ác định lý về điểm bất động xấp xỉ trong không gian định chuẩn xác suất

LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS Hà Đức Vượng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS Hà Đức Vượng, người thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn quan tâm, động viên, khích lệ và tận tình hướng dẫn để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong quá trình hoàn thành luận văn. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các quý thầy cô trong nhà trường và các quý thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả an tâm học tập và hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, tháng 6 năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Thanh Hải ii LỜI CAM ĐOAN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS Hà Đức Vượng. Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tác giả đã sử dụng và kế thừa những thành quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 6 năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Thanh Hải iii Mục lục Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 Không gian định chuẩn xác suất 26 2.1. Không gian metric xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2. Không gian metric xác suất Menger . . . . . . . . . . . . 33 2.3. Không gian định chuẩn xác suất . . . . . . . . . . . . . . 37 3 Các định lý về điểm bất động xấp xỉ trong không gian định chuẩn xác suất 41 3.1. Điểm bất động xấp xỉ trong không gian định chuẩn xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 iv 3.2. Điểm bất động xấp xỉ trong không gian metric xác suất Menger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 MỞ ĐẦU Cho M là một tập hợp nào đó, ánh xạ T : M → M là ánh xạ đi từ tập M vào chính nó. Điểm x ∈ M thỏa mãn phương trình T x = x được gọi là điểm bất động của ánh xạ T trên tập M. Lý thuyết điểm bất động đã và đang phát triển gắn liền với tên tuổi của các nhà toán học lớn trên thế giới như: Banach, Brouwer, Schauder, Tykhonov, Kakutani, Ky Fan, . Tuy nhiên, với nhiều bài toán thực tế điều kiện của các định lý điểm bất động đối với ánh xạ T có thể quá chặt để ta có T x = x . Khi đó với điều kiện khác ta có T x ≈ x thì x được gọi là điểm bất động xấp xỉ của ánh xạ T . Chẳng hạn trong không gian metric (X, d), ánh xạ T : X → X, với ε > 0 ta có d(T x, x) < ε thì x là điểm bất động xấp xỉ của ánh xạ T trên X. Hay x còn được gọi là ε−điểm bất động của ánh xạ T . Việc nghiên cứu về điểm bất động, điểm bất động xấp xỉ có ý nghĩa rất lớn cả về lý thuyết và ứng dụng nên đã thu hút được nhiều nhà toán học quan tâm. Năm 1942 Menger đã đưa ra khái niệm metric xác suất. Đó là sự mở rộng khái niệm metric thông thường: thay cho việc xét khoảng cách d(x, y), người ta xét hàm phân bố F x,y (t) biểu diễn xác suất để d(x, y) < t, với t là một số thực. Khái niệm này đã thu hút sự quan 2 tâm của nhiều nhà toán học, đặc biệt là Schweizer và Sklar đã xây dựng thành lý thuyết về không gian metric xác suất, viết thành sách chuyên khảo xuất bản năm 1983. Sau đó đã xuất hiện các khái niệm không gian định chuẩn xác suất, không gian Banach xác suất, Các kết quả về điểm bất động, điểm bất động xấp xỉ đã được nhiều tác giả mở rộng sang lớp các không gian này. Gần đây một kết quả mới về điểm bất động xấp xỉ được hai tác giả người Malaysia công bố trong “ Proceedings of the 2nd IMT-GT Regional Conference on Mathematics, Statistics and Applications. University Sains Malaysia, Penang, June 13-15, 2006”. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, được sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của TS. Hà Đức Vượng, tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu: “CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG XẤP XỈ TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN XÁC SUẤT. ” Luận văn được trình bày gồm ba chương nội dung và một danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản về không gian metric, không gian metric đầy đủ, không gian định chuẩn và không gian Banach. "Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922)" là kết quả kinh điển của "Lý thuyết điểm bất động" kết quả đó được trình bày trong Định lý 1.1.1. 3 Phần cuối của chương trình bày về không gian Banach. Chương 2 trình bày về không gian định chuẩn xác suất. Phần đầu của chương, trình bày các khái niệm về hàm phân bố, chuẩn tam giác. Sau đó trình bày định nghĩa về không gian metric xác suất, không gian metric xác suất Menger và không gian định chuẩn xác suất. Phần cuối của chương trình bày khái niệm đường kính xác suất, bán kính xác suất của một tập khác rỗng. Chương 3 trình bày về khái niệm điểm bất động xấp xỉ trong không gian metric xác suất, không gian định chuẩn xác suất và kết quả về điểm bất động xấp xỉ. Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS Hà Đức Vượng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS Hà Đức Vượng, người thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn quan tâm, động viên, khích lệ và tận tình hướng dẫn để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong quá trình hoàn thành luận văn. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các quý thầy cô trong nhà trường và các quý thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt 4 đẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả an tâm học tập và hoàn thành bản luận văn này. 5 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về không gian metric, không gian metric đầy đủ, không gian định chuẩn và không gian Banach. 1.1. Không gian metric Định nghĩa 1.1.1. [1]. Không gian metric là một tập hợp X = ∅ cùng với một ánh xạ d từ X × X vào tập hợp số thực R, thoả mãn các điều kiện sau: 1. d (x, y) ≥ 0, d (x, y) = 0 ⇔ x = y, ∀x, y ∈ X; 2. d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X; 3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X. 6 Ánh xạ d gọi là metric trên X. Số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x và y. Các phần tử của X gọi là các điểm. Không gian metric được kí hiệu là (X, d). Ví dụ 1.1.1. Trong tập C [a,b] các hàm số thực liên tục trên đoạn [a, b], ta đặt d (x, y) = max a≤t≤b |x (t) − y (t)| (1.1.1) với mọi x = x(t), y = y(t) ∈ C [a,b] . Khi đó (C [a,b] , d) là một không gian metric. CHỨNG MINH: Vì ∀x = x(t) ∈ C [a,b] , ∀y = y(t) ∈ C [a,b] nên x(t) − y(t) là hàm liên tục ∀t ∈ [a, b], do đó tồn tại max a≤t≤b |x (t) − y (t)| hay d(x, y) xác định ∀x, y ∈ C [a,b] . Ta kiểm tra các điều kiện về metric. 1. Với ∀x = x(t) ∈ C [a,b] , ∀y = y(t) ∈ C [a,b] , ta có: | x(t) − y(t) |≥ 0, ∀t ∈ [a, b]. Ta suy ra: max a≤t≤b |x (t) − y (t)| ≥ 0, ∀t ∈ [a, b]. Vậy d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ C [a,b] . Hiển nhiên d(x, y) = 0 hay max a≤t≤b |x (t) − y (t)| = 0. Do đó ta có: | x(t) − y(t) |= 0, ∀t ∈ [a, b]. [...]... ∀t ∈ [a, b] (1.3.2) Bất đẳng thức (1.3.2) chứng tỏ dãy số {xn (t)} hội tụ đều tới x(t) trên C[a,b] nên x(t) ∈ C[a,b] Vậy C[a,b] là không gian Banach 26 Chương 2 Không gian định chuẩn xác suất Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về không gian metric xác suất, không gian metric xác suất Menger và không gian định chuẩn xác suất 2.1 Không gian metric xác suất Định nghĩa 2.1.1 [5]... ∀x ∈ X, ∀λ ∈ K 3 x+y ≤ x + y , ∀x, y ∈ X 17 Số x được gọi là chuẩn của vectơ x Định nghĩa 1.2.2 [1] Cho X là không gian tuyến tính trên trường K(thực hoặc phức) Không gian X cùng với chuẩn xác định trên X được gọi là không gian định chuẩn Kí hiệu : Không gian định chuẩn (X, ) Các phần tử thuộc X được gọi là các điểm Ví dụ 1.2.1 Cho không gian tuyến tính phức En = {x = (x1 , x2 , , xn ) : xi ∈ C} và... tục của x Không gian Banach Định nghĩa 1.3.1 [1] Cho không gian định chuẩn X, dãy {xn } ⊂ X được gọi là dãy Cauchy nếu lim n,m→∞ xn − xm = 0 Hay với ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ sao cho ∀n ≥ n0 , ∀m ≥ n0 Ta có xn − xm < ε Định nghĩa 1.3.2 [1] Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ tới một điểm thuộc X Ví dụ 1.3.1 Không gian C[a,b] là không gian các hàm thực... suy ra T là ánh xạ co Hơn nữa R là không gian metric đầy đủ nên theo Nguyên lý điểm bất động Banach thì ánh xạ T có điểm bất động duy nhất, nghĩa là phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 1.2 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.2.1 [1] Cho X là không gian tuyến tính trên trường K (thực hoặc phức) Một ánh xạ xác định trên X, có giá trị thực, hữu hạn được gọi là một chuẩn nếu: 1 x ≥ 0, ∀x ∈ X x = 0 ⇔... = xk k=1 yk k=1 n n ≤ xk 2 + k=1 = x Suy ra 2 + yk 2 k=1 y là một chuẩn trên En Vậy (En , ) là một không gian định chuẩn Định lý 1.2.1 [1] Mọi không gian định chuẩn đều là không gian metric Chứng minh Giả sử (X, ) là không gian định chuẩn Với mọi x, y ∈ X ta đặt 19 d(x, y) = x − y Khi đó d là một metric trên X Thật vậy: 1.Theo Định nghĩa 1.2.1 ta có với mọi x, y ∈ X x − y ≥ 0 Suy ra d(x, y) ≥... ta được d(xn , xm ) → 0 Vậy {xn } là một dãy Cauchy trong (C[0,1] , d) Định nghĩa 1.1.4 [1] Không gian metric (X, d) được gọi là không gian metric đầy đủ, nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ tới một điểm thuộc X Ví dụ 1.1.3 Không gian C[a,b] là không gian metric đầy đủ CHỨNG MINH: 10 Giả sử {xn (t)} là dãy Cauchy tuỳ ý trong không gian C[a,b] Theo định nghĩa dãy Cauchy với ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ , ∀n, m... d(y, x) 3 ∀x, y, z ∈ X theo Định nghĩa về chuẩn ta có x+y ≤ x + y Suy ra d(x, y) = x − y = x − z + z − y 20 ≤ x−z + z−y = d(x, z) + d(z, y) Vậy (X, d) là một không gian metric Định nghĩa 1.2.3 [1] Cho không gian định chuẩn X và dãy điểm {xn } ⊂ X Dãy {xn } gọi là hội tụ tới x nếu lim n→∞ xn − x = 0 Kí hiệu lim xn = x, hay xn → x, n → ∞ n→∞ Nhận xét 1.2.1 Trong không gian định chuẩn X, dãy {xn } ⊂ X và... 1 | dt = 0, 1 2 Như vậy L Trong C[0, 1 ] : hai hàm x(t) và 1 cùng là giới hạn của xn (t) 2 Trong C[L ,1] 1 2 : hai hàm x(t) và 0 cùng là giới hạn của xn (t) L Vì vậy x(t) không thuộc C[0,1] Do đó dãy {xn (t)} không có giới hạn nào L trong C[0,1] L Vậy không gian C[0,1] là không gian metric không đầy đủ Định nghĩa 1.1.5 [1] Cho không gian metric (X, d) Ánh xạ T từ không gian (X, d) vào chính nó gọi... là x∗ là điểm bất động của ánh xạ T Bây giờ ta chứng minh x∗ là điểm bất động duy nhất của ánh xạ T Giả sử tồn tại điểm y ∗ ∈ X cũng là điểm bất động của ánh xạ T Thế thì d(x∗ , y ∗ ) = d(T x∗ , T y ∗ ) ≤ kd(x∗ , y ∗ ) 15 Suy ra d(x∗ , y ∗ ) − kd(x∗ , y ∗ ) ≤ 0 Hay (1 − k)d(x∗ , y ∗ ) ≤ 0 Do k < 1 nên d(x∗ , y ∗ ) = 0 Suy ra x∗ = y ∗ Vì vậy x∗ là điểm bất động duy nhất của ánh xạ T Định lý được chứng... (1.1.1) xác định một metric trên C[a,b] Vậy (C[a,b] , d) là một không gian metric Định nghĩa 1.1.2 [1] Cho không gian metric (X, d), dãy {xn } ⊂ X, điểm x0 ∈ X Dãy {xn } gọi là hội tụ tới điểm x0 khi n → ∞ nếu với ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ , với ∀n ≥ n0 thì d(xn , x0 ) < ε Hay lim d(xn , x0 ) = 0 n→∞ Kí hiệu: lim xn = x0 n→∞ hay xn → x0 , n → ∞ 8 Điểm x0 được gọi là giới hạn của dãy {xn } trong X Định nghĩa . định chuẩn xác suất . . . . . . . . . . . . . . 37 3 Các định lý về điểm bất động xấp xỉ trong không gian định chuẩn xác suất 41 3.1. Điểm bất động xấp xỉ trong không gian định chuẩn xác suất . kính xác suất, bán kính xác suất của một tập khác rỗng. Chương 3 trình bày về khái niệm điểm bất động xấp xỉ trong không gian metric xác suất, không gian định chuẩn xác suất và kết quả về điểm bất. chương, trình bày các khái niệm về hàm phân bố, chuẩn tam giác. Sau đó trình bày định nghĩa về không gian metric xác suất, không gian metric xác suất Menger và không gian định chuẩn xác suất. Phần cuối