Định lý Minimax khôg lồi đối với đa thức thuần nhất tách được

MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU .4 Chương Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm không gian định chuẩn 1.2 Không gian Hillbert 1.2.1 Tích vơ hướng 1.2.2 Bất đẳng thức Schwarz 1.2.3 Định nghĩa không gian Hilbert ví dụ 1.3 Tập lồi .10 1.3.1 Định nghĩa tính chất 10 1.3.2 Bao lồi bao lồi đóng 11 1.3.3 Các định lý tách 12 1.4 Hàm lồi 13 1.4.1 Hàm lồi 13 1.4.2 Các phép toán hàm lồi .16 1.4.3 Tính liên tục hàm lồi 18 1.5 Tập mở tập đóng .18 1.6 Tập compact 18 Chương Định lý minimax không lồi 20 2.1 Đa thức tách được; Tính lồi miền giá trị ghép 20 2.2 Định lý minimax không lồi 23 2.3 Ứng dụng định lý minimax không lồi 28 KẾT LUẬN .31 TÀI LIỆU THAM KHẢO .32 LỜI MỞ ĐẦU Định lý minimax cho hàm tách lồi - lõm định lý lý thuyết tối ưu giải tích lồi, có nhiều ứng dụng kinh tế Mở rộng định lý minimax cổ điển cho trường hợp không lồi nghiên cứu suốt hai thập kỉ qua (xem [4,5,7]), cách thêm giả thiết lồi tổng quát Tháng năm 2011, G Y Li công bố báo “A Note on Nonconvex Minimax Theorem with Separable Homogenous Polynomials” cho cách nhìn định lý minimax khơng lồi đa thức tách cách đầy đủ xác Đặc biệt, áp dụng tính lồi ẩn (tính lồi miền giá trị ghép) đa thức tách được, ông chứng minh định lý minimax không lồi áp dụng cho đa thức tách Với ý tưởng tương tự, có số cơng trình cơng bố với hệ tồn phương không lồi, xem [8,9] Các kết thu báo [12] cung cấp cho thêm cách nghiên cứu định lý minimax không lồi, cách lấy số điều kiện kiểm tra dễ dàng Là sinh viên Sư phạm, chun ngành Sư phạm Tốn, tơi mong muốn tìm hiểu sâu lý thuyết tối ưu giải tích lồi nói chung định lý minimax nói riêng Đặc biệt, gợi mở, hướng dẫn, bảo tận tình thầy ThS Nguyễn Quốc Tuấn tơi chọn đề tài “Định lý minimax không lồi đa thức tách được” Khoá luận tập trung làm rõ số nội dung liên quan đến định lý minimax không lồi đa thức tách được, số bổ đề hệ có liên quan Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khoá luận gồm hai chương: Chương Các kiến thức chuẩn bị Trong chương này, tác giả hệ thông lại số kiến thức chuẩn bị cho định lý minimax không lồi đa thức tách Chương Định lý minimax khơng lồi Chương trình bày khái niệm đa thức tách được; Tính lồi miền giá trị ghép Phát biểu, làm rõ chứng minh định lý minimax khơng lồi ứng dụng Do thời gian nghiên cứu có hạn khả thân hạn chế nên khố luận dừng lại việc tìm hiểu, trình bày nội dung theo chủ đề đặt Trong q trình viết khố luận q trình xử lý văn bản, khố luận khơng tránh thiếu sót định Vì vậy, tơi mong đóng góp ý kiến q thầy bạn đọc để khố luận hồn thiện Chương Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1 Ta gọi không gian định chuẩn (hay khơng gian tuyến tính định chuẩn) khơng gian tuyến tính X □ với ánh xạ từ X vào tập số thực □ , ký hiệu  đọc chuẩn, thỏa mãn tiên đề sau đây: 1) x  ; x =  x  , x  X ; 2)  x   x , x  X ,  □ , (tính nhất); 3) x  y  x  y , x, y  X (bất đẳng thức tam giác) Số x gọi chuẩn vector x Ta ký hiệu không gian định chuẩn X Các tiên đề 1) 2) 3) gọi hệ tiên đề chuẩn Ví dụ 1.1 Đối với số thực x □ , ta đặt x  x (1.1) Nhờ tính chất giá trị tuyệt đối số thực, công thức (1.1) cho chuẩn □ Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu Banach □ Dễ thấy □ không gian k k Ví dụ 1.2 Cho khơng gian vector k chiều □ , □  {x  (x , , , x x k ): x □ ) j Đối với vector x  (x , x , , x ) □ k ta đặt x k x (1.2) j1 Ta dễ thấy (1.2) xác định chuẩn không gian □ k Hơn nữa,  □ ,   không gian Banach k  l  Ví dụ 1.3 Cho không gian vector x   x   □ n vector x  x l  n  :  xn n1     Đối với  ta đặt x   xn (1.3) n1 Ta dễ thấy (1.3) xác định chuẩn không gian l2 Hơn nữa,  l2 ,   khơng gian Banach Ví dụ 1.4 Cho không gian □  a,b gồm tất phiếm hàm tuyến tính liên tục  a, b Đối với hàm số x  x  t  □  a,b x  max x  t  atb ta đặt (1.4) Ta dễ thấy (1.4) xác định chuẩn không gian □  a, b Hơn nữa,  □  , a, b   không gian Banach Nhận xét 1.1 Các chuẩn thỏa mãn (1.1), (1.2), (1.3), (1.4) chuẩn Euclide 1.2 Không gian Hillbert 1.2.1 Tích vơ hướng Định nghĩa 1.2 Cho X khơng gian tuyến tính □ Ta gọi tích vơ hướng khơng gian X ánh xạ từ tích Descartes X  X vào □ , ký hiệu , , thỏa mãn tiên đề: 1) x, y  y, x , x, y  X ; 2) x  y, z  x, z  y, z 3)  x, y   x, y , x, y, z  X ; , x, y  X ,  □ ; 4) x, x  , x  X x  ; x, x  x  Các phần tử x, y, z, gọi nhân tử tích vơ hướng, tiên đề 1), 2), 3), 4) gọi hệ tiên đề tích vơ hướng Định nghĩa 1.3 Cho □ m m không gian Euclide m chiều, với x, y  □ , tích vơ hướng x y , kí hiệu x, y , xác định m x, y   xi yi , x   x1, , xm  , y   y1, , ym  i1 Nhận xét 1.2 Một số tính chất đơn giản tích vơ hướng 1) 0, x 2)  0,x  X x, y   0, x x, y  0.x, x  x, x 0; ,x, y  X ,  □ ; 3) x, y  z  x, z  y, z ,x, y, z  X 1.2.2 Bất đẳng thức Schwarz Định lý 1.1 Đối với x  X ta đặt x đó, với x, y  X x, x , (1.5) ta có bất đẳng thức Schwarz x, y  x y Hệ 1.1 Tích vô hướng , (1.6) hàm liên tục theo hai biến chuẩn xác định (1.5) Định nghĩa 1.4 Khơng gian tuyến tính trường số thực □ với tích vơ hướng gọi không gian tiền Hilbert 1.2.3 Định nghĩa không gian Hilbert ví dụ Định nghĩa 1.5 Khơng gian tiền Hillbert  H , , với chuẩn x  x, x ,x H  không gian Hilbert H không gian Banach Ta gọi không gian tuyến tính đóng khơng gian Hilbert H khơng gian Hilbert khơng gian H Ví dụ 1.5 Ký hiệu □ không gian vector thực k chiều Với k k thuộc □ , y   yn  x    xn thuộc □ ta đặt k k x, y   xn yn n1 (1.7) Dễ dàng thấy hệ thức (1.7) thỏa mãn hệ tiên đề tích vơ hướng Chuẩn sinh tích vơ hướng (1.7) x   x, x k x n1 n , x  x  □ k, n trùng với chuẩn (1.2) biết không gian □ k nên không gian vector thực k □ với tích vơ hướng (1.7) không gian Hilbert 1.3 Tập lồi 1.3.1 Định nghĩa tính chất Giả sử X khơng gian tuyến tính, □ tập số thực Định nghĩa 1.6 Tập A  X gọi tập lồi, x1, x2  A ,  □ ,     x1  (1  )x2  A Nhận xét 1.3 Theo định nghĩa tập  xem tập lồi Giả sử A  X ; x1, x2  A Định nghĩa 1.7 Giả sử A  X x1, x2  A Đoạn x1 x2 , kí hiệu [x1 , x2 ] ; nối định nghĩa [x1, x2 ]  {x  A : x   x1  (1   )x ,0    1} Nhận xét 1.4 Tập A tập lồi x1, x2  A kéo theo [x1 , x2 ]  A Ví dụ 1.6 Các nửa khơng gian tập lồi; tam giác hình tròn mặt phẳng tập lồi; hình cầu đơn vị không gian Banach tập lồi; … Mệnh đề 1.1 Giả sử A  X (  I ) tập lồi, với I tập số  Khi đó, tập A   A tập lồi  I Từ định nghĩa 1.7 ta nhận mệnh đề 1.2, 1.3, 1.4 10 Do đó, tổ hợp lồi q    f (x , y ), j1 j j f (x j , y p )   R ( f1, f2 , , f p ) , f (x j , y2 ), , nên tồn x0  cho q  j1 j f (x j , yi )  fi (x0 )  f (x0 , yi ) Kết hợp với (2.4), ta có f  x0 , yi    Mặt khác, x0 Vx Cho yi  y x i0 với i  1, , p   i1 p x0   i  1, , p  xi V (2.5) nên tồn số i0 1, p cho , kết hợp với (2.3) ta có  i0  f x0 , yi   Mâu thuẫn với (2.5), suy C1  int C2   Áp dụng định lý tách tập lồi 1.5, tồn ui  □ , i  1, , p với p    cho i i1 p n   ( f (x, y )   )    u , u  ,  x  i1 i i i1 i i i Suy ra, với ui  0, i  1, , p , ta có p   ( f (x, y )   i1 i i với x   p Ch y0 : o Vì  i yi  A (theo tính lồi tập A ) i  f  x ,. lồi với x  nên p f (x, y0 )   i f (x, yi )   ,  x  i1 Do đó, inf max f (x, y)  max f (x, y0 )   yA x x  Vậy ta có điều phải chứng minh Ba hệ sau chứng minh dễ dàng nhờ định lý minimax Đặc biệt, hệ 2.4 định lý von-Neumann tiếng Hệ 2.2 Cho  hộp compact □ m , q □ A tập lồi, tập A  □ n Cho hàm m f : □  □ đa thức tách bậc q hàm f2 : □ n  □ hàm afin Khi đó, ta có f1 (x) f2 ( y) inf max f1 (x) f2 ( y)  max inf yA x x yA Chứng minh Xét hàm tách f : □ m  □ n  □ xác định f (x, y)  f1 (x) f2 ( y) Với y cố định, y □ n f (, y) đa thức tách bậc q , với x cố định, x □ m , f (x,) hàm afin Do đó, từ định lý 2.1 ta có điều phải chứng minh  Hệ 2.3 Cho  hộp compact □ m , q □ A tập lồi, n A  □ Cho hàm f : □ m  □ đa thức tách không âm bậc q n hàm f : □  □ hàm lồi Khi đó, ta có inf max f1 (x) f2 ( y)  max inf yA x x f1 (x) f2 ( y) yA Chứng minh Xét hàm tách f : □ m  □ n  □ xác định f (x, y)  f1 (x) f2 ( y) Với điểm y cố định, y □ n f (, y) đa thức tách bậc , q với điểm x cố định, x □ , m f (x,) hàm lồi (nếu f1 hàm không âm f2 hàm lồi) Do đó, từ định lý 2.1 ta có điều phải chứng minh Hệ 2.4 Cho hai số m, n □ ,    x  (x1 , , xm ) □ m mn U thuộc □ : xi   1,i  1, , m Khi đó, ta có inf max x, U y□ n x  max inf x,U y x Chứng minh Cho A  □ n Xét hàm tách y y□ n m n f : □  □  □ xác định f (x, y)  x,U y ; với y cố định, y □ , f (, y) hàm số tuyến tính với x cố định, f (x,) hàm tuyến tính Do đó, từ định lý 2.1 ta có điều phải chứng minh, hàm tuyến tính lồi thuộc tập S1  Tiếp theo, ta trình bày ví dụ minh hoạ cho hệ 2.2 Ví dụ 2.1 Cho m  n  1,    1,1   1,1 A  □ Xét hàm tách f : □ 2 □ □, 4 f (x, y) : (x1  x2 )( y  1) Khi đó, dễ thấy 4 max (x 1 x )(2 y  1)  ( y  1) với y   1,1 ,  x1 ,x2  nữa, ta có inf max f (x, y)  Ngoài ra, yA x , x4  x4  0, x inf (x  x4 )( y  1)   0, x4  x4  0, x  yA , x4  x4  0, x  đó, max inf x yA  1,  1, x  1,  1, x  1, x  1, f (x, y)  Vậy, ta có inf max f (x, y)  max inf yA x x yA f (x, y) Mặt khác, đẳng thức suy từ hệ 2.2, với y cố định, y □ , f (, y) đa thức tách bậc với x cố định, x □ , f (x,) hàm afin 2.3 Ứng dụng định lý minimax khơng lồi Xét tốn (P) với đa thức tách không lồi với hộp ràng buộc sau  P n p(x) với x  i11,1 , x□ n p đa thức tách không lồi bậc 2q ( q □ ) Phần 2.3 hướng vào ứng dụng định lý minimax thu khoảng khơng đối ngẫu cho tốn  P (Với phép tính gần xác minh kết khoảng không đối ngẫu, tham khảo tài liệu [6,10,11,13,14,15]) Khơng giảm tính tổng qt ta viết lại sau xi2q   i  1, , n  Do đó, tốn đối ngẫu Lagrange  toán P  DP sup inf  p(x)  n y (x2q  1)  i i x  □ y□ i1   n n  Đây hệ định lý 2.1 Bây giờ, ta chứng minh khoảng không đối ngẫu  P đối ngẫu Lagrange  DP Định lý 2.2 Cho cặp đối ngẫu  P  DP , khoảng không đối ngẫu  P đối ngẫu Lagrange  DP hay n n n p(x)  sup 1,1 inf y□ x□ xi 1    t n Chứng minh Cho A  □ Với   n i p(x)  i  2q y (x  1) i1 n xác định    1,1 Xét hàm   t i1 f : □ n  □ n  □ xác định tách f (x, y)   p(x)  n  y  x 1 , 2q i i1 x  (x , , x ) m y  ( y1, , ym ) Vậy với y cố định, f (, y)  S2q với x cố định, f (x,) afin (do tính lồi) Khi đó, từ định lý 2.1 với t  ta có inf max f (x, y)  max inf f (x, y) Hay yA xt inf max f  x, y   sup yA xt n y□  yA xt  p(x)   xn i 1t  t ,    2q y (x  1)  i i i1  n Tiếp theo, với n x  t    t,t , i1 n  inf f (x, y)  inf  p(x)   y (x  1)  = 2q y□ n yA  i   n   , x  i i1 Do đó, ta có max inf f (x, y)  max i  1,1 ,  1,1  i1  p(x) n yA xt   p(x), x  n  x1,1 i 1 Sau đây, với t  1, ta có n n i p(x)  sup inf p(x)  x 1;1 y□ x  i 1  i i 2q i1  i y (x 2q  1)  i 1  n Cho p(x)  n n     n a x Tồn t  cho với y □ , y i1 i  a (2.6) i n     n     2q i ,t  p(x)   y  x 1    t 0    ,  arg x  i1 □    i1   i tồn số i0  1, , thoả mãn y i  a n  n   i i  n 0 y n inf Do đó, □  p(x)  i1 y (x 2q  1)     n sup x□ inf  p(x)   n y□  n  i1  y i(x  1)   sup 2q i  y□ n  Hơn nữa, từ (2.6) ta có 30 n   q  p(x)   y i (x 2i  1) , x  t ,t  i1   n i 1 0 n   sup inf  p(x)   y (x2q  1)   n y □  n x□  i i i1 31  mi xn n i 1 1;1 p(x)  KẾT LUẬN Khoá luận hoàn thành chủ yếu dựa theo [12] số tài liệu khác Trong khoá luận này, tác giả trình bày, làm rõ số nội dung liên quan đến định lý minimax không lồi, đa thức thức tách (tính lồi miền giá trị ghép), định lý minimax không lồi đa thức tách (định lý 2.1), ứng dụng định lý minimax khơng lồi Cụ thể, khố luận đã: ● Hệ thống lại số kiến thức chuẩn bị cho định lý minimax không lồi với đa thức tách được; ● Đưa ví dụ làm rõ thêm kết quả; ● Làm rõ nội dung đa thức tách được; tính lồi miền giá trị ghép), nội dung chứng minh định lý minimax đa thức tách (định lý 2.1) theo [12], ứng dụng định lý minimax không lồi Đề tài “Định lý minimax không lồi đa thức tách được” đề tài có tính thời nghiên cứu nhiều năm gần Tôi hi vọng tương lai có đóng góp có ý nghĩa cho hướng nghiên cứu TÀI LIỆU THAM KHẢO [A] Tài liệu tiếng Việt [1] PGS TS Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [2] PGS TS Đỗ Đăng Lưu - PGS TS Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [3] Hoàng Tuỵ (2003), Lý thuyết tối ưu, Viện Toán học, Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam [B] Tài liệu tiếng Anh [4] Craven, B D., Jeyakumar, V (1986), Equivalence of Ky Fan type minimax theorem and a Gordan type alternative, Oper Res Lett.,5, 99 102 [5] Frenk, J B., Kassay, G, (2007), Lagrangian duality and cone convex-like functions, J Optim Theory Appl., 134, 207 - 222 [6] Giannessi, F., Mastroeni, G (2008), Separation of sets and Wolfe duality, J Global Optim.,42, 401 - 412 [7] Jeyakumar, V (1986), A generalization of a minimax theorem of Fan via a theorem of the alternative, J Optim Theory Appl., 48, 525 - 533 [8] Jeyakumar, V., Huy, N q., Li, G (2009), Necessary and sufficient conditions for S-lemma and nonconvex quadratic, Optim Eng., 10, 491 - 503 [9] Jeyakumar, V., Lee, G M., Li, G (2009), Alternative theorems for quadratic inequality systems and global quadratic optimization, SIAM J Optim., 20, 983 - 1001 [10] Jeyakumar, V., Li, G (2009), Stable zero duality gaps in convex programming: complete dual characterisations with applications to semidefinite programs, J Math Anal Appl., 360, 156 - 167 [11] Jeyakumar, V., Li, G (2009), New dual constraint qualifications characterizing zero duality gaps of convex programs, Nonlinear Anal., 71, 2239 - 2249 [12] G Y Li (2011), A Note on Nonconvex Minimax Theorem with Separable Homogenous Polynomials, Journal of Optimizacation theory and Applications, Volume 150, Issue 1, pp 194 - 203 [13] Li, G., Jeyakumar, V (2009), Qualification - free optimality conditions for convex programs with sepable inequality costraints, J Convex Anal 16, 845 - 856 [14] Li, G., Ng K F (2008), On extension of Fenchel duality and its application, SIAM J, Optim.,19, 1489 - 1509 [15] Mastroeni, G., Some applications of the image analysis to the duality theory for constrained extremum problems, to appear in J Global Optim [16] Zalinescu, C (2002), Convex Analysis in General Vector Spaces, World Scientific ... kiến thức chuẩn bị Trong chương này, tác giả hệ thông lại số kiến thức chuẩn bị cho định lý minimax không lồi đa thức tách Chương Định lý minimax không lồi Chương trình bày khái niệm đa thức tách. .. áp dụng tính lồi ẩn (tính lồi miền giá trị ghép) đa thức tách được, ông chứng minh định lý minimax không lồi áp dụng cho đa thức tách Với ý tưởng tương tự, có số cơng trình cơng bố với hệ tồn phương... trị đa thức tách có định lý minimax khơng lồi việc chứng minh dựa theo chứng minh cổ điển định lý minimax cho hàm tách lồi - lõm trình bày [16] Định lý 2.1 Cho  hộp compact □ m , q □ A tập lồi,