sáng kiến kinh nghiệm ĐỊNH LÝ VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG

SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân ĐỀ TÀI ĐỊNH LÝ VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG PHẦN MỞ ĐẦU THPT Phan Bội Châu – Bình Dương SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân 1) Lý chọn đề tài: Như biết, Toán học có vai trò quan trọng nghiên cứu khoa học đời sống xã hội Việc giảng dạy học tập để lĩnh hội kiến thức Toán cách vững vàng đòi hỏi người dạy học phải có đầu tư công phu phương pháp Kiến thức Toán cần phải trình bày nắm bắt cách có hệ thống Về chủ đề định lý Vi-et ứng dụng , thấy có nhiều tác giả viết xuất , đa phần ứng dụng riêng lẻ vào dạng tập Chưa thấy tài liệu viết dạng chủ đề riêng định lý Vi-et Điều thúc viết đề tài nhằm mục đích hệ thống lại hoàn chỉnh Bản thân sau số năm giảng dạy môn Toán có rút nhận xét học sinh thường nắm kiến thức Toán cách cục không hệ thống kiến thức Các em thường thấy mối quan hệ vấn đề toán học với Chính nên gặp vấn đề toán có chất phát biểu dạng khác học sinh thường tỏ lúng túng bế tắc Tôi xin đưa ví dụ Có lần cho học sinh giải tập sau: Tìm m để hàm số y  x  (m  2) x  3m  có cực trị khoảng cách hai điểm cực trị x2 Học sinh sau biểu diễn tọa độ cực trị theo nghiệm y’, để tính khoảng cách 5, đa số em cố gắng giải tìm nghiệm x1;x2 y’ dùng công thức khoảng cách Lời giải theo hướng thường cồng kềnh nghiệm y’ chứa thức, nên tính toán khó khăn thường thất bại Tuy nhiên em biết sử dụng định lý Vi-et để đưa tổng tích đơn giản Như em không thấy ỨNG DỤNG định lý Vi-et trường hợp THPT Phan Bội Châu – Bình Dương SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân Qua trình giảng dạy nghiên cứu , thấy ứng dụng định lý Vi-et phong phú, xuất nhiều dạng toán có liên quan tới nghiệm phương trình đa thức Vì định chọn đề tài : ĐỊNH LÝ VI-ET VÀ ỨNG DỤNG Nhằm hệ thống lại dạng toán có liên quan tới tính chất nghiệm phương trình đa thức Đề tài đề cập tới nhiều dạng tập, dạng có số lượng tập phong phú, đủ cho học sinh có điều kiện để nhận chất dạng Qua đề tài , hi vọng mang đến cho học sinh nhìn từ nhiều phía định lý Vi-et, thấy vai trò to lớn môn Toán 2) Mục đích nghiên cứu đề tài: Bản thân năm có tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi Toán nhà trường tham gia luyện thi đại học Tôi cố gắng đúc rút, xâu chuổi toàn kiến thức mà thân thu thập thành chủ đề định lý Vi-et Mong muốn giải lớp tập điển hình chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi chương trình thi Đại học Các ví dụ minh họa rút chủ yếu từ hai kỳ thi đó, số thí dụ thân sáng tạo Mong muốn đề tài đến với đông đảo học sinh, nhằm giúp em đạt kết cao kỳ thi tới Qua đề tài giúp học sinh có nhiều phương pháp giải dạng tập có liên quan tới nghiệm phương trình Việc nghiên cứu đề tài giúp có tài liệu mang tính hệ thống định lý Vi-et, phục vụ cho công tác giảng dạy bồi dưỡng Qua nghiên cứu đề tài , giúp tự tin công tác giảng dạy THPT Phan Bội Châu – Bình Dương SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân Một mục đích việc nghiên cứu đề tài thân mong muốn có nhiều điều kiện để giao lưu, học hỏi , trao đổi chuyên môn với bạn bè đồng nghiệp 3)Nhiệm vụ việc nghiên cứu đề tài: Quá trình nghiên cứu để tài để thân trau dồi thêm kiến thức chuyên môn nghiệp vụ Cách thức thực đề tài khoa học Có điều kiện để trao đổi nhiều với thầy cô tổ Toán vấn đề Toán Quan trọng đưa tới cho học sinh số dạng tập có ứng dụng cao kỳ thi, giúp em có kết tốt Đề tài mà tác giả thực với nhiệm vụ giúp học sinh cải tiến phương pháp học tập Biết quan tâm tới chất Toán học phát biểu Cách trình bày đề tài từ mức độ dễ đến khó, nhằm bước giúp học sinh nâng cao kiến thức kỹ Đề tài công bố, phải giúp học sinh nắm vững ứng dụng định lý Vi-et Làm tốt dạng tập mà hệ học sinh trước lúng túng bế tắc Một nhiệm vụ đề tài mà tác giả thấy cần thiết đưa đến cho học sinh , giỏi tài liệu bổ ích, chắt lọc cách công phu Qua đề tài này, em tìm thấy cho nhiều ví dụ thú vị 4)Phương pháp nghiên cứu đề tài: 4.1) Phương pháp tiếp cận vấn đề : Đề tài tác giả ấp ủ từ năm 2007 sau thời gian tham gia giảng dạy Từ đến nay, tác giả tiếp cận với nhiều khóa học trò, tiếp cần với nhiều đề thi đại học học sinh giỏi , từ rút nhiều nội dung hơn, có đánh giá ngày toàn diện Qua phân tích giải đề thi, giúp tác giả có nhiều ví dụ dẫn chứng cho dạng tập mà đưa Từ đề tài có nội dung phong phú THPT Phan Bội Châu – Bình Dương SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân Đề tài trình bày theo vấn đề từ mức dễ đến khó Từ dẫn dắt học sinh lĩnh hội dần nội dung khó Các kiến thức Toán , đặc biệt định lý bổ đề, tác giả cố gắng trình bày phép chứng minh Xem kiến thức sở cho nội dung xét tới Với cách trình bày đó, học sinh không cảm thấy đón nhận kiến thức cách gượng ép, theo kiểu công nhận Các em từ từ tiếp cận vấn đề cách tự nhiên Vì tư tưởng đề tài làm cho học sinh thấy rõ sở, chất Toán học vấn đề nên người viết đưa bình luận sau ví dụ tập đề nghị sau dạng 4.2) Phương pháp phân tích , bình luận: Trước vào dạng , tác giả thường đưa phân tích vấn đề thường gặp dạng Khái quát phương pháp giải việc cần làm giải Học sinh bước đầu hình dung nội dung phương pháp giải tổng quát vấn đề gặp Qua ví dụ , tác giả thường có bình luận dạng tập đó, từ học sinh thấy rõ chất vấn đề gặp phải Thấy tính cụ thể tổng quát toán Qua bình luận tác giả muốn trao đổi với người đọc phương pháp giải, cách suy nghĩ tới lời giải Thấy tính tương tự hóa toán khác Một nắm chất, học sinh làm tập tương tự , sáng tạo toán khác từ toán gốc 4.3) Phương pháp tổng hợp, hệ thống hóa: Đây có lẽ phương pháp chủ đạo đề tài Nội dung đề tài phân chia thành nhiều dạng Toán, trình tổng hợp kiến thức từ nhiều nguồn tài liệu từ thân rút THPT Phan Bội Châu – Bình Dương SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân Các dạng tập đưa mức độ trở lên, nên đòi hỏi nhiều trình suy luận tổng hợp lời giải Vì nội dung đề tài xuyên suốt vấn đề Toán học rộng , nên đòi hỏi người viết phải có chuẩn bị lâu dài mặt thời gian ( ý tưởng hình thành), viết cần phải tổng hợp kiến thức lại thành chủ đề thống Các chủ đề khác hệ thống hóa theo bố cục chặt chẽ theo hai mảng lớn định lý Vi-et bậc hai tổng quát Đọc qua đề tài ta thấy vấn đề Toán học đề cập tới gắn cột sống định lý Vi-et Tác giả cố gắng tổng hợp vấn đề Toán học có chất 5) Phạm vi nghiên cứu: Đề tài chủ yếu nghiên cứu lĩnh vực Đại số mà trọng tâm nghiệm đa thức Các vấn đề Dãy số, Số học, Bất đẳng thức , Lượng giác Hệ phương trình đề cập dạng toán liên quan Giải tích đề cập tới vấn đề cực trị tiếp tuyến đồ thị hàm số Tất vấn đề có mối quan hệ chặt chẽ mặt phương pháp giải sử dụng tới định lý Vi-et Từ cho thấy mối quan hệ thống chủ đề toán học Phạm vi kiến thức mà đề tài đề cập đến chủ yếu kỳ thi tuyển sinh Đại học , cao đẳng kỳ thi học sinh giỏi Đây kỳ thi quan trọng diễn năm Các kiến thức đưa hoàn toàn toán sơ cấp, điều phù hợp với chương trình Toán phổ thông 6) Một vài trăn trở thực đề tài Đây đề tài mà tác giả tâm đắc Nó hình thành từ năm trước Qúa trình giảng dạy , thấy rõ định lý Vi-et có nhiều ứng dụng tập Vì thúc tác giả viết thành vấn đề cụ thể có tính hệ thống định lý Vi-et THPT Phan Bội Châu – Bình Dương SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân Trường Phan Bội Châu nơi dạy trường vùng sâu, vùng xa Trình độ học sinh nói chung thấp, đặc biệt em thường học yếu Toán Phần lớn em lại chưa thực có niềm đam mê Toán Do trăn trở liệu đề tài viết có học trò đón nhận có giúp cho em học tốt Toán không ? Hi vọng kinh nghiệm thân, góp phần nhỏ để cải tiến phong trào bồi dưỡng học sinh giỏi luyện thi Đại học, cao đẳng nhà trường THPT Phan Bội Châu – Bình Dương SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân NỘI DUNG ĐỀ TÀI PHẦN THỨ NHẤT GIỚI THIỆU VỀ ĐỊNH LÝ VI-ET I- ĐỊNH LÝ VI-ET CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: Định lý Vi-et học sinh học từ lớp 9, gồm có định lý thuận định lý đảo Định lý cho ta mối quan hệ nghiệm phương trình bậc hai hệ số Định lý : Nếu phương trình bậc hai ax  bx  c  ( a  ) có hai nghiệm x1; x2 tổng tích chúng là: x  x   b ; x x  c Ngược lại có hai số x1; x2 thỏa mãn : a a x1+x2=S; x1.x2=P x1;x2 nghiệm phương trình t2 –St +P =0 Điều đáng nói định lý giải toán , ta không quan tâm tới giá trị x1và x2 mà cần biết tổng tích chúng Từ ta có biểu diễn cần thiết II- ĐỊNH LÝ VI-ET TỔNG QUÁT: Định lý: Cho phương trình bậc n : anxn +an-1xn-1 + + a1x +a0 = (1) với a n  Nếu phương trình có n nghiệm x1 ;x2 ; ;xn ta có : THPT Phan Bội Châu – Bình Dương SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân  a n 1  x  x  x   x  n  an   an2  x1 x  x x3   x n 1 x n  an     n a0  x1 x x n  (1) a n  (I) Ngược lại có số x1 ;x2 ; xn thỏa mãn hệ (I) chúng nghiệm phương trình (1) PHẦN THỨ HAI ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ET THPT Phan Bội Châu – Bình Dương SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân I-ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ET BẬC HAI: 1) DẠNG 1: BIỂU THỨC LÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM Phân tích: Trong làm tập dạng này, học sinh cần lưu ý tồn nghiệm phương trình, sau biểu diễn biểu thức qua x1  x2 x1 x2 để sử dụng định lý Vi-et Các đẳng thức hay dùng là: a  b  (a  b)  2ab ; a  b3  (a  b)3  3ab(a  b) Ví dụ 1: Tìm m để phương trình: 3x  4(m  1) x  m  4m   (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn: 1   ( x1  x ) x1 x 2 Giải Trước hết điều kiện để phương trình có nghiệm phân biệt khác là: '  4(m  1)  3(m  4m  1)  Giải m  2  m  2  m   Theo định lý Vi-et ta có :  4(m  1)  (m  4m  1) x1  x  ; x1 x  3 Lại có biểu thức ban đầu đưa : x1  x x1  x (*)  x1 x 2 Thay tổng tích nghiệm vào (*) ta được: 4(m  1) 2(m  1)(m  4m  5)  (  )0 0 m  4m  3(m  4m  1) Ta m=1; m=-1; m=5 Kết hợp điều kiện ta nhận m=1; m=5 THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 10 SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân Giải: Gọi x1; x2; x3 độ dài ba cạnh tam giác y1;y2; y3 độ dài ba đường cao tam giác Vậy y1;y2; y3 ba nghiệm (1) Gọi S diện tích tam giác, yi = S xi Thế vào phương trình ta có được: ( S S S ) –a( ) +b( ) –c=0 xi xi xi Quy đồng ta xi nghiệm phương trình : 2bS 4aS 8S x x  x  (2) c c c Đặt P(x) vế trái (2) Theo công thức He-rong ta có: S2 =p(p-x1)(p-x2)(p-x3)= p.P(p), p= x1  x  x3 bS = c (Ta giải thích S2 =p.P(p) sau: Đa thức bậc ba nhân x1; x2 ; x3 làm nghiệm ( x-x1)(x-x2)(x-x3) =0 (3) Phương trình (3) phương trình (2) Nên ta phải có (p-x1)(p-x2)(p-x3) = P(p) ) Thay vào ta được: S2 = bS bS S4 P( ) = (4ab c  b  8bc ) , suy c c c S2 S= c 4ab c  b  8bc Ví dụ 5: Cho p1; p2 ; q1; q2 số nguyên  nghiệm phương trình : x2 +p1x +q1 =0,  nghiệm phương trình x2 +p2x +q1 =0 THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 102 SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân Hãy tìm số nguyên a,b,c,d cho   nghiệm phương trình x4 +ax3 +bx2 +cx+d =0 Giải: Ta gọi  ’;  ’ nghiệm tương ứng lại (1) (2) Để liên hệ nghiệm phương trình , ta xết đa thức sau nhận   làm nghiệm Đó là: P(x) = (x-   )(x-  ’  )(x-   ’)(x-  ’  ’) = x4 +ax3 +bx2 +cx+d Đồng hệ số đồng bậc hai đa thức ta thu giá trị a;b;c;d Chẳng hạn hệ số b Ta có : b =     ’+    ’  +    ’  ’+   ’  ’  ’ +  ’ ’  + ’   ’  Sử dụng định lý Vi-et cho (1) (2) ta thu b= 2q1p2 +q2(  +  ’2) +q1(  +  ’2)= = q1p2+q2(p12-2q1)+ q1(p22-2q2) Ví dụ 6: ( vô địch mỹ 1977) Giả sử a;b hai nghiệm đa thức x4 +x3 -1 Chứng minh ab nghiệm đa thức x6 +x4 +x3 –x2 -1 Giải: Giả sử nghiệm lại đa thức bậc P(x)= x4 +x3 -1 c,d Theo định lý Vi-et ta có : a+b+c+d=-1 ; abcd=-1 Để ab nghiệm đa thức bậc ta phải có: (ab)6 +(ab)4 +(ab)3 -(ab)2 -1 =0  ( ab) [( ab)  ( )  ( ab)   1]  (*), ab ab THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 103 SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân ab  0;  cd Vậy nên (*) trở thành: ab (ab)3 +(cd)3 +ab +cd+1=0 (**) Nói tóm lại ta phải chứng minh (**) Thật , từ P(a) =P(b) =0 Ta có a3 = 1 ; b3 = , a 1 b 1 (c  1)(d  1) = =-(c+1)(d+1) (a  1)(b  1) P (1) nên (ab)3 = Bởi P(x) = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d), nên P(-1) = (1+a)(1+b)(1+c)(1+d) Tương tự ta có: (cd)3 = -(a+1)(b+1) Thay vào (** ) ta -(a+1)(b+1)-(c+1)(d+1)+ab+cd+1 = -1-a-b-c-d=0 ( theo định lý Vi-et) Ví dụ 7: ( Vô địch Balan 1979) Hãy tìm tất đa thức Pn(x) có hệ số nguyên dạng Pn(x)=n!xn +an-1xn-1 +…+a1x +(-1)nn(n+1) có n nghiệm thực x1;x2; …; xn thỏa mãn điều kiện xk  [k; k+1], với k=1,2,…n n  Giải: Với n=1, đa thức có nghiệm x=2  [1;2] ,nên n=1 thỏa mãn Với n=2 đa thức có dạng P2(x) =2x2 +a1x +6 Ta phải tìm a1 để phương trình có nghiệm thỏa mãn  x1   x2  Theo định lý Vi-et ta có x1+x2 = a1 ; x1 x2 =3 Ta suy a1 0 có ba nghiệm thực không nhỏ Chứng minh p(  ) (q+3) ( 45 năm tạp chí toán học tuổi trẻ , 283) 24) Chứng minh THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 110 SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân cos  14  cos 3 5  3 5  cos  12 cos cos cos 14 14 14 14 14  xyzt   1 1 25) Giải hệ phương trình sau:  x  y  z  t     x y z t   xy  yz  zt  tx   xyzt   x  y  z  t    26) Giải hệ phương trình sau:  1 1     x y z t       25  x y z t 24 PHẦN THỨ BA PHẦN KẾT THÚC I- KẾT QUẢ: Sau ý tưởng đề tài thực , thấy thu nhiều kết khả quan Cụ thể sau: - Về phía thân: Tôi cảm thấy có nhìn sâu sắc xuyên suốt định lý Vi-et Thấy lợi ích to lớn đem cho học trò áp dụng vào giải tập làm kiểm tra, thi Bản thân tạo cho giáo trình riêng để giảng dạy học sinh Khi đề tài thực xong, dùng phần để giảng lấy ví dụ minh họa Đặc biệt tài liệu hỗ trợ cho nhiều vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi trường THPT Phan Bội Châu Cũng đề tài thực hiện, nhận đóng góp nhiệt tình quý báu từ đồng nghiệp Do có tích cực mặt trao đổi chuyên môn THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 111 SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân phương pháp Bản thân rút nhiều kinh nghiệm từ đồng nghiệp - Về phía học sinh: Khi ý tưởng hình thành từ năm 2007-2008, đem giới thiệu không thức với học sinh mình, đặc biệt em đội tuyển học sinh giỏi Tôi quan sát rút nhận định trình bày kiến thức cách hệ thống, gắn kết chúng lại em nhận chất vấn đề tốt để chúng dạng riêng lẻ Kể từ đề tài tổng hợp lại, kết thi Đại học ( môn Toán) kết học sinh giỏi có nhiều cải tiến Điểm số 8; môn Toán kỳ thi Đại học thu hoạch nhiều Tất nhiên phần khác kinh nghiệm phải nâng lên tương ứng Đã bắt đầu xuất học sinh đậu giải Lương Thế Vinh Trước chưa có học sinh đậu vòng tỉnh môn Toán Trong chương trình khóa, em làm kiểm tra, thi học kỳ phần hàm số ( tiếp tuyến, cực trị …) trôi chảy hơn, kết cao năm trước Đó tín hiệu khởi đầu đáng mừng giáo viên trẻ vào nghề Tôi tin tương lai , với nổ lực thân nổ lực chung nhà trường , thành tích nhà trường dạy học có nhiều cải tiến Về phía thân để đạt thành tựu , cần nổ lực lớn từ II- VÀI LỜI KẾT : Qua dạng toán đúc rút trên, thật ngạc nhiên thú vị định lý tưởng chừng hữu vấn đề đa thức phương trình, ta thấy sử dụng cách hiệu hầu hết mảng Đại số Số học Thật thiếu sót chưa có nhìn tổng thể định lý Vi-et Sẽ nhiều mảng khác mà định lý Vi-et sủ dụng tới, chẳng hạn Số phức hay Hình học tọa độ Tuy nhiên kinh nghiệm thân chưa nhiều nên chưa thể có hệ thống trọn vẹn Việc tìm mối quan hệ thống mảng Đại số số học nói riêng Toán học nói chung điều mà người dạy Toán học toán khao khát làm THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 112 SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân Điều khiến tác giả thấy tâm đắc qua đề tài ta sử dụng định lý Vi-et lời giải trở nên cô đọng sáng Một lần mong tin tưởng đề tài góp thêm phương pháp tốt cho học sinh làm toán Qua ví dụ tác giả chắt lọc được, ta thấy việc ứng dụng định lý Vi-et để giải tập xuất đề thi nhiều Bao gồm kì thi Đại học cao đẳng lẫn kỳ thi học sinh giỏi Do thiết nghĩ việc trọng định lý Vi-et trình giảng dạy học sinh điều cần thiết Do lực kinh nghiệm nhiều hạn chế , lời giải cách trình bày chưa thực hay đặc sắc.Mong nhận trao đổi từ đồng nghiệp Tác giả cố gắng hoàn thiện thời gian tới Cuối xin chân thành cảm ơn góp ý, giúp đỡ chân tình thầy cô tổ Toán trường THPT Phan Bội Châu, th.s Nguyễn Quốc Vũ, Nguyễn Thị Ly Na, bạn bè , đồng nghiệp người yêu Toán giúp hoàn thành đề tài MINH HÒA THÁNG 11 NĂM 2011 NGUYỄN THÀNH NHÂN Đánh giá Hội đồng khoa học THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 113 SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân Tài liệu tham khảo 1) Các toán chọn lọc 45 năm Tạp chí Toán học Tuổi trẻ (NXB GD) 2) Các thi Olympic Toán THPT Việt Nam (1990-2006), NXB GD 3) Những viên kim cương bất đẳng thức toán học ( Trần Phương- NXB Tri Thức ) 4) Chuyên đề : Số học dãy số ( Phan Huy Khải- NXB GD) 5) Bài tập nâng cao số chuyên đề giải tích 11 ( Nguyễn Huy Đoan, Đặng Hùng Thắng, NXB GD) 6) Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học tuổi trẻ T2,3,4 (NXB GD) 7) Tuyển tập đề thi Olympic 30 THÁNG năm ( NXB Đại học sư phạm ) 8) Một số toán dãy số đề thi Olympic 30-4 ( Võ Giang Giai- Nguyễn Ngọc Thu , NXB ĐHQG Hà Nội) 9) Các giảng luyện thi môn toán tập 1,2,3 ( Phan Đức Chính, Vũ Dương Thụy, Đào Tam, Lê Thống Nhất, Tạ Mân, NXBGD) 10) Bài tập nâng cao số chuyên đề giải tích 12 ( Nguyễn Huy Đoan, Đặng Hùng Thắng , NXBGD) 11) Trọng tâm kiến thức giải tích 12 , Phan Huy Khải, NXB GD 12) Các chuyên đề toán phổ thông, chủ đề Hàm số (Phan Huy Khải, NXBGD) THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 114 SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân 13) Bộ đề thi tuyển sinh đại học , môn Toán, NXB GD) 14) Đa thức ứng dụng , Nguyễn Hữu Điển, NXB GD 15) Báo Toán học Tuổi trẻ PHỤ LỤC 1/ Phần mở đầu THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 115 SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân 2/ Nội dung đề tài , giới thiệu định lý Vi-et 3/ Phần thứ hai: ứng dụng định lý Vi-et 11 4/ Ứng dụng củ định lý Vi-et bậc hai 11 5/ Dạng 1: Biểu thức liên hệ hai nghiệm 11 6/ Dạng 2: Giải hệ đối xứng kiểu 16 4/ Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức 19 5/ Dạng 4: Khảo sát tính chất cực trị hàm số 26 6/ Dạng 5: Khảo sát tính chất tiếp tuyến 34 7/ Dạng 6: Ứng dụng hệ thức truy hồi 40 8/ Dạng 7: Tương giao hai đồ thị tập hợp điểm 46 9/ Dạng 8: Tìm số hạng tổng quát dãy truy hồi tuyến tính cấp hai 54 10/ Dạng 9: So sánh nghiệm tam thức bậc hai với số 11/ Ứng dụng định lý Vi-et tổng quát .87 12/ Dạng 1: Ứng dụng vào giải hệ phương trình .87 13/ Dạng 2: ứng dụng vào tính biểu thức lượng giác 91 14/ Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức 96 15/ Một số tập tổng hợp 114 16/ Phần kết thúc .119 17/ Tài liệu tham khảo 122 18/ Phụ lục 124 THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 116 [...]... 4) Giải và biện luận hệ phương trình :  3 3  x  y  m( x  y ) 3) DẠNG 3: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phân tích: Định lý Vi-et vẫn có thể sử dụng để chứng minh bất đẳng thức Tất nhiên ở đây ta hiểu là dùng nó để biến đổi trung gian Để có thể sử dụng định lý Vi-et, thông thường các dữ kiện của bài toán thường đưa về được dưới dạng tổng và tích các ẩn Qúa trình chứng minh ta có thể sử dụng định lý về... thế ta được v=5+u, thế vào phương trình trên ta được u(5+u) =-6  u2 +5u +6 =0, giải được u =-3; u=-2 Với u=-3 thì v= 2 , theo định lý Vi-et ta có u;v là nghiệm của phương trình t2 +3t+2 =0, suy ra t=-1; t=-2 Vậy hệ có nghiệm (-1;-2);(-2;-1) Với u=-2 thì v==3 Theo định lý Vi-et thì x,y là nghiệm của phương trình THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 17 SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng -Nguyễn Thành... Ví dụ 1: Cho x,y,z khác 0 và thỏa mãn x  y  z  xyz và x 2  yz Chứng minh rằng: x 2  3 THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 18 SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân Giải:  y  z  x 3  x Từ giả thiết ta có:   yz  x 2 Theo định lý Vi-et thì y,z là nghiệm của phương trình : t2-( x 3  x )t+ x 2 =0 Do tồn tại các số y,z nên phương trình trên phải có nghiệm Tức là:    0 ... THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 34 SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân Nên không có tiếp tuyến nào của (C) vuông góc với tiếp tuyến trên Do dó đễ có cặp tuyến tuyến vuông góc thì các nghiệm phải là nghiệm của (3) Trước hết (3) phải có 2 nghiệm phân biết khác 2   (1  3m) 2  8  0 và m  2 Khi đó gọi x1;x2 là hai nghiệm của (3) thì theo định lý Vi-et ta có: x1+x2= 3m  1 ; x1 x2... Theo định lí Vi-et ta có u, v là nghiệm phương trình: t2-5t+6=0 Giải được t=2; t=3 u  2 u  3 hoặc  v  3 v  2 Do đó  Dẫn đến nghiệm của hệ là(4;9); (9;4) THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 15 SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân Ví dụ 2: Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất:  x 2 y  xy 2  2(m  1)  2 xy  x  y  2(m  2) Giải: Đây là hệ đối xứng kiểu 1 Giả sử (a;b) là nghiệm. .. 2v  u  4 v  1 Theo định lý Vi-et thì x, y là nghiệm của phương trình: t2-2t+1=0 , ta được t=1 Vậy hệ có nghiệm duy nhất x=y=1  x 2 y  xy 2  2 2 xy  x  y  0 Với m=-2 ta có hệ:  Bằng cách đặt tương tự ta được (u;v)=(2;-1) và (u;v)=(-2;1) Do đó hệ không có nghiệm duy nhất Vậy m=0 là giá trị cần tìm Ví dụ 3: THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 16 SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng -Nguyễn Thành... phía đối với x 1 trục Ox 5) DẠNG 5 : ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN Phân tích: Bài tập về tiếp tuyến thường liên quan tới các điều kiện tiếp xúc của đường cong và đường thẳng Cần làm cho học sinh thấy rõ tọa độ điểm tiếp xúc thường là nghiệm của một phương trình nào đó mà ta có thể đưa về bậc hai để sử dụng định lý Vi-et Các kỹ thuật về nhẩm nghiệm cần được sử dụng tốt ở dạng bài tập này Ví dụ 1:... 2 x  2mx  m  2  0 có hai nghiệm phân biệt 2 2 b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của nó, tìm GTLN của biểu thức: A  2 x1 x 2  x1  x 2  4 THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 12 SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân Giải: a) Ta có:  ,  m 2  2( m 2  2)   m 2  4 Phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi: '  4  m 2  0  2  m  2 b) Theo định lý Vi-et ta có : m2  2 x1  x... làm sao biểu diễn được tọa độ điểm cực trị một cách gọn gàng và nhanh chóng nhất Để làm được điều đó, học sinh phải biết tọa độ các điểm cực trị nghiệm đúng phương trình nào? Để tiện trong việc giải các bài tập về cực trị, ta cần lưu ý các kiến thức liên quan sau: Định lý Phec-ma: THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 24 SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân Cho hàm s˨ f(x) xác đˢnh, liên...  0 Do đó thay vào biểu thức trên ta được: f ( x0 )  r ( x0 ) Ta có điều phải chứng minh Bổ đề 2: THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 25 SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân Nếu hàm số phân thức y  u ( x) đʭt c c trˢ và có đʭo hàm tʭi đi˔m c c trˢ thì tˤa đ c c trˢ v( x) nghi˞m đúng phɵɳng trình y  u ' ( x) v' ( x) Chứng minh: Giả sử hàm số đạt cực trị tại x0 và có đạo hàm tại ... nghiệm phương trình (1) PHẦN THỨ HAI ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ET THPT Phan Bội Châu – Bình Dương SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân I -ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ET BẬC HAI: 1) DẠNG 1:... Tuy nhiên em biết sử dụng định lý Vi-et để đưa tổng tích đơn giản Như em không thấy ỨNG DỤNG định lý Vi-et trường hợp THPT Phan Bội Châu – Bình Dương SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn... Châu – Bình Dương SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân NỘI DUNG ĐỀ TÀI PHẦN THỨ NHẤT GIỚI THIỆU VỀ ĐỊNH LÝ VI-ET I- ĐỊNH LÝ VI-ET CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: Định lý Vi-et học