Làm đầy một không gian định chuẩn

Khoá luận tốt nghiệp Lời cảm ơn Bản khoá luận tốt nghiệp bước để em làm quen với việc nghiên cứu khoa học.Trứơc bỡ ngỡ gặp nhiều khó khăn bắt đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học,em nhận giúp đỡ động viên thầy cô giáo bạn sinh viên khoa Toán Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS GVCC Nguyễn Phụ Hy, giúp đỡ em hoàn thành khoá luận Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện để em có hội tập dược với việc nghiên cứu khoa học Xuân Hoà, tháng năm 2007 Sinh viên Đồng Thị Chinh Đồng Thị Chinh 10 K29B- Toán lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết đề tài :"Làm đầy khơng gian định chuẩn"đảm bảo tính xác, khách quan, khoa học, khơng trùng với kết tác giả khác Nếu sai xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Xuân Hoà, tháng năm 2007 Sinh viên Đồng Thị Chinh Lời mở đầu Giải tích hàm ngành toán học xây dựng vào nửa đầu kỉ XX, ngành giải tích Tốn học Nội dung hợp lí thuyết tổng quát xuất phát từ việc mở rộng số khái niệm kết giải tích đại số Trong điều đáng ý tác giả đối tượng khảo sát giống không gian thực mối quan hệ hay mối quan hệ khác Đến giải tích hàm đạt số nội dung quan trọng: - Lý thuyết khơng gian trừu tượng - Lý thuyết tốn tử tuyến tính - Lý thuyết nội suy tốn tử - Lý thuyết giải tích hàm suy tuyến, giải gần phương trình tuyến tính Phương pháp giải tích hàm tiên đề hố tính chất đặc trưng tập số thực thành không gian tương ứng mở rộng vấn đề giải tích cổ điển vào khơng gian Giải tích hàm có ý nghĩa quan trọng ứng dụng vật lí lí thuyết đại, đặc biệt học lượng tử Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu môn bước đầu tiếp cận với nghiên cứu khoa học, em chọn đề tài: “Làm khơng gian định chuẩn” Trong khố luận em trình bày nội dung sau: L Chương Khơng gian định chuẩn C [a,b] Chương Làm đầy không gian định chuẩn Để hồn thành khố luận này, em cố gắng song hạn chế thời gian kiến thức nên khoá luận khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy bạn bè l CHƢƠNG : KHÔNG GIAN địNH CHUẩN C a, b  l Khơng gian tuyến tính định chuẩn C a, b  Định nghĩa 1.1.1: (Không gian tuyến tính ) Giả sử P trường số thực R hay trường số phức  Tập X  cùng với hai ánh xạ ( gọi phép cộng phép nhân vô hướng )  Phép cộng: (x,y) X X X  x+y ( x,yX )  Phép nhân vô hướng : P X  ( .x) X  .x (  P, x X) Gọi khơng gian tuyến tính ,nếu ( x,y X) : x+y=y+x : mãn: tiên đề sau thoả : ( x,y,z X): (x+y)+z =x+ (y+z); : ( X )( x X) x+ =x ; ; (gọi phần tử không X) : ( xX) (  -xX) x+ (-x)=  ; ( -x gọi phần tử đối x ) : ( x,y X)( P) .(x+y )=  x+y ; : ( xX)( , P) (  + ).x =  x + x ; : ( xX) ( , P) : ( ).x= ( x) ; : ( xX) 1.x=x ; Nếu P= R X gọi khơng gian tuyến tính thực Nếu P=  X gọi khơng gian tuyến tính phức l  Xây dựng khơng gian tuyến tính C a, b l C  a, = x= x(t): x(t) hàm liên tục đoạn [a,b] b   Đưa vào tập hai phép toán : l C a, b x=x(t)  , l C a, b l y=y(t)  , R : C a, b Ta gọi tổng phần tử x y ,kí hiệu x+y x+ y=x(t)+y(t) Ta gọi tích phần tử x với số ,kí hiệu .x .x = .x(t) l b) Các phép tốn đóng kín C a, b Thật vậy: x=x(t)  l C a, b , y=y(t)  , R Khi theo tính chất hàm số liên tục ta có x(t)+y(t); .x(t) hàm liên tục đoạn [a,b] l l Do x+y C a, b; .x C a, b l Suy phép toán xây dựng đómg kín C a, b l c) C a, b tuyến tính Thật vậy: l C a, b với hai phép tốn khơng gian  Kiểm tra tiên đề x=x(t)  l , y=y(t) C a, b.Ta có l C a, b Với t [a,b] ,thì x(t), y(t) R nên x(t)+y(t) =y(t)+x(t) Suy x+y=y+x Vậy tiên đề thoả mãn Kiểm tra tiên đề  x=x(t) l , y=y(t) C a, b, l C  a, b l z=z(t)C a, b  Với t[a,b] x(t), y(t), z(t)  R nên ( x(t)+y(t) )+ z(t) = x(t)+(y(t) + z(t)) ( x+y) +z =x+( y+z ) Vậy tiên đề thoả mãn  Kiểm tra tiên đề : Xét= (t)=0 , t[a,b] Hiển nhiên  l C a, b , x=x(t)  , ta có: l C a, b Với t [a,b] x(t) R nên : x(t) +0 =0+ x(t)= x(t) x+=+x=x Vậy tiên đề thoả mãn , phần tử  gọi l phần tử không C a, b  Kiểm tra tiên đề : x=x(t)  l C a, b l ,đặt y=-x(t) Rõ ràng y C  a, b Với t[a,b] x(t) R -x(t) R ,nên x(t)+ (-x(t)) = x(t)-x(t) =0 x(t)+( -x(t))=x(t)-x(t) =0 , t[a,b] x+y = Phần tử y gọi phần tử đối x , kí hiệu –x Vậy tiên đề thoả mãn  Kiểm tra tiên đề : x=x(t)  l C a, b l , y=y(t) C a, b,  R ta có : Với t [a,b] x(t) ,y(t) R , nên : .( x(t)+y(t) )= .x(t)+ .y(t) Vậy tiên đề thoả mãn  Kiểm tra tiên đề : l x=x(t) C a, b, , R , ta có : Với t[a,b] x(t) R nên : ( + ).x(t) = .x(t)+ .x(t) ( + ).x= .x+ .x Vậy tiên đề thoả mãn  Kiểm tra tiên đề : l x=x(t) C a, b, , R , ta có : Với t[a,b] x(t) R nên : ( .x( t ) )=(  ) x(t) ( x) =(  .)x , Vậy tiên đề thoả mãn  Kiểm tra tiên đề : l x=x(t) C a, b, ta có: Với t[a,b] x(t) R nên : Thật vậy: g ánh xạ tuyến tính 2.2.2 Thật vậy: x , y M1 ,  ,  g( x )= x M2, g( y )= y  M2 Với P ta có : x M , (x )  X xn= x cho lim n n M lim  n xn= x M2 Với y M tồn dãy (y )  X y = y không gian n lim n cho n M1 lim  n yn= y không gian M2   Suy lim   n ( xn yn )=  x +  y không gian M1 lim n ( xn yn )=  x +  y  không gian M2     g(  x +  y )=  x +  y = g( x )+ g( y ) Vậy g ánh xạ tuyến tính 2.2.3 g ánh xạ đẳng cự ánh xạ M1 lên M2 Thật vậy: Lấy hai phần tử tuỳ ý x , y X Khi tồn hai dãy (xn),(yn) X cho lim x = n n x lim yn= y không gian n   lim  xn= x , lim y = y  không gian M n n n     Khi ta có :  x □y 1 = lim  xn yn  = lim  xn yn  = n n = lim    n  xn yn 2= D x - y D2 Vậy g ánh xạ tuyến tính đẳng cự từ khơng gian M1 len không gian M2 Kết luận: Mọi bổ sung không gian định chuẩn không đầy đẳng cự tuyến tính 2.3.Ví dụ: l Làm đầy khơng gian định chuẩn C a, b l Như chương trước ta xét không gian định chuẩn C a, khơng b đầy Theo định lý bổ sung thành khơng gian Banach Cách l bổ sung dãy mà khơng có giới hạn C a, coi b xác định phần tử cần thêm vào làm giới hạn cho dãy Sau đâychúng ta thấy phần tử nới hàm số khả tích theo nghĩa Lebesgue đoạn[a,b] Thật vậy: + Ta có hệ định lý :Lebesgue hội tụ bị chặn: “ Nếu dãy hàm đo  hội tụ h.k.n đến hàm số đo f fn tâp A có độ đo hữu hạn fn  M (h.k.n) A ( n số lim n  fnd  =(L)  * ) ,M fd  A A +Ta có A=[a,b] tập đóng R ,nên [a,b[ tập Borel Do dó [a,b] đo theo nghĩa Lebesgue * Bổ đề: Mọi ánh xạ f :[a,b] R hàm số liên tục đoạn [a,b] f đo (L) đoạn A=[a,b] Chứng minh : -1 Nếu a R { x [a,b]:f(x)0 xn (t) M , t[a,b] Gọi (x n (t)) l dãy C a, có giới hạn x(t) n1 b l làm đầy khơng gian C a, b Khi theo hệ định lý Lebesgue hội tụ bị chặn ,thì x(t) hàm b lim x (t)dt =(L) khả tích (L) n b x(t)dt a na 2.4.Mở rộng tập  thành tập R 2.4.1>Không gian số hữu tỉ  không đầy □ tập số hữu tỉ Dễ thấy  với hai phép toán cộng nhân  ( theo nghĩa thơng thường) lập thành khơng gian tuyến tính trường P (P= R P=  ) a) Xác định chuẩn  x  ta đặt  x = x (2.4.1) Công thức (2.4.1) xác định chuẩn  Thật vậy: + Nếu x0 x >0 hay  x >0 Nếu x=0 x =0 hay  x =0 Vậy tiên đề dược thoả mãn + Dễ thấy tiên đề thoả mãn + x ,y ,ta có  x y = x y  Vậy tiên đề thoả mãn x y  x  y  Kết luận: (  ,  ) không gian định chuẩn b)  không không gian Banach Thật vậy: n + Xét dãy xn=1+  ( n k 1 * ) Dễ thấy xn , n * k! + Ta chứng minh dãy (x ) dãy  n n1 Thật vậy:( n *)( p  * ): x np xn   p  x  xnp n Vậy dãy (x )  n 1)!  n = k 1 k! k 1 1   =  (n 1)! (n 2)! (n p)! k! không hội tụ  n Giả sử dãy (x ) n  n1 nguyên dương q>1 Ta viết : e = lim (n  ) np 1   dãy  n1  Dãy (x )  n 1 (n xnp xn hội tụ e   , tức e = p với p,q số q   [ (11   ) ( 1 ) ]= 1 n 2! = (11 1   )  2! q! q! (q 1)! (q n)! 1 lim (  (q 2)!   ) n (q 1)! (q 2)!  (q n)!  nhân hai vế với q! ta có : 1 e q!=q! 1(11 lim (   )   )  (q 1) (q 1)(q 2) (q n) 2! q! n  hay :  e q!-q! (2    )  2! q! (11   )  lim (   n (q 1)   1 ) (q 1)(q 2) (q n) lim (   )  n (q 1) (q 1)(q 2)(q 1)(q 2) (q 2! q!  n)  p Vế trái số nguyên dương ( theo giả thiết e = q ),còn ta chứng minh vế phải số bé thua 1.Do vơ lí 1 Thật vậy, q> nên  q 1 1     1)(q 2)(q 1)(q 2) (q n) (q 1)(q 1  1  1  1       1   (q (q 2) (q 2) (q 22 1)  n)  3  1 1  1 = n 1  13 ( e 2,718281828…) Vậy nên  không không gian Banach  = 2n1  Do ta bổ sung vào  phần tử để trở thành khơng gian Banach 2.4.2.Xây dựng khơng gian thực R làm đầy không gian hữu tỉ  áp dụng vào q trình làm đầy khơng gian định chuẩn ta có : Gọi R tập dãy x lớp dãy không gian □ cụ thể sau: Ta gọi hai dãy (xn ) (xn)  tương đương viết (xn )  lim x  0 Khi dãy  (xn ) x nn chia thành lớp ,hai dãy thuộc lớp tương đương, hai dãy thuộc hai lớp không tương đương Tập tất lớp kể R ta kí x , y, hiệu phần tử R a) Ta đưa vào R hai phép toán : ta gọi : x , y  ,  P + Tổng hai phần tử  x x y   y ,kí hiệu (x y ) + Ta gọi tích   với x   n n n x  + y  : (xn ) x ,( yn ) y ,kí hiệu x :   x   (xn )n1 : (xn ) x Ta coi x = y  lim n xn  =0 yn Khi theo chứng minh ngun lí làm đầy ,ta có phép tốn khơng gian tuyến tính P b) Xác định chuẩn R R với hai  =(x1,x2, …) x … , x n, , (2.4.2) x = lim x n  n   * Cũng theo chứng minh nguyên lí làm đầy ta có kết sau: ( R ,. ) khơng gian định chuẩn Khi : * +  đẳng cự tuyến tính với khơng gian R +  tập trù mật khắp nơi R Lúc R = □  I tập phần tử ,các phần tử gới hạn dãy  không hội tụ  Ta gọi I tập số vô tỉ Với cách bổ sung khơng gian đinh chuẩn R trở thành khơng gian Banach Và tính chất ,định lí khơng gian R với không gian  kết luận: Tập  làm thành không gian định chuẩn không đầy ,ta bổ sung phần tử số vô tỉ :Cứ dãy số hữu tỉ mà khơng hội tụ  coi xác định số Sau thêm phần tử ta định nghĩa chuẩn (2.4.2) không gian định chuẩn R bổ sung không gian Banach ,và  trở thành không gian không gian R Phần kết luận Qua việc nghiên cứu vấn đề: “ Làm đầy không gian định chuẩn ” cho ta nhìn sâu sắc vấn đề khơng gian Giải tích hàm, đặc biệt không gian định chuẩn tính đầy Qua chương ta thấy khơng phải không gian định chuẩn không gian Banach,sẽ tồn không gian định chuẩn không đầy.Vấn đề đặt là:ta phải làm đầy chúng Và chương cho ta câu trả lời:"Luôn làm đầy không gian định chuẩn không đầy thành không gian Banach".Từ chưng ta nghiên cứu sâu tính chất khơng gian Banach, giúp cho Giải tích hàm phát triển Qua việc làm đầy khơng gian định chuẩn ta áp dụng vào việc làm đầy không gian số hữu tỷ □ thành không gian tập số thực  , hai không gian mà quen thuộc tốn phổ thơng Từ có nhìn tổng qt việc xây dựng tập  Hy vọng vấn đề mà đề cập giúp cho quan tâm đến vấn đề Cuối em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Phụ Hy tận tình bảo ,hướng dẫn em hồn thành khố luận tốt nghiệp Tài liệu tham khảo 1.Phan Đức Chính (1978), Giải tích hàm, NXB Đại học trung học chuyên nghiệp T1 ,Hà Nội Nguyễn Phụ Hy(2006), Giải tích hàm, NXB Khoa học Kĩ thuật, Hà Nội 3.Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải(2001), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm T1,2 ,NXB Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải(1996), Không gian tuyến tinh, Tôpô, Banach, Hilbert, NXB Đại học sư phạm, Hà Nội Nguyễn Xuân Liêm (2001), Giải tích hàm, NXB Giáo dục, Hà Nội Hồng Tuỵ (1979), Giải tích đại T1,2, NXB Giáo dục, Hà Nội Hoàng Tuỵ (2002), Hàm thực giả tích hàm, NXB ĐHQG Hà Nội A.N.Cônmôgôrôp, X.V.Fômin, Cơ sở lý thuyết hàm giả tích hàm T1,2, NXB Giáo dục G.M.Fichtengơn (1972), Cơ sở giải tích tốn học, NXB Đại học trung học chuyên nghiệp ... Vậy không gian C L [a,b] không đầy Trong chương sau tìm cách làm đầy khơng gian định chuẩn chưa đầy thành không gian Banach Đồng Thị Chinh 10 K29B- Toán Chƣơng : Làm đầy không gian định chuẩn không. .. phần tử ,người ta định nghĩa chuẩn thích hợp để không gian bổ sung đủ chuẩn , lúc X trở thành khơng gian không gian bổ sung 2.1 Làm đầy không gian định chuẩn Cho không gian định chuẩn ( X,  )... lập thảnh b khơng gian tuyến tính trường số thực R l  Không Gian Định Chuẩn C a, b 1.2.1 Định nghĩa 1.2.1 (Không gian định chuẩn ) Ta gọi không gian định chuẩn (hay khơng gian tuyến tính