đó, vói j ∈ {1, , n} j=1 ta thùa nh¾n đieu sau z zj ≤ j = "sn" "sn" (sn − 2z đeu nam BX , ta sn j) "sn" "s s n" (s − z ) n j tù có zj ≤δ n − "sn" ≤1− "sn" sn "sn" sn − z j = − "sn" Bói v¾y, − "sn" Tù δ (ε) hàm không giám δ (sn − 2z j ) sn + (sn − 2z j ) "sn" n ∑ j=1 n δ z j∑ ≤ j=1 n sn − 2z j 1− = n− ∑ j=1 "sn sn − z j " "sn" n ∑ (sn − z j ) ≤ n− "sn" n− = "(n − 1) sn" = "sn" j=1 Chúng minh Đinhl lý 2.8: Có n0 cho n∑ ε j x j ≤ vói moi n > n0 n moi ε j = ±1 Bói v¾y, n < ∞ ∑ δ x j ∑ δ j=n xj j=n0 < vói moi n > n0, j= Ta có đieu phái chúng minh Đieu chí rang moi khơng gian siêu phán xa đeu có the khơng gian đ%nh chuan neu modul loi cúa thóa mãn δ (ε) ≥ kε p vói p ≥ Ta biet rang modul loi cúa không gian Lp (µ) có dang: Neu < p < 2, ton tai kp > cho vói modul loi δp (ε) cúa Lp (µ) ta có δ p (ε) ≥ k p ε , ε ∈ (0, 2] Neu ≤ p < ∞, có kp > cho δp (ε) ≥ kp ε p, ε ∈ (0, 1] ([13]) Neu modul loi cúa không gian Banach X thóa mãn δ (ε) ≥ kε p vói p ≥2 X đoi loai p ([5]) Cơ só chuan tac cúa A p chí rang A p không đoi loai q < p Lp (à) thuđc oi loai ([14]) Nh mđt hắ quỏ tat yeu tù Đ%nh lý 2.8 ta có đưoc neu ≤ p ≤ ∑ xi chuoi hđi tn tuyắt oi Lp [0, 1] thỡ ∑ "xi" < ∞ Đ%nh nghĩa 2.8 Cho X khơng gian đ%nh chuan vơ han chieu M®t dãy {xi} ∞ i=1 X đưoc goi m®t só Schauder cúa X neu vói moi x ∈ X, ton tai dãy ∞ vơ hưóng (ai)i=1 , đưoc goi ∞ toa đ® cúa x, cho x ∑ a ixi i=1 = M®t só Schauder {xi} cúa không gian Banach X đưoc goi núa chuan tac neu < inf "xi" ≤ sup "xi" < ∞ Đ%nh lý 2.9 ([12] , [15]) Cho (X, ".") khơng gian Banach siêu phán xa vói m®t só núa chuan tac Schauder {xi} The thì, ton tai p, q ∈ (1, ∞) n K > cho vói moi x ∑ αixi ∈ X ta có i=1 = ≤ "x" ≤ ∞ ∞ q q K q α i| ∑ |αq i| ∑| i=1 K i=1 Đ%nh lý 2.9 đưoc chúng minh tù Đ%nh lý 2.6 Bo đe 2.6 2.7 Bo đe 2.7 Cho (X , ".") m®t khơng gian Banach vói m®t só núa chuan tac Schauder {xi} Neu X loi đeu, có p ∈ (1, ∞) K > cho vói moi x = ∞ ∑ αixi X ta có "x" ≤ K ∞ ∑ |αi| q q i=1 i=1 Chúng minh Không mat tính tong qt, ta giá sú rang só chuan đ¾t λ = (1 −δ (ε)), δ (ε) bc {xi } modul loi cúa "." Chon p ∈ (1, logλ 2) Trưóc tiên, ta se chí rang có α ∈ (0, 1) tac Chon ε ∈ 0, p cho "x + ty" < + t p vói bat kỳ |t − 1| ≤ α x, y ∈ SX huu han có giá liên tiep Ta có the giá sú rang l = max (sup (x)) < (sup (y)) Cho Pl phép chieu liên ket tac vói {xi} The thì, bc {xi } "x − y" ≥ "Pl (x − y)" = "x" = Do đó, "x − y" ≥ x p có "x + 1.y" < + 1p bc { i} > ε, ta có "x + y" ≤ λ Tù λ p < , ta p Tù hàm "x + ty" liên tnc đeu tai t = vói x, y ∈ SX , ta có α ∈ (0, 1) p cho "x + ty" < + t p vói |t − 1| < α x, y nêu Đ¾t K = Ta can chí rang "Zn" ≤ p n p vói moi vectơ huu α ∑ |αi| K han liên hop zn = i=1 n ∑ αixi Ta tiep tnc bang phương pháp quy nap theo n N i=1 Vói n = 1, ket Giá giá ket q vói n Xét m®t n+1 dãy vectơ khác không zn+1 = ∑ αixi ta chia làm trưòng hop sau: i=1 (1) |α i| ≤ 1"zn+1"; (2) αi0 K "zn+1" vói i ∈ {1, , n + 1} > K Trong trưòng hop đau tiên, đ¾t z0 = 0, zs = n+1 ¸ s i=1 ∑ αixi vói s = 1, , n + 1, ∑ αixi vói s = 0, 1, , n, yn+1 = The "z0" < "y0", "zn+1" ys i=s+1 = > 1 "yn+1", |"zi+1" − "zi "| "zn+1" "zn+1" |"yi+1" − "yi "| K K ≤ ≤ vói i = 1, , n M¾nh đe 2.2 Cho {ξi} {ηi} i=1 n n hai t¾p hop so thnc ε > i=1 Giá sú rang ξ1 < η1, ξn < ηn, |ξi+1 − ξi | < ε, |ηi+1 − ηi | < ε vói i = 1, 2, , n− The thì, có m®t chí so i0 ∈ {1, , n} cho ξi0 − ηi0 < ε Đieu có đưoc bang cách xét chí so đau tiên j mà ξ j > η j Tù khang đ%nh trên, có r ∈ {1, , n} cho |"zr" − "y K r "| ≤ "zn+1" Vì vai trò cúa zr yr nhau, ta có the giá sú rang "zr" ≥ "yr" Tù tính đong nhat, khơng mat tính tong quát giá sú rang "zr" = Tù "yr" ≤ "zr" zn+1 = zr + yr , ta đưoc "zn+1" ≤ the |1 − "yr "| ≤ K = α yr Áp dnng phan đau chúng minh vói x = "yr z r = " p y = y˜r (chú ý rang |1 − t| ≤ α) ta đưoc "zr + ty˜r " < + t p Đ¾t t = "yr " y˜r Do p p p p p "zn+1 " = "zr + yr " = "zr + ty˜r " < + t p = "zr " + "yr " n+1 Theo giá thuyet quy nap, p p "zr" + "yr" ≤ Kp p r ∑ |αi| + K p i=1 ∑ p i=r+1 n+1 |αi| ∑ |αi|p, trưòng hop (1) i=1 Kp Trong trưòng hop (2), giá sú αi0 > "zn+1", ta đưoc K p n+1 p "zn+1" ≤ K αi0 ∑ |αi| ≤K p Bói v¾y ta có "zk+1" ≤ i=1 V¾y, quy nap tói bưóc n + Bo đe 2.6 đưoc chúng minh Bo đe 2.8 Cho (X , ".") m®t khơng gian Banach vói m®t só núa chuan tac Schauder {xi} Neu "." trơn đeu, có q ∈ (1, ∞) L > cho ∞ vói moi x = ∑ αixi X ta có "x" ≥ L ∞ ∑ |αi| q q i=1 i=1 Chúng minh Cho fi hàm song trnc giao vói xi The thì, { fi} m®t fi (xi) ∗ ≥ só Schauder cúa X X phán xa theo Đ%nh lý 2.4 Ta có " fi" "xi" ≥ , " fi" ≤ 2bc {xi }, búi vắy { fi} l mđt c sú nỳa chuan tac Tù sup chuan "xi" ∗ đoi ngau "." cúa X ∗ loi đeu theo Đ%nh lý 2.2, ta có the sú dnng Bo đe 2.6 cho só Schauder { fi} cúa X ∗ Bói v¾y, có p ∈ (1, ∞) K > cho vói moi f = ∞ ∑ βi f i ∈ X K ∗ ∗ ta có " f " ≤ ∞ ∑ |βi| p i=1 p p i=1 Ta nh¾n đ%nh rang L = chí so đoi q K = p−1 n n cúa Bo đe 2.7 Th¾t v¾y, cho zn = |gn (zn)| g"zn" ≤ " n≤" ∑ βi fi ∈ X ∗ The ∑ αixi gn = i=1 i=1 K β n p ∑ | i| i=1 n thóa mãn ket lu¾n p |gn (zn)| Bói v¾y, "zn" ≥ K n ∑ |βi| p p αi βi ∑ i=1 = K p n p ∑ |βi| i=1 Chon βi = |αi| p−1 i=1 sign (αi) vói i = 1, , n Khi ta có n ∑| i=1 αi | "zn" ≥ K n K ∑ | α i| i=1 Ta có đieu phái chúng minh p p−1 1 = p p−1 p n ∑ |αi| i=1 q q KET LU¾N Đe tài “Khơng gian đ%nh chuan loi đeu” trình bày tong quan ve modul loi, không gian đ%nh chuan loi đeu sn bieu dien huu han không gian đ%nh chuan loi đeu Đong thòi chí tính chat quan cúa không gian đ%nh chuan loi đeu m®t so ví dn minh hoa Cn the là: Chng 1: Trỡnh by hắ thong mđt so kien thỳc chuan b% ve không gian đ%nh chuan, không gian Banach khơng gian Hilbert Chương 2: Trình bày ve khơng gian đ%nh chuan loi đeu sn bieu dien huu han không gian đ%nh chuan loi đeu TÀI LIfiU THAM KHÃO 1.Tieng Vi¾t [1] Nguyen Phn Hy (2006), Giái tích hàm, Nxb Khoa hoc ky thu¾t [2] Nguyen Văn Khuê, Lê M¾u Hái (2004), Bài t¾p giái tích hàm, Nxb Đai hoc Quoc gia Hà N®i [3] Đo Văn Lưu (1999), Giái tích hàm, Nxb Khoa hoc Ky Thuắt, H Nđi [4] Hong Tny (2000), Hm thnc giái tích hàm, Nxb Đai hoc Quoc gia Hà N®i 2.Tieng Anh [5] Deville, R, Godefroy, G, and Zizler, V (1993), Smootheness and Renormings in Banach spaces, Pitman Monographys 64, Pitman, New York [6] Dvoretzky, A (1961), Some results on convex bodies and,Banach spaces, Jerasalem, pp 123 − 160 [7] Diestel, J (1975), Geometry of Banach spaces, Slected Topics, Lecture Notrs in Mathematics 485, Springer-Verlag, Berlin [8] Enflo, P, Lindenstrauss, J, and Pisier, G (1975), On the tree space problem, Math Scand 36, 189 − 210 [9] Fabian, M, Habala, P, Hajek, P, Montesinos Santalucia, V,Pelant, J, Zizler, V.(2001), Functional Analysis and Infinite Dimensional Geometry, Springer-Verlag New York, Inc [10] Figiel, T (1976), On the moduli of convexity and smoothness, Stud Math 66, 121 − 155 [11] Figiel, T, Lindenstrauss, J and Milman, V.D (1977),The dimension of almost spherical sections of convex bodies, Acta Math 139, 53 − 94 [12] Gurarii, V.I and Gurarii, N.I (1971), On bases in uniformly convex and uniformly smooth spaces, Izv Akad Nauk SSSR Ser Mat 35, 210 − 215 [13] Kadec, M.I (1956), Unconditional convergence of serries in uniformly Convex spaces, Usp Mat Nauk SSSSR 11, 185 − 190 [14] Lindenstrauss, J and Tzafriri, L (1979), Classical Banach Spaces II Classical Banach Spaces II, Function Spaces, New York [15] James, R.C (1972), Supperreflexive spaces with bases, Pac J Math 41 − 42, 409 − 419 [16] James, R.C (1972), Some Self – Dual Properties of Normed Linear Spaces, Sym – posium on Infinite – Dimensional Topology, Annals of Mathematical Sudies 69, 159 − 175 [17] Johnson, W.B, Rosenthal, H.P and Zippin, M (1971),On bases, finite Dimensional decompositions and weaker structures in Banach spaces, Isr J Math 9, 488 − 506 ... không gian X không gian liên hop (hay không gian đoi ngau) cúa khơng gian X ký hi¾u X ∗ Ta có khơng gian liên hop X ∗ cúa không gian đ%nh chuan X không gian Banach Không gian liên hop cúa không gian. .. khơng gian A p khơng gian Lp tách đưoc Không gian c c0 không gian tách đưoc 3 Không gian A∞ không gian L∞ không tách đưoc Không gian C [0, 1] tách đưoc M¾nh đe 1.5 1 Vói p ∈ [1, ∞], khơng gian. .. gian Banach Không gian c c0 không gian đóng cúa A∞ chúng không gian banach Không gian Lp , Lp (µ) khơng gian Banach vói p ∈ [1, ∞) Khơng gian L∞ khơng gian banach M¾nh đe 1.6 Cho X, Y không gian