Định lý cayley hamilton và ứng dụng

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ****** MẠC ANH VĂN LIÊN HỢP CỦA KHÔNG GIAN C  A, B  KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: GIẢI TÍCH HÀ NỘI- 2013 Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA: TOÁN ****** MẠC ANH VĂN LIÊN HỢP CỦA KHÔNG GIAN C  A, B  KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Người hướng dẫn khoa học TS BÙI KIÊN CƯỜNG HÀ NỘI- 2013 Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Lời cảm ơn Khóa luận em đươc hoàn thành với bảo, hướng dẫn tận tình thầy giáo - tiến sĩ Bùi Kiên Cường Qua em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo tiến sĩ Bùi Kiên Cường, người trực tiếp tạo điều kiện giúp đỡ em suốt thời gian làm khóa luận Đồng thời em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo tổ giải tích, thầy cô giáo khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội tạo điều kiện tốt để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên MẠC ANH VĂN Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Lời cam đoan Khóa luận tốt nghiệp em hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo - tiến sĩ Bùi Kiên Cường, với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu, em tham khảo kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học nhà nghiên cứu với trân trọng lòng biết ơn Em xin cam đoan khóa luận kết riêng thân, trùng lặp với đề tài nghiên cứu tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên MẠC ANH VĂN Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ 1.1.Không gian định chuẩn, không gian Banach 1.2.Không gian C  a, b  1.3.Hàm có biến phân bị chặn 10 1.4.Tích phân Riemann-Stieltjes 11 CHƯƠNG 2: LIÊN HỢP CỦA KHÔNG GIAN C  a, b  15 2.1.Định lí biểu diễn cho phiếm hàm tuyến tính bị chặn C[a,b] 16 2.2.Quan hệ tương đương hàm có biến phân bị chặn 20 2.3.Chuẩn hóa hàm biến phân bị chặn 24 2.4 Liên hợp không gian C  a, b  26 KẾT LUẬN 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO 29 Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Giải tích hàm ngành toán học xây dựng vào nửa đầu kỉ XX xem ngành toán học cổ điển Nội dung hợp lí thuyết tổng quát xuất phát từ việc mở rộng số khái niệm kết Giải tích, Đại số, Phương trình vi phân… Trong trình phát triển từ đến nay, Giải tích hàm tích luỹ nội dung phong phú Những phương pháp kết mẫu mực giải tích hàm xâm nhập vào tất ngành toán học có liên quan có sử dụng đến công cụ Giải tích Ngoài ra, có ứng dụng vật lí lí thuyết số lĩnh vực khoa học khác Sự xâm nhập mặt mở chân trời rộng lớn cho ngành toán học nói trên, mặt khác đòi hỏi ngành Giải tích hàm phải đúc kết kết ngành toán học riêng rẽ để chừng mực đề mẫu toán học tổng quát trừu tượng Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu môn giải tích hàm, em chọn đề tài “Liên hợp không gian C  a, b  ” làm đề tài khoá luận tốt nghiệp Nghiên cứu đề tài thấy định lý cần đủ không gian liên hợp C  a, b  Thông qua thấy vai trò quan trọng nhiều vấn đề giải tích ứng dụng vào lĩnh vực khác toán học nói riêng lĩnh vực khoa học khác nói chung Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lí thuyết định lý không gian liên hợp C  a, b  số ứng dụng để thấy vai trò quan trọng nhiều vấn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội đề giải tích ứng dụng vào lĩnh vực khác toán học nói riêng lĩnh vực khoa học khác nói chung Đối tượng nhiệm vụ nghiên cứu Các kiến thức liên quan đến không gian tôpô, không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian C  a , b  , hàm có biến phân bị chặn, tích phân Riemann-Stieljes Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kết hợp phương pháp nghiên cứu: nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp, so sánh… Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu kiến thức liên quan đến định lý không gian liên hợp C  a, b  số ứng dụng Bố cục luận văn Phần mở đầu Nội dung khoá luận gồm hai chương: Chương 1: Một số khái niệm kết chuẩn bị Chương 2: Liên hợp không gian C  a, b  Kết luận Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội CHƯƠNG MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ 1.1.Không gian định chuẩn, không gian Banach 1.1.1 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1 Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) không gian tuyến tính X trường P với ánh xạ từ X vào tập số thực R , kí hiệu thỏa mãn tiên đề chuẩn sau đây: 1) (x  X ), x  0, x   x  0; 2) (x  X ), (  P ),  x   x ; 3) (x, y  X ), x  y  x  y Số x gọi chuẩn véc tơ x Ta kí hiệu không gian định chuẩn l X Ví dụ 1.1 Cho không gian véctơ l2 Đối với véctơ x  ( xn )  l2 ta đặt:  x  x n n 1 chuẩn l2 Không gian chuẩn tương ứng kí hiệu l2 Định nghĩa 1.2: Ta nói chuẩn không gian véctơ X tương đương tồn số C1, C2 thỏa mãn: C1   C Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Chú ý: Trong không gian hữu hạn chiều, chuẩn tương đương Các chuẩn tương đương sinh tôpô Điều không không gian vô hạn chiều Định nghĩa 1.3: Một phép đẳng cấu hai không gian tuyến tính định chuẩn song ánh tuyến tính bị chặn Hai chuẩn tương đương  ánh xạ id : ( X , )  ( X , ) đẳng cấu ( id liên tục ánh xạ ngược liên tục) Ví dụ 1.2 Mỗi không gian Hilbert tách (tức tồn sở Hilbert đếm được) đẳng cấu với l2 1.1.2 Không gian Banach Định nghĩa 1.4: Một không gian Banach không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ (tức dãy hội tụ điểm không gian ấy) Ví dụ 1.2 a) Không gian Hilbert không gian Banach b) LP ( X , d  ) ,1  p   không gian Banach Định nghĩa 1.5: (Toán tử tuyến tính bị chặn) Một ánh xạ tuyến tính bị chặn (hay toán tử bị chặn) T hai không gian tuyến tính định chuẩn ( X , ) ( X , ) ánh xạ tuyến tính thỏa mãn  c  cho:  x  X , Tx  c  Tx Như biết từ trước đó, T bị chặn  T liên tục  T liên tục điểm Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Ta định nghĩa chuẩn toán tử là: T  sup Tx x 1 Bổ đề 1.1: Chuẩn toán tử chuẩn không gian L( X , Y ) tất toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y Chứng minh: Trước hết, ta chứng minh bất đẳng thức tam giác Vì chuẩn nên ta có: (T  S ) x  Tx  Sx  sup T x  Sx x  sup ( T x 1  Tx x 1  Sx ,  Sx 2 ) Mà sup ( T x x 1  Sx )  sup T x 2 x 1  sup Sx x 1  sup (T  S ) x  sup Tx  sup Sx x 1 x 1 x 1  T S  T  S Tiếp theo, ta chứng minh aT  a T Thật vậy, ta có: aT  sup aTx x 1 Vì chuẩn nên: aTx  a Tx Mặt khác, với số dương a sup a   a.sup   , đó: aT  sup aTx  sup a Tx x 1  a sup Tx x 1 x 1 2  a T Cuối cùng, ta chứng minh T   T  Nói cách khác, ta phải chứng minh Tx = x  X1 Ta thấy, T    x  1, Tx  Theo                   [...]... x X Vậy A  L( X , Y ) Cuối cùng, ta chứng minh rằng nó chính là giới hạn của dãy An : ( An  A)( x)  lim ( An  Am )( x ) m  lim sup An  Am x m    (1) x Vậy An  A L ( X ,Y ) X X do An là dãy Cauchy  0 Định lý được chứng minh 6 Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 1.1.3 Định lý Hahn-Banach Định lý 1.2: Cho một phiếm hàm tuyến tính f xác định trên một không gian con M của một không... gian định chuẩn X Với mỗi phần tử khác không x0  X tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên toàn không gian X sao cho f ( xo )  xo và f  1 1.1.4 Không gian liên hợp Định nghĩa 1.6 : Cho X là một không gian định chuẩn Không gian liên hợp (hay còn gọi là không gian đối ngẫu) của X , ký hiệu X * là tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X Định lý 1.3 : (Định lý Riesz)... Định lý 1.1: Nếu Y là một không gian Banach thì L( X , Y ) cũng là một không gian Banach Chứng minh : Rõ ràng L( X , Y ) là không gian tuyến tính định chuẩn Cho An là dãy Cauchy các hàm trong L( X , Y ) khi đó: An  Am  0 khi m, n   n , m  Suy ra,  x  X ,  An ( x )  là dãy Cauchy Do đó nó tồn tại giới hạn, giả sử là A( x) Khi đó ánh xạ x  A( x ) tuyến tính là điều rõ ràng Bây giờ, ta chứng... thực X Nếu có một hàm dưới tuyến tính  xác định trong X sao cho (x  M ) f ( x)   ( x) thì phải có một phiếm hàm tuyến tính F ( x ) xác định trong toàn thể X sao cho: 1) F là khuếch của f , nghĩa là: (x  M ) F ( x)  f ( x) 2) (x  X ) F ( x)   ( x) Hệ quả 1.1: Một phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên một không gian con M của không gian định chuẩn X bao giờ cũng có thể khuếch thành ... L ( X ,Y ) X X An dãy Cauchy  Định lý chứng minh Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 1.1.3 Định lý Hahn-Banach Định lý 1.2: Cho phiếm hàm tuyến tính f xác định không gian M không gian véctơ... Nghiên cứu lí thuyết định lý không gian liên hợp C  a, b  số ứng dụng để thấy vai trò quan trọng nhiều vấn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội đề giải tích ứng dụng vào lĩnh vực khác toán... SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ 1.1.Không gian định chuẩn, không gian Banach 1.1.1 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1 Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) không