(Luận văn thạc sĩ) toán tử tuyến tính xác định trù mật và l2 đánh giá cho phương trình a

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - NGUYỄN THỊ MAI TỐN TỬ TUYẾN TÍNH XÁC ĐỊNH TRÙ MẬT VÀ L2 ĐÁNH GIÁ CHO PHƯƠNG TRÌNH ∂¯ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - NGUYỄN THỊ MAI TỐN TỬ TUYẾN TÍNH XÁC ĐỊNH TRÙ MẬT VÀ L2 ĐÁNH GIÁ CHO PHƯƠNG TRÌNH ∂¯ Chun ngành TỐN GIẢI TÍCH Mã số 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN THẠC DŨNG Hà Nội - 2016 Mục lục Lời cảm ơn Lời mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Toán tử xác định trù mật không gian Hilbert 1.2 Không gian L2p,q (Ω, ϕ) toán tử ∂ xác định trù mật 16 L2 đánh giá cho phương trình ∂ 2.1 Các kết xấp xỉ 2.2 Phương pháp L2 đánh giỏ Hăormander gii phng trỡnh Tài liệu tham khảo 30 30 40 50 Lời cảm ơn Để luận văn hoàn thành, trước hết em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo - TS Nguyễn Thạc Dũng, người tận tình hướng dẫn, bảo em suốt thời gian làm luận văn Sự dạy thầy kiến thức cách làm việc giúp em nhiều trình học tập làm việc sau Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới lãnh đạo toàn thể thầy giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, trường ĐH Khoa học Tự Nhiên - ĐH Quốc gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Cuối em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè chia sẻ, động viên, giúp đỡ tạo điều kiện để em hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý từ phía thầy bạn bè Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng 11 năm 2016 Nguyễn Thị Mai Lời mở đầu Cho f dạng vi phân song bậc (p, q) với hệ số bình phương khả tích ứng với độ đo Lebesgue có trọng đó, việc giải phương trình ¯ =f ∂α tìm dạng vi phân α song bậc (p, q) với hệ số không gian ¯ = f nghiệm theo nghĩa suy Hilbert xác định cho đẳng thức ∂α rộng cổ điển Phương trình ∂¯ phương trình quan trọng lý thuyết hàm chỉnh hình nhiều biến phức Việc giải phương trình ∂¯ gắn liền với tốn xác định hàm chỉnh hình, tốn thác triển hàm chỉnh hình, xác định nhóm đối đồng điều Dolbeaux miền chỉnh hình, Bởi tính quan trọng phương trình ∂¯ giải tích phức nhiều biến, hình học phức tơ pơ, tốn giải phương trình ∂¯ tìm ứng dụng thu hút sư quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học lớn giới Trong năm 1965, báo ting [2], Hăormander ó a mt li gii rt đẹp, tự nhiên sáng sủa cho toán tồn nghiệm, quy hóa nghiệm phương trình ∂¯ phương pháp lý thuyết giải tích hàm khơng gian Hilbert Nhận thấy rằng, tốn tử ∂¯ tốn tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật không gian Hilbert xác định Hăormander ó chng minh mt lot cỏc c lng L2 đánh giá vận dụng ước lượng với lý thuyết tốn tử khơng gian Hilbert để giải trọn vẹn toán tồn quy hóa nghiệm cho phương trình ∂¯ nói Ngay sau phương pháp L2 đánh giá Hormander giới thiệu, có nhiều thành tựu phát triển phương pháp nói ngày nhiều ứng dụng phương pháp L2 đánh giá phỏt hin Phng phỏp L2 ỏnh giỏ Hă ormander l cơng cụ quan trọng hình học phức, hình học đại số, lý thuyết đa vị, tô pô nhiều lĩnh vực khác Nội dung luận văn trình bày lại phn phng phỏp L2 ỏnh giỏ Hăormander da trờn ti liệu tham khảo [1] Đây sách diễn gii tt phng phỏp ca Hăormander Ngi c cú th tham kho thờm bi bỏo gc ca Hăormander [2] v cun sỏch chuyờn kho [3] cng ca Hăormander tỡm hiểu thêm kết L2 đánh ứng dụng giải tích phức nhiều biến lý thuyết Luận văn trình bày lại cách chi tiết chặt chẽ phần kết chương hai sách [1] Tuy nhiên, luận văn khơng phải trình bày lại hồn tồn mục theo thứ tự tài liệu [1] mà luận văn này, tác giả xếp lại nội dung đưa thêm lập luận, dẫn giải để người đọc dễ theo dõi thấy dễ hiểu Về mặt cấu trúc, luận văn chia thành hai chương Trong chương một, tác giả trình bày lại kết lý thuyết tốn tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật khơng gian Hilbert Sau đó, tác giả trình bày kết không gian Hilbert L2(p,q) (Ω, ϕ)-các dạng vi phân song bậc (p, q) với hệ số bình phương khả tích ứng với độ đo e−ϕ dV , Ω miền mở Cn dV độ đo Lebesgue Ω, ϕ hàm trơn Ω Tác giả chứng minh mục hai chương toán tử ∂¯ tốn tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật từ không gian Hilbert L2(p,q) (Ω, ϕ1 ) vào không gian Hilbert L2(p,q+1) (Ω, ϕ2 ) với ϕ1 , ϕ2 hàm trơn Ω Trong chương hai, ¯ = f Cụ tác giả trình bày L2 ỏnh giỏ Hăormander v gii phng trỡnh th, mục chương này, tác giả chứng minh dạng vi phân không gian L2(p,q+1) (Ω, ϕ2 ) xấp xỉ dạng vi phân song bậc (p, q + 1) với hệ số hàm trơn có giá compact với chuẩn đồ thị GT tự nhiên (xem chi tiết Định nghĩa 2.9) Nhờ xấp xỉ này, mục hai, tác giả chứng minh hệ thức L2 cho dạng vi phân f ∈ L2(p,q) (Ω, ϕ) Theo lý thuyết tốn tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật, hệ thức đảm bảo điều kiện cần đủ cho tồn nghiệm phương trình ∂¯ Chương hai kết thúc việc chứng minh tồn nghiệm phương trình ∂¯ Vì thời gian kiến thức có hạn, hạn chế không gian luận văn, tác giả chưa thể trình bày tốn quy hóa nghiệm cho phương trình ∂¯, trình bày ứng dụng phương pháp Các độc giả muốn quan tâm thêm tham khảo tài liệu [1, 2, 3] nói Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại vài kiến thức toán tử xác định trù mật khơng gian Hilbert Sau đó, giới thiệu không gian Hilbert L2(p,q) (Ω, ϕ) dạng vi phân song bậc (p, q) bình phương khả tích Chúng ta định nghĩa tốn tử ∂¯ khơng gian L2(p,q) (Ω, ϕ) chứng minh toán tử ∂¯ tốn tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật 1.1 Tốn tử xác định trù mật khơng gian Hilbert Cho H H không gian Hilbert trường số phức Ta kí hiệu tích vô hướng H (x, y)1 với x, y ∈ H tích vơ hướng H (x, y)2 với x, y ∈ H Cho D ⊂ H tập trù mật H cho T : D → H tốn tử tuyến tính Khi ta ký hiệu miền xác định miền giá trị toán tử T D = DT , T (D) = RT Nếu miền xác định T trù mật không gian H , ta nói T tốn tử tuyến tính xác định trù mật Xuyên suốt mục ta giả thiết T tốn tử tuyến tính xác định trù mật Định nghĩa 1.1 Cho T : D → H tốn tử tuyến tính Đồ thị GT T định nghĩa nghĩa sau GT = {(x, T x)|x ∈ DT } ⊂ H × H Ta nói T tốn tử đóng đồ thị GT khơng gian đóng H × H Định nghĩa 1.2 Cho y ∈ H Ta nói y ∈ DT ∗ tồn số c = c(y) > cho với ∀x ∈ DT , ta có |(T x, y)2 | ≤ c||x||1 Từ định nghĩa, ta nhận thấy DT ∗ không gian H Thật vậy, dễ thấy DT ∗ ⊂ H Giả sử y1 , y2 ∈ DT ∗ , với x ∈ DT , ta có |(T x, αy1 + βy2 )2 | = |(T x, αy1 )2 + (T x, βy2 )2 | ≤ |α(T x, y1 )2 | + |β(T x, y2 )2 | ≤ c1 |α|||x||1 + c2 |β|||x||1 ≤ (c1 |α| + c2 |β|)||x||1 Tức αy1 + βy2 ∈ DT ∗ Vì vậy, DT ∗ không gian H Do T tốn tử tuyến tính xác định trù mật, để định nghĩa toán tử liên hợp T ∗ , ta cần bổ đề sau Bổ đề 1.3 Với y ∈ DT ∗ tồn z ∈ H cho (x, z)1 = (T x, y)2 với ∀x ∈ DT Đặt z = T ∗ y , T ∗ : DT ∗ → H tốn tử tuyến tính thỏa mãn (x, T ∗ y)1 = (T x, y)2 (1.1) với ∀x ∈ DT , y ∈ DT ∗ Chứng minh Với y ∈ DT ∗ cố định với x ∈ DT , xét phiếm hàm ϕ(x) = (T x, y)2 Dễ thấy T tuyến tính nên ϕ tuyến tính Do y ∈ DT ∗ , ta có |ϕ(x)| = |(T x, y)2 | ≤ c||x||1 với c số phụ thuộc vào y Do vậy, ϕ phiến hàm tuyến tính bị chặn DT Mặt khác, DT trù mật H nên với x ∈ H tồn dãy xν ∈ DT cho xν → x Ta có |ϕ(xν ) − ϕ(xµ )| = |(T (xν ) − Tµ )| ≤ c||xv − xµ || → (ν, µ → ∞) Do {ϕ(xv )} dãy Cauchy hội tụ Vì thế, ta định nghĩa ϕ(x) = lim ϕ(xν ) ν→∞ Giả sử {xν }, {xν } ⊂ H cho xν → x, xν → x, ta có |ϕ(xν ) − ϕ(xν )| = (T (xν − xν ), y)2 ≤ c xν − xν ≤ c xν − x + c xν − x → (khi ν → ∞) Do ϕ(x) hồn tồn xác định khơng phụ thuộc vào dãy {xν } Do vậy, ta thác triển ϕ thành phiến hàm tuyến tính bị chặn H Theo định lý biểu diễn Riesz, tồn z ∈ H cho ϕ(x) = (x, z)1 với ∀x ∈ H Ta định nghĩa T ∗ y = z Từ định nghĩa ϕ, với y ∈ DT ∗ , ta có (x, T ∗ y) = (x, z)1 = ϕ(x) = (T x, y)2 , ∀x ∈ DT Tiếp theo, ta chứng minh T ∗ tuyến tính Thật vậy, với y1 , y2 ∈ DT ∗ x ∈ DT ta có (x, T ∗ (y1 + y2 ))1 = (T x, y1 + y2 )2 = (T x, y1 )2 + (T x, y2 )2 = (x, T ∗ y1 )1 + (x, T ∗ y2 )1 = (x, T ∗ y1 + T ∗ y2 )1 Chú ý DT trù mật H , ta có T ∗ (y1 + y2 ) = T ∗ y1 + T ∗ y2 Tương tự, ta có T ∗ (αy) = αT ∗ y với α ∈ C, y ∈ DT ∗ Do vậy, T ∗ tốn tử tuyến tính Từ Bổ đề 1.4 đến Bổ đề 1.6 đây, ta chứng minh T toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật T ∗ tốn tử tuyến tính đóng, xác định trù mật Trước hết, ta chứng minh T ∗ tốn tử đóng T tốn tử tuyến tính xác định trù mật Bổ đề 1.4 T ∗ : DT ∗ → H toán tử đóng Chứng minh Để chứng minh T ∗ : DT ∗ → H tốn tử đóng ta chứng minh GT ∗ = {(y, T ∗ y)|y ∈ DT ∗ } ⊂ H × H đóng Nói cách khác, giả sử (yn , xn ) ∈ GT ∗ , (yn , xn ) → (y0 , z0 ), ta chứng minh (y0 , z0 ) ∈ GT ∗ Thật vậy, (yn , xn ) ∈ GT ∗ nên yn ∈ DT ∗ zn = T ∗ yn Vì zn hội tụ đến z0 nên {zn } bị chặn, tồn số M > cho ||zn || < M với ∀n Với x ∈ DT , ta có |(T x, yn )2 | = |(x, zn )1 | ≤ ||x||||zn || ≤ M ||x||1 Cho n → ∞, ta có |(T x, y0 )2 | ≤ M ||x||1 , điều có nghĩa y0 ∈ DT ∗ Mặt khác, với x ∈ DT cố định, ta có |(x, T ∗ yn )1 − (x, T ∗ y0 )1 | = |(T x, yn )2 − (T x, y0 )2 | = |(T x, yn − y0 )2 | ≤ ||T x||2 ||yn − y0 ||0 → n → ∞ Do vậy, với x ∈ DT cố định, ta có lim (x, zn )1 = (x, T ∗ y0 )1 Mặt khác, tích n→∞ vơ hướng liên tục, ta nhận (x, z0 )1 = lim (x, zn ) = (x, T ∗ y0 )1 (∀x ∈ DT ) n→∞ Điều chứng tỏ z0 = T ∗ y0 , (y0 , z0 ) ∈ GT ∗ , nghĩa GT ∗ đóng Bổ đề 1.5 Giả sử DT ∗ trù mật H Khi ta có DT ∗∗ ⊃ DT , T ∗∗ |DT = T Chứng minh Để chứng minh DT ∗∗ ⊃ DT ta lấy phần tử x ∈ DT chứng minh x ∈ DT ∗∗ Thật vậy, x ∈ DT , với y ∈ DT ∗ , ta có |(x, T ∗ y)1 | = |(T x, y)2 | ≤ ||T x||2 ||y||2 , ý c = T x không phụ thuộc vào y , từ bất đẳng thức trên, ta có x ∈ DT ∗∗ Vì DT ⊂ DT ∗∗ Mặt khác ta có (T x, y)2 = (x, T ∗ y)1 = (T ∗ y, x)1 = (y, T ∗∗ x)2 = (T ∗∗ x, y)2 Vì DT ∗ trù mật H nên ta có T x = T ∗∗ x với x ∈ DT , T ∗∗ |DT = T Dưới đây, ta T ∗ toán tử xác định trù mật T tốn tử đóng Bổ đề 1.6 Cho T : DT → H tốn tử đóng Khi DT ∗ trù mật H T ∗∗ = T Chứng minh Định nghĩa H = H × H Cho (x, y) ∈ H (u, v) ∈ H Ta định nghĩa tích vơ hướng , H sau (x, y), (u, v) = (x, u)1 + (y, v)2 Từ công thức xác định T ∗ Bổ đề 2.7, ta suy n j gα,γ = (−1) ∂ −ϕ2 (e ηj fα,kγ ) ∂zk eϕ1 p−1 k=1 n − (−1)p−1 ηj ∂ −ϕ2 (e fα,kγ ) ∂zk eϕ1 k=1 n ϕ1 ∂ηj −ϕ2 = (−1)p−1 e e ∂zk k=1 fα,kγ Hơn nữa, Bổ đề 2.4 bất đẳng thức Schwarz, ta có n j | |gα,γ ∂ηj ∂zk 2(ϕ1 −ϕ2 ) ≤e k=1 n |fα,kγ |2 k=1 n ≤ e2(ϕ1 −ϕ2 ) eψ |fα,kγ |2 k=1 n 2(ϕ1 −ϕ2 ) ϕ2 −ϕ1 ≤e |fα,kγ |2 e k=1 n ≤ eϕ1 −ϕ2 |fα,kγ |2 k=1 Hệ |T ∗ (ηj f ) − ηj T ∗ f |2 e−ϕ1 = j −ϕ1 |gα,γ | e |α|=p |γ|=q n |fα,kγ |2 e−ϕ2 ≤ |α|=p k=1 |γ|=q = (q + 1) |fα,β |2 e−ϕ2 |α|=p |β|=q+1 = (q + 1)|f |2 e−ϕ2 Mặt khác, |T ∗ (ηj f ) − ηj T ∗ f |2 e−ϕ1 hội tụ đến hầu khắp nơi, theo định lý tính hội tụ trội Lebesgue, ta suy ||T ∗ (ηj f ) − ηj T ∗ f || → j → Đó điều phải chứng minh Ta có định nghĩa sau Định nghĩa 2.9 Cho f ∈ DT ∗ ∩ DS , ta định nghĩa chuẩn đồ thị f ||f ||G := ||f ||2 + ||T ∗ f ||1 + ||Sf ||3 36 G Với khái niệm chuẩn đồ thị trên, ta chứng minh kết mục Nói xác hơn, ta chứng minh dạng vi phân song bậc (p, q) với hệ số bình phương khả tích xấp xỉ dạng vi phân song bậc (p, q) với hệ số bình phương khả tích có giá compact chuẩn đồ thị Bổ đề 2.10 Cho ηj , j = 1, 2, hàm Bổ đề 2.4 Khi đó, với f ∈ DT ∗ ∩ DS , ta có ||ηj f − f ||G → (j → ∞) Chứng minh Dễ thấy |ηj f − f | ≤ |f |, f ∈ H nên từ định lý tính hội tụ trội Lebesgue, ta suy ||ηj f − f ||2 → Tương tự, ta có ||ηj T ∗ f − T ∗ f ||1 → Kết hợp đẳng thức giới hạn với Bổ đề 2.8, ta suy ||T ∗ (ηj f − f )||1 ≤ ||T ∗ (ηj f ) − ηj T ∗ (f )||1 + ||ηj T ∗ f − T ∗ f ||1 → (j → ∞) Bằng lập luận hoàn toàn tương tự, ta kết luận ||S(ηj f − f )||3 → Do ||ηj f − f ||G → Đó điều phải chứng minh Cuối cùng, phần lại mục này, chứng minh dạng vi phân f ∈ DT ∗ ∩ DS xấp xỉ dạng vi phân khả vi vô hạn với giá compact chuẩn đồ thị Trước hết, ta có bổ đề sau Bổ đề 2.11 Cho f ∈ DS supp(f ) ⊂⊂ Ω Khi đó, tồn dạng vi phân fδ ∈ D(p,q+1) (Ω) cho ||fδ − f ||2 → 0, ||S(fδ ) − S(f )||3 → δ → Chứng minh Chọn hàm thử Φ ∈ D(Cn ) cho supp(Φ) ⊂⊂ B(0, 1) ΦdV = 1, Cn Ta đặt Φδ (z) = δ −2n Φ(z/δ) Với dạng vi phân fα,β dz α ∧ d¯ sβ , f= α,β 37 ta định nghĩa (fα,β ∗ Φδ )dz α ∧ d¯ zβ , fδ = α,β fα,β ∗ Φδ (z) = fα,β (z − ζ)Φδ (ζ)dζ Cn Khi đó, theo tính chất tốn tử tích chập, ta có fδ ∈ D(p,q+1) (Ω) ||fδ −f ||2 → Mặt khác, định nghĩa đạo hàm hàm suy rộng tính chất tốn tử tích chập, ta có ∂fα,β ∗ Φδ d¯ zk ∧ dz α ∧ d¯ zβ ∂ z¯k S(fδ ) = α,β = (−1)p |α|=p {k}∪K=L |L|=q+2 kK ∂fα,K L ∂ z¯k ∗Φδ dz α ∧ d¯ zL, nghĩa ||S(fδ ) − S(f )||3 → Bổ đề 2.12 Cho f ∈ DT ∗ supp(f ) ⊂⊂ Ω Khi với dạng vi phân fδ ∈ D(p,q+1) (Ω) xác định chứng minh Bổ đề 2.11, ta có ||T ∗ (fδ ) − T ∗ (f )||1 → δ → Chứng minh Vì hàm n e j=1 ϕ1 ∂ −ϕ2 (e fα,jγ ) ∂zj n =e ϕ1 −ϕ2 j=1 ∂fα,jγ ∂ϕ2 − fα,jγ ∂zj ∂zj hàm L2 supp(f ) tập compact Ω, n gα,γ = j=1 ∂fα,jγ ∂ϕ2 − fα,jγ ∂zj ∂zj hàm L2 Do đó, ||gα,γ ∗ Φδ − gα,γ ||2L → Mặt khác, từ Bổ đề 2.7, ta có n ∗ p−1 eϕ1 (T f )α,γ = (−1) j=1 Từ đó, suy n eϕ1 j=1 ∂ −ϕ2 (e fα,jγ ) ∂zj 38 ∂ −ϕ2 (e fα,jγ ) ∂zj = (T ∗ f )α,γ (−1)p−1 hay cách tương đương gα,γ = (−1)p−1 eϕ2 −ϕ1 (T ∗ f )α,γ Vì vậy, theo tính chất đạo hàm hàm suy rộng tính chất tốn tử tích chập, ta tính (−1)p−1 eϕ2 −ϕ1 T ∗ (fδ ) n = α,γ j=1 ∂fα,jγ ∂ϕ2 zγ ∗ Φδ − (fα,jγ ∗ Φδ ) dz α ∧ d¯ ∂zj ∂zj δ ψα,γ dz α ∧ d¯ zγ := α,γ Từ đẳng thức trên, ta có đánh giá δ ||ψα,γ − gα,γ ∗ Φδ ||L2 (Ω) n n ∂fα,jγ ∂ϕ2 ∗ Φδ − (fα,jγ ∗ Φδ ) ∂zj ∂zj = j=1 n ∂ϕ2 fα,jγ ∗Φδ − ∂zj = j=1 n n j=1 j=1 ∂ϕ2 (fα,jγ ∗ Φδ ) ∂zj ∂ϕ2 ∂ϕ2 fα,jγ ∗Φδ − fα,jγ ∂zj ∂zj ≤ j=1 n + j=1 ∂ϕ2 (fα,jγ − fα,jγ ∗ Φδ ) ∂zj ∂fα,jγ ∂ϕ2 − fα,jγ ∗Φδ ∂zj ∂zj − L2 (Ω) L2 (Ω) L2 (Ω) L2 (Ω) Do vậy, ta có ước lượng δ δ ||ψα,γ − gα,γ ||L2 (Ω) ≤ ||ψα,γ − gα,γ ∗ Φδ ||L2 (Ω) + ||gα,γ ∗ Φδ − gα,γ ||L2 (Ω) → 0, δ → Điều dẫn tới T ∗ (fδ ) − T ∗ (f ) chứng minh → δ → Đó điều phải Ta kết thúc mục việc chứng minh định lý xấp xỉ thông báo phần mở đầu Định lý 2.13 Với f ∈ DT ∗ ∩ DS , tồn fj ∈ D(p,q+1) (Ω), j = 1, 2, cho ||fj − f ||G → j → ∞ Chứng minh Với > cho trước, từ Bổ đề 2.10, tồn j0 ∈ N cho ε ||ηj0 f − f ||G < 39 Do supp(ηj0 f ) ⊂⊂ Ω, từ Bổ đề 2.11 Bổ đề 2.12, ta suy tồn δ0 > cho ε ||(ηj0 f )δ0 − ηj0 f ||G < Do đó, ta có ||(ηj0 f )δ0 − f ||G < ε Vì (ηj0 f )δ0 ∈ D(p,q+1) (Ω) nên định lý chứng minh 2.2 Phương phỏp L2 ỏnh giỏ Hă ormander gii phng trỡnh Trong phần để giải phương trình ¯ =f ∂α ¯ = Ta đặt F = KerS Khi f ∈ F , với f ∈ L2(p,q+1) (Ω, ϕ2 ) thỏa mãn ∂f F tập đóng Bổ đề 1.9 Dựa vào Định lý 1.8, ta chứng minh F = RT cách đánh giá f 2 ≤ T ∗ (f ) + S ¯ = f có nghiệm với f ∈ DT ∗ ∩ DS Điều chứng tỏ phương trình ∂α Ta bắt đầu mục vài kết tính tốn Bổ đề 2.14 Cho fα,β dz α ∧ d¯ z β ∈ D(p,q+1) (Ω) f= |α|=p |β|=q+1 Khi đó, n ¯ | = |∂f α,β n 2 j=1 ∂fα,β − ∂ z¯j α,γ j,k=1 ∂fα,jγ ∂ z¯k ∂fα,kγ ∂zj Chứng minh Lưu ý rằng, ta có ¯ = (−1)p ∂f εkK L |α|=p {k}∪K=L |L|=q+2 ∂fα,K α dz ∧ d¯ zL ∂ z¯k Do vậy, εjJ L ¯ |2 = |∂f |α|=p {j}∪J=L |L|=q+2 ∂fα,J ∂ z¯j 40 εkK L {k}∪K=L ∂fα,K ∂zk n = |α|=p |J|=q+1 j,k=1 |K|=q+1 = α,J,K j=k ∂fα,J ∂fα,K ∂ z¯j ∂zk ∂fα,J ∂fα,K + ∂ z¯j ∂zk α,J,K j=k ∂fα,J ∂fα,K ∂ z¯j ∂zk (2.1) := A + B Khi j = k , ta có J = K j ∈ / J Do ta có A= α,J j ∈J / ∂fα,J ∂ z¯j (2.2) Khi k = j ta có k ∈ J j ∈ K Do đặt J \ {k} = K \ {j} = ξ ta có jξ J J jξ εjJ kK = −εkξ εK , fα,J = εkξ fα,kξ , fα,K = εK fα,jξ Vì vậy, ta thu B=− α,ξ j=k ∂fα,kξ ∂fα,jξ ∂ z¯j ∂zk (2.3) Mặt khác, dễ thấy α,J ∂fα,J ∂ z¯j j∈J n = α,ξ j=1 ∂fα,jξ ∂ z¯j (2.4) Kết hợp (2.1)-(2.4), ta có điều phải chứng minh Bổ đề 2.15 Cho f hàm không âm R cho khoảng bị chặn f hàm bị chặn Giả sử tồn t0 cho f (t) = với t ≤ t0 Khi tồn hàm lồi tăng χ ∈ C ∞ (R) cho χ(t) ≥ f (t), χ (t) ≥ f (t) (∀t ∈ R) Chứng minh Với số nguyên n, chọn hàm an ∈ C ∞ (R) cho với t ∈ R, ta có ≤ an (t) ≤  1 t ∈ [n − 2, n] an (t) = 0 t ∈ / [n − 3, n + 1] Đặt Mn := sup f (t), t∈[n−2,n] 41 xét hàm ∞ Mn an (t) ϕ(t) = n=−∞ Khi ϕ(t) ≥ f (t) với t ∈ R Ngoài ra, với n − ≤ x ≤ n cố định, ta có x n−1 Mn dx = Mn ≥ f (x) ϕ(x)dx ≥ −∞ n−2 Ta đặt x χ1 (x) = ϕ(t)dt −∞ Khi χ1 ∈ C ∞ (R) χ1 (x) = ϕ(x) ≥ f (x), χ1 (x) ≥ f (x) (∀x ∈ R) Đặt χ2 = max{χ1 , 0} áp dụng Bổ đề 2.3 cho hàm χ2 , ta thấy tồn hàm θ ∈ C ∞ (R) cho χ1 ≤ χ2 ≤ θ, θ ≥ supp(θ) ⊂ [t0 , ∞) Nếu ta đặt   t x   θ(y)dy χ(x) = −∞ dt,   −∞ với x ∈ R, ta có x x θ(y)dy ≥ χ (x) = −∞ χ1 (y)dy = χ1 (x) ≥ f (x), −∞ x   −∞  χ(x) ≥ t χ1 (y)dy   dt = χ1 (x) ≥ f (x)  −∞ Cuối cùng, ta thấy χ (x) = θ(x) ≥ với x ∈ R Do χ hàm mong muốn Trong định lý đây, đưa cách xác định xác hàm ϕ giới thiệu Định nghĩa 2.5 Định lý 2.16 Cho Ω ⊂ Cn miền giả lồi ρ ∈ C ∞ (Ω) Khi tồn hàm ϕ ∈ C ∞ (Ω) cho n j,k=1 ∂ 2ϕ ¯ + eψ ) wj w¯k ≥ 2(|∂ψ| ∂zj ∂ z¯k 42 n |wj |2 j=1 (∀w ∈ Cn ) Hơn nữa, ϕ(z) ≥ ρ(z) (∀z ∈ Ω) Ở ψ hàm Bổ đề 2.4 Chứng minh Do Ω miền giả lồi, theo Định lý 1.15 [1], ta kết luận tồn hàm đa điều hòa chặt Φ ∈ C ∞ (Ω) cho với số thực t ∈ R, ta có Ωt = {z ∈ Ω|Φ(z) < t} ⊂⊂ Ω Vì Φ hàm đa điều hịa chặt Ω, tồn hàm liên tục m(z) > Ω cho với z ∈ Ω w ∈ Cn n j,k=1 ∂ 2Φ (z)wj w¯k ≥ m(z)|w|2 ∂zj ∂ z¯k Đặt g(t) = maxρ(z) ¯t z∈Ω h(t) = max ¯t z∈Ω + eψ(z) ) ¯ 2(|∂ψ(z)| m(z) Theo Bổ đề 2.15, tồn hàm lồi tăng χ ∈ C ∞ (R) cho χ(t) ≥ g(t), χ (t) ≥ h(t) Đặt ϕ(z) = χ ◦ Φ(z) Khi ta có χ(Φ(z)) ≥ (Φ(z)) = max ρ(w) ≥ ρ(z) ¯ Φ(z) w∈Ω Hơn nữa, ta có n j,k=1 ∂ 2ϕ (z)wj w¯k = χ (Φ(z)) ∂zj ∂ z¯k n j=1 n ∂Φ (z)wj ∂zj + χ (Φ(z)) j,k=1 ∂ 2Φ (z)wj w¯k ∂zj ∂ z¯k ≥ h(Φ(z))m(z)|w|2 ¯ ≥ 2(|∂ψ(z)| + eψ(z) )|w|2 , Ở đây, bất đẳng thức thứ nhất, ta sử dụng tính chất lồi χ; bất đẳng thức cuối ta sử dụng định nghĩa hàm h Từ bất đẳng thức trên, ta có điều phải chứng minh 43 Như giới thiệu phần đầu chương, phần lại mục này, ta chứng minh bất đẳng thức ||f ||22 ≤ ||T ∗ f ||21 + ||Sf ||23 (∀f ∈ DT ∗ ∩ DS ) (2.5) Giả sử (2.5) xảy ta có với f ∈ F = KerS, F tập đóng, ta có, ||f ||2 ≤ ||T ∗ f ||1 (f ∈ DT ∗ ∩ DS ) Mặt khác, RT ⊂ F ⊂ DS ta thu ||f ||2 ≤ ||T ∗ f ||1 (f ∈ DT ∗ ∩ F ) ¯ = tồn u ∈ L2 (Ω, ϕ1 ) Áp dụng Định lý 1.8, ta có F = RT , nghĩa ∂f (p,q) ¯ cho ∂u = f Nhắc lại rằng, với g ∈ C (Ω), ta định nghĩa δj g = eϕ ∂g ∂ϕ ∂ (ge−ϕ ) = −g ∂zj ∂zj ∂zj Khi đó, với f ∈ C (Ω) ta thu δj , ∂ ∂f ∂ ∂ 2ϕ f = δj − (δj f ) = f ∂ z¯k ∂ z¯k ∂ z¯k ∂ z¯k ∂zj Tiếp theo, ta đưa phát biểu hai định lý quan trọng mục Định lý bước chuẩn bị quan trọng để chứng minh tồn nghiệm phương trình ∂¯ Đây phiên Định lý 1.8 giới thiệu đầu chương Định lý 2.17 Cho Ω ⊂ Cn miền giả lồi, ϕ ∈ C ∞ (Ω) hàm Định lý 2.16, cho ψ hàm Bổ đề 2.4 Nếu ta đặt ϕ1 = ϕ − 2ψ, ϕ2 = ϕ − ψ, ϕ3 = ϕ ||f ||22 ≤ ||T ∗ f ||21 + ||Sf ||23 với f ∈ D(p,q+1) (Ω) 44 Chứng minh Với f ∈ D(p,q+1) (Ω) cố định, ta biết n ∗ p−1 ∂ −ϕ+ψ zγ (e fα,jγ ) dz α ∧ d¯ ∂zj eϕ−2ψ T f = (−1) |α|=p j=1 |γ|=q n = (−1) p−1 −ψ δj fα,jγ dz α ∧ d¯ zγ e + (−1) |α|=p j=1 |γ|=q n p−1 −ψ fα,jγ e |α|=p j=1 |γ|=q ∂ψ α dz ∧ d¯ zγ ∂zj := A + B Khi đó, ta tính n ||A||21 δj fα,jγ δk fα,kγ e−ϕ dV = α,γ j,k=1 Ω n = δj fα,jγ α,γ j,k=1 Ω n =− Ω α,γ j,k=1 ∂ (fα,kγ e−ϕ )dV ∂ z¯k ∂ (δj fα,jγ )fα,kγ e−ϕ dV ∂ z¯k Ở đây, dấu thứ hai, ta sử dụng định nghĩa δk , dấu thứ ba, ta sử dụng định lý Stokes với lưu ý f dạng vi phân có giá compact Mặt khác, ta có đánh giá n α,γ j=1 ∂ψ fα,jγ ∂zj n n ≤ |fα,jγ | α,γ j=1 | j=1 ∂ψ | ∂zj n = |∂ψ|2 |fα,jγ |2 α,γ j=1 Kết hợp hai ước lượng với tính tốn T ∗ , áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ( a + b ≤ 2( a + b ), ta thu 2||T ∗ f ||21 ≥ ||A||21 − 2||B||21 n = − Ω α,γ j,k=1 ∂ (δj fα,jγ )fα,kγ e−ϕ )dV ∂ z¯k 45 (2.6) n |fα,jγ |2 e−ϕ )dV −2 |∂ψ| α,γ Ω (2.7) j=1 Tiếp theo, ta tính Sf 23 Ta có n ||Sf ||23 = Ω α,β j=1 ∂fα,β −ϕ e dV ∂ z¯j n − Ω α,γ j,k=1 ∂fα,kγ −ϕ e dV ∂zj ∂fα,jγ ∂ z¯k Bởi định nghĩa δj cơng thức Stokes, ta có đẳng thức δj ∂ ∂zj ∂ fα,jγ fα,kγ e−ϕ dV = ∂ z¯k ∂fα,jγ −ϕ fα,kγ dV e ∂ z¯k Ω Ω ∂fα,jγ −ϕ ∂fα,kγ e dV ∂ z¯k ∂zj =− Ω Do vậy, ta tính n ||Sf ||23 = Ω α,β j=1 ∂fα,β −ϕ e dV ∂ z¯j n + δj Ω α,γ j,k=1 ∂ fα,jγ fα,kγ e−ϕ dV ∂ z¯k Kết hợp (2.7) (2.8), ta có n 2||T ∗ f ||21 + ||Sf ||23 ≥ δj Ω α,γ j,k=1 ∂ ∂ − δj fα,jγ ∂ z¯k ∂ z¯k fα,kγ e−ϕ dV n |∂ψ| −2 α,γ Ω n = Ω |fα,jγ |2 e−ϕ dV α,γ j,k=1 j=1 ∂ 2ϕ ∂zj ∂ z¯k fα,jγ fα,kγ e−ϕ dV n |fα,jγ |2 e−ϕ dV −2 |∂ψ| Ω α,γ 46 j=1 (2.8) Áp dụng Định lý 2.16, ta kết luận n 2||T ∗ f ||21 + ||Sf ||23 ≥ |fα,jγ |2 e−ϕ dV ψ 2(|∂ψ| + e ) α,γ Ω j=1 n |fα,jγ |2 e−ϕ dV −2 |∂ψ| α,γ Ω j=1 n 2|fα,jγ |2 eψ−ϕ dV ≥ 2||f ||22 ≥ α,γ Ω j=1 Từ ta có điều phải chứng minh Hệ 2.18 Với f ∈ DT ∗ ∩ DS , ta có ||f ||22 ≤ ||T ∗ f ||21 + ||Sf ||23 Chứng minh Với f ∈ DT ∗ ∩ DS cố định, theo Định lý 2.13, tồn fj ∈ D(p,q+1) (Ω) cho ||fj − f ||G → Mặt khác, theo Định lý 2.17, ta có ||fj ||22 ≤ ||T ∗ (fj )||21 + ||S(fj )||23 Cho j → ∞, ta nhận ||f ||22 ≤ ||T ∗ (f )||21 + ||S(f )||23 Đó điều phải chứng minh Cuối cùng, ta chứng minh định lý tồn nghiệm cho phương trình ∂¯ phương pháp L2 đánh giá Định lý 2.19 Cho Ω ⊂ Cn miền giả lồi Giả sử f ∈ L2(p,q+1) (Ω, loc) thỏa mãn ¯ = Khi tồn u ∈ L2 (Ω, loc) cho ∂u ¯ = f ∂f (p,q) Chứng minh Cho {Kj } dãy tập compact Ω có tính chất sau ∞ o Kj ⊂⊂ K j+1 (j = 1, 2, ), = Ω j=1 Ta đặt K0 = ∅ |f |2 dV = Mj (j = 1, 2, ) Kj Chọn hàm ϕ˜ ∈ C ∞ (Ω) cho ˜ e−ϕ(z) < 2j Mj (∀z ∈ Kj \ Kj−1 ) 47 Khi đó, ta có đánh giá ∞ Kj \ Kj−1 |f |2 e−ϕ˜ dV |f | dV = j=1 Ω ∞ Kj \ Kj−1 |f | j dV ≤ Mj ∞ ≤ j=1 j=1 = 2j Do ta kết luận f ∈ L2p,q+1 (Ω, ϕ) ˜ Tiếp theo, chọn ϕ hàm thỏa mãn điều kiện Định lý 2.16, tương ứng với ρ = ψ + ϕ˜ Khi đó, sử dụng điều kiện ϕ ≥ ρ ϕ2 = ϕ − ψ , ta có |f |2 e−ϕ2 dV < Ω |f |2 e−ϕ˜ dV < ∞ Ω Từ đó, ta thu f ∈ L2p,q+1 (Ω, ϕ2 ) Do nhận xét sau chứng minh ¯ = f Vì Định lý 2.16, ta khẳng định tồn u ∈ L2p,q (Ω, ϕ1 ) cho ∂u u ∈ L2p,q (Ω, ϕ1 ), từ Bổ đề 1.21, ta suy u ∈ L2p,q (Ω, loc) Đó điều phải chứng minh 48 Kết luận Luận văn trình bày cách chi tiết chứng minh định lý tồn nghiệm cho phương trình ∂¯ phương pháp L2 ỏnh giỏ ca Hăormander da trờn quyn sỏch chuyờn khảo [1] Các kết sau Chứng minh số kết toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật khơng gian Hilbert Đồng thời chứng minh toán tử ∂¯ tốn tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật Chng minh cỏc L2 c lng ca Hăormander v dụng lý thuyết tốn tử tuyến tính xác định trù mật để chứng minh tồn nghiệm ¯ = f phương trình ∂α 49 Tài liệu tham khảo [1] K Adachi, Several complex variables and integral formulas, World Scientific Publishing, [2] L Hăormander, L2 estimates and existence theorems for the ∂¯ - operator, Acta Math 113 (1965), pp 89152 [3] L Hăormander , An introduction to complex analysis in several variables, Third edition, North Holland (1990) ... tử tuyến tính đóng, xác định trù mật T ∗ tốn tử tuyến tính đóng, xác định trù mật Trước hết, ta chứng minh T ∗ tốn tử đóng T tốn tử tuyến tính xác định trù mật Bổ đề 1.4 T ∗ : DT ∗ → H toán tử. .. tốn tử tuyến tính xác định trù mật Xuyên suốt mục ta giả thiết T tốn tử tuyến tính xác định trù mật Định ngh? ?a 1.1 Cho T : D → H tốn tử tuyến tính Đồ thị GT T định ngh? ?a ngh? ?a sau GT = {(x, T... minh toán tử ∂¯ toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật Chứng minh cỏc L2 c lng ca Hăormander v dng lý thuyết tốn tử tuyến tính xác định trù mật để chứng minh tồn nghiệm ¯ = f phương trình