LỜI NểI ĐẦU
Giải tợch hỏm lỏ một ngỏnh tõn học được xóy dựng vỏo khoảng nửa đầu thế kỉ XX, hiện nay đọ được xem như ngỏnh toõn trọng điểm Nội dung của nụ lỏ sự hợp nhất của những lý thuyết tổng quõt xuất phõt từ việc mở rộng một số khõi niệm vỏ kết quả của giải tợch, đại số, phương trớnh vi phón
Trong qũ trớnh phõt triển từ đụ đến nay, giải tợch hỏm đọ tợch luỹ được nội dung hết sức phong phỷ, gồm
- Lý thuyết khừng gian trừu tượng ( Khừng gian mởtric, khừng gian định chuẩn, khừng gian từpừ vỏ toõn tử từpừ )
- Lý thuyết toõn tử tuyến tợnh
- Lý thuyết cõc bỏi toõn cực trị, giải tợch hỏm phi tuyến, giải gần đỷng phương trớnh toõn tử
- Lý thuyết nội suy toõn tử, giải tợch hỏm ngẫu nhiởn
Những phương phõp, kết quõ mẫu mực vỏ từng quõt của giải tợch hỏm đọ xóm nhập vỏo tất cả cõc ngỏnh toõn học cụ liởn quan vỏ cụ sử dụng đến cừng cụ giải tợch vỏ khừng gian vectơ Ngoỏi ra nụ cún ứng dụng trong vật lý lý thuyết vỏ trong một số lĩnh vực kĩ thuật
Với mong muốn được nghiởn cứu vỏ tớm hiểu sóu hơn về bộ mừn nỏy bước đầu tiếp cận với cừng việc nghiởn cứu khoa học em đọ chọn đề tỏi “Dạng tổng quõt của phiếễm hỏm tuyễn tợnh liởn tục trởn khừng gian R`", !,„L„ p>1,” Nghiởn cứu đề tỏi nỏy em cụ cơ hội tớm hiểu sóu hơn về cõc khừng gian hữu hạn vỏ cõc khừng gian vừ hạn chiều mỏ cụ thể lỏ cõc khừng gian R",/,,L, p21 Tu do thờm kiến thức về cõc vấn đề của giải tợch, sự khõc nhau của chỷng trởn khừng gian khõc nhau, xờt khợa cạnh khõc nhau
Trang 2
Nội dung khoõ luận gồm 4 chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Dạng tổng quõt của phiếm hỏm tuyến tợnh liởn tục trởn khừng gian R"
Chương 3: Dạng từng quõt của phiếm hỏm tuyến tợnh liởn tục trởn
khừng gian L, p>I1
Chương 4 Dạng tống quõt của phiếm hỏm tuyến tợnh liởn tục trởn khừng gian L, p21
Do thời gian vỏ năng lực cụ hạn, mặc dỳ em đọ rất cố gang trong qua trinh
nghiởn cứu nhưng đề tỏi khừng trõnh khỏi những sai sụt, em rất mong sự đụng gụp ý kiến của cõc thầy cừ vỏ cõc bạn sinh viởn giỷp cho khoõ luận của em
thởm hoỏn thiện
Ngỏy 09 thõng 5 năm 2011
Trang 3CHƯƠNG 1 KIEN THUC CHUAN BỊ
1.1 CAC KHAI NIEM 1.1.1 D6 do va tich phan
1.ơ _đại số
Mừt họ Z những tập con của X gọi lỏ một ơ -đại số nếu:
a) X Oe F
b) F kợn đối với mọi phờp toõn hữu hạn hay đếm được về tập hợp Hay một lớp Z7 lỏ một G -đại số khi vỏ chỉ khi Z#Ị@ì vỏ thoả mọn:
i==
a) A €F(i=1,2, > UA €F
isl
b) AE FDA =X\AECF 2 Độ đo
Gia sử Z lỏ một G -dai số những tập con của tập X
Hỏm số H :Z—> [0,+Ẫ ) được gọi lỏ độ đo trởn Z nếu thoả mọn a) AZO VAeZ
b) ì =0
c) Ò lỏ ự -cộng tợnh
Tức lỏ: nếu A,,4,, lỏ họ đếm dược cõc tập hợp thuộc ⁄; đừi một khừng giao
nhau thớ (va, ) =D A, È I
3 Khừng gian độ đo
Bộ ba (X, Z /) trong đụ Z7 lỏ một ự - đại số, Òlỏ 1 độ đo trởn Z X lỏ 1 tập hợp gọi lỏ khừng gian độ đo
Trang 4
4 Hỏm số đo được
Giả sử ( X, Z) lỏ khừng gian đo với Z7 lỏ 1 ữ - đại số cõc tập con của X, Ae hỏm: :X-> R R= j Ute gọi lỏ đo được trởn A đối với o - đại số
Z nếu Vae R:{xe A;fx)<a} € F
+ Nếu trởn Z cụ độ đo Ò thớ ƒ đo đựơc trởn A đối với ự - đại số Z hay
Òi - đo được
+ Nếu XeR*, Z ca", thớ ta nụi f(x) lỏ đo được theo nghĩa Lebesgue
hay: đo được (L)
+Nờu X = R‘ , ơ =a‘, (6 - đại số Borel trong R*) thớ ta nụi f(x) do
duoc theo nghia Borel hay f(x) la 1 ham sờ Borel 1.1.2 Khừng gian tuyến tợnh trởn trường P
Giả sử P lỏ trường số thực hoặc phức, tập X#@ì cỳng với 2 phờp tõn cộng vỏ nhón vừ hướng:
+ Phờp cộng: XxX—>X xy a x+y + Phờp nhan: Px X > X
Axa ax
gọi lỏ khừng gian tuyến tợnh nếu thoả mọn cõc điều kiện sau: 1 Vx,y€eX:x+y=y+x
2 Vx,y,z€X: x+y +z=x+ y+z
3 VxeXd0eX:x+0=x 4 VxeX,d-xeX:x+ —x =0
5 VằẬcP,Vy,yeX:ằ x+y =4x+ằy
Trang 57 VẬ,ucP,VxeX:ằ Mx = 1H x ư d1eP,VxeX:x.l=x
1.1.3 Khừng gian định chuẩn
1 Định nghĩa chuẩn vỏ khừng gian định chuẩn
Ta gọi khừng gian định chuẩn, mọi khừng gian tuyến tợnh X trởn trường P cỳng với một õnh xạ từ X vỏo tập số thực R, kợ hiệu
l:X->R
xa |x|
thoả mọn cõc tiởn đở: 1) VxeX:|lx|>0
|x|=0 x=0
2) vxeX,VằeP:|Ax||= |A|.|x|:
3) Yx,yeX:Jx+ y|<|x|+ ||vè:
Số ||x|| gọi lỏ chuẩn của x Kợ hiệu khừng gian định chuẩn lỏ X
2 Hội tụ theo chuẩn
Day x, CX gọi lỏ hội tụ tới phần tử x X nếu limlx, = x|= 0 Kợhiệu: limx, = x
3 Day co ban
Cho khừng gian định chuẩn X, dọy x, CX được gọi lỏ dọy cơ bản
nếu lim nym |x, 7X m n =0
4 Khừng gian Banach
Khừng gian định chuẩn X gọi lỏ khừng gian Banach nếu mọi dọy cơ bản đều hội tụ
Trang 6
5 Toõn tử tuyến tợnh
Cho 2 khừng gian tuyến tợnh X vỏ Y trởn P, õnh xạ A:X—> Y gọi lỏ toõn tử tuyến tợnh nếu A thoả mọn cõc điều kiện:
1) Vx,yeX:A x+y =Axt+Ay 2) VxeX,VaeP:A ax =cAx
6 Toan tir tuyờn tinh bi chan
Cho 2 khừng gian định chuẩn X va Y, toan tt tuyờn tinh A:X > Y gọi lỏ bị chặn nếu 3 c>0, Vxe X:|A3|, < e|| vẻ 1.1
7 Chuẩn của toõn tử
Cho X vỏ Y lỏ hai khừng gian tuyến tợnh định chuẩn, A lỏ toõn tử
tuyến tợnh bị chặn la: hằng số c nhỏ nhất thoả mọn 1.1 gọi lỏ chuẩn
của toõn tử A
Kợ hiệu: |A|
8 Khừng gian liởn hợp
Cho khừng gian định chuẩn X trởn trường P, ta gọi khừng gian cõc phiếm hỏm tuyến tợnh liởn tục trởn khừng gian X lỏ khừng gian liởn hợp của khừng gian X
Kợ hiệu X"
Khừng gian liởn hợp X” của khừng gian định chuón X lỏ khừng gian Banach
1.1.4 Khừng gian Hilbert 1 Tợch vừ hướng
Trang 7
1)Vx,y €X: y,x = x,y;
2) Vx,y,z € X: xt+y,Z = %X,Z + ỵV,Z;
3) Vx,y € X;Vae P: ax,y =a x,y;
4) Vxe X: x,x 20
x,x =00 x=0
2 Khừng gian Hilbert
Ta gọi H#@ì gồm cõc phần tử x,y,z, lỏ khừng gian Hilbert nếu thoả
mọn cõc điều kiện sau:
1) H lỏ khừng gian tuyến tợnh trởn trường P 2) H được trang bị một tợch vừ hướng
3) H lỏ khừng gian Banach với chuẩn || = J ux VxeH 3 Toõn tử liởn hợp
Cho A lỏ toõn tử tuyến tợnh bị chặn, õnh xạ khừng gian Hilbert X vỏo khừng gian Hilbert Y Toõn tử B õnh xạ khừng gian Y vỏo khừng gian X được gọi lỏ toõn tử liởn hợp với toõn tử A nếu Ax,y = x,By VxeX,yeY
Kợ hiệu B=A'
1.2 CAC BO DE, DINH LY
1.2.1 Định lý Lebesgue về hội tụ bi chặn
Nếu ý, _ lỏ một dọy hỏm do được, hội tụ h.k.n đến một hỏm ƒ đo được
trởn A thớ: ƒ khả tợch trởn A va lim | f,du= | fdu me
1.2.2 Bố đề Fatour
Nếu ƒ, x >0 trởn A thớ [lim ƒ,đ/<lim [ ƒ dự
A
Ane nse
Trang 8
1.2.3 Định lý 4 mệnh đề tương đương về toõn tử liởn tục
Cho 2 khừng gian định chuẩn X vỏ Y, toõn tử tuyến tợnh A:X-> Y, bốn mệnh đề sau tương đương:
1) A liởn tục 2) A liởn tục tại 0
3) A liởn tục tại x„eX
4_ A bị chặn
1.2.4 Nguyởn lý thõc triển Hahn - Banach
Mợi phiếm hỏm tuyến tợnh liởn tục ƒ xõc định trởn khừng gian tuyến tợnh con X,của khừng gian định chuẩn X X,#X đều cụ thờ thõc triển lởn toỏn bộ khừng gian X với chuẩn bắt kớ tăng
Nghĩa lỏ ton tai mot phiờm hỏm liởn tục # xõc định trởn toỏn bộ khừng gian X sao cho:
l) Fx =f(x) VxeX,
2 |F|, =é/l,: 1.2.5 Định lý Riesz
Mọi phiếm hỏm tuyến tợnh liởn tục trong khừng gian Hilbert H đều cụ thờ biểu diễn duy nhat dudi dang f(x) = xa ,x € H
Trong đụ, phan tir a € H duge xac dinh duy nhat bởi phiờm ham ƒ vỏ
I/I=éal:
1.2.5 Bất đẳng thức Holder
Nờu a, b lỏ hai số khong 4m; p,g la cặp số mũ liởn hợp (tức lỏ
mm l< p<+)
p 4
a’ 4 ,
Trang 91.2.6 ( Bất đắng thức tợch phón Holder )
Với hai hỏm số bất kớ Ò đo được trởn E lỏ xợ ,y 7 shai số thực
p,qeR 11 —+—=l,l< p< + P ta cụ bất đăng thức sau 1 1
fixe hye 4<[ Jv ran) { flv au)
E E e
1.2.7 ( Bất đẳng thức tợch phón Mincovxki)
Cho hai ham sờ x t ,y t lag do duoc trờn E va p= 1 sao cho:
flac’ du<+e, fly td <+to
E E
Khi đụ ta cụ bất đẳng thức tợch phón sau:
[fh tt+yt Pan) (Jo t Pay) +{ fp t fan)’
Trang 10
CHƯƠNG 2
DANG TONG QUAT CUA PHIEM HAM TUYEN
TẻNH LIấN TỤC TRấN KHễNG GIAN R' (w> 1)
2.1 KHễNG GIAN TUYẾN TẻNH R"
Cho tập hợpâ "={x= (x, x, x,):*,€jâ ,i= 1,2, ,n} ta dua vao hai phờptoõn + cộng hai phần tửvỏ g nhón I phần tử với I số
lLxty= x+y, ,, Vx= x, = mel
n n
2.QxXx= AX, i=l Vaej Vx= x, 1 isl ej"
* Dinh lợ 2.1.1
R" đụng đối với hai phờp toõn trởn * Định lợ 2.1.2
R" cỳng 2 phờp toõn trởn lỏ một khừng gian tuyến tợnh Chứng minh
Ta chỉ ra rằng hai phờp toõn định nghĩa trởn thoả mọn 8 tiởn đề của khừng gian tuyến tợnh
l Vx= x,,.,,Vy= y - ti tim] n
ej
tacụ x,+y,=y,tx, Viz=lLn
=xt+y=y+x
( Tiởn đề I thoả mọn )
n n n
2 Vx= Xo Vy = Vue V2 Il N m
tacờ6 x+y, + z= %,+ y,+z, Vi= Ln
D> #†+y†+z=x+r ytZz
Trang 11n n 3 Xờt phần tử ì= 0, 0, ., 0 6â",Vx= x," ej
tacờd O+x =x,+0=x, Vi= In
=ì0+x=x+0=x ( Tiởn đề 3 thoả mọn ) 4.Vx= x âSỉ ", tồn tại phần tử -x= — x, "Ei " Ta cụ x,+ -x, =0 Vi=lLn >x+-x =0 ( Tiởn đề 4 thoả mọn ) 5.Vưx=x ,eâj',Vự8@e<R tac a Bx, = aB x, Vj= ln >a px=apx ( Tiởn để 5 thoả mọn) 6.Vx= x,.,ê'",Vư,ì8eji Vị = ln
tac6 at+B x,=ax,+f x,
> + x =ớx+x ( Tiởn đề 6 thoả mọn)
7.Vx= x ,€ịj ',Vy= y,,.,€j',VưeR
taCể: @ x+y, = ax,+ay, Viz=1n
> axty =axt+ay ( Tiởn đề 7 thoả mọn ) ” , An n⁄ 8 Vx= x,,., €â ' ta luừn cụ lx, = x, (1 lỏ đơn vị của R) Vị = l,n
Trang 12=lx=x
( Tiởn đề 8 thoả mọn )
Vay R" lỏ một khừng gian tuyởn tợnh thực với hai phờp toõn cộng vỏ
nhón xõc định trởn
2.2 KHễNG GIAN ĐỊNH CHUẨN R" Trởn khừng gian R'" ta xờt õnh xạ
|: R' > R
rex a fils Shp
khi đụ |||| lỏ một chuẩn ( gọi lỏ chuan Euclide)
Ching minh
Ta chi ra rang l thoả mọn 3 tiởn đề xõc định chuẩn I.Vx= x,, ,€j "tacụ lŠ;Ixé'>ự—lx|>0 i=l |xJ=0 [Ix Vi=l,n Ẫ<x=0 ( Tiởn đề 1 thoả mọn ) 2.Vx= x.,.,e€â',VựzeR tacụ
tăÈI= |ŠjJ# xé =.je'Šj|bŸ =k||Š;Ÿ =lbi
( Tiởn đề 2 thoả mọn )
n
3 Vx= x, "Wye y -,€1"
Trang 13ạp dụng bất đắng thức Bunhiacovsky ta cụ
Says + Su
i=1 i=l i=l
Ẫ 3x +23 xởi +Š y) < Š yệ+2 Tỷ Sty i=l il el i=l i=l 1 i=l
eb axty’ (z+Í]
i=l i=l
cẪ x x+y, "<< [ox + [xy
isl i=l i=l Ẫ |x+ ysl]
( Tiởn đề 3 thoả mọn )
Vậy R" lỏ một khừng gian định chuẩn với chuẩn Euclide xõc định trởn
* Định lợ 2.2.1
Hai chuẩn bắt kớ trởn khừng gian vờctơ ự chiều â "tương đương nhau Chứng minh
Ta chi cần chỉ ra rằng một chuẩn bất kớ p đều tương đương với chuẩn
Euclide lỏ được Xờt chuẩn
P:i i
x a px
Giả sử ờ,, e, e, lỏ cơ sở chợnh tắc của khừng gian tuyến tợnhR"
say n raed ẵ a
Khi đụ Vx= x, ,_,€j " 6 biờu diờn dang x=} xe
i=l i Ta cụ p x - of Nex s i= i=1 <> Ip Ậ| Shsf =a 2.1
Trang 142
ồ 2
Voi C= d\p ef =X pe i=l i=l
Gọi S= xeâ “/|x|=1 Đặt z=inf p x Ta chứng minh đươc rằng # > 0
Thật vậy Theo định nghĩa về cận dưới đỷng Từn tại dọy +, „C5 sao cho lim pX, =a
Vớ x,csSSlh|=l vk => +,, bị chặn trong
Theo dinh ly Bolzano- Weierstrass ton tại dọy con x, , cua day x, , hội tụ theo chuẩn | toi ae R’
Do tợnh liởn tục của õnh xạ chuón nởn ta cụ X,, > |\a| I>
Vi |x, |=1 D> |al=l=>ae S, a4
Mat khac
|p xX, —pa I< p X,—a $C, Ix, -a 0
Vi thờ a =lim p x, =limp x, =p a >0 Gia sử x# ì bất kớ trong R".Ta cụ
Trang 15Vậy chuẩn p tương đương với chuẩn Euclide Do p lỏ chuẩn bất kớ nởn mọi chuẩn trong R" đều tương đương với chuẩn Euclide Do đụ hai chuẩn bất ki trong R" luừn tương đương
2.3 KHễNG GIAN BANACH R" * Dinh lợ 2.3.1
Khừng gian định chuẩn R" lỏ khừng gian Banach Ching minh
Do hai chuẩn bất kớ trong R" đều tương đương nởn ta chỉ cần chứng
minh R" lỏ khừng gian Banach với chuẩn Euelide Từ đụ ta kết luận R" lỏ
khừng gian Banach với cõc chuẩn cún lại
Giả sử &, a lỏ dọy co ban bất kớ trong khừng gian R" với
_ Uk ok k
Š,= Xi Xy 5X, n
Nghĩa lỏ Ve >0,3k,e#' :|ế,-6||<# Vk > k,
< x xf —x! '=lẫ,—ưj|<e Vj=1,2, n
+; lỏ dọy cơ bản trong R_ Vj=Il,2,
k=l > k 1 xX, j —*X j =3x, =limx, /=l,2, n kon
Theo dinh nghia giời han voi mời j = 1, 2, ., 2; voi moi € cho trudc
ờ <—— Te
ton tai k,, €ơ" sao cho vời moi k>k,,: lx/ ~ x
Dat k, = max ky, Kopseskoy 013ˆ”023***9?2”0n 3 s€y = Xp sXyseees de on
Khi đụ Vk > k, ta cụ l -ờ,,| =
Trang 16
—=limờ, =ờ, km
Vậy ế, 7 hdi tu trong R" Do dờ R" 14 khờng gian Banach
2.4 DANG TONG QUAT CUA PHIẾM HáM TUYẾN TẻNH LIấN TỤC TRấN KHễNG GIAN R"
â"=lš=Œ,,x, x,):*,€j ,ẻ= L2, m} nex' Giả sử trởn khừng gian R" đọ xõc định một chuẩn | nỏo đụ
Goi e,= ổ, ,i=1,2, n Với ổ, -Ă nee
e, „, lỏ cở sở của R" top
ii
=>x= x," khi đụ x cụ biểu diễn dạng x = xe,
i=l
Lấy phiếm hỏm bắt kớ ƒe â ” ` ( â ” - lỏ khừng gian liởn hợp của R") Với mọi x € R" Ta cụ
Anh ›` '`n im E1 i=l
>i fej" t i=l
Ngược lại với mỗi vectơ cụ định tuỳ ý ƒ= ƒ ”e R" tacờ i isl fx =Š'fx,Vx= X, "Ei "
i=l
Dễ dỏng thấy ƒ lỏ một phiếm hỏm tuyến tợnh trởn R", hơn nữa ƒ liởn
tục
Thật vậy
1 Gia sit =f, Vas x ep”
Trang 17< ự be =ll E PA
=l/ls Jf (2.2)
Chọn x,= x" ˆ x0 =-=ẻ#—,Yi=lLn (Do ê#0/Vi=L2, n) i=l n
Ta cụ |f x I= as i=l
=x,€j "vỏ lx| =1
fx Yes ler i=l ve i=l
i=l
Ill = sup|/ x\2|f % | = jaf 2.3
Từ (2.2) vỏ 2.3 ta nhận được |/||= lỏ fr 2.4
i=l
Bat dang thitc (2.2) chimg to phiờm hỏm ƒ bị chặn, do đụ ƒ lỏ phiếm
Suy ra
hỏm tuyến tợnh liởn tục Vậy ƒe â " ˆ vỏ chuẩn trởn i” ˆ xõc định bởi hệ
thức 2.4
Do mọi chuẩn trong R" đều tương đương với chuẩn Euclide nởn tợnh chất tuyến tợnh liởn tục của ƒ được bảo toỏn với chuẩn p bắt kớ trởn R"
Kết luận
Vậy dạng tổng quõt của phiếm hỏm tuyến tợnh liởn tục ƒ trởn khừng gian R"
lỏ: ƒx=Ề/x,Vx=x) eị”
i=l
trong đụ ƒ,= ƒ ờ,
Trang 18
CHƯƠNG 3
DANG TONG QUAT CUA PHIEM HAM TUYEN
TẻNH LIấN TỤC TREN KHONG GIAN , (p> 1)
3.1 TRƯỜNG HỢP 1<p < +
3.1.1 Định nghĩa
/x,€j Dx, |" < 400 1S pS+0
n=1
Tap hop /,= x= x ° n n=]
3.1.2 Khừng gian tuyến tợnh L, p2l
2
Với hai phan tir tuy y x= x, y= y, _€l,,@€; tuỳ ý ta định
nghĩa 2 phờp toõn cộng 2 phần tử vỏ nhón 1 phần tử với một số như sau
”
1 xty= x+y, el"
”
2 đX= Xu * Định lợ 3.1.1
1, cỳng với hai phờp toõn trởn lập thỏnh một khừng gian tuyến tợnh Ching minh
+) Vx= x, “Vy= y, - €l, ta cụ
|x, + y„|<|y,|~è>,| Ẫ |x, + y< ly, |+ |x, ” Vn=l,2, 3.1
Mat khac
|x,|+|y,|< 2max |x, y,| > Vn=1,2,
|x,|* |y,| ”<2" max |x, > y,| , <2’, |x, "+iyƑ Vn=1,2,
Dodd Vke N tacụ
kx, + y, |’ <2"
n=1
Trang 19Cho k > Ẫ ta duoc
Ys, + yl" s2°(Shl! + Eyl xe n=l n=l n=l
2
xXty=x+y, nm on=l el P
+) Vx= x, âel,Vư€j ta cụ
k
>lzx, n= 1 k
‘=e’, n= "=lzl'Š|x|'<|z['Y|x|' vkeN n= 1 n= 1
Chok— Ẫ ta duoc
x x
”<lal! Dx, <40 > ax= ax myst ờl "p
lưx 2
1
n= n=l
Vậy ủ„ đụng đối với hai phờp tõn cộng vỏ nhón xõc định trởn Ẫ Ta kiểm tra 8 tiởn đề của khừng gian tuyến tợnh
: el,,tac6 1 Vx= x, Vy= Vn pet x, +y,= y,+%, Vn=1,2 —=x+y=y+*x (tiởn đề thứ nhất thoả mọn) 2.Vx= x, uy y, Oke Z, “ờl, ta cụ X,†y, +2Z=x + yi +z, Vn = 1,2 > xty+z=x+ ytz (Tiởn đề 2 thoả mọn ) 3 Xờt phần tử ì= 0,0, €/,, Vx= x, n n=l El, tacd O+x,=x,+0=x, Van = 1,2, =ì0+x=x+0=x ( Tiởn đề 3 thoả mọn )
Trang 204.Vx= x, ° wil "ton tai phần tử —x= Ta cụ x,+ —x, =0 Vn=I,2, >x+-x =6 ( Tiởn dờ 4 thoả mọn ) S.Vx= x, : n=1 el, Va, B ER ta cụ a Bx, = >a Bx = aB x ap x, ( Tiởn đề 5 thoả mọn) 6.Vx= x, SỈ, Va, B € R tacờ a+ B x,=ax,+ Bx, > + x =ớx+x ( Tiởn để 6 thoả mọn) a 7.VX= x, “_€L,,Vy= Va get a x, TY, = ax, + ay,
> axty =axtay ( Tiởn đề 7 thoả mọn ) ư.Vx= x,._,€, ta luừn cụ l.x, = x, (1 ladon vi cua R) =lx=x ( Tiởn đề ư thoả mọn )
Vậy âlỏ khừng gian tuyến tợnh thực
V n=1,2
ờl, VaeR tac6ờ V n=1,2,
Trang 213.1.3 Khừng gian định chuẩn TL,
* Bố đề 3.1.1 ( Bat dang thire Holder ) Nếu p, Ò lỏ cặp số thoả mọn
11T l<p< +œ Pq
Vx= x non=1 El ,Vy= y P nn=1 _ el tacờ P
Tờ 1
ŠÍI<[SIx† n=1 m1 }(ấ I1}: n=l
Ching minh
Ap dung bờ dờ 1.2.5
1 1
Đặt A=(Š}: s=| Si, }
Nếu A.B=0 thớ bất đẳng thức luừn đỷng
P iq Vole Pal | B pA’ qB‘ Nếu A >0, B > 0 thớ ta cụ Do đụ keN' tuỳ ý ta luừn cụ
k k k x =
3|xÍj| 2|x Dy! Les? ab,
n=1 <z=l1 4 25) < mel 4 251 BA pA’ qP" pA?’ qP" P P Chok— Ẫ tacờ x Sho! Lh Vb la n=] a es —=_ †+——] BA pA’ qP" Pq i 1 => |x)" Aự-(Š nl) (= by n= n= n=1 1 i vay Efe s(Sbsl') (Sb)
Trang 22* Bố đề 3.1.2 ( Bất đẳng thức Mineovxki) Vx= Xx, „.â€l,,Vy= y, ne Ẫ ta cụ i on i 7 i (š kx,|+ }<(ŠIxI'} +(ŠIsI'}-1<p<=: n=l n=l „=l Ching minh Ta cụ x+ yel, Vx,ye€l,
=> lx,+y,|” "=S|y, + y,\! <+0 voi b+ tei, l<p< +Í n=l ml Pq
Trang 23* Định lợ 3.1.2
Khừng gian ủ„ cỳng với õnh xạ xõc định bởi cừng thức sau xõc định một khừng gian định chuẩn
I‹I=(ŠIÍ/'}
Ching minh
Ta kiểm tra 3 tiởn đề xõc định chuẩn
1 1.Vx= x, _,€ â "I=[SIx '}'>o Í i l:|zo< ‘te 50 Yn n=] Sx=8
( Tiờn dờ thir 1 thoả mọn)
2.Vx= x, _,€l, VaeR tacờ
Í i wo i wo i
leaf=( Sex") (le Sls") lol Shs") lal
(Tiởn đề thứ 2 thoả mọn) x 3.Vx= x, y= y, , el, Ap dụng bờ dờ 3.1.2 ta cd Ix+sl=(Š k.+Í| } (Sh) (Eb b+ (Tiởn đề thứ 3 thoả mọn ) li)
Vậy õnh xạ xõc định bởi cừng thức trởn lỏ một chuẩn trởn II 3.1.4 Khừng gian Banach / (1Sp < +0 )
* Dinh li 3.1.3
Khờng gian dinh chuan [lỏ khừng gian Banach
Trang 24
Chứng minh
Giả sử ờ, n lỏ dọy cơ bản bat ki trong I, trong do:đ,= x" el
Theo dinh nghia day co ban
Ve>0 dn, €ơ°:Vmn>n, IE, ~ gn | <ê 1 1 <ờ 3.5 2 hay (Š n=l n m -X x k k } <ê Vk=l,2, n m = |x, -X, m - = |x," -x, Jv" > P “[šlx 1 2 -x” n=l => x} ky ladaycoban trong; = Vk=1,2,
= Từn tại x, sao cho limx,” = x, no Vk =1,2 tir do ta thu được dọy x, Ẫ h
} <ê Vm.n>n, 3.6
N
Từ 3.5 suyravới VeN tuỳ ý (=
Trang 25vỏ |x-,j|< Vn>n,
hay limờ, =x n->e 3.10
Từ 3.9 va 3.10 chứng tỏ 7, lỏ khừng gian Banach
3.2 TRUONG HOP p = +20 3.2.1 Dinh nghia
1, lỏ tập hợp gồm tất cả cõc đọy số thực bị chặn
L=x=x * /x,€j „ sup |x,|< +2
° more lSn<te2
3.2.2 Khừng gian tuyến tợnh thực /„
* Định lợ 3.2.1
1 cỳng với hai phờp toõn trởn lập thỏnh một khừng gian tuyến tợnh 3.2.3 Khừng gian định chuẩn â_
* Định lợ 3.2.2
Khừng gian tuyến tợnh /, cỳng với õnh xạ lập thỏnh một khừng gian
định chuan: |||:7, > |
b1 n
n n=l
X= xX 7 a ||x||= sup
Ching minh
Ta kiểm tra 3 tiởn đề xõc định chuẩn
a 1.Vx= x n n=l el ta cụ l|>0 — Vự=l,2, = |x|=sup|x,|2 0 |x|=0=>suplx,|=0Ẫ|x|=0 Va=l,2, Ẫ=x,=0 Vn= 1,2
Trang 26<Ẫx=0
( Tiởn đề thir 1 thoả mọn )
2.Vx= x, s ,€l,,Vư€jâ tacụ
|lex[= suplzx,|=sup |e|x| =|elsoplx,|=|ell|
( Tiởn đề thứ 2 thoả mọn) 3.VXE 1, „ „}= ỵ,„.,€l, tacd x,+y,|<|x|*|y| — Vự=l,2, =|x,+ y,|< sup|x,|+sup|y,| Vự=l,2, = sup|x, + y,|Ssup|x,|+suply,| Wự=l,2, Ẫ|x+ x|<x|+ li ( Tiởn đề thứ 3 thoả mọn )
Vậy â„ lỏ một khừng gian định chuẩn * Định lợ 3.2.3
Khừng gian định chuẩn /„ lỏ khừng gian Banach Chứng minh
Giả sử ế, lỏ dọy cơ bản bat ki trong J, trong d6:€ = x," „ k=l El, Theo định nghĩa dọy cơ bản
Ve>0_ 3mcY`:Vm,n >n |, -ễ„|<ê
hay sup|x," - x," I< ờ
=x," -x."|<suplx,” -x."|<e Vk=1,2 3.11 > x ‘ 1a day Cauchy trong j Vk=1,2,
Trang 27Từ đụ ta thu được dọy x, 7 k=l
Với mỗi k cố định &= l1,2, ta cụ
Ở 3.11 cho m-—> œ ta được x/ -x,|<ê Vn>n, 3.13 =lx|=|xÒ~x/ +x." |< |x, -2," +x," |<e+x," Vn3n, => sup|x,|< +00 >E= x, Ek Từ 3.13 suy ra sup|x," -x,|<đờ k hay limờ, =x ne
ching to L, 14 khờng gian Banach
3.3 DANG TONG QUAT CUA PHIEM HAM TUYEN TINH LIEN TUC TREN KHONG GIAN â,
3.3.1 Truong hop p > 1
Trong khờng gian/, p21 takihiờu: e,= 6, nj jl
1 khi j=n
Voi 6 = c Vn=1,2,
"|0 khijzn
Khi đụ Vx= x, n cụ biểu điễn duy nhất x= S`x,.” 3.14
n=l
Ching minh
Xờt khừng gian định chuẩn â„ với chuẩn xõc định trởn
Vx= x, _€l,voimbi Neơ’ n
đặt ế = (x,,x, , x„,Ũ, )
Trang 28
` n=1
Hayế = limế, = 3` x,e" n=l
= Ta cụ biểu diễn 3.14
Ta chứng minh biểu diễn đạng 3.14 lỏ đuy nhất
29 9 *~ r +A +k
Giả sửx= x„ „,€ẻ„ cụ biởu diễn
a ” z " x=>ở,e = Be a, B el, n=l n=l => a,-B, e" =x-x=0 n=1 2 1 => Jz,=ì/jˆ ”=|E|=0 =lz,=,|'=0 VYn=1,2 >a,= B, Vn = l,2,
Vậy biểu diễn 3.14 lỏ duy nhất
* Định lợ 3.3.1
Với p > 1 khừng gian r ( gom tất cả cõc phiếm hỏm liởn tục trởn khừng
gian /,) đẳng cấu với khừng gian 1, , trong do ot 1~ 1, 1< p<to,
Ching minh
Xờt phep tuong ingA:/, > 1
u= u a Au=f,
”
Voi fx = Yu,x, V x, et el,
n=l
Trang 29Thật vậy.Với mỗi w= u, °,€, thif, x =Du,x, Vx, “el, 3.15
n=l
la phiờm ham tuyến tợnh liởn tục trởn /,
Thật vậy Chuỗi ở về phải của 3.15 hội tụ,Vx= x, ˆ,e1, n=l
i ‘y <|u ạp dụng bất đẳng thức Holder ta cụ 1 ads s(t) (Zl n=1 n=1 2 ° >èM,x,|=3 n=1 „=l q x, 3.16 => > \u,x, hoi tu n=1 =>} `wx, hội tụ — ƒ, lỏ phiếm hỏm n=l
Vx=x ` el, ,Vy= y, “€1,,Va,B ej ta cụ n n=l
f, axt+By = Yu, ax,+ By, = Yau,x, + > Buy,
n=l n=l âml
=ưŠ`ux + ux,=ựƒ, x+/ƒ, y
n=l n=1
> f, lỏ phiờm ham tuyến tợnh
Vx= x, _€1,, 4p dung bất đăng thức Holder n n=l
Tờ 1
fx |= [Sma]= l= Dlmlbsis( Let (Sh!) <li ba,
=> f, bichin > f, 14 ham tuyến tợnh liởn tục
Vỏ |/,|< |u||, 3.17
Vay A la õnh xạ từ /„ vỏo é„
Ẫ_ Ta chứng minh A lỏ đăng cấu tuyến tợnh
Va,pej ,Vx= x, el; Vu= u, “Wes Vv, n n=l el, Tacd
Trang 30
2 Ẽ °
A„ 1 =fu2ạ ơ = 2X, đu +V, =3 đux,+ệ n=l ml ml V/,
=adu,x,+B>v,x,=af, x + Bf, y =aAu x + PAv x n=l ml
=> A lỏ toõn tử tuyến tinh
x ”
Vu= u, È.- v, et Ẫ
Gia su u#vva Au=Av Ttc la
L=aheoh x =f x Vx= x el
>fie =f e, Vn =1,2
e,= 0,0, ,0,1,0, el, Ẫ u,.l=v,.1 Vn=1,2.,
=>u = y(Móu thuẫn với giả thiết w # v) => Au# Av = A ladon cau Lay fel’, Vn=1,2 n Dat e,= 6, 7 1 khi j = voi 6,2) " (Okhij#n 0" Vn= 12.0
Khi đụ Vx= x, „,€ẻ, cụ biởu diễn đuy nhất dạng x= Le,
Ta laicờ f 1a phiờm ham tuyến tợnh liởn tục trởn khừng gian /, suy ra
fx =s(Zae,}=s(timE n=l n=l xe, )=tim (Zee, ] n=l
N a
=lim) xf đ, =a đ, n=l n=1
Trang 31Ta cụ ƒ, x =>) Hx,
Ta khảo sõt tợnh chất của day u= u, na
Với mỗi NeX*
”=
Ta xờt x,= +," _ €/, xõc định như sau n=l
x, =) u n
,
% [le khin< N vau, 40
0 trong cõc trường hợp cún lại
ta cụ 1 = w |? > Nv n |? > ` lw,{' | , ẩ al p ; te PY LE PY EEE | LEHI) 1 (gu) n=l Với yt, Pod Mat khac È- ƒ xy =ệmxy =ồáu, n n=1 n=1 U, 4 7 N — 4 = u n ml n 1 N N r =Šu'=/, <lrllxl,=lvlŠ6j]' ve: 1 } VNeY` M n N 4 N Su sl e(Š[) '<lz|_ vwex i } <|/| Vwex' =lš iu n
Trang 32Cho N—> œ ta được 1 1 ul!) Ậ| =(Šõ.!] <+z Èễễ n n=l 3.18 (5
=Vƒ <é, dờu tờn tai u= u, “EL, sao cho Au=f
= A lỏ toỏn cấu
Vậy A lỏ đăng cấu tuyến tợnh từ i„ vỏo ủ”
Từ 3.17 vỏ 3.18 =|ƒ|=ẻu|, Kệt luận
Dạng tổng quõt của phiếm hỏm tuyến tợnh liởn tục trởn khừng gian 1 pila Ey = x f, x= Dx, Vx= x, n=l € [Wu = H, nl el, n=l trong đụ — P 4 va [I= [el 4 3.3.2 Trường hợp p = 1
Khi p = 1 tacờ |= x= x, /x,€] :>|x,/<+o 1a khờng gian
n=l
Banach với chuẩn xõc định bởi cừng thức
Trang 33* Định lợ 3.3.2
Khừng gian cõc phiếm hỏm tuyến tợnh liởn tục trởn khừng gian
1, khong gian J’ dang cau với khừng gian 1,
Chimg minh Xờt phờp tương ứng A:1, —> f; 2 u= u n p=1 a Au= ƒ, u nạn] TT re = ”% VỚI ƒ, x =diu,x, Vx, el n=l
đ Ta chimg minh rang A la anh xa tt /_ lởn Ị
Với mỗi w= u, el, thi ƒ,x =ồwx, Vx, el, lỏ phim
n=l
ham tuyến tợnh liởn tục trởn , 3.20
Thật vậy
Chuỗi ở về phải của 3.20 hội tụ với mợi x= x, nm pat €/
Ta cụ
Š u,X,|= Su, x,|S > sup u,|.|x, |= sup|u, > x, |S |u|, ||, <+œ 3.21
n=l n=1 n=l 0 n = => u,x, hội tụ n=l = Š#x, hội tụ = ƒ, lỏ phiếm hỏm n=l 2 Vx= x, Y= y, E45, VGB€ i tacd
f, axt By =u, ax,+ By, =Yaux,+ơ Buy, n=l n=l n=1
=ad.ux,+hYux,=af x+/ƒ, y
n=l „=l
=> f, 1a phiờm ham tuyến tợnh
Trang 34
” ^ ⁄ Vx= x, „,€l, luừn cụ n Ea 2 = > u,Xx,| = Dek = „=l x, , < Š sup|u, In n= be = [= Ea n=l < èu | 1 2 < sup lu,èÐ, |x, n= ae
=> f, bi chin > f, lỏ hỏm tuyến tợnh liởn tục
fs lel, 3.22
Vay A 1a anh xa tir 1, vao [
va
Ẫ Tachtmg minh A 1a dang cấu tuyến tợnh
v=ev cẻ,
nm n=l? n n=l
Vapej ,Vx= x, „;cl,Vu= u
ta cụ
A aut By x= Fouepy x= 3, au, + By, = dau,x, + > Ay,x,
n=l
n=l nl
=adiu,x,+ BY v,x,=af, x + Bf, x n=l n=l
=0A, x + BA, x = GA,+ fA, x
_=aA_+ BA,
> A aut By
=> A lỏ toõn tử tuyến tợnh
= =
Vu= u nm n=l > v=yv n n=l el “ Gia su u#vva Au=Av
Tuc la
L=aheofh x =f x Vx= Xx, el
>f, đ =f, 4, Vn=1,2,
e,= 0,0, ,0,1,0, 6ƒ
Ẫ u,.l=v,.1 Vn=1,2,
Trang 35=> Au# Av => A lỏ đơn cấu
Lay fell , Vn=1,2, Dat e= 6,”
J =l
L khi j=
Với ồ.=| yen 7 |0 khi j#n Vn=1,2,
Khi đụ Vx= +, nỏ el, cụ biếu diễn duy nhất dạng x= Ề`x„ê,
n=l
Ta lại cụ ƒ lỏ phiếm hỏm tuyến tợnh liởn tục trởn khừng gian J, suy ra:
2 N N
f x= A(X È = (tiny, È = im/{3 È
n=l Noe =1 Noe =
Dat u= u, , vVoiu,=f e, ,Vn=1,2,
Ta cụ: ƒ,x =} Hx,
n=l
lel=lf s, |<|flle.l=lyl m= 12
Dodờ u= u, bichin >u= u, | el,
Mat khac
Voi u= u, “EL, 06 u,=f @,
=lÍ.I=|/ Ậ ||lzlel=lz[ — vự=k2
= |, = supl,|< ||
= (rl lal "
”
Hay |AÍ|= || u= u n n=1 el,
Vậy A lỏ đẳng cầu tuyến tợnh tir 1, vao I
Từ 3.22 va 3.23 =|/|=||,
Trang 36
Kết luận
Dạng tổng quõt của phiếm hỏm tuyến tợnh liởn tục ƒ trởn khừng gian L,
1a:
fx =D, x= x, ờ€l,u= u, ờl,
Trang 37CHƯƠNG 4
DANG TONG QUAT CUA PHIEM HAM TUYEN
TINH LIEN TUC TREN KHONG GIAN L,
4.1 KHONG GIAN TUYEN TINH THUC L,
4.1.1 Dinh nghia
Cho khừng gian độ đo (E,Z Ò ) Tập hợp L,(E,Z /) gồm tất cả cõc hỏm số x ê đo được theo # trởn E sao cho
faa’ du<+o,
4.1.2 Khừng gian tuyến tợnh thực L,
Dua vỏ L„(E, Ò ) hai phờp toõn cộng hai phần tử vỏ nhón một phần tử
với một số:
l x+y t=xtt+yt Vxt,yteLl
2 ax t =axt Vaej Vxt EL
với xf ,y t €L, duge coi la đồng nhất với nhau nếu x ? =y ê hầu khắp nơi (h.k.n) trởn E
* Định lợ 4.1.1
L„ cỳng hai phờp toõn trởn lập thỏnh một khừng gian tuyến tợnh
4.2 Khừng gian định chuẩn L, * Dinh lợ 4.2.1
Khừng gian tuyến tợnh L„Œ, /) cỳng với chuẩn xõc định như sau lập
Trang 38
thỏnh một khừng gian định chuẩn
Mee, i
xta bl-( Jse[aÒ}
Ching minh
Ta kiểm tra 3 tiởn đề xõc định chuẩn
i
D I*|J: (du 20 Vet eL, Ey
E
1
I‹I~o={ ẻt t (au) -0-[ fj t (au) =o E E t|'=0 hkn trờnE
= |x t |=0 h.k.n
x8
( Tiởn đở thứ nhót thoả mọn)
2.Vx t cL, E,u ,Vkej tacụ
Ieal>| JIxx t an) = a t ( Tiởn đề thứ hai thoả mọn)
'4,}Ÿ =|KIll
3.Vxt,yt eL, E,u
ạp dụng bất đắng thức Mincopxki ta cụ
i i i
x + ot {fh ttyt (au) <{ Jj t fan)" {fp t rau)
E E E
*|*|* è›i
( Tiởn đề thứ ba thoả mọn)
VậyL, E,Ò cỳng với chuẩn xõc định như trởn lỏ khừng gian định
Trang 394.3 Khừng gian Banach L,
* Định lợ 4.3.1
Khừng gian định chuẩn L„ lỏ khừng gian Banach Ching minh
giast x= x f “ cL n n= âhy lỏ dọy cơ ban Theo định nghĩa dọy cơ bản
Ve>0,3n, 6%” :Vn,m > nụ Ix, -X n m |< ờ ạp dụng cho ê = Nile dn, € ơ*:Va,m2=n, 1 x,-x„|<==> 2 1 x -x |<— n m 2 Vnen 1 Ap dung cho đ = = dn,>n,€ơ*:Va,m2n, a 2
Quõ trớnh nỏy tiếp tục mọi ta cụ dọy con x, ẻ cua day x,t | n=
thoa man X Nee -Xx 1 < x Vk =1,2 X,,t -x, 0}, n j s=1,2, pat y, 0 =|, 0 [+> jel
Trang 40Ta nhận được thấy y, cL,y ê>0,dọy y / khừng giảm do đụ tồn tại giới hạn đưới lim
so yt |’ trởn E ạp dụng bổ đề Fatour ta cụ P yl, p — Pp P —1
flimÍ: t du= flim y,t dus lim | y, t “d=lim
Mặt khõc shh S > Iimlly,|é <+œ soe x] x, -X, | < lx, |+ 32< 1+ | | z1 i “
>0< flim y, t “du<+to pee
chứng tỏ lim y, t ˆ<+œ h.k.n trởn E
Theo tinh chất bảo tồn thứ tự của tợch phón “ Nếu ƒ khả tợch trởn A thớ ƒ hữu hạn h.k.n trởn A”
>lim y,t ”<+œ h.kự trởn E so
vỏ
SX, =x, +) NT | s=1,2, Z1
lỏ dọy hội tụ tuyệt đối h.k.n trởn E Do đụ hội tụ h.k.n trởn E
Gọi giới hạn của dọy đụ lỏ y / _, theo định nghĩa ta cụ
yt JJaÒ=m[ x,.r [4Ò<lim [[ y, đ |’ du<t0
} soe Sh wed
Tương tự như vậy ta cụ
fly t |" du = lim |
E son E x, đ [l4 < lim fly, t [du <to
E
Ta chứng minh y ê lỏ giới hạn của dọy theo chuẩn trong khừng gian