Định lý cayley hamilton và ứng dụng

Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả của riêng bản thân, không có sự trùng lặp với đề tài nghiên cứu của các tác giả khác.. Sự xâm nhập ấy một mặt mở ra những chân trời rộng lớn cho

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Người hướng dẫn khoa học

TS BÙI KIÊN CƯỜNG

HÀ NỘI- 2013

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

MẠC ANH VĂN

Lời cam đoan

Khóa luận tốt nghiệp này của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo - tiến sĩ Bùi Kiên Cường, cùng với đó là sự cố gắng của bản thân

Trong quá trình nghiên cứu, em đã tham khảo và kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học và các nhà nghiên cứu với sự trân trọng và lòng biết ơn

Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả của riêng bản thân, không có sự trùng lặp với đề tài nghiên cứu của các tác giả khác

Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

MẠC ANH VĂN

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ 3

1.1.Không gian định chuẩn, không gian Banach 3

1.2.Không gian C a b ,  9

1.3.Hàm có biến phân bị chặn 10

1.4.Tích phân Riemann-Stieltjes 11

CHƯƠNG 2: LIÊN HỢP CỦA KHÔNG GIAN C a b 15  , 

2.1.Định lí biểu diễn cho phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên C[a,b] 16

2.2.Quan hệ tương đương giữa các hàm có biến phân bị chặn 20

2.3.Chuẩn hóa các hàm biến phân bị chặn 24

2.4 Liên hợp của không gian C a b 26  , 

KẾT LUẬN 28

TÀI LIỆU THAM KHẢO 29

ra, nó còn có những ứng dụng trong vật lí lí thuyết và trong một số lĩnh vực khoa học khác

Sự xâm nhập ấy một mặt mở ra những chân trời rộng lớn cho các ngành toán học nói trên, mặt khác nó còn đòi hỏi ngành Giải tích hàm phải đúc kết những kết quả của những ngành toán học riêng rẽ để trong chừng mực nào đó đề ra những mẫu toán học tổng quát và trừu tượng Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn

giải tích hàm, em đã chọn đề tài “Liên hợp của không gian C a b ” làm  , 

đề tài khoá luận tốt nghiệp Nghiên cứu đề tài này chúng ta có thể thấy được định lý cần và đủ của không gian liên hợp C a b Thông qua đó  , thấy được vai trò quan trọng của nó trong nhiều vấn đề giải tích và ứng dụng vào các lĩnh vực khác của toán học nói riêng và các lĩnh vực khoa học khác nói chung

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu lí thuyết về định lý của không gian liên hợp C a b và  , một số ứng dụng để thấy được vai trò quan trọng của nó trong nhiều vấn

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

2

đề giải tích và ứng dụng vào các lĩnh vực khác của toán học nói riêng và các lĩnh vực khoa học khác nói chung

3 Đối tượng và nhiệm vụ nghiên cứu

Các kiến thức liên quan đến không gian tôpô, không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian C a b , , hàm có biến phân bị chặn, tích phân Riemann-Stieljes

4 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng kết hợp các phương pháp nghiên cứu: nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp, so sánh…

Nội dung khoá luận gồm hai chương:

Chương 1: Một số khái niệm và kết quả chuẩn bị

Chương 2: Liên hợp của không gian C a b  , 

Kết luận

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ

1.1.Không gian định chuẩn, không gian Banach

1.1.1 Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1 Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến

tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R , kí hiệu là thỏa mãn các tiên đề chuẩn

sau đây:

1) ( x X), x 0, x 0 x0;

2) ( x X), (  P), x   x ;

3) (x y, X), x y  x  y

Số x gọi là chuẩn của véc tơ x Ta kí hiệu không gian định chuẩn l X

Ví dụ 1.1 Cho không gian véctơ l2 Đối với véctơ bất kỳ x( )x n l2 ta đặt:

2 1

n n

trên không gian véctơ X là

tương đương nếu tồn tại hằng số C C1, 2 thỏa mãn:

C  C

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

4

Chú ý:

Trong một không gian hữu hạn chiều, mọi chuẩn đều tương đương nhau Các chuẩn tương đương cùng sinh một tôpô Điều này không còn đúng trong không gian vô hạn chiều

Định nghĩa 1.3: Một phép đẳng cấu giữa hai không gian tuyến tính định chuẩn là một song ánh tuyến tính bị chặn

Ví dụ 1.2

Mỗi không gian Hilbert tách được (tức tồn tại một cơ sở Hilbert đếm được) đều đẳng cấu với l2

1.1.2 Không gian Banach

Định nghĩa 1.4: Một không gian Banach là một không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ (tức là mọi dãy cơ bản đều hội tụ về một điểm nào đó của không gian ấy)

Ví dụ 1.2

a) Không gian Hilbert là không gian Banach

b) L X d P( , ),1 p  là không gian Banach

Định nghĩa 1.5: (Toán tử tuyến tính bị chặn)

Một ánh xạ tuyến tính bị chặn (hay toán tử bị chặn) T giữa hai

không gian tuyến tính định chuẩn 1

1

(X , ) và 2

2

(X , ) là một ánh xạ tuyến tính thỏa mãn c 0 sao cho:

Ta định nghĩa chuẩn của toán tử là:

2 1

sup

1

Tx T

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

Định lý 1.1: Nếu Y là một không gian Banach thì L X Y cũng là một ( , )

không gian Banach

( ) y lim n( ) lim sup n X

1.1.3 Định lý Hahn-Banach

Định lý 1.2: Cho một phiếm hàm tuyến tính f xác định trên một không gian con M của một không gian véctơ thực X Nếu có một hàm dưới tuyến tính  xác định trong X sao cho ( x M) f x( )( )x thì phải có một phiếm hàm tuyến tính ( ) F x xác định trong toàn thể X sao cho: 1) F là khuếch của f , nghĩa là: ( x M)F x( ) f x( )

2) ( x X)F x( )( )x

Hệ quả 1.1: Một phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên một không gian con M của không gian định chuẩn X bao giờ cũng có thể khuếch thành một phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên X , mà có

1.1.4 Không gian liên hợp

Định nghĩa 1.6 : Cho X là một không gian định chuẩn Không gian liên hợp (hay còn gọi là không gian đối ngẫu) của X , ký hiệu X* là tập hợp

tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X

Định lý 1.3 : (Định lý Riesz) Cho H là một không gian Hilbert thực Khi

đó, với mọi FH thì tồn tại duy nhất hàm f H sao cho ( ) F x  f x, ,  x H Hơn nữa f  F

Trường hợp đặc biệt ta coi H* là H Ví dụ:

(L ) L

b)  l2 *l2











 



