suất
Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm về điểm bất động xấp xỉ, định lý về điểm bất động xấp xỉ trong không gian định chuẩn xác suất và không gian metric xác suất Menger .
3.1. Điểm bất động xấp xỉ trong không gian địnhchuẩn xác suất chuẩn xác suất
Định nghĩa 3.1.1. [10]. Bao đóng xác suất (probabilistic closure) của tập con A trong không gian metrric xác suất (X,F,∆) là :
A= x ∈ X : sup y∈A Fxy = H0 .
Cho không gian định chuẩn xác suất (X,F,min) và A ⊂ X. Cho ánh xạ f : A → A là một ánh xạ đơn trị . Một điểm x ∈ A được gọi là một điểm bất động của f nếu thoả mãn điều kiện Ff(x)−x = H0. Tuy nhiên, với mỗi x ∈ A , nếu Ff(x)−x 6= H0 với một số t > 0 nào đó, thì
f(x) 6= x, nghĩa là f không có điểm bất động nào trong A. Nhưng khi
Ff(x)−x → 1đối với một sốt > 0nào đó, ta có thể kết luận rằngf(x) → x
hay x ≈ f(x) và x được gọi là điểm bất động xấp xỉ (approximate fixed point). Hay còn gọi là ε−điểm bất động của ánh xạ f.
Định nghĩa 3.1.2. [10]. Cho không gian định chuẩn xác suất(X,F,min)
và A ⊂ X . Điểm x ∈ A được gọi là điểm bất động xấp xỉ hay ε−điểm bất động của f : A →A nếu tồn tại một ε > 0 sao cho
sup
0<t<ε
Ff(x)−x(t) = 1.
Khi đó ta nói rằng ánh xạ f có tính chất điểm bất động xấp xỉ (approx- imate fixed point property, viết tắt là a.f.p.p) nếu hàm f có ít nhất một điểm bất động xấp xỉ (ε- điểm bất động).
Định lý 3.1.1. [10]. Trong không gian định chuẩn xác suất (X,F,min)
và A ⊂ X là tập khác rỗng, bị chặn và lồi. Nếu f : A → A là một ánh xạ liên tục xác suất thì f có điểm bất động xấp xỉ.
Chứng minh.
Do f là một ánh xạ liên tục xác suất (ε-liên tục) nên với mỗi x ∈ A, ta có
sup
ε>0
Ff(x)(ε) = 1.
Giả sử B là một tập con lồi, compact của A sao cho B = (1 −α)A,
trong đó A là bao đóng xác suất của A. Ta xác định một ánh xạ liên tục
g :B →B như sau:
g(x) = (1−α)f(x),∀x ∈ B.
Theo định lý điểm bất động của Brouwer’s, tồn tại điểm x0 ∈ B sao cho
g(x0) = x0 có nghĩa là (1−α)f(x0) = x0, hay (1−α)f(x0)−x0 = 0.
Từ đó ta có
F(1−α)f(x0)−x0(t) =H0.
Mặt khác ta có f(x0)−x0 = (1−α)f(x0) +αf(x0)−x0 nên theo điều kiện 4 của Định nghĩa 2.3.1 ta có :
Ff(x0)−x0(t) ≥min ( F(1−α)f(x0)−x0(t), Fαf(x0)(t) ) = min ( H0, Ff(x0) t α ) ≥ Ff(x0) t α .
Lấy sup hai vế bất đẳng thức trên theo ε > t > 0, ta có sup ε>t>0 Ff(x0)−x0(t) ≥ sup ε>t>0 Ff(x0) t α .
Vì x0 ∈ B, mà B ⊂ A, ta có sup ε>t>0 Ff(x0) t α = 1. Do đó sup ε>t>0 Ff(x0)−x0(t) = 1.
Vậy x0 là một điểm bất động xấp xỉ của f. Định lý được chứng minh.
3.2. Điểm bất động xấp xỉ trong không gian metricxác suất Menger xác suất Menger
Định nghĩa 3.2.1. [5]. Cho không gian metric xác suất Menger(X,F,∆). Ánh xạ T : X → X được gọi là ánh xạ co xác suất nếu tồn tại k ∈ (0,1)
sao cho với mọi x, y ∈ X và mọi t > 0 thì
FT x,T y(kt) ≥Fx,y(t).
Định lý 3.2.1. [5]. Cho (X,F,∆) là không gian metric xác suất Menger đầy đủ và T : X → X là một ánh xạ co xác suất. Giả sử rằng ∆(a, b) = min{a, b}. Khi đó T có một điểm bất động duy nhất.
Chứng minh.
Giả sử x0 ∈ X và {xn} là một dãy lặp được xác định như sau: