Định nghĩa 1.3.1. [1]. Cho không gian định chuẩn X, dãy {xn} ⊂ X
được gọi là dãy Cauchy nếu
lim
n,m→∞k xn −xm k= 0.
Hay với ∀ε > 0,∃n0 ∈ N∗ sao cho ∀n ≥n0,∀m ≥ n0. Ta có
kxn −xm k< ε.
Định nghĩa 1.3.2. [1]. Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ tới một điểm thuộc X.
Ví dụ 1.3.1.
Không gian C[a,b] là không gian các hàm thực liên tục trên đoạn [a, b]
k . k: C[a,b] → R, x 7−→k x k= max
[a,b] | x(t) |
là không gian Banach.
CHỨNG MINH:
1. Hiển nhiên ∀x = x(t) ∈ C[a,b],∀t∈ [a, b] ta có
|x(t)| ≥0. Suy ra max [a,b] |x(t)| ≥ 0. Vậy k x k≥ 0. Ta lại có kx k= 0 ⇔ max [a,b] |x(t)| = 0. Suy ra |x(t)| = 0,∀t ∈ [a, b]. Vậy k x k= θ.
2. Với mọi x = x(t) ∈ C[a,b],∀λ ∈ K, ta có
k λx k= max
[a,b] |λx(t)|
= |λ|max
[a,b] |x(t)|
= |λ|. k x k.
3. ∀x = x(t) ∈ C[a,b],∀y = y(t) ∈ C[a,b], ta có
Suy ra max [a,b] |x(t) +y(t)| ≤max [a,b] |x(t)|+ max [a,b] |y(t)|. Hay kx+y k≤k x k+ ky k .
Vậy C[a,b] là một không gian định chuẩn.
Giả sử {xn(t)} là dãy Cauchy tuỳ ý trong C[a,b], tức là với mọi
ε > 0,∃n0 ∈ N∗,∀m, n ≥n0 :
k xm −xn k= max
[a,b] |xm(t)−xn(t)| < ε.
Suy ra
|xm(t)−xn(t)| < ε,∀t ∈ [a, b]. (1.3.1) Bất đẳng thức (1.3.1) chứng tỏ với mỗi t cố định thuộc đoạn [a, b], dãy
{xn(t)} là dãy số thực cơ bản nên phải tồn tại giới hạn lim
n→∞xn(t) =x(t),∀t∈ [a, b].
Cho m → ∞ từ (1.3.1) ta có:
|xn(t)−x(t)| ≤ε,∀n≥ n0,∀t ∈ [a, b]. (1.3.2) Bất đẳng thức (1.3.2) chứng tỏ dãy số {xn(t)} hội tụ đều tới x(t) trên
C[a,b] nên x(t) ∈ C[a,b].
Chương 2