Lời cảm ơn
Trước sự bỡ ngỡ và gặp nhiều khĩ khăn khi bước đầu tập dượt nghiên
cứu đề tài khoa học, em đã nhận được sự giúp đỡ, động viên của các thầy cơ giáo và các bạn trong khoa
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo PGS TS
GVCC Nguyễn Phụ Hy người đã trực tiếp hưỡng dẫn chỉ bảo tận tình để em
cé thể hồn thành bản khố luận này
Đồng thời em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cơ trong tố giải tích, ban chủ nhiệm khoa Tốn — Trường ĐHSP Hà Nội2, các cơ chú trong
thư viện nhà trường đã tạo điều kiện thuận lợi để em cĩ cơ hội để hồn thành
cơng việc của mình
Ngày thang 5 năm 2007 Sinh viên
Trang 2Lời nĩi đầu
Giải tích hàm là một ngành tốn học được xây dựng vào khoảng nửa đầu thế kỷ XX, hiện nay đã được xem là ngành tốn học trọng điển Nội dung của nĩ là sự hợp nhất của những lý thuyết tổng quát xuất phát từ việc mở rộng
một số khái niệm và kết quá của giải tích, đại số, phương trình vi phân
Trong quá trình phát triển từ đĩ đến nay, giải tích hàm đã tích luỹ được một nội dung hết sức phong phú, bao gồm:
- Lý thuyết các khơng gian trừu tượng ( khơng gian metric, khơng gian định chuẩn, khơng gian tơpơ và tốn tử tơpơ)
- Lý thuyết và tốn tử tuyến tính
- Lý thuyết các bài tốn cực trị, giải tích hàm phi tuyến, giải gần đúng phương trình tốn tử
- Lý thuyết nội suy tốn tử, giải tích hàm ngẫu nhiên
Những phương pháp, kết quả rất mẫu mực và tổng quát của giải tích hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành tốn học cĩ liên quan và cĩ sử dụng đến những cơng cụ giải thích và khơng gian vec tơ Ngồi ra nĩ cịn ứng đụng trong vật lý lý thuyết và trong một số lĩnh vực kỹ thuật
Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ mơn này và bước đầu tiếp cận với cơng việc nghiên cứu khoa học em đã chọn đề tài:“ Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục trong các khơng gian định chuẩn ¡ ",I(p° 1),c¿” Nghiên cứu đề tài này em cĩ cơ hội tìm hiểu sâu hơn về
khơng gian vơ hạn chiều mà cụ thé ở đây là khơng gian ; °,1,(p? 1),c;.Từ đĩ
cĩ thêm kiến thức về các van dé cua giải tích,sự khác nhau của chúng trên các khơng gian khác nhau, xét ở khía cạnh khác nhau
Trang 3Chương 1: Dạng tống quát của phiến hàm tuyến tính liên tục trên khơng gian định chuẩn ; "
Chương 2: Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục trên khơng gian định chuẩn 1,(p? 1)
Chương 3: Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục trên khơng gian định chuẩn cụ
Do thời gian nghiên cứu và năng lực cĩ hạn nên một số vấn đề đặt ra trong khố luận cịn chưa được giải quyết triệt để Em rất mong được sự giúp đỡ và đĩng gĩp ý kiến của các thầy cơ giáo và các bạn đề khố luận này được hồn thiện hơn
Ngày thang 5 nam 2007 Sinh vién
Trang 4Chương 1: Dạng tống quát của phiến hàm tuyến tính liên tục
trên khơn gian ¡ "? 0) 1.1 Khơng gian tuyến tính ; ”
Cho tập hợp ¡ “= {x= (Xị, X¿, Xa)Xị Ï ¡ ,= 1n}
Với 2 phần tử tuỳ ý x = (xj)¡=I Ì ¡ ",y=G)t,Ÿ¡” và aI P(P=¡ hoặc
C).Ta định nghĩa hai phép tốn như sau:
Ta gọi tổng của 2 phần tử x và y và kí hiệu là x + y là phần tử
x+y= (X,+V,)_¡
và tích của 2 phần tử x vàa ,kí hiệu là ø x là phần tử
ax= (aXj)-+
Định lý 1.1.1
¡ "đĩng kín với hai phép tốn cộng và nhân xác định ở trên Ching minh:
n " n
4)"X= (xX), "Y= (yy Ei ta c6:
"i=in,xli.,yli BP xityit), "i=in bP (i+V0)pjÌi bx+y=(xit Wey
+)"x=(X)¿, Ì¡", 1P Ta cĩ:
aXiÌÏ¡ i=in bP ax=(ax) 0,17"
Vậy ¡ "đĩng kín với 2 phép tốn cộng và nhân xác định ở trên
Định lý 1.1.2
¡ "cùng với hai phép tốn cộng và nhân xác định ở trên lập thành một khơng gian tuyến tính
Ching minh:
Trang 5IL "x= (x), "Y= (yi, Ì ¡"ta cĩ:
"
Xit yi=VitX, "1=1n P x+y=y +x ( tiên đề 1 thoả mãn) 2 "X= (%)L "Y= (Ve Z=@ie, bi", tạ cĩ:
(X} +yi)+Zi= Xj + (y¡+Z¡), 1= ln
b (xty)tz=x+(y tz) (Tiên dé 2 thoả mãn)
3 Xét phần tử =(0,0, ,0)Ï ¡ ", "x=(x),Ï ¡", ta cĩ:
0 +X; = Xj "J=l,n
Bo gt+tx=x,"xij" ( Tién dé 3 thoả mãn)
4 "x =(X), Xo, Xn) 1", ton tai phần tử — x = (-Xị,- Xạ - X) Ì ¡ "
Ta cĩ: xi + (-xi)=0,"i=1,n
bP x+(-x)=q,"xij" ( Tién dé 4 thoa man)
5."x=(x)2,17", "abi; taco:
a(bx;) =(a b)x;, "i= 1,n
b a(bx)=(ab)x ( Tién dé 5 thoa man)
6."x=(X)j;Ï¡","a,bÌ¡ ,ta cĩ:
(a+b)xX= ax;+bx;, "= In
b (a+b)x=ax+bx (Tiên dé 6 thoả mãn)
7."x=(ŒX)p¡Ï¡","Yy=(y) p¡Ì¡","a,bÏ¡ ,ta cĩ:
a (Xị† Vị) = aXị + bxị "1= ln
Pa(X+y)=aX+ay (Tiên đề 7 thoả mãn)
8." x=(x) 2,1)", taluéncé:
1.x; =x,;(1ladonvicta; ),"i=1n
b l.x=x,"xỈi¡" (Tiên đề § thoả mãn)
Trang 6Bố đèI.1.1
Nếu a,b là hai số khơng âm; p,q là cặp số mũ liên hợp
(tức là L+ Ì= 1),1<p<Y thì p q P 4 ab £ +“ P q Dau “=” say ra U a? =b! Ching minh:
Nếu ab =0 thì bất đắng thức trên hiển nhiên đúng Nếu a>0,b >0 ta xét hàm số: -q j= eye voit>0 Po4q Ta cĩ: jae es eT), ¡'{)=0Ut=1(vớit>0) Bảng biến thiên : 0 1 +¥ - 0 +
Hình1.I Bảng biến thiên
+¥
Từ bảng biến thiên của ham j suy ra
min j @=7 () =1
1 -†1
Trang 7p 4
U aes ab
p4
Dau dang thức sảy ra khi và chỉ khi
1.1 1 i
a’b ’=1U0 at=b’ U a’= 5!
Bồ đề 1.1.2 ( Bat dang thire Holder)
Nếu p,q là cặp số mũ liên hợp ( tức i,t D,l£ p<+#
Pp dq Chứng minh: Đặt A = Ei |x,{” : ;B= a it
Néu A.B = 0 thì bất đăng thức hiển nhiên đúng Néu A > 0, B > 0,theo bé dé 1.1.1 ta cĩ
|x.i| 7 ly; " Fivile Fil 4 Jil
AB PA' q.B‘
n °
a lil a lal’ a |» i=l £ 4! 4 1 =
Trang 81 és
p Op &,"
Vay 4 a soil lxÍs a ly\"= 4 Bé dé 1.1.3.( Bat dang thire Mincovxki)
Với" x=(%Xj)Ì=¡,V = (yj) -i Í ¡ " ta cĩ
1 1 1
B bì Ệ cl bIỆ LỆ ut ae pcre jel ø i=l 9 =l ø Ching minh: 8 Ta cĩ: 8 |x, + vị =e fa |x, + vị áfx|? ly.) (1) x= i=l Ø Mặt khác, áp dụng bố đề 1.1.2 ta cĩ: n 6 ge" Ge! © pls ° (?- D2 Go ty dele ga Jxt vị” ˆš tả
isl isl Ø Fi-|
` & 2," & =fa |x, + v3 fa ly"= (3) Ø Ø lĩ 1 Iủ Oy n Op n ol
A stole Be bow le RA Isl HRA Ile is Ø Ÿj¡ ø isl oy
é & ak ak 2," rễ x," 5 P tả x+y, cee x; lý :lã l5 i=l i=l Dinh ly 1.1.3
Trén khong gian tuyén tinh ; ” ta xét ba ánh xạ đi từ ¡ " vào tập số thực như ¡ sau
Trang 9
"x=(x} ,Ï ¡" ta đặt Dalsll= Ja sf 2)-|x||,= max|x,|- Hi „ x," 3) |x|, = fa x,|)=,p>l i
Các cơng thức 1) hoặc 2) hoặc 3) cho ta một chuẩn trên ; ” Chứng mỉnh:
a Cơng thức 1) cho ta một chuẩn trên ¡ "
Kiểm tra 3 tiên đề về chuẩn
I."x=Œ,} ,Ï ¡", ta cĩ:
A |x)? 0b J§[,' 0 i=l
|x|, = 00 " x,=0,"i-in Ux=q
2."x=(Œj),Ì¡"," LĨ ¡ tacĩ
JIxl= ả txÍ = Hâ lé[ = WIl
3 "x=@Y Pi ys GLb i
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacovsky ta cĩ
O 4 x2+24 xy, tA vf A x, °+ 2 dã x, ° lã y Tả ví
i=l i=l i=l i=l i=l i=l i=l
Trang 10oa (x, + y)Ÿ £ fa x we xt yl] £ [xl + [ll "x
U
Vậy ¡ "cùng với chuẩn 1) là khơng gian định chuẩn b Cơng thức 2) xác định một chuẩn trên ¡ " Kiểm tra các tiên đề về chuẩn
1 "x=(X\, Xa Xn) Ï ¡ ", ta cĩ: [> 0," "i= Ln b max |x, |? 0b |x|,? 0 l£i<n lx, i |x|, = 0U max |x,|= 0 U x; = 0," nU x= q 2 "XK =(X1, XX) 15", "1 1 ¡ ytacd:
max x =m |= It Jax 1£i<n 1£i<n 1£i<n
= |
3."x=(Œ,},¡",y=).,Ï¡", ta cĩ: lx+y| £ |x|*+|ly| <"i=1n
b Ix, t+ y,|£ max|x,|+ max |y,|," I=ljn
|+ maxly|Ti= ba
l£i<n l£i<n
b [x+ sh £ |x|, tly "sy Ti"
Vậy ¡ " cùng với chuẩn 2)là một khơng gian định chuẩn c Cơng thức 3) cho ta một chuẩn trên ¡ ", thật vậy:
1 "x=Œ,} ,Ï¡", ta cĩ:
Trang 11
|x|, <0 © là Ix,’ =0 Ù |x|= 0, "isin i=! U x =q 2."x=Œ,},Ì¡" ,"1Ï¡ ,tacĩ 1 +" gen > en PO =64 |Ix,”s =|I|#ä |x| = =[1] Px = Ba ost) = 1 xl 2 =
3 "x=(@ bi" "y=Q0 bi"
dp dung bat đẳng thức Mincovski ta cĩ
1 1 1
an ở „ # `, ph BP ph
gà x,t y,'= £ ka |x, P= + fa ly,[=."p>1
isl © isl ø isl ©
Ú |xry| £ Meh, + [| 'x.yÌ¡"
Vậy (¡ ?, ll,) là một khơng gian định chuẩn 1.2 Khơng gian Banach ¡ ”
Giả sử trên khơng gian tuyến tính ¡ “cho một chuẩn nào đĩ, kí hiệu lÍ, Định lý: 1.2.1
Khơng gian định chuẩn ¡ ” là một khơng gian Banach Ching minh:
Theo định lý “ Mọi khơng gian định chuẩn n chiều đều đồng phơi
tuyến tính” nên chỉ cần chứng minh tính Banach của ¡ "theo một chuẩn
(chang hạn | |,) Từ đĩ suy ra tính Banach của ¡ ” theo các chuẩn cịn lại Gia str: (x)*_, 14 mét day co ban bat ky trong ¡ ” với
x= (x), x$9, x0) Nghia 1a:
("e> 0),k, 1 ¥*), ('m,k* kạ).Ta cĩ |x- x £ e
hay max|x,“- x;/"|£ eU |x"- x"Ì< e, "i=l,n
Trang 12Suy ra với mỗi i cố dinh (i= in), day (x“)*_,1a mot day số cơ bản, do đĩ tổn tại x/” = lim x9 (*) 1 Dat x = (x(9,x, x(9)) 1 ¡ Từ (*) ta cĩ (" e>0),(Sk,Ï #”) ( "k° k,) ta luơn cĩ xi9- x”|< eb |x”- xf <e
Nghĩa là dãy ((x®'ÿ_ hội tụ tới x' 1 ¡ ”
Vậy khơng gian định chuẩn ¡ ” là một khơng gian Banach
1.3 Dạng tống quát của phiến hàm tuyến tính liên tục xác định trên khơng gian ; "
¡"={x=(Xị,X¿ Xa)/XII ¡ ;nI Y `}
Giả sử: trên ¡ ” đã xác định một chuẩn nào đĩ kí hiệu | Goi e = (d, )”; ~ ¡, trong đĩ:
d¡= Inêu1' j,d, =0 nêu i=j;"i= 1,n
là cơ sở của khơng gian ¡ "
Với "x=(xj)}h, I1 ¡" đều cĩ hiểu diễn duy nhất đưới dạng
n
VỚI X= Ä X,e,
Lấy một phiến hàm bắt kỳ f I (¡ ")” (¡ ") là khơng gian liên hợp của
¡ ") ta cĩ
"x=Œ) =4 ¡ ";
fx) =f(Ä xe) = Â x,f€)= Â xf f=f(@) i=In i=l i=l i=l
b $e Ti"
Ngược lại với mỗi vectơ cố định tuỳ ý f=(f)-¡I ¡"ta cĩ f= 9 fx, "x=(x)2, Ti"
Trang 13Dé dang thay f là một phiến hàm tuyến tính trên ¡ ", hơn nữa f liên tục Thật vậy
1 Giả sử |x|=,|Đ xẻ "xX=(Œ@)=! 1 ¡"tacĩ
i=l
fol =|8 x.t| + ẩt ld x, = |x|, - lý:
i=1 i=l i=l
b fl € Ja #2 (1) Chon xo =(x)2, , x= fi „ "i=ln af, i=l b x fj" va Ixo|=1 of chu f(&%,)= ä -E==-= ,lä ï i=l ° 2 i=l a fF Suy ra lr|= suplt«]° re J= JA ft @) i=l Từ (1) và Ø2) ta nhận được |f|= |ä đˆ @
Bất đăng thức (1) chứng tỏ f bị chặn Do đĩ f I (¡ "ÿ' và chuẩn trên (¡ "} xác định bởi hệ thức (3)
2 Giả sử |x|, = max "x=(x,), i,"
Trang 14Mặt khác chọn Xo = (sign (f);_, ij" b |xạ|,=1 và fF =/a Gian ä lị i=l i=l Suy ra ||fl|= sup|f(x)| > |f(x.)|= a |§| i=l Bắt đẳng thức (4) va (5) cho ta |f|= ä |f Từ (4) chứng tỏ f bị chặn, do đĩ fÏ_ (¡ "}' và chuẩn trên (¡ "} xác định bởi hệ thức (6) n 1 3 Giả sử |x|= (ä |x;|”)" "x=(Œ),Ï ( "ý, Pel i=1 Khi đĩ "f Ï (¡ "Ỷ ta cĩ lf (x)|= £ ä |xfi| i=l n ° a Xf; isl áp dụng bất đắng thức Holder ta cĩ: IF(x£ lä xứ, |£ fa x, Pf Ie, P= = |x|, ka lđ*‡:
isl isl Ø §¡-¡ i=l
Trang 15
b [xf a [aif g Hf Senn td een, = ml ä Ie" 4 iff =
irl i=l
" n ä lf,
lf (x)|= a fox? = a li siend,\, = —isl i=l i=l ° f = ữ we ‘oO f= &
a le | Hệ
4 at
x Op &n Gi
= fa [is = ga lý isl © i=l Øð
-l©1_ x," qs b |f[= supf@|* fG|= ga If, | = i=l |x|= ! ð x." gO Hay lfl > fa fs (8) Từ (7) và (8) ta nhận được |f|| = (9)
Trang 16Chương 2: Khơng gian Ip (p° 1) 2.1 Trường hợp 1£ p< + ¥ 2.1.1.Định nghĩa <+¥},1£ pt+¥ ¥ Tap hop 1, = {x =(x,)_, |x, 1 7.8 n=1 xX,
2.1.2 Khéng gian tuyén tinh | >» PD
V6i 2 phan tir uy y x= (x,)_,11,, y=(y, R11, vaa fj
ta định nghĩa các phép tốn như sau:
Ta gọi tổng của 2 phân tử x và y, kí hiệu x + y là phần tử X+y=(XntYn) te
Ta goi tich cua 2 phan tu x va a , ki higu va a x là phân tử
a X=(a Xn) Ni
Định lý: 2.1.1
I pđĩng kín đối với 2 phép tốn cộng và nhân xác định ở trên Chứng minh: +"x=(%) 143 y=(Qn) A, Ì lptacỐ:
x, + y,|£ |x,|*+ |y,| Ù |x„+ y„| £ (x,|+ |y,| "nl ¥" CD
Mặt khác
Ix, + |y,|£ 2 max {|x,|:|y„|}
b (x,|+ ly, | £ 2° gnax {|x,|:|y, 8 "ni ¥*
Trang 17
of P of p p œ* p of po
& |x, + Yo] £ A W(x! + [yal = Ea Ml + A yal E
n=l n=l n=l n=l Ø ey ¥ 6 t7 x, +q y, |=; "kI Ơ n=1 n=1 â Cho k đ Ơ ta duoc Ơ P ey poy PO a |x, ty,| £2? fa x,| + ly,| <+¥ n=1 n=1 n=1 a
Suy rax+y =(Xn+Yn) 6, i 1,
+ "x=(x)_,1] ," a I j tac o ° o Pp P pe P P o P pe P a làx,| £ ä la lx,Ì=ä |x,Ï=[ã Ix,Ƒ£ aFä x), n=l n=1 = n=l = "kY# Cho k đ Ơ ta dugc Pp ¥ ¥ P
4 ax,| £ lal? |x,] <+¥ BP ax=(ax,)L, 11,
n=1 n=l
Vậy I ; đĩng kín với 2 phép tốn cộng và nhân xác định ở trên
Định lý 2.1.2
I p cùng với 2 phép cộng và nhân xác định ở trên lập thành một khơng gian tuyến tính
Chứng minh:
Ta chỉ ra 2 phép cộng và nhân xác định ở trên thoả mãn 8 tiên đề của khơng gian tuyến tính
1 "x=(%) 5), y=(yn) 6, I 1, tacd
Xn + Yn = Xn + Yop "n= 1,2 v.v
Pbx+y=xty (tiên đề 1 thoả mãn)
Trang 18(Xn + Yn) + 2n = Xu +(Yn+Za) "N= 1,2
P (x+y)+z =x+(y†Z) ( tiên đề 2 thoả mãn) 3 Xét phần tu q = (0,0 ) 1 1), "x = (Xn) a I 1, tac6é
X, +0=0+x, "n= 1,2
P x+q=q†x=x (tiên đề 3 thoả mãn) Phần tử q được gọi là phần tử khơng của | p
4 "x= (xy) ©, I 1,,dat "- x= (-x,) mi Rõ ràng -xI 1, vaxX,+(-x,)=0, "n=1,2
b x+(-x) =q (tiên dé 4 thoả mãn)
5 "x=(%) jl 1p, "y= (Qn) 5,1 1) tacd
a (Xn + Yn) = a Xn + 4 Yn, "n= 1,2
b a(X+y)=ax+ay (tiên đề 5 thoả mãn)
6 "x=(Œ4),.¡l lạ "a,bÏptacĩ
(a +b)x, =ax,+ bx,, "n=12
BP (at+b)x=ax+ bx (tiên đề 6 thoả mãn) 7."x= (x) 1, I 1, "a ,bÏ p ta cĩ
a (bxn)= (a b)Xn, "n= L2
b a(bx) =(a b)x (tiên đề 7 thoả mãn)
8 "x=(x,) *_,I Ip, tacd
X, 1 =X), "n= 1,2
b x.1=x (tién dé 8 thoả mãn)
Vay | p la kh6ng gian tuyén tính thực
Bồ đề 2.13 ( Bất đẳng thức Holder)
x , 1 1
Trang 19"x=(x,) 2, I 1p "y= (Qn) 1 1), tacd 3 Go) ph BS nốt a IXuya| £ bả Xa 2 fa |Yal n=1 n=l Ø Fy.) © Ching minh: 1 1 x x pỡ 8y ở Đặt A = bã [xu ý B= £8 ly," n=l © n=l ©
Nếu A B =0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng
Nếu A >0, B >0 thì theo bố đề 1.1.1 ta cĩ: p q Xuởal e Kol Yn AB pA’ q.B! Do đĩ K Ï #” tuỳ ý ta cĩ k k k ¥ ¥ xi ä |” ả lv ä Ka! a lyn! n=1 £ n=1 + n=1 £ n=1 + n=1
AB p.A? p.A? p.A? q.B"
Cho k đ Ơ tacộ
Ơ Ơ Ơ 4
â lŠXa-Yn a |X, EM:
= 1 =1 =1 1 1 n: n 4+ 2 =—+_—-= 1 B.A p.AP q.B" pq 1 1 3 p& 8y oS P q |x,-y,| £ AB= tả Xx, = fa x,| = n=l n=l © n=l 1 1 A ° wy pW Ly es]
Vay A |x,y.| € ga |x.| š gã ly, P=
n=1 n=l Ø Ÿn-i Ø
Bồ đề 2.1.4 ( Bất đẳng thức Mincovxki)
Trang 201 1 š Op OG x* Ba [k,l + ly, n=1 ni @ =1 y, |= 1£ p<+¥ HPI} => + £ ka X, @ fa Ø Chứng minh: "
Do Tp là một khơng gian tuyến tính thực nên " x,yI 1 p SUY ra
xX+y=(Xityn) i, 1 1, ry =ä I n=l p x, + y,| <+¥
Voiq: t+ t= 1 hay (X,+ Y ner T lp
P q Ta cĩ: ¥ P_ @v P16 a xX, + Yn tá X, + Yạ (|x, |+ yal) (1) n=l n=l LJ Mặt khác, áp đụng bổ đề 2.1.3 ta cĩ 1 ¥ œ* - DuƯP
A [x,t yl” lx|£ BA [xy + yal” MS
n=1 n=l 1 1 gu pở #2 ¡ pổ = fa x, + y,[= €a [x,[= (2) n=l Ø Sạ~i © 1 1 3 1 x (p- ng BY o&
A |x * Yul! [yal £ SA but yal” “EKA yale n=l n=1 Ø &,-) ©
Trang 21ánh xạ || |: 1, ®j 1 p& X=(Xn) 1, a Isl fA X, ạ Thoả mãn các tiên đề về chuẩn
Ching minh: 1 I "x=(xn)*,11,, x|- 6 XI 30 n=l I „ we po ^ |x|= 0Ù fa bs, Pz = x,=0, "n=1,2 U x=q he o 2° "x (Xn) p "alj & ¥ ! ee ,Š
a x||= P= = (laf g y= lala |x, P= =la
lai afá bạ = lỗ k⁄[Ệ = BI
3° "x=(x),I lp "y=(ya)},I Tp
x 1 x 1 we 1
Ix* yl= ga |x + y.l= € £ |x,/= + Bá vài
n=l © n=l © n=l Ø
( bố đề 2.3.3) Hay |x + yl£ |x||+ [y|
Vay anh xa | | xac dinh chuan trén 1 , 2.1.4 Khong gian Banach |, (1£ p< +¥ ) Dinh ly 3.1.4
Ip là khơng gian Banach Chứng mỉnh
Trang 22Gia st x=, )E, I 1, n= 1/2 là 1 dãy cơ bản bất kỳ trong 1p, Ta ching x hội tụ trong | ,
Thật vậy theo định nghĩa dãy cơ bản, ta cĩ
"e>0,§noÏ #” "m,n° nụ x” - x™l <e
1
œ* ° (n) (m)|PS Š " 3
hay a Ix - XI z <2 nm3 nạ (1)
k=l
Trong ( 1) với mỗi số k cố định, ta cĩ
(n) (m)
Ix; ~ X& <e "m,n? ny
Vậy với mỗi k cố định, day (x,“”) i 1a 1 day cosi trong ; Theo tiéu chuẩn cosi về sự hội tụ của dãy SỐ, Suy ra tồn tại
X= lim x, k= 1,2
Cho k chay tir 1 ® *_ ta thu được dãy số x = (Xu) }_, Bây giờ ta phải chứng minh x I1, và lim |x '- x||= 0
n® *
Thật vậy: Từ (1) suy ra, với số N bat ky, N i #” ta cĩ: 1
a Ixy” - xe P< e
k=1
"m,n? no (2) Trong (2)chom đ Ơ ta được
1
(3)
œN ¬ (n) (m)}p lơ =
a Ix; - Xi |3 <e oy 3 Ny
k=l Ø
Do (3) đúng " NỈ #' nên trong (3) cho N® *_ ta được
Y RẺ
x, Q |x, - X,{/zE<e (n) p& tru n3 3 nạ (4)
Trang 23Ta thấy, rõ ràng với mdi n? no phan tử x — x = (x x Ý_ là 1 phần
tử của khơng gian I „ Do đĩ x =x + (x-x™)I 1,
Từ (4) b |x” - 1 <e "n 3 nghay
j () _
limx’” =x trong |,
nđ Ơ
Vay 1 , 1a khong gian Banach ( hay khong gian day) 2.2 Trường hợp p = + ¥
2.2.1 Định nghĩa
1, 1a tap hop gồm các dãy số thực bị chặn
ly = {x= (Xa) }—,
x,1 ¡ ,sup n xX, <+¥ }
2.2.2 Khơng gian tuyến tính thwe | ¥ Dinh nghia cac phép toan
Voi 2 phan ti tuy yx =(x,)=_, I 1y y=, I ly vaad j
ta định nghĩa các phép tốn như sau:
Gọi tổng của 2 phần tử x và y, kí hiệu và x + y là phần tử
xty=(%,+ Yn) soy
Gọi tích của 2 phần tử x va a , kí hiệu là a x là phần tử a x=(A Xa) ©,
Định lý 2.2.1
ly đĩng kín với 2 phép tốn cộng và nhân Ching minh:
"X= Omer "Y= (On) pel ly
x, + y,|£ X„|T Yn £ sup|x,|+ sup|y„|< +¥ xX,
Trang 24ax|= lallx,| £ ja|suplx,| <+¥ "ni ¥ n P suplax,| <+Ÿ Pax=(ax,), Ï ly
Chứng tỏ l, đĩng kín với 2 phép tốn trong bị ở trên
Định lý 2.2.2
ly cùng với 2 phép tốn cộng và nhân trang bị ở trên lập thành một khơng gian tuyến tính
Chứng mỉnh
Ta chỉ ra 2 phép tốn định nghĩa ở trên thoả mãn 8 trên đề của khơng gian tuyến tính
1 "x=(x%)i) "Y= (Yn) 5,1 1, tacĨ
Xn + Yn= Xn + Yn "n= 1,2
pb xt+ty=ytx (Tiên đề 1 thoả mãn)
2 "x= (x) "Y= (Yn) ),2= (tn) 3,1 1, tacd
(Xn + Yn) + Zn =Xnt+ (Ynt Zn) "n= l,2
b (K+y)+z=x+(y+z) (Tiên đề 2 thoảt mãn)
3 Xét phần tử q= (0,0 )I ly tacĩ
X,+0=0+x,=x "n= 1,2
pb X+q=q+x=x (Tién dé 3 thoat man)
4."x=(x%)i,,1 ly ,dity=(- x) ©,
Rõ ràng ylI ly và x;+(xạ) =0," n=1,2
b x+y=q (Tiên đề 4 thốt mãn)
5 "x=Œa)j.¡LÏ ly, "y= (yi, 1 1, tacd
Trang 25b a(x+y)=ax+ay (Tiên đề 5 thoả mãn)
6."x=()) ,Ï ly ,"a,bÏ ¡ tacĩ:
(a +b) Xa = a Xn t+byn "n= l2
b (ab)x=ax+by (Tiên để 6 thoả mãn)
7."x=(Œa))IL ly ,"a,bŸị
a (bx,) =(a bx,) "n= 1,2
Pb a (bx) =(a b)x (Tiên đề 7 thoả mãn)
8 "x=(x,)'_,1 1, tacé
X,.1l =X, "n= 1,2
P x.1 =x (Tién đề 8 thoả mãn)
Vay 1, là khơng gian tuyến tính thực
2.2.3 Khơng gian định chuẩn l,
Định lý 2.2.3
Cho khơng gian tuyến tính thực 1 „ ,ta đưa vào l„ chuẩn của phần tử x,
ký hiệu |x , xác định như sau:
|x| = sup ||xn|} (2.2.2)
Khi do, 1, cng voi chuẩn xác định bởi (2.2.2) lập thành một khơng gian định chuẩn
Ching minh:
* Trước hết ta chứng minh tương ứng
|-|:l¿ ®¡
x=Œa)n-¡ 4 ||x|[ = sup |x,
n
là một ánh xạ
Trang 26
"x=(xX)ip 1 1, P |x|=sup|x,|<+* p |x| ij
+ Don tri:
"x= (x), "y= (Yn) pet I ly
x=yPb X=yn “n= 1,2 p sup |x,|/= sup ly,|b |x|Ì= ly Vậy tương ứng | | la 1 ánh xạ từ Ì¿ vào ¡
* Kiểm tra 3 tiền đề của hệ tiễn đề chuẩn
- Tiên dé 1:"x= (x,)*_,,1 ly
|x[= sup|x„|? 0 vì|x,|>0 "nÏ #”
x=qU xe=0 ( 'n=1l,2 ) U sup|x,|=0U |x|] =0
b Tién dé 1 thoả mãn
- Tiéndé2:"x=(x,)%,, I ly , "a fq tacé
la x| = sup lax, = sup (la | X;|)= la | sup |X, |= la | Ix|
b Tiên đề 2 thoả mãn
- Tiên dé 3:"x=(x,)*_,, y= (Ya) 1,1 ly tacĩ
|x + vị =lx,+y„| ()
x,t y,/£ \x,,| + |y,|£ sup |x„| + sup |y„| "n= L2
B sup |x, + y,|£ sup |x,| +sup |y,] = Ix|+| | (2)
Từ (1) và (2) suy ra |x+ y|£ |x|} + | y |
b Tiên dé 3 thoả mãn
Vậy cơng thức (*) xác định một chuẩn trên 1 y -Do do 1, 1a một khơng
gian định chuân xác định bởi cơng thức (*)
Trang 27Định lý 2.2.4
1y là một khơng gian Banach Ching minh
Lay 1 day co ban tay yx =(x)") (n= 1,2.) T ly
Theo dinh nghia day co ban
("e< 0), ($n, i ¥*),("m,n? nạ) fa cĩ |x” + y| <e
(n) xe)
hay sup |x; <e "mn? ny (1)
Rõ ràng trong (1) voi k cé dinh( k = 1,2 ) Ixy - x,” | <e"mn?n, (2)
Suy ra dãy số (x1) n-¡ là một dãy cơ bản trong ¡ ,k= l,2 Theo tiêu chuẩn cauchy về sự hội tụ của dãy số suy ra
$ x, = lim x nđƠ (k= 1,2 )
Cho k chạy từ I đến * ta được dãy số x = (Xy)}_,
(ny
Ta ching minh xI 1, va lim x,"’=x n® q
That vay:
" n
Trong ( 2) cho m @®*_ ta được Ixy” - x, | <e (3)
3 ny "k= 1,2 Từ (3) suy ra "n,? nạ, thì (n;) £ lx,- Xx + |X, (m) <e+ Ixy” "k=12 = - 1 ny Ix, Ix, xy + x, b sup|x,|<+¥ Px=(@)L, I 1, k
Cũng từ (3) suy ra sup|xc” - x,/£eP lim x®=x
Trang 28Vi vay day co ban (x) * J 1, hội tụ trong ly tới xI ly nên ly
là khơng gian Banach
2.3 Phiến hàm tuyến tính liên tục tác động trong l p 2.3.1 Trwong hop p> 1
* Biéu dién cia 1 phan tir bat ky trong 1, (p? 1)
Trong khơng gian | ,, ky kigu:
e” = (d,,)_,, trong dé:d,, = 1 néu n=k;d,,=0 néun! k,n=l,2
Khi đĩ, "x= (x,);_,Ï 1, ta cĩ biểu diễn duy nhất ¥
x=@ x,.e”
n=1
Ching minh
+ ”X =(XI,Xa Xe ) Ì 1, với mỗiNI #” đặt
N xY=4 xe te 1 Đ (n) x = (xị, Xo Xn, 0,0 ) B ¥ Hay x= limx™ y N@¥ = lim Ä x e"”= Ä xe N®Y a n a n
Vậy ta cĩ biểu diễn ( *)
+ Ta chứng minh biểu diễn ( *) là duy nhất
Giá sử " xÏ Ip cĩ 2 cách biểu diễn:
¥ ¥
x= 4 a,e=4 be” voi(a,)I Ip.(by) I 1, n
Trang 29Vậy biểu dién (*) là duy nhất
Định lý 2.3.1
Với p> I, khơng gian (Ï p }( gồm tất cả các phiến hàm tuyến tính, liên tục xác định trên khơng gian lp) đẳng cấu tuyến tính với khơng gian I p-
1 Trong đĩ số q thoả mãn điều kiện: 1 +—=I
Pq Chứng minh:
Với mỗi phần tử u = (u,);_, Ì 1„, ta xác định phiến hàm f, trên khơng
l p như sau:
*
Nếu x=(x/)}_, Ì 1, thìf@&)= ä u,x, €9)
n=l
Khi đĩ, ta chứng minh được f, là phiến hàm tuyến tính liên tục trén 1 ,
+)Chuỗi ở về phải của (*) hội tụ:
"x=(,)}_,I 1¿ , áp dụng bất đẳng thức Holder ta cĩ:
¥ ¥ 1 1
ä lu, x,|= ä JuLlx.|£ (ä lu} -(& lx,P} = lel,Jx|, Œ n=l n=l
x ¥ ¥ £
Pb Chuỗi ä |u,.x,| hội tụ P ä u,x, hội tụ tuyệt đối và do đĩ nĩ
n=l n=l
hội tụ
+ £, là phiếm hàm tuyến tính:
"x=Œ))—., y=(@w))¡Í 1, "a ,bi i
¥ ¥
f(a x+by)= 4 u,(ax,+ by, )=q (au,x,+ buy, )=
n=l n=1
¥ ¥ ¥ ¥
= q au,x,+q bu,y,=aq u,x,+ bg u,y,=af,(x)+ bf,(y)
n=l n=l n=l n=l
b f, là I phiếm hàm tuyến tính xác định trên l „
Trang 30"x=(Œ)j ¡II >> ap dung bất đẳng thức Holder ta cĩ: £ xX n u n 3 ~a n=l _ lo ¥ n=l =la t,X; n=l 1 Gi wy
n ặ fa ịi = ul, xh, » "X= (pers I lạ n=
72
UIQ}
b phiém ham f, bị chặn hay f, là một phiếm hàm liên tục trên l„ Vậy f, là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên l„ (f, Ï (1,)) va
If | £ Iul, (1) Nghia la, "u=(u,)*_, I I,, trên kh6ng gian | , ta luén thiét
z z * a
lập được phiến hàm tuyến tính dưới dạng: f(x) = ä u,x,,"X= (Xn), 1 1 >:
n=1
Ngược lai, lấy một phiếm hàm tuyến tính liên tuc trén khéng gian | p
tức fÏ (1)
¬¬ nl ¥ tadat:e =(,,),_, trong do On = Fond n' k tn) ý , ¥1n@in=k
Khi d6, "x= (x,)_, 1 1), tacé biéu din duy nhat ¥
x=4 x,”
n=1
Do f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục nên ta cĩ: f(x) = a X, Lo tflim x or
jo:
œnN ¥
(ny o_ (nhƯ_ S (n)
= limfỆ a xe" + ling x, f(a”) ä xui(8 )
OH:
if
Dat u,=f (e™), n=1,2, (khéng phu thuéc vao x) thì ta cĩ
¥
f(x) = 4 U,X,
Trang 31Ta khảo sát tính chất của đấy số u = ( uạ) š_ với mỗi số NỈ #”, ta xét
phan tir xy= (x,")_, 1 1 ,duge xdc dinh nhu sau:
nite
nett
o trong c, c tr- é6ng hi p cin Iti
1 : so ÊN qịPb Ta 06: f= BOPP =F WO = BL n © Gn=1 u, ụ § a 1 & aN &
= £2 | [PE = fa lu, lễ + (với(q-I)p=q)
n=1 Ø n=1
Nhưng từ biểu thite tim duge cia f(x): f(x) = 4 U,-Xq
n=1 N 3 Jun iq ta cĩ Í(XN) = 3 x" u,= = =a u,| n=1 n=1 U, n=1 N wt A ° re
Vay: an "|= lf Xn lfl-|xaÍ, = lil-gä fa le
N œ N & ,„#® wt N 6p wet
U 4 |ul£ lif) €4 ju," O €4 lu £ ä mi £ ga lun: O ga [ule fl |
@&N a 1 1
0 §4 lu, 5 £ lf (vx1-—=—) GB ul en ona 24
Bắt đăng thức trên đúng với mọi N Ì #`, do choN đ Ơ ta được
1
xo & h
ka lu, "= £ |f|P ä lu,Ƒ <+¥
n=1 @ n=1
Trang 32Tĩm lại
Mọi phiếm hàm tuyến tính trên trục f trên khơng gian | , (f I (1 s)) đều
cĩ dạng f= f;, tức là: ¥ f(x) =f) = @ ULX, n=1 "x=(x,)_, 11,véiu=(u)*_,11, Đồng thời, từ các bất đẳng thức (1) và (2) ta suy ra /I=lt[ @) Do đĩ ta thiết lập được ánh xạ lạ® Ip ua fu
tu Iq lén (1 2) Rõ ràng ánh xạ này tuyến tính, liên tục và từ đẳng thức (3) ta suy ra đĩ là I phép đẳng cấu tuyến tính từ khơng gian I ạ lên khơng gian ( >)
Đặc biệt:
Nếu p = q= 2 thì khơng gian | , dang cấu tuyến tính với khong gian (1 >)
Kết luận
Vậy dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên khơng gian
1 ,(p>1) 1a
¥
f,@&)= ä uX,
n=1
"x =(x,)*_, I 1, trong dé u = (u,)*_, I 14 voi sé q thoa man
1 1
-+—= p q
Trang 33Khi đĩ cĩ khơng gian Banach 1 ,:
“
T=EX= (Xo) x, 1 R; a |x,|< tt aoe ji
1
* n=1?
;"X= (Xa) i 1,
với chuân xác định bởi cơng thức: |x||= 4 Ix,
n=1
Dé tim dang tong quat của phiếm hàm tuyến tính liên tục ta chứng minh nhận định sau:
Định lý 2.3.2
Khơng gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên l i, ' đẳng cấu tuyến tính với khơng gian | Y
Chứng minh:
¥
Với mỗi phần tử u = (x,)X_, 11, taxdc định phiém ham f, trên khong gian | ,nhu sau: néu x = (x,)*_, Ï 1,thì
fy (x)= 4 ux, (*) n=1
Khi đĩ chứng minh được f, là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên 1 ,
Thật vậy:
+ Chuỗi trong về phải của (*) hội tụ "x=(j)j_¡I l¡tacĩ
Q 3 9 o
ä lu, XJ= A lu;klx;|£ ä splu,|.|x,|= splu,lä |x,
n=1 n=1 n=1 n n=1
= lu, -|x|,< + Y
* ¥
Suy ra chuỗi 4 |u,.x,| hdi ty Tir dé suy ra chudi 4 u,.x, hdi ty tuyét
n=1 n=1
đối và do đĩ nĩ hội tụ
Trang 34X = (Xi) )—¡2Ÿ = (Yn))—; I1,, "a,bi j tacd
* *
fu (a x+ by)= 4 U,(a Xp by,) = 4 (U,ax,+ U,by,)
n=1 n=1
= uax,+4 uy,=aq u,x,+bq Uy,
= af,(x)+ bf,(y) + f, la một phiếm hàm liên tục: xX=())_,I l¡ tacĩ: 1,0|= â ¥ a UnXn 1 ¥ ¥ ¥
£4 |u,-x,|= a |u,|.x,|£ ä suplu,|.|x,|
n=1 n=1 n=1
¥
= sp|u,j.ẩ Jx;|= |ul,|xl, net
IR.OO[= lf,&l# lul, fpf, X= ODL Ty
b f, bị chặn ( hay f, liên tục) và |Íf,||£ |lul,
Ngược lại, lẫy một phiểm hàm tuyến tính, liên tục bất kỳ f trên khơng
gian 1 ,(f 1 14)
Với mỗi n Ï Y' ta đặt: ec =(d,,)f_, trong đĩ jin@in= k
da = †0 nỗi n ' k
¥
¥_,, 11, taco biéu dién duy nhat:x = 4 x,.e
n=1
Khi dé:"x = (x,)* Do f liên tục nên ta cĩ:
f Omi x, (oy = tflima, x,g : rỔI in
oe
= lim lễ X, gặt, nga x 1(eĐŠ 4 a N@¥
Dat: u, = f(e™), n=1,2 (khéng phy thudc vao x)
SII-|-|C©: ir
F
Trang 35¥
bP fx)=Q4 X,X,
n=1
„n= 1,2
Mặt khác : u,|= |f(e°)|‡ |f|.|e £ Jfl ,
P Dayu=(u,)*_, bị chặn, tức làu =(u);_,Ï 1z
£ lí
và jul, = sup|u,|= sup|f(e”)
¥
Hơn nữa, từ biểu thức của f(x): f(x) = Q u,.x,, ta suy ra rang f= f(u)
n=1
Đồng thời, từ (1) và (2) suy ra |ff,||= ul, (3)
Như vậy ta đã thiết lập được I ánh xa 1 ® 1; ; ua f,
từ 1, lên lì Rõ ràng ánh xạ này tuyến tính, liên tục và từ đắng thức (3) ta kết luận đĩ là phép đắng cấu tuyến tính từ khơng gian I y lên khơng
gian l1
Kết luận
Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục trên khơng gian l ¡ là:
Trang 36Chương 3 Khơng gian cọ
3.1 Khơng gian tuyến tính cọ
Cho tập cọ = (x=Œ4)_,/Xa l i> limx, = 0} Dinh ly 3.1.1
cọ cùng với 2 phép tốn sau là một khơng gian tuyến tính
x + y = (Xntyn) oe X =(x,) 54, y =(Yn) a I Co
¥ mm: XEŒn)nmj.l cọ, "TlÌj ¥ †*
x =(a Xa)
Chứng mỉnh
"
+ Với "x= (xy) 4, y= (Yn) a I co thi
lim(x, + = limx, + limy =0, " nÏ ¡
lim( n Yn) nay 7 n@¥ Yn 7 |
P x+y=(X¡tÿVn) nh I co
Trang 37lim( x,)= 1 limx,=1.0=0, "x=G@)¡ "nỉ" b 1x=(1x,)_, Leo
Như vậy cọ đĩng kín với hai phép tốn xác định ở trên Kiếm tra 8 tiên đề:
1" x=() 4, y=Cyn) 1 1 co ta déu cd:
Xn+Yn =Yn+Xạ, "nỈ #” b x+y =y+x, "XYÏCọ
2."x=Œun)]¡ YE(Vn)¿.Z=n)¡ Ï cọ ta CĨ:
(XntYn)+ Zn = Xnt (Yat Zn) 5 "ni ¥ b (x+y)+z=x+(y+7)
3."x=(Xn)iyl cọ, $ phan tử q= (0,0 0, ) I cọ Ta co: O+x,=x,, "ni ¥’
b q+x=x, "nic
" ¥ A | — i —
4." xX=(Xn) 11 cọ ta CĨ: lim Xa =0PB lim (-X,) =0
b Tên tại phan tir— x =(-x,)*_, I co, ta lu6n co: Xn t(-X,)=0 "ni ¥’
BP x+Cx)=q
5." X=(X)hy1 co, "a bi ¡ „ta cĩ:
(a +b)xn=a x, + by,, "ni ¥ Bb (a+b)x=ax,+ bx
7." X= (Xn), Y=(Ynel Co, "ni j tacĩ a (XntYn) = aX, +a yn, "Ni ¥°
Trang 38§."x=Œu)n.,l cọ với phân tử 1 là đơn vị của ¡ ta luơn cĩ:
Lx,=X,, "ni ¥°
b lx=x
Vậy cọ là khơng gian tuyến tính với phép cộng 2 đãy số và phép nhân một số thực với một dãy số được xác định trên đây
3.2 Khơng gian định chuẩn cụ Định lý 3.2.1
cọ cùng với chuẩn sau là một khơng gian định chuẩn |xÍ=sp,| "x=@ø, 1 e Œ)
Chứng minh
Dé dang thấy cơng thức (1) cho ánh xạ từ cọ vào ¡_
Ta kiểm tra các tiên đề về chuẩn
1 "x=Œe)„ ¡1 cọ tacĩ |x„|* 0,"nÏ Y”
b |x|= suplx,] * 0
|x| =o U sup|x,|= OU |x,|=0, "ni ¥°
U x=q
2."x=(%)",1 co, "117, "ni ¥° taco:
sup] x,|= [I |-sup)x,| P| |= [1 [|
3 ”x=(An)p¡sÿ =ƠWn)p ¡Cĩ
Ix, + ya|£ Xq+ [Yq] 2" 9 = 1.2 P |x, + y,l£ sup)x,|+ suply,, "n=1,2
bjx+y| £ [xl + [yl
Trang 393.3 Khơng gian Banach cụ
Định lý 3.2.2
Khơng gianđịnh chuẩn cọ là khơng gian Banach Ching minh
Gia xt: (x)*_, (voix™ = (x™)*_, 1a mot day co ban bat kỳ trong
Co
Nghia la "e> 0,$m, Ï #'`,"m> mạ," p,ni Ÿ' ta cĩ
|x9- x xine) x"l< e,"m> m,,"n,pÏ #` m
b |xf (mà), xm "m>m, "n,pÏ ¥° (1)
Suy ra, với mỗi n cố định tuỳ ý đấy (x (m) )"_, là một dãy số thực cơ bản
nén toi tai lim x = x, "ni Ơ
mđ Ơ
xt yO — (yO
Dat x” =(x)?)*_,
Vì (1) khơng phụ thuộc n, cho p đ Ơ , ta duge:
>
n )- "m>m,, "ni ¥° (2)
Với mị > mạ, do x™ IT cg nén "e> 0, $n, i #'`,"n‡ nạ: |<e b_"n>ng tacĩ: xi x [xi] + <e+e=2c b limx® = = 0 nộnx I c nđ Ơ (0) n 7 Xq (m) imhe- [=0 n® ¥
Do dé, day x'")*_, hdi ty toi x trong khong gian cọ
Vậy cọ là khong gian Banach
Trang 40Định lý 3.3.1
cọ là khơng gian cĩ cơ sở đếm được Chứng mỉnh
‡1,k=n as
Dat e” = (d”)= I ni¥
‡0,k'n thie™ I co, le” =1
Lay mot phan tir x bat ky: x = ( GP i C, thi
¥
x=Q xe (1)
n=1
Thật vậy, ta sẽ chứng minh chuỗi (1) hội tu trong cọ
m ă (m)_ 8 (n) Đặt x ˆ=a X,e n=1 m+p Tacĩ: "pÏ Y, Ìx" xi Pl a x,” = sp |x,| n=m+1 m+ 1£ n£ mrp vì limx,= 0 nên " œ 0 ,§ n,Ï #`,"n> nụ thì |x,|< e n®*
Do dé ta sé co: "ni ngthì sup lxa|< e,"pÏ #
mr †£ n£ mrp
b xm) la day cosi trong khơng gian Banach cọ, vì thế nĩ sẽ hội tụ về phần tử yI cạ khi đĩ: ly- le |y- x [+ fe x[= [a x,” + Ke | = sup |x,|+ sup |x,| mé£ né ¥ me nt ¥ Do đĩ "n3 nạ, y- x||£ 2sup|x,|< 2e voi m đủ lớn m£n b y=x
Vậy cọ là khơng gian cĩ cơ sở đếm được
Định lý 3.2.2