2. Định lý HanhBanach cho không gian định chuẩn Cho X là một không gian định chuẩn trên K. Một toán tử tuyến tính liên tục X vào k được gọi là một phiến hàm tuyến tính liên tục trên X. Ta thường ký hiệu các phiếm hàm tuyến tính liên tục là f, g, .... Với một phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên X, chuẩn của f được tính bởi Định lý sau đây cho thấy sự tồn tại thác triển không tăng chuẩn của một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên một không gian định chuẩn.
Dạng giải tích định lý Hahn - Banach Định lý Hahn - Banach cho khơng gian tuyến tính thực Cho X khơng gian tuyến tính trường K Hàm số φ: X → R thỏa mãn φ(λx) = λφ(x) φ(x + y) ≤ φ(x) + φ(y) với x, y � X λ ≥ 0, gọi phiếm hàm tuyến tính X Từ định nghĩa suy φ(0) = Để chứng minh định lý Hahn - Banach, trước hết ta nhắc lại quan hệ thứ tự tập hợp tiên đề Zorn Cho S tập hợp, S ta trang bị quan hệ, ký hiệu “≤”, thỏa mãn: a ≤ a; a ≤ b b ≤ c a ≤ c; a ≤ b b ≤ a a = b, với a, b, c � S Khi “≤” gọi quan hệ thứ tự S S gọi thứ tự phần theo quan hệ Cho P � S tập S, a, b � P, ta ln có quan hệ a ≤ b b ≤ a P gọi thứ tự tuyến tính (trong S) Với tập S thứ tự phần, ta nói a � S phần tử tối đại S với b � S mà a ≤ b a = b Với tập P � s, ta nói a �S cận P b � P, ta ln có b ≤ a Tiên đề Zorn: Nếu S tập thứ tự phần tập thứ tự tuyến tính S có cận S có phần tử tối đại Định lý: Cho X khơng gian tuyến tính thực, L khơng gian tuyến tính X, φ phiếm hàm tuyến tính X Khi với phiếm hàm tuyến tính f: L → R thỏa mãn f(x) ≤ φ(x) với x � L, tồn phiếm hàm tuyến tính F: X → R cho F\L = f, F(x) ≤ φ(x) với x � X Chứng minh: Kí hiệu X’L tập hợp tất phiếm hàm tuyến tính g xác định khơng gian Lg chứa L X, cho g\L = f g(x) ≤ φ(x) với x � Lg Khi X’L ≠ � f � X’L Ta trang bị cho X’L quan hệ thứ tự phần sau: Với g1, g2 �X’L, g1 ≤ g2 xác định trên X’L Lg1 , g2 xác định Lg2 Lg1 �Lg2 g2\ Lg1 = g1, g1 Khi “≤” quan hệ thứ tự phần Bổ đề: Nếu P tập thứ tự tuyến tính X’L P có cận Chứng minh: Với g � X’L, ta kí hiệu Lg tập xác định g Hiển nhiên L � Lg với g � P Đặt LP U Lg g�P Do tính thứ tự tuyến tính P nên với x, y �LP tùy ý, tồn g �P cho x, y �Lg x �Lg y �Lg khơng gian tuyến tính chứa L X (vì , , g1 , g �P , g1 �g hay g �g1 , nghĩa x, y �Lg1 x, y �Lg2 ) Do LP khơng gian tuyến tính X , L �LP Lg �LP với g �P Chú x �Lg �Lg ý rằng, P thứ tự tuyến tính nên g1 ( x) g ( x) Gọi gˆ : LP � � phiếm hàm xác định sau: với x �LP , tồn g �P cho x �Lg , gˆ ( x) g ( x) Ta chứng minh gˆ tuyến tính Thật vậy, với x, y �LP tùy ý, tồn g �P cho x, y �Lg , với , ��, ta có gˆ ( x y ) g ( x y ) g ( x ) g ( x ) gˆ ( x ) gˆ ( y ) x �Lg Như gˆ tuyến tính Ngồi ra, với x �LP , tồn g �P cho , ˆ g ( x ) g ( x ) � ( x ) Kéo theo gˆ ( x ) � ( x) với x �LP Như gˆ �X L�và g �gˆ với g �P , tức gˆ lân cận P Bổ đề chứng minh Ta tiếp tục chứng minh định lý, theo tiên đề Zorn, tồn phân tử tối đại X L� Gọi F phần tử tối đại X L�, F phiếm hàm tuyến tính xác định khơng gian H X thỏa mãn L �H F L f , F ( x) � ( x) với x �H Ta cần chứng minh X H Giả sử X \ H ��, tồn x0 �X \ H Với x1 , x2 �H , ta có F ( x1 ) F ( x2 ) F ( x1 x2 ) � ( x1 x2 ) ( x1 x0 ( x2 x0 )) � ( x1 x0 ) ( x2 x0 ) Suy F ( x2 ) ( x2 x0 ) � ( x1 x0 ) F ( x1 ) với x1 , x2 �H Kéo theo sup F ( x ) ( x x0 ) �inf ) x x0 ) F ( x) x�H x�H (2.1) Gọi số thực thỏa mãn � � H1 khơng gian tuyến tính sinh H � x0 Khi với y �H1 , y biểu diễn dạng y x x0 , x �H , �� Gọi g phiếm hàm xác định H1 xác định sau g ( y ) g ( x x0 ) F ( x ) Khi dễ chứng minh g phiếm hàm tuyến tính xác định H1 g H F Ta chứng minh g ( y ) � ( y ) với y �H1 g F Thật vậy, y �H1 từ H g ( y ) F ( y) � ( y) với y �H Nếu y �H1 \ H , y x x0 �H1 , x �ιH , �, Từ (2.1) ta có x x x x F ( ) ( x0 ) � � ( x0 ) F ( ) Trường hợp , sử dụng bất đẳng thức thứ hai bất đẳng thức kép , ta có + F(x) Tương đương với + F(x) Điều kéo theo Nếu , sử dụng bất đẳng thức thứ nhất, ta có Suy với y Như F F , mâu thuẫn với tính tối đại F Suy X = H F phiếm hàm thỏa mãn định lý Định lý hahn-banach cho khơng gian tuyến tính Cho X khơng gian tuyến tính trường K Hàm số thỏa mãn = ; Với , gọi nửa chuẩn X Từ định nghĩa nửa chuẩn, ta có tính chất đơn giản sau Trong Sau ta xem xét dạng định lý Hanhn-Banach cho khơng gian tuyến tính Định lý 2.2 cho X khơng gian tuyến tính K, L khơng gian tuyến tính X p ột nửa chuẩn X Khi với phiếm hàm tuyến tính thỏa mãn với , Tồn phiếm hàm tuyến tính cho với Chứng minh: X khơng gian tuyến tính thực L khơng gian tuyến tính thực, phiếm hàm tuyến tính thực L Do p nửa chuẩn p phiếm hàm duyến tính suy với theo định lý 2.1, tồn phiếm hàm tuyến tính thực F X cho với Do , kết hợp với bất đẳng thức ta có với Nếu X khơng gian tuyến tính phức L khơng gian tuyến tính phức phiếm hàm tuyến tính phức L Khi tồn hai phiếm hàm tuyến tính thực L, cho với (2.2) Mặt khác, tính chất tuyến tính , ta có Suy (2.3) Từ (2.2) (2.3), ta có f1 x f1 ix Thế vào (2.2) ta f x f1 x if1 ix với x �L (2.4) Chú ý rằng, tập hợp phần tử khơng gian tuyến tính phức, ta xét phép tốn nhân vơ hướng số thực ta khơng gian tuyến tính thực Ký hiệu X R , L R không gian tuyến tính thực xuất phát từ X, L cách Hiển nhiên F1 |LR f1 | F1 ( x ) |�p( x) với x �X R Với x �X X R , đặt F ( x) F1 ( x) iF1 ix Khi F phiến hàm phức X F |L f Tiếp theo ta chứng minh F ( x) �p( x) với x �X Thật vậy, giả sử F ( x) rei , | F(x) | F ( x)ei F (ei x), | F(x) | F (ei x) F1 (ei x) �p(ei x) | e i | p(x) p(x) Như F phiếm hàm cần tìm Định lý chúng minh Định lý Hanh-Banach cho không gian định chuẩn Cho X không gian định chuẩn K Một tốn tử tuyến tính liên tục X vào k gọi phiến hàm tuyến tính liên tục X Ta thường ký hiệu phiếm hàm tuyến tính liên tục f, g, Với phiếm hàm tuyến tính liên tục f X, chuẩn f tính | f ( x) | PxP� Px P P f P sup | f ( x) | sup | f ( x) | sup Px P� Px P1 Định lý sau cho thấy tồn thác triển không tăng chuẩn phiếm hàm tuyến tính liên tục khơng gian định chuẩn Định lý Cho X không gian định chuẩn, L không gian X Khi với phiếm hàm tuyến tính liên tục f L, tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục F X cho F |L f P F PP f P Chứng minh: Đặt p( x) P f P Px P, với x �X Khi p nửa chuẩn X | f(x) |�Pf P Px P p(x) với x �L Theo Định lý trên, tồn phiếm hàm tuyến tính F X cho F |L f | F( x) |�p( x) với x �X Hiển nhiên | F( x) |�p ( x) P f P Px P với x �X Suy F giới nội P F P�P f P Ngoài ra, F thác triển f nên P f P�P F P Như P F PP f P Định lý chứng minh Định lý gọi định lý Hanh-Banach (cho không gian định chuẩn) Dựa vào định lý ta có hệ sau: Hệ 2.4: Với phần tử x≠0 không gian định chuẩn X, tồn phiếm hàm tuyến tính giới nội F X cho F = F ( x ) = x Chứng minh Kí hiệu L khơng gian tuyến tính sinh x f : L � K phiếm hàm xác định sau: f (y) = l x với y=λx ∈ L Khi f phiếm hàm tuyến tính giới nội L f = 1, f (x) = x Theo định lý Hahn-Banach cho không gian định chuẩn, tồn phiếm hàm tuyến tính giới nội F X cho F L = f F = f =1 Hiển nhiên F(x) = f (x) = f =1 Hệ chứng minh Hệ 2.5: Cho L không gian không gian định chuẩn X x∈X cho r (x, L) = inf y - x > y�L Khi tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục F X cho F(x)=1, F(y)=0 với y ∈ L F = / r(x, L) Chứng minh Gọi H khơng gian tuyến tính sinh L∪{x} Khi với z ∈ L z có biểu diễn z=λx + y, λ ∈ �, z∈ L Xét phiếm hàm f : H � K xác định f(z)= λ, với z=λx + y ∈ H Dễ chứng minh f phiếm hàm tuyến tính H f(x)=1, f(y)=0 với y∈L Ngồi ra, với z=λx + y ∈ H y l x +y l f (z) = f (l x + y) = l � = � z r (x, L) r (x, L) r(x, L) l x+ Kéo theo f giới nội H Ta tính chuẩn f: f = sup 0�z�H f (z) f (l x + y) = sup = sup z l x +y y�L,l �0 y�L,l �0 = sup y�L,l �0 x+ y l = l l x+ y l r (x, L) Theo định lý Hahn-Banach cho không gian định chuẩn, tồn phiếm hàm tuyến giới nội F X cho F L =f F = f ; = r (x, L) Hệ chứng minh 2.1.3 Định lý Hahn-Banach cho không gian định chuẩn Cho X không gian định chuẩn � Một tốn tử tuyến tính liên tục X vào � gọi phiếm hàm tuyến tính liên tục X Ta thường kí hiệu phiếm hàm tuyến tính liên tục f, g, Với phiếm hàm tuyến tính liên tục f X, chuẩn X ính f = sup f (x) = sup f (x) = sup x �1 x =1 x �0 f (x) x Định lý sau cho thấy tồn thác triển không tăng chuẩn phiếm hàm tuyến tính liên tục khơng gian định chuẩn Định lý 2.3: Cho X không gian định chuẩn, L khơng gian X Khi với phiếm hàm tuyến tính liên tục f L, tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục F X cho F L =f F = f Chứng minh Đặt p(x) = f x , với x ∈X Khi p nửa chuẩn X f (x) � f x = p(x) với x∈L Theo định lý Hahn-Banach cho không gian tuyến tính, tồn phiếm hàm tuyến tính F X cho F L =f F(x) �p(x) với x∈X Hiển nhiên F(x) �p(x) = f x với x∈X Suy F giới nội F � f Ngoài ra, F thác triển f nên f � F Như F = f Định lý chứng minh Định lý 2.3 gọi định lý Hahn-Banach cho không gian định chuẩn Hệ 2.4: Với phần tử x≠0 không gian định chuẩn X, tồn phiếm hàm tuyến tính giới nội F X cho F = F ( x ) = x Chứng minh Kí hiệu L khơng gian tuyến tính sinh x f : L � K phiếm hàm xác định sau: f (y) = l x với y=λx ∈ L Khi f phiếm hàm tuyến tính giới nội L f = 1, f (x) = x Theo định lý Hahn-Banach cho không gian định chuẩn, tồn phiếm hàm tuyến tính giới nội F X cho F L = f F = f =1 Hiển nhiên F(x) = f (x) = f =1 Hệ chứng minh Hệ 2.5: Cho L không gian không gian định chuẩn X x∈X cho r (x, L) = inf y - x > y�L Khi tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục F X cho F(x)=1, F(y)=0 với y ∈ L F = / r(x, L) Chứng minh Gọi H khơng gian tuyến tính sinh L∪{x} Khi với z ∈ L z có biểu diễn z=λx + y, λ ∈ �, z∈ L Xét phiếm hàm f : H � K xác định f(z)= λ, với z=λx + y ∈ H Dễ chứng minh f phiếm hàm tuyến tính H f(x)=1, f(y)=0 với y∈L Ngoài ra, với z=λx + y ∈ H y l x +y l f (z) = f (l x + y) = l � = � z r (x, L) r (x, L) r(x, L) l x+ Kéo theo f giới nội H Ta tính chuẩn f: f = sup 0�z�H f (z) f (l x + y) = sup = sup z l x +y y�L,l �0 y�L,l �0 = sup y�L,l �0 x+ y l = l l x+ y l r (x, L) Theo định lý Hahn-Banach cho không gian định chuẩn, tồn phiếm hàm tuyến giới nội F X cho F L =f F = f ; = r (x, L) Hệ chứng minh ... P�P F P Như P F PP f P Định lý chứng minh Định lý gọi định lý Hanh- Banach (cho không gian định chuẩn) Dựa vào định lý ta có hệ sau: Hệ 2.4: Với phần tử x≠0 không gian định chuẩn X, tồn phiếm... ra, F thác triển f nên f � F Như F = f Định lý chứng minh Định lý 2.3 gọi định lý Hahn -Banach cho không gian định chuẩn Hệ 2.4: Với phần tử x≠0 không gian định chuẩn X, tồn phiếm hàm tuyến tính... r (x, L) Theo định lý Hahn -Banach cho không gian định chuẩn, tồn phiếm hàm tuyến giới nội F X cho F L =f F = f ; = r (x, L) Hệ chứng minh 2.1.3 Định lý Hahn -Banach cho không gian định chuẩn Cho