Các định lý về điểm bất động xấp xỉ trong không gian định chuẩn xác suất

LèI CÁM ƠN Lu¾n văn đưoc hồn thành tai trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cna TS Hà Đúc Vưong Tác giá xin bày tó lòng biet ơn chân thành, sâu sac tói TS Hà Đúc Vưong, ngưòi thay hưóng dan truyen cho tác giá nhung kinh nghi¾m quý báu hoc t¾p nghiên cúu khoa hoc Thay ln quan tâm, đng viờn, khớch lắ v tắn tỡnh húng dan e tác giá vươn lên hoc t¾p vưot qua nhung khó khăn q trình hồn thành lu¾n văn Tác giá xin bày tó lòng kính trong, biet ơn chân thành sâu sac nhat đen thay Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành đen Ban Giỏm hiắu Trũng hoc S pham H Nđi 2, phòng Sau đai hoc, q thay nhà trưòng q thay giáo day cao hoc chun ngành Tốn Giái tích tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ket thúc tot đep chương trình cao hoc hồn thành lu¾n văn tot nghi¾p Tác giá xin bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân đ®ng viên tao moi đieu ki¾n tot nhat đe tác giá an tâm hoc t¾p v hon thnh bỏn luắn ny H Nđi, thỏng năm 2012 Tác giá Nguyen Th% Thanh Hái LèI CAM ĐOAN Lu¾n văn đưoc hồn thành tai trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cna TS Hà Đúc Vưong Trong trình nghiên cúu hồn thành lu¾n văn, tác giá sú dung ke thùa nhung thành cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng năm 2012 Tác giá Nguyen Th% Thanh Hái Mnc lnc Má đau 1 Kien thNc chuan b% 1.1 Không gian metric 1.2 Không gian đ%nh chuan 16 1.3 Không gian Banach 23 Không gian đ%nh chuan xác suat 26 2.1 Không gian metric xác suat 26 2.2 Không gian metric xác suat Menger 33 2.3 Không gian đ%nh chuan xác suat 37 Các đ%nh lý ve điem bat đ®ng xap xí khơng gian đ %nh chuan xác suat 3.1 Điem bat đ®ng xap xí khơng gian đ%nh chuan xác 41 suat 41 3.2 Điem bat đ®ng xap xí khơng gian metric xác suat Menger 44 Ket lu¾n 49 Tài li¾u tham kháo 50 Mộ AU Cho M l mđt hop no ú, ánh xa T : M → M ánh xa tù t¾p M vào Điem x ∈ M thóa mãn phương trình Tx = x đưoc goi l iem bat đng cna ỏnh xa T trờn M Lý thuyet điem bat đ®ng phát trien gan lien vói tên tuoi cna nhà tốn hoc lón the giói như: Banach, Brouwer, Schauder, Tykhonov, Kakutani, Ky Fan, Tuy nhiên, vói nhieu tốn thnc te đieu ki¾n cna đ%nh lý điem bat đ®ng đoi vói ánh xa T có the q ch¾t đe ta có Tx = x Khi vói đieu ki¾n khác ta có Tx ≈ x x đưoc goi điem bat đ®ng xap xí cna ánh xa T Chang han khơng gian metric (X, d), ánh xa T : X → X, vói ε > ta có d(T x, x) < ε x điem bat đ®ng xap xí cna ánh xa T X Hay x đưoc goi ε−điem bat đ®ng cna ánh xa T Viắc nghiờn cỳu ve iem bat đng, iem bat đng xap xí có ý nghĩa rat lón cá ve lý thuyet úng dung nên thu hút đưoc nhieu nhà toán hoc quan tâm Năm 1942 Menger đưa khái ni¾m metric xác suat Đó sn mó rđng khỏi niắm metric thụng thũng: thay cho viắc xột khống cách d(x, y), ngưòi ta xét hàm phân bo Fx,y(t) bieu dien xác suat đe d(x, y) < t, vúi t l mđt so thnc Khỏi niắm ny ó thu hút sn quan tâm cna nhieu nhà toán hoc, đ¾c bi¾t Schweizer Sklar xây dnng thành lý thuyet ve không gian metric xác suat, viet thành sách chuyên kháo xuat bán năm 1983 Sau xuat hi¾n khái ni¾m khơng gian đ%nh chuan xác suat, không gian Banach xác suat, Các ket q ve điem bat đ®ng, điem bat đ®ng xap xí đưoc nhieu tác giá mó r®ng sang lóp khơng gian Gan m®t ket q mói ve điem bat đ®ng xap xí đưoc hai tác giá ngưòi Malaysia công bo “ Proceedings of the 2nd IMT-GT Regional Conference on Mathematics, Statistics and Applications University Sains Malaysia, Penang, June 13-15, 2006 ” Vói mong muon tìm hieu sâu ve van đe này, đưoc sn giúp đõ hưóng dan t¾n tình cna TS Hà ĐÚc Vưang, manh dan chon đe tài nghiên cúu: “CÁC бNH LÝ VE ĐIEM BAT Đ®NG XAP XÍ TRONG KHƠNG GIAN бNH CHUAN XÁC SUAT ” Lu¾n văn đưoc trình bày gom ba chương n®i dung m®t danh muc tài li¾u tham kháo Chương trình bày khái ni¾m bán ve không gian metric, không gian metric đay đn, không gian đ%nh chuan không gian Banach "Nguyên lý ánh xa co Banach (1922)" ket kinh đien cna "Lý thuyet điem bat đ®ng" ket q đưoc trình bày Đ%nh lý 1.1.1 Phan cuoi cna chương trình bày ve khơng gian Banach Chương trình bày ve khơng gian đ%nh chuan xác suat Phan đau cna chương, trình bày khái ni¾m ve hàm phân bo, chuan tam giác Sau trình bày đ%nh nghĩa ve không gian metric xác suat, không gian metric xác suat Menger không gian đ%nh chuan xác suat Phan cuoi cna chương trình bày khái ni¾m đưòng kính xỏc suat, bỏn kớnh xỏc suat cna mđt khỏc rong Chương trình bày ve khái ni¾m điem bat đ®ng xap xí khơng gian metric xác suat, khơng gian đ%nh chuan xác suat ket ve điem bat đng xap xớ Luắn oc hon thnh tai trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cna TS Hà Đúc Vưong Tác giá xin bày tó lòng biet ơn chân thành, sâu sac tói TS Hà Đúc Vưong, ngưòi thay hưóng dan truyen cho tác giá nhung kinh nghi¾m quý báu hoc t¾p nghiên cúu khoa hoc Thay ln quan tõm, đng viờn, khớch lắ v tắn tỡnh húng dan đe tác giá vươn lên hoc t¾p vưot qua nhung khó khăn q trình hồn thành lu¾n văn Tác giá xin bày tó lòng kính trong, biet ơn chân thành sâu sac nhat đen thay Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành đen Ban Giỏm hiắu Trũng hoc S pham H Nđi 2, phòng Sau đai hoc, q thay nhà trưòng q thay giáo day cao hoc chun ngành Tốn Giái tích tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ket thúc tot đep chương trình cao hoc hồn thành lu¾n văn tot nghi¾p Tác giá xin bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân đ®ng viên tao moi đieu ki¾n tot nhat đe tác giá an tâm hoc t¾p hồn thành bán lu¾n văn Chương Kien thNc chuan b% Trong chương trỡnh by mđt so khỏi niắm c bỏn ve khụng gian metric, không gian metric đay đn, không gian đ%nh chuan không gian Banach 1.1 Không gian metric Đ%nh ngha 1.1.1 [1] Khụng gian metric l mđt hop X ƒ= ∅ vói m®t ánh xa d tù X ì X vo hop so thnc R, thoỏ mãn đieu ki¾n sau: d (x, y) ≥ 0, d (x, y) = ⇔ x = y, ∀x, y ∈ X; d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X; d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X Ánh xa d goi metric X So d(x, y) goi khoáng cách giua hai phan tú x y Các phan tú cúa X goi điem Khơng gian metric đưoc kí hi¾u (X, d) Ví dn 1.1.1 Trong t¾p C[a,b] hàm so thnc liên tnc đoan [a, b], ta đ¾t d (x, y) = max |x (t) − y (t)| (1.1.1) a≤t≤b vói moi x = x(t), y = y(t) ∈ C[a,b] Khi (C[a,b], d) m®t khơng gian metric CHÚNG MINH: Vì ∀x = x(t) ∈ C[a,b], ∀y = y(t) ∈ C[a,b] nên x(t) − y(t) hàm liên tuc ∀t ∈ [a, b], ton tai max |x (t) − y (t)| hay d(x, y) xác đ%nh a≤t≤b ∀x, y ∈ C[a,b] Ta kiem tra đieu ki¾n ve metric Vói ∀x = x(t) ∈ C[a,b], ∀y = y(t) ∈ C[a,b] , ta có: | x(t) − y(t) |≥ 0, ∀t ∈ [a, b] Ta suy ra: max |x (t) − y (t)| ≥ 0, ∀t ∈ [a, b] a≤t≤b V¾y d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ C[a,b] Hien nhiên d(x, y) = hay max |x (t) − y (t)| = a≤t≤b Do ta có: | x(t) − y(t) |= 0, ∀t ∈ [a, b] Đ%nh nghĩa 2.3.2 [10] Không gian đ%nh chuan xác suat b® ba (X, F, τ ), X khơng gian tuyen tính thnc, hàm phân bo F : X → F đưoc goi mđt chuan xỏc suat (probabilistic norm), ký hiắu giỏ tr% cúa F tai x ∈ X Fx τ m®t hàm tam giác liên tnc thố mãn: Fx(t) = H0(t) ⇔ x = θ (vectơ không X) Fαx(t) = Fx t , ∀x ∈ X, ∀α ∈ K, α ƒ= 0, ∀t ∈ R |α| Fx+y(t + s) F x(t), , ∀x, y ∈ X, ∀t, s > ≥τ Fy(s) Neu hàm tam giác liên tnc τ = ta có Đ%nh nghĩa 2.3.1 Đ%nh nghĩa 2.3.3 [11] Trong khơng gian đ%nh chuan xác suat (X, F, min), dãy {xn} ⊂ X đưoc goi h®i tn tói x ∈ X, neu vói moi ε > λ ∈ (0, 1) ton tai m®t so nguyên dương N = N (ε, λ) cho vói moi n > N Fxn−x(ε) = Hay lim Fxn−x(ε) > − λ n→∞ Đ%nh nghĩa 2.3.4 [11] Trong không gian đ%nh chuan xác suat (X, F, min), dãy {xn} ⊂ X đưoc goi dãy Cauchy xác suat, neu moi ε > ton tai m®t so nguyên dương N = N (ε) cho vói moi n, m > N Hay Fxn−xm (ε) = lim n,m→∞ Fxn−xm (ε) > − ε Đ%nh nghĩa 2.3.5 [8] Đưòng kớnh xỏc suat (probabilistic diameter) DA cỳa mđt khác rong A ⊂ X cúa không gian metric xác suat (X, F, ∆) xác đ%nh bói: DA(x) = sup in Fp,q(t) DA(∞) = f t0 x,y∈A Hay lim Fx,y(t) = 1, ∀x, y ∈ A t→∞ Nh¾n xét 2.3.2 Cho (X, F, ∆) không gian metric xác suat Menger, A ⊂ X, đưòng kính xác suat cúa A DA Khi ta có: DA = H0 ⇔ A l hop chs gom mđt iem B A ⇒ DB ≥ DA Fx,y ≥ DA, ∀x, y ∈ A Đ%nh nghĩa 2.3.6 [10] Trong không gian đ%nh chuan xác suat (X, F, min), m®t ánh xa f : X → X goi liên tnc xác suat (probabilistic continuons), hay ε−liên tnc neu vói moi x ∈ X ε > Rf (Nx(ε))(ε) > − ε Trong RA(ε) = sup inf Fx(t) goi bán kính xác suat cúa A (proba- 0 − ε Chúng minh Trong không gian đ%nh chuan xác suat (X, F, min) A ⊂ X Do f ánh xa liên tuc xác suat (ε-liên tuc) nên theo Đ%nh nghĩa 2.3.5 ta có: Vói moi x ∈ A ε > Rf (Nx(ε))(ε) > − ε Nhưng vói bat kỳ f (x) ∈ f (Nx(ε)), theo đieu ki¾n cna Nh¾n xét 2.3.2 ta có Ff (x) ≥ Rf (Nx(ε)) Tù suy Ff (x)(ε) > − ε Đ%nh lý đưoc chúng minh Chương Các đ%nh lý ve điem bat đ®ng xap xí không gian đ%nh chuan xác suat Trong chương chỳng tụi trỡnh by mđt so khỏi niắm ve iem bat đ®ng xap xí, đ%nh lý ve điem bat đ®ng xap xí khơng gian đ %nh chuan xác suat không gian metric xác suat Menger 3.1 Điem bat đ®ng xap xí khơng gian đ%nh chuan xác suat Đ%nh nghĩa 3.1.1 [10] Bao đóng xác suat (probabilistic closure) cúa t¾p A khơng gian metrric xác suat (X, F, ∆) : A = x ∈ X : sup Fxy = H0 y∈A Cho không gian đ%nh chuan xác suat (X, F, min) A ⊂ X Cho ánh xa f : A → A m®t ánh xa đơn tr% M®t điem x ∈ A đưoc goi m®t điem bat đng cna f neu thoỏ ieu kiắn Ff (x)x = H0 Tuy nhiên, vói moi x ∈ A , neu Ff (x)−x ƒ= H0 vói m®t so t > đó, f (x) ƒ= x, nghĩa f khơng có điem bat đ®ng A Nhưng Ff (x)−x → đoi vói m®t so t > đó, ta có the ket lu¾n rang f (x) → x hay x ≈ f (x) x đưoc goi điem bat đ®ng xap xí (approximate fixed point) Hay goi ε−điem bat đ®ng cna ánh xa f Đ%nh nghĩa 3.1.2 [10] Cho không gian đ%nh chuan xác suat (X, F, min) A ⊂ X Điem x ∈ A đưoc goi điem bat đ®ng xap xs hay ε−điem bat đ®ng cúa f : A → A neu ton tai m®t ε > cho sup Ff (x)−x(t) = 0 t > 0, ta có sup ε>t>0 Ff (x0)−x0 (t) ≥ Ff (x ) sup ε>t>0 t α Vì x0 ∈ B, mà B ⊂ A, ta có sup ε>t>0 Ff (x0) t = α Do su Ff (x0)−x0 (t) = p ε>t> V¾y x0 m®t điem bat đ®ng xap xí cna f Đ%nh lý đưoc chúng minh 3.2 Điem bat đ®ng xap xí không gian metric xác suat Menger Đ%nh nghĩa 3.2.1 [5] Cho không gian metric xác suat Menger (X, F, ∆) Ánh xa T : X → X đưoc goi ánh xa co xác suat neu ton tai k ∈ (0, 1) cho vói moi x, y ∈ X moi t > FTx,Ty (kt) ≥ Fx,y(t) Đ%nh lý 3.2.1 [5] Cho (X, F, ∆) không gian metric xác suat Menger đay đú T : X → X m®t ánh xa co xác suat Giá sú rang ∆(a, b) = min{a, b} Khi T có m®t điem bat đ®ng nhat Chúng minh Giá sú x0 ∈ X {xn} m®t dãy l¾p đưoc xác đ%nh sau: xn = T xn−1 , n = 1, 2, Do T ánh xa co xác suat nên dãy l¾p thố mãn đieu ki¾n: t , ∀t > 0, n = 1, 2, , Fxn,xn+1 (t) ≥ Fxn−1,xn k vói k hang so, k ∈ (0, 1) Chúng minh tương tn Ví du 2.2.1 ta có dãy {xn} dãy Cauchy (X, F, ∆) Do {xn} h®i tu tói phan tú x∗ thu®c X, hay lim n→∞ xn = x∗, x∗ ∈ X Theo giá thiet xn = T xn−1 nên t t (3.2.1) ≥ Fx∗,xn−1 FTx∗,Txn −1 2k Khi ta có t t + 2 t , FT x∗ ,x∗ (t) = FT x∗ ,x∗ , F ≥ ∆ FT x∗ ,xn = ,FT x ∗,x = ,FT x Vì lim n→∞ ,Tx xn = x∗ nên ta có 2k lim Fxn,x t = 1, n→∞ ∗ t = lim Fx∗,x n — t n−1 , Fx t ,x n t , ∗ , x∗ t , , 2 Fx n , t t , , Fx∗,xn−1 Fxn,x∗ FT x∗ ,x∗ (t) ≥ n→∞ t , xn,x∗ n Tù (3.2.1) ta có 2k Suy ∗ FT x∗ ,x∗ (t) = 1, ∀t > Do ta có T x∗ = x∗ V¾y x∗ điem bat đ®ng cna ánh xa T Cuoi ta chúng minh x∗ điem bat đ®ng nhat cna ánh xa T Th¾t v¾y, giá sú điem y∗ điem bat đ®ng cna ánh xa T, ta có Fx∗,y∗ (t) = FTx∗ ,Ty ∗ (t) ≥ Fx∗,y∗ t k Vì Fx,y(t) hàm khơng giám nên t ≥ Fx∗,y∗ (t) Fx∗,y∗ k V¾y Fx∗,y∗ hàm hang vói moi t > M¾t khác, sup Fx∗,y∗ = nên Fx∗,y∗ = 1, ∀t > Suy x∗ = y∗ Đ%nh lý đưoc chúng minh Đ%nh lý 3.2.2 [10] Cho (X, F, min) không gian metric xác suat Menger, ánh xa T : X → X ánh xa co xác suat, x∗ điem bat đ®ng cúa ánh xa T Khi đó: x∗ điem bat đ®ng nhat Vói moi dãy điem bat đ®ng xap xs {xn} ⊂ X ta có lim n→∞ Fxn,x∗ (t) = 1, ∀t > Chúng minh Giá sú x∗ m®t điem bat đ®ng cna ánh xa T , túc T x∗ = x∗ Vói x0 ∈ X, xét dãy l¾p {xn} xác đ%nh bói: xn = T xn−1 , n = 1, 2, Và {xn} dãy Cauchy h®i tu tói x∗ X, hay lim n→∞ xn = x∗, x∗ ∈ X Do T ánh xa co xác suat nên ta có Fxn,xn+1 (t) = FT xn (t) ≥ F ,Tx n − xn− 1,x n t , n = 1, 2, , k vói k hang so, k ∈ (0, 1), ∀t > Ta chúng minh x∗ m®t điem bat đ®ng nhat cna ánh xa T Th¾t v¾y, giá sú y∗ ∈ X m®t điem bat đ®ng cna ánh xa T , ta có Fx∗,y∗ (t) = FTx∗ ,Ty ∗ (t), ∀t > 0, k ∈ (0, 1) M¾t khác, T ánh xa co xác suat nên ta có FTx∗ ,Ty∗ (t) ≥ Fx∗,y∗ t , ∀t > 0, k ∈ (0, 1) k Vì T hàm khơng giám nên Fx∗,y∗ ≥ Fx∗,y∗ (t) t k (t), ∀t > 0, k ∈ (0, 1) Suy Fx∗,y ∗ t k x∗,y = F∗ V¾y Fx∗,y∗ (t) hàm hang vói ∀t > Theo đ%nh nghĩa cna hàm phân bo ta có sup Fx∗,y∗ (t) = nên suy Fx∗,y∗ (t) = 1, ∀t > V¾y x∗ = y∗ Vói x0 ∈ X, ∀t > 0, ∀k ∈ (0, 1), T ánh xa co xác suat nên ta có t n−1 Fxn,x∗ (t) = − ,T x∗ (t) ≥ , k x∗ FT xn Fx t t = FT xn −2 ,T x∗ ≥ n−2 , k F x∗ k2 x t t = FT xn − ∗ ,T x ≥ Fx n−3 ,x∗ k3 FT x1 k t = ≥ kn− Fx1,x∗ ,T x∗ t kn−1 Vói k ∈ (0, 1), t > ta có t Vì sup Fx1,x∗ t kn−1 → ∞, n → ∞ kn−1 Fx ,x = nên ∗ t = lim kn−1 n→∞ Theo Đ%nh nghĩa 2.2.3 vói λ > 0, n đn lón ta có Fx1,x∗ t > − λ kn−1 Fxn,x∗ (t) > − λ Suy Fxn,x∗ (t) = 1, ∀t > V¾y lim n→∞ Đ%nh lý đưoc chúng minh KET LU¾N Lu¾n văn trình by mđt cỏch ngan gon, cú hắ thong cỏc khỏi niắm v %nh lý ve iem bat đng xap xớ không gian đ%nh chuan xác suat Cu the là: Chương 1: Trình bày m®t so kien thúc cơng cu nghiên cúu n®i dung ó nhung chương sau như: không gian metric, không gian metric đay đn, không gian đ%nh chuan khơng gian Banach Chương 2: Trình bày kien thúc ve hàm phân bo, chuan tam giác, khái ni¾m ve khơng gian metric xác suat, không gian metric xác suat Menger không gian đ%nh chuan xác suat Chương 3: Trình bày ket ve điem bat đ®ng xap xí khơng gian đ%nh chuan xác suat khơng gian metric xác suat Menger Vói pham vi thòi gian kien thúc có han, chac chan lu¾n văn khơng tránh khói nhung thieu sót Mong q thay ban góp ý đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Tác giá xin chân thành cám ơn! 58 Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Nguyen Phu Hy (2005), Giái tích hàm, Nhà xuat bán Khoa hoc Ky thu¾t [2] Đo Hong Tân, Nguyen Th% Thanh Hà (2002), Các đ%nh lý điem bat đ®ng, Nhà xuat bán Đai hoc Sư pham, Hà N®i [3] Hồng Tuj (2005), Hàm thnc giái tích hàm, Nhà xuat bán Đai hoc Quoc gia, Hà Nđi [B] Ti liắu tieng Anh [4] C Alsina, B Schweizer and A Sklar (1993), "On the definition of a probabilistic normed space", Aequationes Math, 46, 91-98 [5] G Constantin and I Istratescu (1989), "Elements of Probabilistic Analysis with Application", Kluwer academic Publisher, Romania [6] Gao Junyu, Su Yongfu (2009), "Mathematical expectation of Probabilistic Metric Spaces and Banach fixed point theorem", Applied Mathemetical Sciences,3(33), 1647-1654 [7] B Lafuerza Guillen, J A Rodrigues Lallena and C Sempi (1999), "A study of boundedness in probabilistic normed spaces", J Math Anal Appl., 232 [8] M Rafi and M S M Noorani (2005), "Fixed point thoerem on probabilistic ultra-metric spaces", Journal of Approximation Theory and Application,Vol.1, No.1, 23-28 [9] M Rafi and M S M Noorani (2005), "Random Modular Spaces", Internationnal Juornal of Mathematics Sciences Vol.4, 23, 41-352 [10] M Rafi and M S M Noorani (2006), "Approximate Fixed point thoerem in probabilistic normed spaces", Proceedings of the 2nd IMT-GT Regional Conference on Mathematics, Statistics and Applications University Sains Malaysia, Penang, June 13-15 [11] B Schweizer and A Sklar (1983), "Probabilistic metric spaces", North-Holland 51 ... 1.1 Không gian metric 1.2 Không gian đ%nh chuan 16 1.3 Không gian Banach 23 Không gian đ%nh chuan xác suat 26 2.1 Không gian metric xác suat 26 2.2 Không. .. Không gian metric xác suat Menger 33 2.3 Không gian đ%nh chuan xác suat 37 Các đ%nh lý ve điem bat đ®ng xap xí khơng gian đ %nh chuan xác suat 3.1 Điem bat đ®ng xap xí khơng gian đ%nh... Kien thNc chuan b% Trong chương chúng tơi trình by mđt so khỏi niắm c bỏn ve khụng gian metric, không gian metric đay đn, không gian đ%nh chuan không gian Banach 1.1 Không gian metric Đ%nh nghĩa