Định lý Cayley - Hamilton và ứng dụng

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I KHOA TỐN TRAN TH± MINH бNH LÍ CAYLEYHAMILTON VÀ ÚNG DUNG KHĨA LU¾N TOT NGHI›P ĐAI HOC Chun ngành: HÌNH HOC Ngưài hưáng dan khoa hoc Th PHAM THANH TÂM Hà N®i - 2013 LèI CÁM ƠN Em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói thay Pham Thanh Tâm Ngưòi thay trnc tiep t¾n tình hưóng dan giúp đõ em hồn thành khố lu¾n cna Đong thòi em xin chân thành cám ơn thay cô to Hình Hoc thay khoa Tốn - Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, tao đieu ki¾n cho em hồn thành tot khố lu¾n Trong khn kho có han cna m®t khố luắn, ieu kiắn thũi gian, trỡnh đ cú han lan đau tiên nghiên cúu khoa hoc khơng tránh khói nhung han che, thieu sót nhat đ%nh Vì v¾y, em kính mong nh¾n đưoc nhung góp ý cna thay ban Em xin chân thành cám ơn ! Hà N®i, ngày 15 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Tran Th% Minh LèI CAM ĐOAN Khố lu¾n ket q cna bán thân em q trình hoc t¾p nghiên cúu Bên canh em đưoc sn quan tâm cna thay giáo khoa Tốn, đ¾c bi¾t sn hưóng dan t¾n tình cna Thay Pham Thanh Tâm Trong nghiên cúu hồn thành khố lu¾n em ó tham khỏo mđt so ti liắu ó ghi phan tài li¾u tham kháo Em xin khang đ%nh ket cna đe tài “Đ%nh lí Cayley-Hamilton Úng ding ” khơng có sn trùng l¾p vói ket q cna đe tài khác Hà N®i, ngày 15 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Tran Th% Minh Mnc lnc Má đau .2 Chương Ánh xa tuyen tính .4 1.1 Đ%nh nghĩa, tính chat 1.2 Ma tr¾n cna ánh xa tuyen tính 1.3 Ánh, hat nhân cna ánh xa tuyen tính 1.4 Bài t¾p 15 Chương Cau trúc tN đong cau tuyen tính 17 2.1 Tr% riêng, vectơ riêng đa thúc đ¾c trưng 17 2.2 Không gian bat bien .21 2.3 Dang chuan Jordan 26 2.4 Bài t¾p 30 Chương Đ%nh lí Cayley- Hamilton Nng dnng 35 3.1 Đ%nh lí Cayley- Hamilton 35 3.2 Úng dung cna đ%nh lí Cayley- Hamilton 37 3.2.1 Tính lũy thùa cna ma tr¾n vuông cap 37 3.2.2 Tìm ma tr¾n ngh%ch đáo 41 3.2.3 Úng dung đ%nh lí Cayley- Hamilton đe tính giói han .42 3.2.4 Úng dung vào lũy thùa cna ma tr¾n 44 3.2.5 Úng dung cho vet cna ma tr¾n đ%nh thúc 45 3.3 Bài t¾p 46 Ket lu¾n 50 Mé ĐAU Lý chon đe tài Đ%nh lí Cayley-Hamilton m®t đ%nh lí hồn tồn mói chương trình đai so tuyen tính ó b¾c đai hoc khoi ngành sư pham Nó m®t nhung đ%nh lí đóng vai trò quan b¾c nhat đai so tuyen tính Sau hoc xong chương trình tốn dành cho cú nhân sư pham, đ¾c bi¾t sau hoc xong mơn đai so tuyen tính Em mong muon hoc hói tìm hieu sâu thêm ve đ%nh lí Cayley-Hamilton, m®t so úng dung cna nham giái quyet m®t so van đe cna đai so tuyen tính Đong thòi, có the dùng làm tài li¾u cho ban sinh viên khóa sau tham kháo mó r®ng kien thúc cna Đong thòi rèn luy¾n tư logic, tính xác can thắn cho ngũi hoc Dúi gúc đ mđt sinh viờn sư pham chun ngành Tốn khn kho cna khố lu¾n tot nghi¾p, đong thòi đưoc sn hưóng dan nhi¾t tình cna thay Pham Thanh Tâm tơi chon đe tài “Đ %nh lí Cayley-Hamilton m®t so Úng ding” Mnc đích nghiên cNu cúa đe tài Nghiên cúu ve đ%nh lí Cayley-Hamilton m®t so úng dung Đoi tưang pham vi nghiên cNu Đ%nh lí Cayley- Hamilton m®t so dang có the giái nhò úng dung đ%nh lí Giái han pham vi nghiên cNu cúa đe tài Nghiên cúu %nh lớ Cayley- Hamilton v mđt so dang bi úng dung cna pham vi cna mơn đai so tuyen tính Giá thuyet khoa hoc Xây dnng h¾ thong t¾p úng dung đ%nh lí Cayley- Hamilton làm thành tài li¾u giúp ban sinh viên khóa sau có the thay đưoc vai trò cna mơn đai so tuyen tính 6.Nhi¾m nghiên cNu cúa đe tài Nghiên cúu m®t so kien thúc chuan b% liên quan đen đ%nh lí CayleyHamilton Phương pháp nghiên cNu Nghiên cúu tài li¾u tham kháo Tong hop, phân tích, h¾ thong lai khái ni¾m, tính chat Cau trúc khóa lu¾n Khố lu¾n gom chương: Chương Ánh xa tuyen tính Chương Cau trúc cna tn đong cau tuyen tính Chương Đ%nh lí Cayley- Hamilton úng dung Hà N®i, ngày 15 tháng năm 2013 Tác giá Tran Th% Minh Chương Ánh xa tuyen tính 1.1 Đ%nh nghĩa, tính chat Đ%nh nghĩa 1.1.1 Cho V, W hai không gian vectơ trưòng K Ánh xa f : V → W m®t ánh xa tuyen tính neu: f (α˙ + β˙ ) = f (α˙ ) + f (β˙ ) f (kα˙ ) = kf (α˙ ) vói moi α˙ ∈ V, k ∈ K M®t ánh xa tuyen tính đưoc goi đong , β˙ cau tuyen tính, hay m®t cách van tat đong cau Tính chat 1.1.2 Giá sú f : V → W m®t ánh xa tuyen tính Khi đó: a) f (˙0) = ˙0 b) f (−α˙ ) = −f ∈ V (α˙ ), ∀α˙ c) f (λ1 α˙1 +λ2 α˙2 + +λn α˙n ) = λ1 f (α˙1 )+λ2 f (α˙2 )+ ∈ V +λn f (α˙n ), ∀α˙ Ví dn 1.1.3 a) Ánh xa : V → W cho bói 0(α˙ ) = ˙0, ∈ V m®t ∀α˙ ánh xa tuyen tính m®t ánh b) Ánh xa tuyen tính đong nhat idV : V → W; idV (α˙ ) = α˙ xa tuyen tính c) Ánh xa đao hàm đa thúc m®t an x d dx : R[x] → R[x] ; R[x] khơng gian d (anxn + + a x + a0) = nanxn−1 + + a1 dx m®t ánh xa tuyen tính d) Cho A = (aij )m×n ∈ Mat(m × n, K) Ánh xa f : K n → K n cho bói: x1  . x1  . x x    ›→ A     n n m®t ánh xa tuyen tính neu coi moi vectơ (x1, , xn) ∈ Kn m®t ánh    x  x1  xa c®t:   n e) Ánh xa f : R → R, b ƒ= x ›→ ax + b khơng phái m®t ánh xa tuyen tính Đ%nh lí 1.1.4 Giá sú V khơng gian vectơ n- chieu.Khi moi ánh xa tuyen tính tù V vào W đưoc hồn tồn xác đ%nh bói ánh cna qua m®t só cna V W Nói rõ hơn, giá sú (s) = ,s˙ , s˙ , · · · , s˙ , m®t só n cna V c¾p β˙1 , β˙2 , , β˙n n vectơ cna W Khi ton tai m®t chí m®t ánh xa tuyen tính f : V → W cho f (s˙i) = β˙i , i = 1, 2, , n Chúng minh Ton tai: Neu α˙ = x1 s˙1 + x2 s˙2 + + xn s˙n ∈ V t a đ ¾ t : f (α˙ ) = x1 β˙1 + x2 β˙2 + + xn β˙n ∈ W de dàng thú lai rang f : V → W m®t ánh xa tuyen tính f (s˙i ) = β˙i , i = 1, 2, n Duy nhat: Neu có ánh xa tuyen tính f, g : V W mà f (s˙i) = n ˙ g(s˙i) = β i, i = xi s˙i ∈ = 1, 2, , n V ta đeu có: i=1 vói moi α˙ → Ta nhân hai ve vói A−1 đưoc: 1A + An + a1An−1 + a2An−2 + + a − n an a = nn −I) −3 n − − + ⇒ AA = ++ a a − ( − + n a   Tìm ma tr¾n ngh%ch  (( A đáo A−1 a31nn(n a )) a ) Det(A) ƒ= nên ton aa −1 33 tai A 23 = t − 4t − Tính đa thúc đ¾c trưng cna A: Pf (t) = t − t − Ví dn Cho A = Áp dung đ%nh lí Cayley- Hamilton ta có: A2 − 4A − 5I = Nhân hai ve thúc vói A−1 ta đưoc: A − 4A − 5A−1 = ⇒5A −1 = − A− 4I = ⇒A−1 = −1 3/5 4/5 − 2/5 −1/5 3.2.3 Úng dnng đ%nh lí CayleyHamilton đe tính giái han   1   Cho Ví dn  Tìm lim aij (n) vói i, A= j = 1, 2, biet:    n→∞ 0 a11(n) a13(n) a12(n) Đa thúc đ¾c trưng cna ma tr¾n A: PA(t) = (t − Lay tn chia cho PA(t) ta đưoc: )(t − )(t − ) tn = P (t)Q(t) + at2 + bt + c (*) Áp dung đ%nh lí Cayley- Hamilton ta có: P (A) = nên thay A vào (*) ta đưoc: An = aA2 + bA + cI Thay lan lưot t = =1 ,t= ,t vào (1) ta đưoc: 1 + + c b 1 + c + b n n = a = a (2) (3) n = a + b + c 36 Giái h¾ phương trình an a.b.c (2), (3), (4) ta thu đưoc: a = 18 2n b = −3 c= (1) −+ 6n n 38 n 2n − + 6n −+ n n 13 3n (4) V¾y a, b, c → n → ∞ mà có (1) nên An → Túc lim aij (n) = vói i, j = 1, 2, n →∞ 3.2.4 Úng dnng vào lũy thNa cúa ma tr¾n Ví dn Ton tai hay khơng ma tr¾n vng cap thóa mãn: A 2010 − = −1 − e e m®t hang so dương.(Đe thi OLympic 2009 ) Goi đa thúc đ¾c trưng cna A PA(t) PA(t) đa thúc b¾c hai Khi chia t2010 cho PA(t) ta đưoc thương Q(t) dư đa thúc b¾c nhieu nhat 1, kí hi¾u pt + q (p, q so thnc).Túc là: t2010 = PA(t)Q(t) + pt + q Theo đ%nh lí Cayley- Hamilton ta có, PA(A) = nên A2010 = pA + qI, vói I ma tr¾n đơn v% cap −1 Giá sú A ta suy ra: a b Tù pA + qI −1 − = = e c d  (1)  pa + q = −1  pd + q = −1 − e (2) =0 (3)  pc   pd = (4) Tù (1) (2) ta suy p ƒ= Tù (3) (4) ta suy b = c = A = a ⇒ A2010 d = Theo giá thiet,A2010 = −1 a2010 0 2010 d −1 − e , suy a2010 = −1 d2010 = (vơ lí) −1 − e V¾y ma tr¾n cho có dang không ton tai 3.2.5 Úng dnng cho vet cúa ma tr¾n đ%nh thNc Ví dn Cho A, B ∈ Mat(2 × 2, R), det(A) = det(B) = Chúng minh rang: tr(AB) − tr(A).tr(B) + tr(AB−1) = (Đe kiem tra đ®i tuyen OLympic Khoa Tốn HSP H Nđi nm 2013 ) a thỳc ắc trưng cna B là: PB (t) = t2 − tr(B)t + det(B) = t2 − tr(B)t + Theo đ%nh lí Cayley- Hamilton ta có: PB (B) = B2 − tr(B)B + = Nhân cá hai ve cna thúc vói AB−1: AB − tr(B)A + AB−1 = Lay vet hai ve: tr(AB) − tr(A).tr(B) + tr(AB−1) = Ví dn Cho A, B ∈ Mat(3 × 3, R) Chúng minh rang: tr[(AB − BA)3] = 3det(AB − BA) (Đe kiem tra đ®i tuyen Olympic Khoa Toỏn HSP H Nđi 2013 ) D = AB − BA Vì A, B hai ma tr¾n vng cap nên ta có: tr(D) = Đa thúc đ¾c trưng cna D có dang: PD(t) = −t3 + tr(D)t − kt + det(D) vói k m®t so Theo đ%nh lí Cayley- Hamilton ta có: PD(D) = −D3 + tr(D)D − kD + det(D) = Mà tr(D) = nên PD(D) = −D3 − kD + det(D) = Lay vet hai ve ta đưoc: tr(D3) = det(D)tr(I) = 3det(D) hay T r[(AB − BA)3] = 3det(AB − BA) 7 3   Ví dn 10 Cho ma tr¾n A = Tính detB,   3 1 B = A7 − 10A6 + 14A5 + 4A4 + 8I3 Đa thúc đ¾c trưng cna A: −t PA(t) = − t = t − 10t + 14t + − t Áp dung đ%nh lí Cayley-Hamilton ta có: ⇒A3 − 10A2 + 14A + 4I3 = (0)3 ⇒A7 − 10A6 + 14A5 + 4A4 = (0)3 8 0  ⇒B = 8I3 = ⇒ detB = 83 = 512   0 8 3.3 Bài t¾p Bài t¾p 3.1 Cho A ma tr¾n vng cap k so nguyên dương CMR Ak = chí A2 = Hưóng dan: Neu Ak = |A| = Túc là, neu A = ad − bc = Do theo đ%nh lí Cayley- Hamilton ta có: A2 − (a + d)A + (ad − bc) = ⇒A2 = (a + d)A ⇒Ak = (a + d)kA Neu a + d = rõ ràng Ak = vói moi k ≥ a b c d e u a + N d ƒ= Ak = vói k ≥ chí A2 = Như v¾y cá hai trưòng hop Ak = ta đeu suy đưoc A2 = Bài t¾p 3.2 Cho a b A = c d thúc tùy ý Tính f (A) ma tr¾n C f (t) m®t đa Hưóng dan: Theo đ%nh lí Cayley- Hamilton đa thúc đ¾c trưng cna A: PA(t) = t2 − (a + d)t + (ad − bc) nh¾n A làm nghi¾m, túc PA(A) = Goi α, β hai nghi¾m cna tam thúc b¾c hai Khi đó: PA(t) = (t − α)(t − β) Ta tìm đa thúc dư r(t) phép chia f (t) cho PA(t) Neu α = β theo khai trien Taylor r(x) = f (x) + f r(α)(t − α) Neu α ƒ= β tù r(α) = f (α) r(β) = f (β) suy r(t) = f (α) − f (β) t+ α−β αf (ββ)f − (α) α β − Bây giò ta v¾n dung r(A) = f (A) ta se đưoc cơng thúc tính f(A): f (A) = f (α) − f (β) A+ α−β αf (ββ)f − (α) α β − Bài t¾p 3.3 Cho A ma tr¾n lũy linh Chúng minh rang An = bang đ%nh lí Cayley- Hamilton Hưóng dan: Goi PA(t) đa thúc đ¾c trưng cna A Khi theo đ%nh lí Cayleyy- Hamilton ta có: PA(A) = Do A lũy linh nên ∃ k ∈ N∗ cho Ak = Neu k ≤ n hien nhiên An = Neu k > n Khi đó, A nghi¾m cna đa thúc Q(t) = tk Túc tat cá giá tr% riêng cna A nghi¾m cna Q(t) Do v¾y A se có giá tr% riêng λi = ∀ i Khi P (t) đa thúc đ¾c trưng cna A n Y P (t) = (t − λi) = tn i=0 Theo đ%nh lí Cayley- Hamilton P (A) = nên P (A) = An = (đpcm) Bài t¾p đe ngh% Tính A2013 Bài t¾p 3.4 Cho A = acos (t) + bsin2(t) (b − a)sintcost (b a).sintcost − 2 asin (t) + bcos (t) Bài t¾p 3.5 a) Cho A ∈ Mat(3 ì 3, Q) l ma trắn thúa A5 = I Chúng minh rang A = I b) Cho A Mat(4 ì 4, Q) l ma trắn thúa mãn A5 = I Khi khang đ%nh ó câu a) khơng? Bài t¾p 3.6 Ton tai hay khơng ma tr¾n vng cap thóa mãn: A 2014 = 2012 − 2014 −2011 Bài t¾p 3.7 Trong khơng gian Mat(2 × 2, R) cho A = 2014 hang cna h¾ vectơ B = A, A , A , , A −1 Tính Bài t¾p 3.8 Tìm ma tr¾n ngh%ch đáo cna ma tr¾n sau: 0 1 A = 0 0   1 0 Bài t¾p 3.9 Cho A ma tr¾n vng cap hai Dna vào đ%nh lí Cayley- Hamilton chúng minh rang Ak = chí A2 = −1 − A + I = tù Chúng minh Bài t¾p 3.10 Cho A = A2 2013 −1 tính f (A) = I (−1)k Ak k=1 + x  2013 Bài t¾p 3.11 Cho A = x  2012 2014 n A = a11(n, x) a12(n, x) a21(n, x) a22(n, x) Tính lim limaij (n, x), i, j = 1, n→∞ x→1 KET LU¾N Trong q trình tìm hieu nghiên cúu khố lu¾n, em bưóc đau làm quen vói cách thúc làm vi¾c khoa hoc, hi¾u q Qua đó, em xây dnng đưoc mđt hắ thong bi ỳng dung %nh lớ CayleyHamilton đe tính lũy thùa ma tr¾n vng cap 2, tìm ma trắn ngh%ch ỏo v mđt so ỳng dung khỏc, cú the xem nh mđt ti liắu tham khỏo cho nhung ngưòi quan tâm đen đ%nh lí cna đai so tuyen tính nói chung đ%nh lí Cayley- Hamilton nói riêng, đong thòi thay đưoc sn phong phú, lý thú cna tốn hoc Đe hồn thành khố lu¾n tot nghi¾p em xin trân cám ơn thay to Hình Hoc, thay khoa Tốn M¾c dù em có nhieu co gang, song nhieu han che ve thòi gian kien thúc nên khố lu¾n khơng tránh khói nhung thieu sót Em kính mong thay ban đoc đóng góp ý kien trao đoi đe khố lu¾n hồn thi¾n tot Em xin chân thành cám ơn! Tài li¾u tham kháo [1] Phùng Ho Hái (2010), Bài giáng Trưòng hè cho sinh viờn, Viắn Toỏn Hoc, H Nđi [2] Lờ Tuan Hoa (2006), Đai so tuyen tính qua ví dn t¾p, Nhà xuat bán Đai Hoc Quoc Gia Hà N®i [3] Nguyen Huu Hoc (2012) , Úng dnng đ%nh lí Cayley- Hamilton cho ma tr¾n vng cap 2, Nghiên cúu khoa hoc, Phòng Khoa HocTrưòng Đai Hoc ụng , H Nđi [4] Nguyen Huu Viắt Hng (2000), Đai so Tuyen tính , Nhà xuat bán Đai Hoc Quoc Gia Hà N®i [5] Phan Hong Trưòng (2009), Đai so Tuyen tính , Trưòng Đai Hoc Sư Pham Hà N®i 2, Vĩnh Phúc [6] Lewis Hirsch, Arthur Goodman (2005)Understanding Elementary Algebra With Geometry, A Course for College Students, Nhà xuat bán Cengage Learning ... 26 2.4 Bài t¾p 30 Chương Đ%nh lí Cayley- Hamilton Nng dnng 35 3.1 Đ%nh lí Cayley- Hamilton 35 3.2 Úng dung cna đ%nh lí Cayley- Hamilton 37 3.2.1 Tính lũy thùa cna ma tr¾n... tài “Đ %nh lí Cayley- Hamilton m®t so Úng ding” Mnc đích nghiên cNu cúa đe tài Nghiên cúu ve đ%nh lí Cayley- Hamilton m®t so úng dung Đoi tưang pham vi nghiên cNu Đ%nh lí Cayley- Hamilton m®t so... tài Nghiên cúu đ%nh lí Cayley- Hamilton v mđt so dang bi ỳng dung cna pham vi cna mơn đai so tuyen tính Giá thuyet khoa hoc Xây dnng h¾ thong t¾p úng dung đ%nh lí Cayley- Hamilton làm thành tài