Xấp xỉ trực giao trong không gian định chuẩn và các ứng dụng_2

Header Page of 128 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGÔ THỊ LÝ XẤP XỈ TRỰC GIAO TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN VÀ CÁC ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích HÀ NỘI, 2018 Footer Page of 128 Header Page of 128 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGÔ THỊ LÝ XẤP XỈ TRỰC GIAO TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN VÀ CÁC ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN HỮU THỌ HÀ NỘI, 2018 Footer Page of 128 Header Page of 128 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy giáo TS Nguyễn Hữu Thọ Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy, người định hướng chọn đề tài, tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình làm hồn thiện luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, thầy cô giáo nhà trường bạn học viên giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả q trình học tập hồn thiện luận văn này! Hà Nội, tháng năm 2018 Tác giả luận văn NGÔ THỊ LÝ Footer Page of 128 Header Page of 128 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Hữu Thọ, luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Tốn Giải tích với đề tài " Xấp xỉ trực giao không gian định chuẩn ứng dụng" tự thực Các kết tài liệu trích dẫn rõ nguồn gốc Trong q trình nghiên cứu thực luận văn, tơi kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2018 Tác giả luận văn NGÔ THỊ LÝ Footer Page of 128 Header Page of 128 Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Phần mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Euclid 1.2 Không gian định chuẩn 1.3 Không gian Hilbert 10 1.4 Tích vơ hướng tính trực giao 10 Xấp xỉ trực giao Birkhoff 2.1 2.2 Trực giao Birkhoff 12 12 2.1.1 Khái niệm 12 2.1.2 Ví dụ 13 Xấp xỉ trực giao Birkhoff 14 2.2.1 Khái niệm 14 2.2.2 Một số đặc trưng xấp xỉ trực giao Birkhoff 16 Ứng dụng 22 3.1 Đặc trưng xấp xỉ trực giao L(H) 22 3.2 Đặc trưng xấp xỉ trực giao Co (K) 27 3.3 Đặc trưng xấp xỉ trực giao không gian thương 29 Footer Page of 128 Header Page of 128 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 Footer Page of 128 Header Page of 128 Phần mở đầu Lý chọn đề tài Xấp xỉ trực giao lí thuyết quan trọng xuất phát từ quan hệ trực giao Tốn học, có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác Tốn học Đại số, Giải tích Nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu quan hệ theo khía cạnh khác Như ta biết, tính trực giao giảng dạy chương trình phổ thơng xây dựng thơng qua tích vơ hướng, nhiên khơng gian định chuẩn tính trực giao cần hiểu theo khía cạnh khác tổng quát Đã có nhiều đặc tính quan hệ xấp xỉ trực giao thiết lập, đặc biệt Giải tích đại Sau học kiến thức Tốn giải tích, với mong muốn tiếp cận tới lý thuyết xấp xỉ trực giao không gian định chuẩn ứng dụng nó, hướng dẫn Tiến sỹ Nguyễn Hữu Thọ, chọn đề tài cho luận văn về: Xấp xỉ trực giao không gian định chuẩn ứng dụng Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tổng quan xấp xỉ trực giao không gian định chuẩn ứng dụng (trong luận văn chủ yếu xét tới xấp xỉ trực giao Birkhoff) Nhiệm vụ nghiên cứu Footer Page of 128 Header Page of 128 Trình bày xấp xỉ trực giao không gian định chuẩn, mô tả số ứng dụng xấp xỉ trực giao số không gian định chuẩn cụ thể Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Khơng gian tuyến tính định chuẩn - Khơng gian tích vơ hướng - Khơng gian Hilbert - Xấp xỉ trực giao Birkhoff - Một số ứng dụng xấp xỉ trực giao Birkhoff số không gian định chuẩn Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết, thu thập tài liệu, đọc phân tích, tổng hợp để nhận nghiên cứu xấp xỉ trực giao không gian định chuẩn ứng dụng Đóng góp đề tài Trình bày cách có hệ thống xấp xỉ trực giao không gian định chuẩn liên quan tới tính trực giao Birkhoff ứng dụng Footer Page of 128 Header Page of 128 Chương Kiến thức chuẩn bị (Kiến thức chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1] [2]) Chương dành cho việc trình bày số khái niệm dùng suốt luận văn 1.1 Không gian Euclid Định nghĩa 1.1.1 Cho V không gian véc tơ trường R Một tích vơ hướng V ánh xạ xác định sau: , : V ×V → R, (x, y) → x, y thỏa mãn điều kiện sau: i x, x ≥ 0, với x ∈ V ; x, x = x = ii kx, y = k x, y với x, y ∈ V, ∀k ∈ R iii x + x, , y = x, y + x, , y , ∀x, x, , y ∈ V iv x, y = y, x , ∀x, y ∈ V Định nghĩa 1.1.2 Không gian véc tơ V trường số thực R có trang bị tích vơ hướng , gọi không gian véc tơ Euclid Footer Page of 128 Header Page 10 of 128 Kí hiệu: E = (V, , ) với tích vơ hướng , Ví dụ 1.1.3 Cho V = Rn , (Rn = {x = (x1 , x2 , , xn ) |xi ∈ R}) Với x = (x1 , x2 , , xn ) , y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn ta định nghĩa x, y = n x i yi i=1 Đây tích vơ hướng Rn E = (Rn , , ) không gian véc tơ Euclid Định lí 1.1.4 Cho E khơng gian Euclid Khi với ∀x, y ∈ E ta ln có | x, y | ≤ x y Dấu "=" xảy x, y phụ thuộc tuyến tính Định lí 1.1.5 Giả sử E khơng gian véc tơ Euclid Khi đó: ∀x, y ∈ E : x − y ≤ x − y ≤ x + y 1.2 Không gian định chuẩn (Trong luận văn xét không gian định chuẩn thực) Định nghĩa 1.2.1 Cho X không gian véc tơ trường số R ánh xạ : X → R Ta nói chuẩn X thỏa mãn tính chất sau: x ≥ 0, với x ∈ X x = ⇔ x = kx = |k| x , với x ∈ X, k ∈ R x + y ≤ x + y , với x, y ∈ X Nếu chuẩn X, ta nói (X, ) khơng gian véc tơ định chuẩn (còn đọc tắt không gian định chuẩn) Footer Page 10 of 128 Header Page 22 of 128 Đối với chiều ngược lại, ta cố định λ tùy ý ∈ R Hàm αϕ + (1 − α)ψ thuộc J(x) Khi |(αϕ + (1 − α)ψ)(λy)| ≤ ε λy , x + λy ≥ |(αϕ + (1 − α)ψ)(x + λy)|2 ≥ ||(αϕ + (1 − α)ψ)(x)| − |(αϕ + (1 − α)ψ)(λy)||2 ≥ x||2 − 2ε x λy , nghĩa là: x⊥εB Chú ý 2.2.7 Vì quan hệ (xấp xỉ) trực giao không gian vô hướng đối xứng nên ta đổi vai trò x y nhận đặc trưng tương đương sau: x⊥ε y ⇔ ∃z ∈ X : z⊥y, z − x ≤ ε x (2.12) Một câu hỏi đặt là: Liệu đặc trưng có khơng gian định chuẩn với tính trực giao Birkhoff không Câu trả lời không thực khơng có phép kéo theo (2.12) khơng gian định chuẩn nói chung Ví dụ 2.2.8 Xét khơng gian R2 với chuẩn max (x1 , x2 ) ∞ := max{|x1 |, |x2 |} Xét x = (1, 1), y = (ε, 1) với ε ∈ (0, 1) Vì ρ+ (x, y) = ρ− (x, y) = ε nên từ điều kiện (2.5) ta có x⊥εB y Lấy z thỏa mãn z⊥B y Nếu z z = (1, −1) z = (−1, 1) Do z⊥B y ⇔ z = α(−1, 1) Vì vậy, với z thỏa mãn z⊥B y, ta có bất đẳng thức sau 20 Footer Page 22 of 128 ∞ =1 Header Page 23 of 128 z−x ∞ = max{|1 + α|, |1 − α|} ≥ > ε x ∞ Bây giờ, lấy x = (1, − ε), y = (1, 0), z = (1 − ε, 1) với ε ∈ (0, 1) Khi ta có z⊥B y z−x ∞ ≤ε x ∞ Mặt khác, ρ− (x, y) = nên ρ− (x, y) − ε x ∞ chưa thể khẳng định x⊥εB y 21 Footer Page 23 of 128 y ∞ > 0, Header Page 24 of 128 Chương Ứng dụng (Kiến thức chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [7], [10] [11]) Trong chương này, trình bày số ứng dụng kết từ Chương số khơng gian định chuẩn cụ thể 3.1 Đặc trưng xấp xỉ trực giao L(H) Cho L(H) không gian gồm tất tốn tử tuyến tính bị chặn không gian Hilbert H Đặt K(H) không gian L(H) bao gồm tất toán tử compact Với T ∈ L(H), ta kí hiệu MT := {x ∈ SH : T x = T } tập hợp tất điểm hình cầu đơn vị mà T đạt chuẩn Nói chung, MT rỗng, nhiên, tính compact T suy MT = ∅ trường hợp đặc biệt dim H < ∞ Định lí 3.1.1 Cho khơng gian Hilbert H T, S ∈ L(H) Khi điều kiện tương đương: 22 Footer Page 24 of 128 Header Page 25 of 128 (i) T ⊥B S (ii) ∃(xn )∞ n=1 ⊂ SH : lim n→∞ T xn = T , lim T xn |Sxn = n→∞ Hơn nữa, dimH < ∞ điều kiện tương đương với: (iii) ∃xo ∈ MT : T xo ⊥Sxo Kết phát triển nhiều tác giả khác Phép tương đương (i) ⇔ (ii) mở rộng tới L(X) với không gian định chuẩn vơ hạn chiều X Sau đó, số nhà Tốn học Benítez, Fernández Soriano phép tương đương hợp lí X không gian Hilbert Đã có nhiều mở rộng Định lý 3.1.1, nhiên, tất mở rộng nói tính trực giao toán tử Trong phần trình bày số kết cách xét đặc trưng xấp xỉ trực giao L(H) Hơn nữa, kết chúng đưa ra, thay giả thiết tính vơ hạn chiều H tính compact tốn tử Định lí 3.1.2 Cho H khơng gian Hilbert, xét T, S ∈ L(H) ε ∈ [0, 1) Khi điều kiện sau tương đương: (1) T ⊥εB S; (2) ∃(xn )∞ n=1 ⊂ SH : lim n→∞ T xn = T , lim | T xn |Sxn | ≤ ε T n→∞ S Hơn nữa, dim H < ∞ điều kiện tương đương với: (3) ∃xo ∈ MT : | T xo |Sxo | ≤ ε T S Nếu dim H < ∞ thêm giả thiết MT ⊂ MS , điều kiện tương đương với: 23 Footer Page 25 of 128 Header Page 26 of 128 (4) ∃xo ∈ MT : T xo ⊥ε Sxo Chứng minh: (1) ⇒ (2): Giả sử T ⊥εB S Theo (2.8), với U ∈ L(H) ta có T ⊥B U U −S ≤ε S Khi Định lý 3.1.1 suy tồn dãy (xn ) SH thỏa mãn T xn → T T xn |U xn → n → ∞ Vì vậy, | T xn |Sxn ≤ | T xn |U xn | + | T xn |(S − U )xn | ≤ | T xn |U xn | + T S−U ≤ | T xn |U xn | + ε T S Không tính tổng quát, dãy (| T xn |Sxn |)∞ n=1 giả thiết hội tụ ta chọn dãy thích hợp (xnk ) (xn ) Cho n → ∞, ta nhận bất đẳng thức mong muốn (2) ⇒ (1) Giả sử ta có (2) Với vơ hướng tùy ý λ với n ∈ N ta có: T + λS 2 ≥ T xn + λSxn ≥ T xn ≥ T xn + 2λ T xn |Sxn − 2|λ|| T xn |Sxn | ≥ T Cho n → ∞, ta nhận T + λS − 2ε T λS , T ⊥εB S Từ giả thiết (2) dim H < ∞, dãy (xn ) định chứa dãy hội tụ tới xo ∈ SH Tính liên tục T S suy (3) Chiều ngược lại hiển nhiên với xn = xo với n = 1, 2, Cuối MT ⊂ MS , với xo ∈ MT ta có T (xo ) = T 24 Footer Page 26 of 128 S(xo ) = S Header Page 27 of 128 Vì (3) tương đương (4) Chú ý 3.1.3 Chú ý phép kéo theo (4) ⇒ (1) không phụ thuộc vào giả thiết thêm vào Thật vậy, theo giả thiết (4), với λ tùy ý ta có: T + λS ≥ T xo + λSxo = T − 2ε T ≥ T xo − 2ε T xo λSxo ≥ T − 2ε T λSxo λS , nghĩa T ⊥εB S Tuy nhiên, chiều (3) ⇒ (4) giả thiết MT ⊂ MS cần thiết Thực vậy, xét H không gian Hilbert hai chiều, cố định ε ∈ [0, 1) lấy x, y, z ∈ SH thỏa mãn x|y = 2ε x⊥z Xác định T, S ∈ L(H) sau: T x := x, T z := Sx := y, Sz := 2z Do vậy, T = 1, T x = 1, S ≥ 2, Sx = x ∈ MT x ∈ / MS Vì | T x|Sx | = | x|y | = 2ε ≤ ε T S , nên điều kiện (3) thỏa mãn Mặt khác: | T x|Sx | = | x|y | = 2ε > ε T x Sx , nghĩa T x ⊥ε Sx, chí T xo ⊥ε Sxo với xo ∈ MT = {x, −x} Do vậy, (4) không thỏa mãn Điều kiện dim H < ∞ định lý thay tính compact toán tử T 25 Footer Page 27 of 128 Header Page 28 of 128 Định lí 3.1.4 Cho H không gian Hilbert thực, lấy T, S ∈ L(H) ε ∈ [0, 1) Giả sử MT ⊂ MS T ∈ K(H), T ⊥εB S ∃xo ∈ MT : T xo ⊥ε Sxo Chứng minh: Cho T ⊥εB S Theo (2.8) với tốn tử U ∈ L(H), ta có T ⊥B U U − S ≤ ε S Khi từ định lý 3.1.1 ta có dãy (xn ) SH thỏa mãn T xn → T T xn |U xn → n → ∞ Vì BH compact yếu nên tồn dãy (xnk ) (xn ) xo ∈ BH cho (xnk ) hội tụ yếu tới xo Vì T compact nên ta có hội tụ mạnh T xnk → T xo suy T xo = T Từ xo ≥ xo ∈ SH Chú ý rằng: | T xnk |U xnk − T xo |U xo | ≤ | T xnk |U xnk − T xo |U xnk | + | T xo |U xnk − T xo |U xo | ≤ T xnk − T xo U xnk + | U ∗ T xo |xnk − U ∗ T xo |xo | Dãy (U xnk ) bị chặn, T xnk − T xo U xnk → Vì (xnk ) hội tụ yếu tới xo nên U ∗ T xo |xnk → U ∗ T xo |xo Vế phải đánh giá hội tụ tới 0, ta có: T xnk |U xnk − T xo |U xo → Vì T xnk |U xnk → nên T xo |U xo = Ta có xo ∈ MT ⊂ MS , S = Sxo U xo − Sxo ≤ U − S ≤ ε S = ε Sxo 26 Footer Page 28 of 128 Header Page 29 of 128 Tóm lại, ta thu T xo ⊥U xo U xo − Sxo ≤ ε Sxo theo (2.8), ta có T xo ⊥ε Sxo Phép kéo theo ngược lại chứng minh Chú ý 3.1.3 Kết sau suy trực tiếp từ định lý Định lí 3.1.5 Giả sử H khơng gian Hilbert thực Cho T ∈ K(H), S ∈ L(H) Giả thiết MT ⊂ MS , đó: T ⊥εB S ⇒ S⊥εB T (3.1) Chứng minh: Để chứng minh ta cần áp dụng Định lý 3.1.4, tính đối xứng quan hệ ⊥ε H Chú ý 3.1.3 Tất nhiên, hai toán tử T, S compact MT = MS thì: T ⊥ε B S ⇔ S⊥εB T 3.2 Đặc trưng xấp xỉ trực giao Co(K) Cho K không gian tơpơ compact địa phương Thơng thường, C(K) kí hiệu khơng gian ánh xạ thực liên tục xác định K, với chuẩn supremum Ta xét không gian Co (K) C(K) xác định sau: Co (K) := {f ∈ C(K) : ∀ε > 0, tập {t ∈ K : |f (t)| ≥ ε} compact } Với f ∈ C0 (K), tập Mf := {t ∈ K : |f (t)| = f } khác trống compact Định lí 3.2.1 Cho f, g ∈ Co (K), f = = g Giả sử Mf liên thơng Khi điều kiện sau tương đương: (a) f ⊥εB g; 27 Footer Page 29 of 128 Header Page 30 of 128 (b) ∃t1 ∈ Mf : |g(t1 )| ≤ ε g Chứng minh: (a) ⇒ (b) Giả sử f ⊥εB g Theo Định lý 2.2.6, tồn điểm cực trị a∗ , b∗ ∈ ExtBCo (K)∗ α ∈ [0, 1] thỏa mãn a∗ (f ) = b∗ (f ) = f |αa∗ (g) + (1 − α)b∗ (g)| ≤ ε g (3.2) Người ta chứng minh (xem [10]) phiếm hàm cực trị a∗ , b∗ Co (K) có dạng ±ψu , ±ψw với u, w ∈ Mf , đó: ψt : Co (K) → R định nghĩa ψt (h) := h(t) Vì Mf liên thơng nên f lấy Mf giá trị dấu Khơng tính tổng quát, ta giả sử f (t) = f với t ∈ Mf Khi a∗ , b∗ có dạng ψu , ψw Do a∗ (g) = ψu (g) = g(u) tương tự b∗ (g) = ψw (g) = g(w) Từ bất đẳng thức (3.2) ta có: |αg(u) + (1 − α)g(w)| ≤ ε g (3.3) Nếu |g(u)| ≤ ε g |g(w)| ≤ ε g , ta lấy t1 = u t1 = w Nếu g(u) < −ε g g(w) > ε g (hoặc g(w) < −ε g g(u) > ε g ), ta sử dụng tính liên thơng Mf tính chất g để lấy t1 ∈ Mf cho −ε g ≤ g(t1 ) ≤ ε g yêu cầu Ta loại trừ trường hợp lại g(u), g(w) > ε g g(u), g(w) < −ε g 28 Footer Page 30 of 128 Header Page 31 of 128 chúng mâu thuẫn với (3.3) (b) ⇒ (a) Vì t1 ∈ Mf nên phiếm hàm ϕ = ψt1 (hoặc ϕ = −ψt1 ) ta có ϕ = ϕ(f ) = |f (t1 )| = f , ϕ ∈ J(f ) Hơn nữa, |ϕ(g)| = |ψt1 (g)| = |g(t1 )| ≤ ε g , (a) suy từ (2.10) 3.3 Đặc trưng xấp xỉ trực giao không gian thương Cho M không gian đóng khơng gian định chuẩn X Xét [x] := x + M lớp modulo M x, X/M := {[x] : x ∈ X} không gian thương với chuẩn [x] = dist(x, M ) = inf m∈M x−m Chú ý x⊥B M ⇔ x = [x] , với mo ∈ M ta có: (x − mo )⊥B M ⇔ x − mo = [x] (3.4) Ta nói M tập gần kề X nếu: ∀x ∈ X, ∃y ∈ M : x − y = dist(x, M ) Một không gian gần kề đóng Ta có kết sau Định lí 3.3.1 Cho X không gian định chuẩn thực trơn M ⊂ X không gian gần kề X Với x, y ∈ X điều kiện sau tương đương: 29 Footer Page 31 of 128 Header Page 32 of 128 (1) [x]⊥εB [y]; (2) ∀m1 , m2 ∈ M cho (x−m1 )⊥B M ta ln có (x−m1 )⊥εB (y −m2 ); (3) ∃m1 , m2 ∈ M cho (x − m1 )⊥B M , (y − m2 )⊥B M (x − m1 )⊥εB (y − m2 ) Chứng minh: (1) ⇒ (2) Giả sử ta có (1) cố định m1 ∈ M cho (x − m1 )⊥B M m2 ∈ M Theo (3.4) định nghĩa ε - trực giao với λ tùy ý ta có: x − m1 = [x] ≤ [x] + λ[y] ≤ x − m1 + λ(y − m2 ) + 2ε [x] λ[y] + 2ε x − m1 λ(y − m2 ) , nghĩa (x − m1 )⊥εB (y − m2 ) Phép kéo theo (2) ⇒ (3) hiển nhiên (ở ta sử dụng tính gần kề M ) Bây giờ, ta chứng minh (3) ⇒ (1) Lấy m1 , m2 ∈ M cho (x − m1 )⊥B M, (y − m2 )⊥B M (x − m1 )⊥εB (y − m2 ) Theo Định lý 2.2.4, tồn z ∈ Lin{x − m1 , y − m2 } cho (x − m1 )⊥B z z − (y − m2 ) ≤ ε y − m2 Rõ ràng [z] ∈ Lin{[x], [y]} Tính trơn X suy trực giao Birkhoff cộng tính phải Vì vậy, (x − m1 )⊥B (z − m) với m ∈ M, tính tùy ý vơ hướng λ tính m ∈ M nên: [x] = x − m1 ≤ x − m1 + λ(z − m) Từ đó, với m ∈ M ta có [x] ≤ x + λz − m 30 Footer Page 32 of 128 Header Page 33 of 128 Bằng cách lấy cận (infimum) theo m ∈ M ta [x] ≤ [x + λz] = [x] + λ[z] , nghĩa [x]⊥B [z] Hơn nữa, [z] − [y] = [z − y] ≤ z − y + m2 ≤ ε y − m2 = ε [y] , Khi lại áp dụng Định lý 2.2.4 ta [x]⊥εB [y] 31 Footer Page 33 of 128 Header Page 34 of 128 Kết luận Tính trực giao giảng dạy chương trình phổ thơng xây dựng thơng qua tích vơ hướng, nhiên khơng gian định chuẩn tính trực giao cần hiểu theo khía cạnh khác tổng quát Đã có nhiều đặc tính quan hệ xấp xỉ trực giao thiết lập, đặc biệt Giải tích đại Trong khn khổ luận văn này, tơi trình bày số vấn đề sau: a) Hệ thống lại khái niệm đặc trưng xấp xỉ trực giao không gian định chuẩn (chủ yếu xấp xỉ trực giao Birkhoff) b) Trình bày số đặc trưng xấp xỉ trực giao khơng gian định chuẩn cụ thể Tuy nhiều hạn chế song hi vọng kết đạt luận văn tài liệu tham khảo tốt cho nghiên cứu mở rộng Rất cảm ơn độc giả theo dõi luận văn mong quý độc giả đóng góp ý kiến để luận văn thêm hoàn thiện 32 Footer Page 34 of 128 Header Page 35 of 128 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Xuân Liêm (1995), Giải tích hàm, NXB Giáo dục [2] Hồng Tụy (2005), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [3] J Alonso, H Martini and S Wu (2012), On Birkhoff orthogonality and isosceles orthogonality in normed linear spaces, Aequationes Math 83, pp.153 – 189 [4] G Birkhoff (1935), Orthogonality in linear metric spaces, Duke Math.J., 1, pp.169 – 172 [5] J Chmielinski (2005), On an ε−Birkhoff orthogonality, J Inerqual Pure Appl Math 6, Article 79 [6] J Chmielinski and P Wójcik (2013), ρ−orthogonality and its preservation-revisited, in: Recent Developments in Functional Equations and Inerqualities, Banach Center Publ., Vol 99, pp.17 – 30 [7] J Chmielinski, S Tomasz, P Wójcik (2017), Approximate orthogonality in normed spaces and its applications, Linear Algebra and its applications Appl.531, pp.305 – 317 33 Footer Page 35 of 128 Header Page 36 of 128 [8] S.S Dragomir (2004), Semi-Inner Products and Applications, Nova Science Publishers, Inc., Hauppauge, NY [9] R.C James (1947), Orthogonality and Linear functionals in normed linear spaces, Trans Amer Math, Soc 61, pp.265 – 292 [10] L Singer (1970), Best approximation in normal linear spaces by elements of linear subspaces, Grundlehren Math Wiss., Vol 171, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York [11] P Wójcik (2015), Characterization of smooth spaces by approximate orthogonalities, Aequationes Math 89, pp.1189 – 1194 34 Footer Page 36 of 128 ... văn về: Xấp xỉ trực giao không gian định chuẩn ứng dụng Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tổng quan xấp xỉ trực giao không gian định chuẩn ứng dụng (trong luận văn chủ yếu xét tới xấp xỉ trực giao. .. Trình bày xấp xỉ trực giao không gian định chuẩn, mô tả số ứng dụng xấp xỉ trực giao số không gian định chuẩn cụ thể Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Khơng gian tuyến tính định chuẩn - Khơng gian tích... nghiên cứu xấp xỉ trực giao không gian định chuẩn ứng dụng Đóng góp đề tài Trình bày cách có hệ thống xấp xỉ trực giao không gian định chuẩn liên quan tới tính trực giao Birkhoff ứng dụng Footer