2.1.3 Định lý Hahn-Banach cho không gian định chuẩn Cho X khơng gian định chuẩn � Một tốn tử tuyến tính liên tục X vào � gọi phiếm hàm tuyến tính liên tục X Ta thường kí hiệu phiếm hàm tuyến tính liên tục f, g, Với phiếm hàm tuyến tính liên tục f X, chuẩn X ính f = sup f (x) = sup f (x) = sup x £1 x =1 x¹ f (x) x Định lý sau cho thấy tồn thác triển không tăng chuẩn phiếm hàm tuyến tính liên tục khơng gian định chuẩn Định lý 2.3: Cho X không gian định chuẩn, L khơng gian X Khi với phiếm hàm tuyến tính liên tục f L, tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục F X cho F L =f F = f Chứng minh p(x) = f x , với x ∈X Đặt Khi p nửa chuẩn X f (x) £ f x = p(x) với x∈L Theo định lý Hahn-Banach cho không gian tuyến tính, tồn phiếm hàm tuyến tính F X cho F L =f F(x) £ p(x) với x∈X Hiển nhiên F(x) £ p(x) = f x với x∈X F £ f Suy F giới nội f £ F Ngoài ra, F thác triển f nên F = f Như Định lý chứng minh Định lý 2.3 gọi định lý Hahn-Banach cho không gian định chuẩn Hệ 2.4: Với phần tử x≠0 không gian định chuẩn X, tồn F( x) = x F =1 phiếm hàm tuyến tính giới nội F X cho Chứng minh Kí hiệu L khơng gian tuyến tính sinh x định sau: f : L®K phiếm hàm xác f (y) = l x với y=λx ∈ L f = 1, f (x) = x Khi f phiếm hàm tuyến tính giới nội L Theo định lý Hahn-Banach cho không gian định chuẩn, tồn phiếm hàm tuyến F tính giới nội F X cho L =f F = f =1 F(x) = f (x) = f =1 Hiển nhiên Hệ chứng minh Hệ 2.5: Cho L không gian không gian định chuẩn X r (x, L) = inf y - x > x∈X cho L Khi tồn phiếm hàm tuyến tính F = 1/ r (x, L) liên tục F X cho F(x)=1, F(y)=0 với y ∈ L Chứng minh Gọi H khơng gian tuyến tính sinh L∪{x} Khi với z ∈ L z có biểu diễn z=λx + y, λ ∈ �, z∈ L Xét phiếm hàm f : H®K xác định f(z)= λ, với z=λx + y ∈ H Dễ chứng minh f phiếm hàm tuyến tính H f(x)=1, f(y)=0 với y∈L Ngoài ra, với z=λx + y ∈ H y l x +y l = £ z r (x, L) r (x, L) r(x, L) l x+ f (z) = f (l x + y) = l £ Kéo theo f giới nội H Ta tớnh chun ca f: f = sup 0ạ zẻ H f (z) f (l x + y) = sup = sup z l x +y yẻ L,l yẻ L,l = sup yẻ L,l x+ y l = l l x+ y l r (x, L) Theo định lý Hahn-Banach cho không gian định chuẩn, tồn phiếm hàm tuyến giới nội F X cho F L =f F = f ; = r (x, L) Hệ chứng minh ... Như Định lý chứng minh Định lý 2.3 gọi định lý Hahn-Banach cho không gian định chuẩn Hệ 2.4: Với phần tử x≠0 không gian định chuẩn X, tồn F( x) = x F =1 phiếm hàm tuyến tính giới nội F X cho. .. khơng gian tuyến tính sinh x định sau: f : L®K phiếm hàm xác f (y) = l x với y=λx ∈ L f = 1, f (x) = x Khi f phiếm hàm tuyến tính giới nội L Theo định lý Hahn-Banach cho không gian định chuẩn, ... tuyến F tính giới nội F X cho L =f F = f =1 F(x) = f (x) = f =1 Hiển nhiên Hệ chứng minh Hệ 2.5: Cho L không gian không gian định chuẩn X r (x, L) = inf y - x > x∈X cho L Khi tồn phiếm hàm