Các dạng khác nhau của định lý Haln - Banach và ứng dụng

Các dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng MỤC LỤC MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU .2 Lý chọn đề tài 2 Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian vectơ, không gian định chuẩn, không gian Banach 1.2 Quan hệ thứ tự bổ đề Zorn 12 1.3 Tập lồi 14 1.4 Hàm cỡ 20 CHƯƠNG 2: MỘT SỐ DẠNG KHÁC NHAU CỦA ĐỊNH LÝ HALN – BANACH VÀ ỨNG DỤNG 22 2.1 Dạng giải tích 22 2.2 Dạng hình học 27 2.3 Lý thuyết hàm lồi liên hợp 32 KẾT LUẬN 40 Phạm Thị Thuần K34 cử nhân Tốn LỜI NĨI ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích hàm – phận quan trọng tốn học đại, giải tích hàm hình thành ngành khoa học độc lập giao thời kỉ XIX XX, người ta phát tương tự sâu xa số khái niệm đại số, giải tích hình học Giải tích hàm kết hợp khái quát tư tưởng nhiều phần khác giải tích cổ điển (như tích biến phân, phép tịnh vi phân tích phân, phương trình vi phân tích phân), lý thuyết tập hợp, đại số tuyến tính hình học nhiều chiều Khái niệm quan trọng giải tích hàm khái niệm tổng quát không gian Nét tiêu biểu giải tích hàm xét khơng gian vô hạn chiều, gồm hàm, dãy hay đối tượng chung khác, phép tính phần tử khơng gian Cùng với phát triển khái niệm khơng gian khái niệm hàm số tổng quát hóa Đại lượng biến thiên không phụ thuộc đối số, mà phụ thuộc hàm số gọi phiến hàm Phiếm hàm hàm số xác định khơng gian hàm Một ngun lý giải tích hàm nguyên lý thác triển Haln – Banach Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu mơn giải tích hàm, em mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Các dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng” làm khóa luận tốt nghiệp đại học Nghiên cứu đề tài này, có thêm hiểu biết định lý Haln – Banach, dạng khác số ứng dụng Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với cơng việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu nguyên lý giải tích hàm Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp đánh giá Cấu trúc khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Các dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian vectơ, không gian định chuẩn, không gian Banach 1.1.1 Không gian vectơ Định nghĩa 1.1 Cho V tập khác rỗng mà phần tử kí hiệu    , K trường Giả sử V trang bị hai phép toán, gồm: ,  a) Phép cộng:     : V V V , (, )      b) Phép nhân: : K V V ,   , thỏa mãn điều kiện (hoăc tiên đề) sau đây:          (V1)  ( ) , , , V          (V2) 0 V : 0 0 , V        (V3)  V , ' V : ' '        (V4)  , , V      (V5)  , , K , α V       K ,  , V (V6)  , (V7)          ,  , K ,  V  (V8) 1.   , α  V Khi V với hai phép toán cho gọi không gian vectơ trường K hay K - không gian vectơ (gọi tắt không gian vectơ) Các phần tử V gọi vectơ, phần tử K gọi vô hướng Phép cộng “ ” gọi phép cộng vectơ, phép nhân “.” gọi nhân vectơ với vô hướng Khi K  V gọi khơng gian vectơ thực Khi K  V R □ gọi khơng gian vectơ phức Một số ví dụ Ví dụ 1.1 Tập vectơ tự không gian với phép toán cộng vectơ nhân vectơ với số thực định nghĩa chương trình bậc phổ thông trung học không gian vectơ thực Ví dụ 1.2 Cho trường K n 1 Xét tích đề n K = {(x , x ,, x ) x R, i 1, 2,, n } n i với hai phép toán: x1, x2 ,, xn ( y1, y2 ,, yn ) x1 y1, x2 y2 ,, xn yn  x1, x2 ,, xn  x1 , x2 ,, xn , K K n với hai phép toán K – khơng gian vectơ Ví dụ 1.3 Tập X tập khác rỗng, V K – không gian vectơ Tập  gồm tất ánh xạ : X  V với phép toán: ( + ) ( x ) = ( x ) + ( x ) ( ) ( x ) = ( x ) với ,  Ω , K K – không gian vectơ Một số tính chất Giả sử V K khơng gian vectơ Các tính chất sau suy từ định nghĩa không gian vectơ:  a) Vectơ nói tiên đề (V2) nhất, phần tử tập trung lập phép công gọi vectơ không   b) Vớ  'nói tiên đề (V3) Nó i V , phần tử   phần tử đối vói phép cộng V kí hiệu   c) Trong V có quy tắc giản ước chuyển vế                     d) Với  .0       V ta có 0.0 , R ta có R ,  0 e) Với  f) Với R ,     ) = ( )      V , . = =0 V ta có : ( )   =( 1.1.2 Khơng gian định chuẩn Định nghĩa 1.2 Hàm số thực p : X R xác định khơng gian tuyến tính thực X gọi nửa chuẩn X với x, y  K , ta có X với 1) p x y p x p y ; 2) p  x   p x Nếu p nửa chuẩn X p(x) 0 với x X Thật vậy, với x X p  p  x  x  p x p  x 2 p  x  Từ định nghĩa nửa chuẩn ta suy a)  n  n p  i xi p(xi ) )  i i1  i1 với 1, , n R b) p(x) p( y) p(x y) x, y X với Một số ví dụ Ví dụ 1.4 Đối với x R p , ta có x nửa chuẩn x Ví dụ 1.5 Với x   ,   n ,p ,,n  x   K nửa chuẩn n  j j1 Định nghĩa 1.3 Ta gọi không gian định chuẩn (hay khơng gian tuyến tính định chuẩn) khơng gian tuyến tính X trường P ( P R P  □ ) với ánh xạ từ X vào tập số thực R , ký hiệu đọc chuẩn, thỏa mãn tiên đề sau đây: a) (x X ) x 0 0 x ; (ký hiệu phần tử , x không ) b) (x X ),(P) c) (x, y X ) x  x ; x y x y số x gọi chuẩn vectơ x Ta ký hiệu không gian định chuẩn X Các tiên đề a), b), c) gọi hệ tiên đề chuẩn Một số ví dụ Ví dụ 1.6 Đối với số thực x R ta đặt x x (1.1) Nhờ tính chất giá trị tuyệt đối số thực, công thức (1.1) cho chuẩn R Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu R Ví dụ 1.7 Cho khơng gian vectơ k chiều E k Trong Ek {x x1, : x j R x2 ,, xk Đối với vectơ x  x , x  ,, xn x j C}  E k ta đặt n x  x j j 1 (1.2) Công thức (1.2) cho chuẩn E k Khơng gian định chuẩn tương k ứng kí hiệu E Ví dụ 1.8 Cho khơng gian vectơ  Đối với vectơ x xn   ta đặt x   x (1.3) n n1 Từ công thức x d  x, Định nghĩa 2.1 Cho X không gian định chuẩn, : X  (; ] ta định nghĩa hàm liên hợp hàm là  : X (; ] * * f   sup xD   f, x  x  * , (điều kiện * ) Chú ý - x  D( ) , f  f, x x là hàm afin liên tục lồi - Cận hàm afin nửa liên tục lồi, * nửa liên tục lồi 2.3.2 Các định lý Định lý 2.9 Nếu là lồi, nửa liên tục , *   Chứng minh Ta có epi( ) đóng, lồi, chọn (x0 , 0 ) epi( ) Việc chọn đắn , xét epi() điểm x0 ,0  Mặt khác, chọn 0  (x ),{(x0 , 0 )} compact lồi Áp dụng dạng hình học thứ định lý Haln – Banach X R tập epi() , tồn phiếm hàm tuyến tính trên X R sao cho x,  epi  , Λ x, Λ x0 ,0  Ta viết Λ x, tuyến tính Như với với f   x  k   x ,  x , ta có với f  k R đó, * là X f xk  f x0  Đặc biệt k 0 x , ta có f f x0 x k  k0 x D  , x   Ta xét dấu k Tại x0 f x0 f x0  suy k 0 , , k x k 0 ,  (x0 , 0 ) (2.2) ta chọn cho x0 0 Do đó, ta chia vế đẳng thức (2.2) cho k f x   f x x  k suy k f x f (x )   (x)  , x D   k k vế trái tuyến tính theo x Vậy ta có cận trên x  f  x   f x0   sup  x  0  x  k  k suy *f           k k Định lý chứng minh Định nghĩa 2.2 Ánh xạ song liên hợp , kí hiệu  định bởi:  ** : X  (; ] ,  **  x  f f, x sup   D *  ** , xác  * f    Hàm lồi nửa liên tục Ta có sơ đồ sau:  ** *   lồi lồi nửa liên tục nửa liên tục Định lý 2.10 (Fenchel – Moreau) Nếu là lồi, nửa liên tục ,   ** Chứng minh Trước hết, ta **  Thật vậy, Từ định nghĩa * , x X , f  * X : f, x Từ (2.3) ta suy với x  sup X,  ** x x   f X * x   f, x * f   * f x, (2.3) Giả sử  cho x0 x , ** x  , x nằm “ở trên” Nói khác, ta cần sử dụng định lý Haln – Banach để tách epi( ) ** epi( x0 x0   ) ** Khi đó, x  0 R cho x D  x  Do đó, tồn f X * , k R , f x k  x  k*  * x  f 0 (2.4) Ở ta sử dụng phương pháp tương tự Định lý 2.9 tách toán tử cho định lý Haln – Banach thành f k , ta kết luận k 0 , khơng ta cho và dẫn tới mâu thuẫn Như vậy, trước hết giả sử (x) 0 Áp dụng hệ thức bất đẳng thức (2.4) với f x kx  Vì thế, với x  , ta 0 có suy  f (x) (k  ) (x)  sup  f x   ( x)  k    *   f   x    k    k   xD   Ta thấy  ** x  sup  f X k    , x k      f, x  k  f   * *   f   ,x k  ,x f    k  * f   k  suy f (x)     k   k  **  x     f, x  Cho 0 , thấy f   x k** x  Điều mâu thuẫn với  Vì với  0, f   x k** x  bất đẳng thức (2.4) 0 **  Bây giờ, ta xét với  f0 D   *  Định nghĩa hàm x x  f , * f  x Cố định x ,  f fy , *  sup  y   f y   0 x x  Từ x tùy ý, nên suy 0 Do ta áp dụng kết thu để thấy  Nhưng ** ** ( f ) (x)] f, x  sup[ x sup  f , x x  x f   f0 , x sup  f f x    * f  ,x  x  *  Vậy, *  f  f f ** (x) f, x  sup[  ( f )] * f sup  f  f, x  0  * f  f *  f  sup   f f ,x  sup   g * f g, x   f f  g   * f , x    f , x  f   * * ** x  * f  f 0 f ,x Ở đây, ta sử dụng kiện f độc lập với cận cho f Đặt thứ liên hệ với nhau, từ ** , ta có **  Định lý chứng minh Ví dụ Nói  x , là hàm lồi nửa liên tục từ X đến R , x   * f f 1, xX  sup  x  f, x f , x  x *  * f 0 f 0 (từ ta có x  cận nhỏ 0)  Nếu f 1 cho f x 1 x   x , f x  x  x Nếu ta xét trường hợp nx với n ta thấy  ( f )   * Điều có nghĩa **  x  f sup   D *  f, x   * f f,x   sup  x x   f 1 Định lý 2.11 (Fenchel – Rockafellar) Giả sử ,là hai hàm lồi x X  cho (x )  , x và 0 là liên tục x0 Khi * * inf x  x  sup    f  f  xX * f X = max*  (f )  ( f ) f X * * Để chứng minh định lý Fenchel – Rockafellar, ta cần bổ đề sau: * Bổ đề Giả sử C tập lồi đóng int C tập lồi Nếu E int C  C int C Chứng minh định lý Đặt a inf {(x)  (x)} , b sup{ (f ) *   ( f )} * X f X * Dễ dàng kiểm tra b a Ngược lại, ta có a R a  Nếu a thì kết luận hiển nhiên Vì giả sử a R Ta ký hiệu C epi Rõ ràng int C vì liên tục x0 Chúng ta áp dụng dạng hình học thứ định lý Haln – Banach, với A int C B { x,  X R, a (x)} A B tập lồi, khác và chúng rời nhau,  x,  A với (x) a (x)  x, B  Do tồn siêu phẳng đóng H tách A B theo nghĩa rộng Vì H tách A B theo nghĩa rộng Vậy A C theo Bổ đề Do tồn f X * , K R phẳng H có phương trình  trong X R , :   x,  f, x R cho siêu  k tách C B theo nghĩa rộng Chúng ta có: f , x k f,x   x,  C   x,    B k   Bằng cách chọn k 0 x  , x0 thấy Nhắc lại 0 k 0 , ta chứng minh với f  0 Nếu k 0 ta có k , x D() f, x , x D() f, x Do đó, với 0 0 đủ nhỏ, B(x ,  ) D() , ta có f , x0 z Suy f , x0    Điều vô lý, nên , z B  0,1 f Hơn nữa, f , x0   x0 D() f 0 Vì k 0 Ta có    *f      k  k  f  *  a    k k suy  *  f    a  f      k  k  * Theo định nghĩa b ta có: f *      b  f     k   k  * Ta kết luận : a b  Định lý chứng minh *  f   *  f        k  k KẾT LUẬN Trên khóa luận tốt nghiệp Đại học em “Các dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng” Khóa luận trình bày cách sơ lược dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng Mặc dù có nhiều cố gắng song khóa luận khơng tránh khỏi hạn chế Em mong nhận nhiều ý kiến quý báu thầy cô giáo bạn sinh viên để khóa luận tốt nghiệp em hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Phạm Thị Thuần 40 K34 cử nhân Toán ... tài: Các dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng làm khóa luận tốt nghiệp đại học Nghiên cứu đề tài này, có thêm hiểu biết định lý Haln – Banach, dạng khác số ứng dụng Mục đích nghiên cứu Bước... bị Chương 2: Các dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian vectơ, không gian định chuẩn, không gian Banach 1.1.1 Không gian vectơ Định nghĩa 1.1... cứu khoa học tìm hiểu sâu nguyên lý giải tích hàm 3 Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp đánh