Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian rn, lp, lp (p=1)

Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội LỜI NĨI ĐẦU Giải tích hàm ngành tốn học đƣợc xây dựng vào khoảng nửa đầu kỉ XX, đƣợc xem nhƣ ngành toán trọng điểm Nội dung hợp lý thuyết tổng quát xuất phát từ việc mở rộng số khái niệm kết giải tích, đại số, phƣơng trình vi phân… Trong trình phát triển từ đến nay, giải tích hàm tích luỹ đƣợc nội dung phong phú, gồm - Lý thuyết không gian trừu tƣợng ( Không gian mêtric, khơng gian định chuẩn, khơng gian tơpơ tốn tử tơpơ ) - Lý thuyết tốn tử tuyến tính - Lý thuyết tốn cực trị, giải tích hàm phi tuyến, giải gần phƣơng trình tốn tử - Lý thuyết nội suy tốn tử, giải tích hàm ngẫu nhiên Những phƣơng pháp, kết mẫu mực tổng quát giải tích hàm xâm nhập vào tất ngành tốn học có liên quan có sử dụng đến cơng cụ giải tích khơng gian vectơ Ngồi cịn ứng dụng vật lý lý thuyết số lĩnh vực kĩ thuật Với mong muốn đƣợc nghiên cứu tìm hiểu sâu môn bƣớc đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học em chọn đề tài “Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian R n , l p , Lp p ,” Nghiên cứu đề tài em có hội tìm hiểu sâu khơng gian hữu hạn không gian vô hạn chiều mà cụ thể không gian R n , l p , Lp p Từ thêm kiến thức vấn đề giải tích, khác chúng không gian khác nhau, xét khía cạnh khác SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội Nội dung khoá luận gồm chƣơng Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục khơng gian R n Chương 3: Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian l p p Chương Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian Lp p Do thời gian lực có hạn, em cố gắng trình nghiên cứu nhƣng đề tài khơng tránh khỏi sai sót, em mong đóng góp ý kiến thầy bạn sinh viên giúp cho khoá luận em thêm hoàn thiện Ngày 09 tháng năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Nhuệ SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 CÁC KHÁI NIỆM 1.1.1 Độ đo tích phân _đại số Mơt họ f tập X gọi a) X, -đại số nếu: f b) F kín phép toán hữu hạn hay đếm đƣợc tập hợp Hay lớp f -đại số f ≠ thoả mãn: i U A f a) Ai f (i=1,2, ) i i Ac b) A f X \ A f Độ đo Giả sử f -đại số tập tập X Hàm số :f [0,+ ) đƣợc gọi độ đo f thoả mãn A A f a) b) c) -cộng tính Tức là: A1 , A2 , họ đếm dƣợc tập hợp thuộc f, đôi khơng giao U An n An n Không gian độ đo Bộ ba (X, f, ) f, - đại số, độ đo f, X tập hợp gọi không gian độ đo SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội Hàm số đo Giả sử ( X, f ) không gian đo với f : f R :{x a gọi đo đƣợc A R R ¡ A f, hàm: - đại số tập X, f A:f(x)< a} + Nếu f có độ đo - đại số f đo đựơc A - đại số f hay - đo đƣợc + Nếu X a k , ta nói f(x) đo đƣợc theo nghĩa Lebesgue Rk , f hay: đo đƣợc (L) +Nếu X = R k , f = a k , ( - đại số Borel R k ) ta nói f(x) đo đƣợc theo nghĩa Borel hay f(x) hàm số Borel 1.1.2 Không gian tuyến tính trường P Giả sử P trƣờng số thực phức, tập với phép toán cộng nhân vô hƣớng: + Phép cộng: x, y a x y + Phép nhân: ,x a x gọi khơng gian tuyến tính thoả mãn điều kiện sau: x, y x, y, z x , x , , :x y : x y y x z x y z : x x x :x , x, y : , x : SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ x x y x x y x x Lớp K33C-Tốn Khóa luận tốt nghiệp , Trƣờng ĐHSP Hà Nội , x , x : x x : x.1 x 1.1.3 Không gian định chuẩn Định nghĩa chuẩn không gian định chuẩn Ta gọi không gian định chuẩn, khơng gian tuyến tính X trƣờng P với ánh xạ từ X vào tập số thực R , kí hiệu : R xa x thoả mãn tiên đề: 1) x 2) x 3) x, y : x x , x : : x y x x x y Số x gọi chuẩn x Kí hiệu khơng gian định chuẩn X Hội tụ theo chuẩn gọi hội tụ tới phần tử x Dãy xn Kí hiệu: lim xn n xn X lim n x x Dãy Cho không gian định chuẩn X, dãy xn lim xm n ,m xn đƣợc gọi dãy Không gian Banach Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach dãy hội tụ SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội Tốn tử tuyến tính Cho khơng gian tuyến tính X Y P, ánh xạ Y gọi : tốn tử tuyến tính A thoả mãn điều kiện: 1) x, y 2) x : , x y x : y x x Tốn tử tuyến tính bị chặn Cho khơng gian định chuẩn X Y, tốn tử tuyến tính bị chặn c > 0, x X: Ax c x Y X : Y gọi 1.1 Chuẩn toán tử Cho X Y hai khơng gian tuyến tính định chuẩn, A tốn tử tuyến tính bị chặn x , số c nhỏ thoả mãn 1.1 gọi chuẩn toán tử A Kí hiệu: Khơng gian liên hợp Cho không gian định chuẩn X trƣờng P, ta gọi khơng gian phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian X không gian liên hợp không gian X Kí hiệu Khơng gian liên hợp không gian định chuẩn X không gian Banach 1.1.4 Khơng gian Hilbert Tích vơ hướng Cho khơng gian tuyến tính X trƣờng P, ta gọi tích vơ hƣớng không gian X ánh xạ từ SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ P, kí hiệu , thoả mãn tiên đề sau: Lớp K33C-Tốn Khóa luận tốt nghiệp 1) x, y Trƣờng ĐHSP Hà Nội : 2) x, y, z 3) x, y 4) x y, x x, y ; X: x X; P: X: x, x x, x y, z x, z x, y = y, z ; x, y ; 0 x Không gian Hilbert Ta gọi gồm phần tử x,y,z,…là không gian Hilbert thoả mãn điều kiện sau: 1) H khơng gian tuyến tính trƣờng P 2) H đƣợc trang bị tích vơ hƣớng 3) H không gian Banach với chuẩn x x, x x Toán tử liên hợp Cho A tốn tử tuyến tính bị chặn, ánh xạ khơng gian Hilbert X vào khơng gian Hilbert Y Tốn tử B ánh xạ không gian Y vào không gian X đƣợc gọi toán tử liên hợp với toán tử A Kí hiệu x, y x, y x ,y Y 1.2 CÁC BỔ ĐỀ, ĐỊNH LÝ 1.2.1 Định lý Lebesgue hội tụ bị chặn Nếu f n dãy hàm đo đƣợc, hội tụ h.k.n đến hàm f đo đƣợc fnd A thì: f khả tích A lim n fd E 1.2.2 Bổ đề Fatour Nếu f n x A lim f n d SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ A n lim f n d n A Lớp K33C-Toán Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội 1.2.3 Định lý mệnh đề tương đương toán tử liên tục Cho không gian định chuẩn X Y, tốn tử tuyến tính : Y, bốn mệnh đề sau tƣơng đƣơng: 1) A liên tục 2) A liên tục 3) A liên tục x0 4) A bị chặn 1.2.4 Nguyên lý thác triển Hahn - Banach Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định khơng gian tuyến tính khơng gian định chuẩn X thác triển lên tồn khơng gian X với chuẩn tăng Nghĩa tồn phiếm hàm liên tục F xác định tồn khơng gian X cho: 1) F x 2) F f ( x) f x 1.2.5 Định lý Riesz Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục khơng gian Hilbert H biểu diễn dƣới dạng f ( x) Trong đó, phần tử a f x, a , x H H đƣợc xác định phiếm hàm f a 1.2.5 Bất đẳng thức Holder Nếu a, b hai số không âm; p,q cặp số mũ liên hợp (tức p 1, q ab p ap p ) bq Dấu “=” xảy a p q SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ bq Lớp K33C-Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội 1.2.6 ( Bất đẳng thức tích phân Holder ) Với hai hàm số đo đƣợc E x t , y t ;hai số thực p,q R p 1, q p ta có bất đẳng thức sau x t y t d x t E p p d E y t q q d e 1.2.7 ( Bất đẳng thức tích phân Mincovxki) Cho hai hàm số x t , y t đo đựơc E p p x t d y t , E p cho: d E Khi ta có bất đẳng thức tích phân sau: x t y t p p d E SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ x t p p p d E y t d p E Lớp K33C-Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội CHƢƠNG DẠNG TỔNG QUÁT CỦA PHIẾM HÀM TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC TRÊN KHƠNG GIAN R (n n 1) 2.1 KHƠNG GIAN TUYẾN TÍNH R n Cho tập hợp ¡ {x ¡ ,i ( x1 , x2 , , xn ) : xi 1,2, , n} ta đƣa vào cộng hai phần tử g nhân phần tử với số hai phép toán x y xi x n n yi x i n xi xi n i ¡ , x i ,y xi yi n i ¡ n n i ¡ n * Định lí 2.1.1 R n đóng hai phép tốn * Định lí 2.1.2 R n phép tốn khơng gian tuyến tính Chứng minh Ta hai phép toán định nghĩa thoả mãn tiên đề khơng gian tuyến tính x n xi , y i xi ta có x y yi y yi yi n i ¡ xi n i 1, n x ( Tiên đề thoả mãn ) x xi ta có xi x y yi n i , y zi xi z x yi yi n i zi , z zi i n i ¡ n 1, n y z (Tiên đề thoả mãn ) SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ 10 Lớp K33C-Toán Khóa luận tốt nghiệp f x Trƣờng ĐHSP Hà Nội x t y t d x t y t d E E p p x t d y t E q q d E Suy f xác định Ta chứng minh f phiếm hàm tuyến tính x t ,y t f Lp x1 , , x2 x1 t R ta có x2 t y t d E x1 t y t x2 t y t d E x1 t y t d x2 t y t d E E f x1 f x2 Suy f phiếm hàm tuyến tính Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Holder ta có f x x t y t d x t y t d E E x p y x t q Từ suy phiếm hàm f bị chặn f Lp y q , 4.1 Do f liên tục Chọn x0 t x0 p x0 t p q -1 y t p sign y t , t d y t E q -1 p E ta có d E q y t d y q q E Nghĩa x0 t Lp E, SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ 42 Lớp K33C-Tốn Khóa luận tốt nghiệp f x0 Trƣờng ĐHSP Hà Nội x0 t y t d y t E q d E q q q y t d q y t d E y q x0 q E Do f y 4.2 q Kết hợp 4.1 4.2 ta đƣợc y q f * Định lí 4.4.2 Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục khơng gian Lp , ,(p > 1) có biểu diễn dƣới dạng f ( x) x(t ) y (t )d x t Lp , E Trong y t f Lq , , p 1 đƣợc xác định phiếm hàm f q y q Chứng minh Trƣớc hết ta kiểm tra với p = , x t , y t x, y L2 x t y t d , đặt 4.3 E Ta chứng minh 4.3 thỏa mãn tiên đề tích vơ hƣớng không gian L2 , 1) x t ,y t L2 ta có y, x y t x t d E x t y td x, y E ( Tiên đề thứ thỏa mãn) x t , y t L2 SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ 43 Lớp K33C-Toán Khóa luận tốt nghiệp Ta có x Trƣờng ĐHSP Hà Nội y, z x t y t z t d E x t z t d y t z t d E x, z y, z E ( Tiên đề thứ thỏa mãn) L2 , α ¡ ta có x t , y t x, y x t y t d x t y t d E x, y E ( Tiên đề thứ thỏa mãn) Vậy 4.3 xác định tích vơ hƣớng khơng gian L2 x x, x x t d E Khơng gian L2 với tích vơ hƣớng 4.3 không gian Hilbert Giả sử f phiếm hàm tuyến tính khơng gian Lp (p >1) Ta xét < p < Ta có Lp Có thể xem L2 khơng gian đóng L2 Theo xem L2 phiếm hàm f tác dụng L2 , theo định lí Riesz tồn hàm số y t L2 cho f x x t y t d x t L2 , E Giả sử hàm số y t tƣơng đƣơng với E Đặt yn t y t y t n n.sign y t y t n Ta có hàm số yn (t ) y(t ) n = 1,2,… yn (t ) ( n = 1,2,…) đo đƣợc, bị chặn t SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ 44 Lớp K33C-Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội p nên yn t Lq , Đặt xn t yn t 1, p q q -1 sign y t n 1,2, Thì có hàm số xn đo đƣợc, bị chặn E, xn t xn t Lp L2 xn p p xn t d yn t E q q d E Đồng thời ta có f xn x t y t d y t E q -1 y t d y t E q d E Mặt khác f xn f xn q yn t p d f yn t E q p 4.4 d E Vì y t không tƣơng đƣơng với E nên yn t không tƣơng đƣơng với E ( n = 1,2,…) Chia hai vế 4.4 cho tích phân vế phải ta đƣợc yn t q q d 4.5 f E Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức n y t q ta đƣợc q d f E y t Lq , Ta lập hàm g x x t y t d x t Lp 4.6 E SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ 45 Lớp K33C-Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội Theo định lí 3.4.1 hệ thức 4.6 xác định phiếm hàm tuyến tính liên tục Lp f y Hiển nhiên g x q f x x t L2 Vì khơng gian hàm liên tục E trù mật khắp nơi không gian L2 nên theo định lí thác triển liên tục, phiếm hàm tuyến tính liên tục g thác triển f từ khơng gian L2 lên tồn khơng gian Lp , theo định lí Hahn - Bannach có g g x p f x f y x t q L2 Nghĩa hàm f có biểu diễn dƣới dạng (4.2), f xác định theo hệ thức (4.3) p = không gian L*2 gọi tự liên hợp + Trƣờng hợp p > 2, đƣợc chứng minh tƣơng tự Từ p 1 q Khi đó: L*p < q < ta cần đổi vai trò p, q Lp , f y q Kết luận Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục khơng gian Lp p f x x t y t d , x t Lp E Trong y t Lq , p 1 q f y q 4.4.2 Trường hợp p = 1 Định nghĩa Cho không gian độ đo (E,f , ), SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ 46 Lớp K33C-Toán Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội L1 tập hợp tất hàm số đo đƣợc theo nghĩa Lebesgue E cho x t d E Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục khơng gian L1 Giả sử y t đo đƣợc, bị chặn h.k.n E, nghĩa là: Vrai sup y t E Với x t L1 ta đặt f x x t y t d E Ta chứng minh f x phiếm hàm tuyến tính liên tục L1 f x x(t ) y (t ) d Vrai sup y (t ) x(t ) d E E E f xác định x1 (t ), x2 (t ) L1 E, f x1 x2 , ¡ Ta có: , x1 t x2 t y t d E x1 t y t x2 t y t d E x1 t y t d x2 t y t d E E f x1 Và f x f x2 x(t ) y (t ) d Vrai sup y (t ) x E E Vậy f phiếm hàm tuyến tính liên tục khơng gian L1 f Vrai sup y t Ngƣợc lại, giả sử f đặt p s ,q r y E s s r SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ L1 , áp dụng bất đẳng thức Holder với < r < p q r s 47 s r s Lớp K33C-Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội Ls ta có x t r x t d x t E r 1d rq x t E q d d E x t s q E r s s r s d x s r s s E x x r Do Ls s r s x t s Lr x x r x1 x x t s L1 L1 2 Nên x t L2 x t f x x1 f x Theo định lí Riesz f x s r s r ta đƣợc L2 s Áp dụng kết cho L1 L1 f y t f L2 L2 cho: x t y t d x t L2 E f y Ta chứng minh y t bị chặn h.k.n E Đặt E x0 t t E: y t f sign y t t t x0 t x0 L1 tùy ý cho trƣớc , x0 t d E , x0 t L2 đồng thời E f x0 x0 t y t d E SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ y t d f E 48 Lớp K33C-Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội Nhƣng f x0 f x0 Do Vrai sup y t f f E nên f 1 Vrai sup y t E Khi theo chứng minh phần đầu, ta nhận đƣợc phiếm hàm tuyến tính liên tục L1 xác định hệ thức: g x x t y t d E Hiển nhiên f x g x x x t L2 Mặt khác theo nguyên lí thác triển Hahn - Banach phiếm hàm f thác triển lên tồn L1 thành phiếm hàm tuyến tính liên tục F với chuẩn không tăng F f Hơn f liên tục L2 , tập hàm số liên tục E trù mật khắp nơi Lp p nên thác triển F f toàn L1 Do g x F x x x t L1 g f F 1 Kết luận Dạng tổng qt phiếm hàm tuyến tính liên tục khơng gian L1 là: f ( x) x(t ) y (t )d , x(t ) L1 E Trong y(t ) L f y Vrai sup y (t ) x(t ) d E E 4.4.3 Trường hợp p = Định nghĩa Cho không gian độ đo (E, f, ), , L tập hợp tất hàm số đo đƣợc theo nghĩa Lebesgue E bị chặn h.k.n E Tức là: x(t ) L , ( x) : x(t ) SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ ( x) h.k.n E 49 Lớp K33C-Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 Khơng gian tuyến tính thực L Ta đƣa vào L hai phép toán: cộng hai hàm số nhân số thực với hàm số thông thƣờng: x(t ), y(t ) L , 1) ( x y)(t ) x (t ) 2) x(t ) ¡ y(t ) .x(t ) * Định lí 4.4.3 L hai phép tốn lập thành khơng gian tuyến tính Khơng gian định chuẩn L * Định lí 4.4.4 Khơng gian tuyến tính L với chuẩn xác định nhƣ sau: ¡ :L x( t ) a x Vrai sup x(t ) E lập thành không gian định chuẩn trƣờng số thực Chứng minh Ta kiểm tra tiên đề định chuẩn L x(t ) L , x(t ) Vrai sup x(t ) 0 x E x Vrai sup x(t ) x(t ) x(t ) h.k n E x ( Tiên đề thứ thỏa mãn) x(t ) L , x ¡ Vrai sup x(t ) Vrai sup x(t ) E x E ( Tiên đề thứ hai thỏa mãn) x(t ), y(t ) L có SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ P, Q tập có độ đo cho: 50 Lớp K33C-Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội x(t ) x t \P y (t ) y t \P Tập P Q có độ đo x(t ) y (t ) x y t \P x(t ) y (t ) x y t \P ( Tiên đề thứ ba thỏa mãn) Vậy L với chuẩn xác định không gian định chuẩn ¡ Khơng gian Banach L * Định lí 4.4.5 Khơng gian định chuẩn L gian Banach Chứng minh Xét dãy xn (t ) n L Theo định nghĩa dãy ¥ : n, m n0 0, n0 xn - xm 4.7 Vrai sup xn (t ) xm (t ) E Theo định nghĩa L Ta có t E : xn t Ut xn E : xn t xn n Đặt B E\ U t E : x (t ) n n=1 x n Ta coi dãy xn gồm hàm bị chặn B từ 4.7 ta viết: n, m n0 ; t xn - xm SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ sup xn (t ) xm (t ) 51 4.8 Lớp K33C-Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội Hệ thức chứng tỏ tån t¹i lim xn (t ) n Trong 4.8 dãy xn (t ) dãy số thực t x(t ) Ta đƣợc cho m n n0 ; t xn (t ) x(t ) 4.9 Do coi hàm số x (t ) xác định E x(t ) h.k.n E hay x(t ) L n Từ 4.9 suy xn - x Vrai sup xn (t ) x(t ) n n0 E Tức dãy xn (t ) L hội tụ tới x t n theo chuẩn L Vậy L không gian Banach Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính khơng gian L * Định lí 4.4.6 Khơng gian định chuẩn L , với x t f x L ,y t L1 ta có cơng thức x t y t d E Xác định phiếm hàm tuyến tính liên tục khơng gian L f y Chứng minh Ta chứng minh f x phiếm hàm tuyến tính f x x t y t d x t y t d E E Vrai sup x t E y t d E Do f x xác định x1 t , x2 t L, SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ , ¡ 52 Lớp K33C-Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội Ta có f x1 x2 x1 t x2 t y t d E x1 t y t x2 t y t d E x1 t y t d x2 t y t d E E f x1 f x2 Vậy f phiếm hàm tuyến tính f phiếm hàm tuyến tính liên tục Thật f x x t y t d x t y t d E E Vrai sup x t E y t d x y f y E Theo định nghĩa f bị chặn Theo định lí mệnh đề tƣơng đƣơng hàm số tuyến tính liên tục ta có f hàm tuyến tính liên tục Đặt x0 t sign y t f x0 x0 t x0 t y t d E sup f x y x Từ suy Giả sử f f y x0 t y t d E f L , x0 y t d y E 1 L1 L không gian L1 Theo L , L ngun lí Hahn - Banach ta thác triển f thành phiếm hàm F từ L tồn khơng gian L1 cho F x f x F f Theo phần ta tìm đƣợc SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ x t 53 x t L L cho Lớp K33C-Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội z t x* t d F z z t L1 E F f x x* x t x* t d F x x t L E Do x t L1 Vậy L L1 f x* F x* Kết luận Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục không gia L là: f x x t y t d x t L E Trong y t L1 f SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ y 54 Lớp K33C-Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội KẾT LUẬN Giải tích hàm mơn giải tích nói riêng tốn học nói chung Chính nghiên cứu khơng gian ¡ n , l p , Lp từ nghiên cứu dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục khơng gian mang ý nghĩa quan trọng Mặc dù cố gắng nhƣng thời gian có hạn, trình độ cịn hạn chế nên q trình nghiên cứu khơng tránh khỏi sai sót Em mong nhận đƣợc đóng góp ý kiến quý báu thầy cô bạn sinh viên để khóa luận em ngày hồn chỉnh Cuối em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành em tới thầy cô khoa Toán trƣờng ĐHSP Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện tốt cho em hoàn thành khóa luận này, đặc biệt thầy giáo TS Nguyễn Văn Hùng tận tình hƣớng dẫn, giúp đỡ em trình nghiên cứu SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ 55 Lớp K33C-Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội TÀI LIỆU THAM KHẢO Phan Đức Chính, Giải tích hàm tập I - Cơ sở lý thuyết hàm, NXB Đại học THCN, 1978 Nguyễn Phụ Hy, Giải tích hàm, NXB khoa học kĩ thuật, 2005 Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải, Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, Trƣờng ĐHSP Hà Nội - NXBGD, tập I tập II, 2001 Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải, Không gian tôpô - Banach - Hilbert, Trƣờng ĐHSPHN, 1996 Nguyễn Văn Khuê - Bùi Đắc Tắc, Không gian tôpô - độ đo lý thuyết tích phân, Trƣờng Đại học sƣ phạm - Đại học quốc gia Hà Nội, NXBGD, 1996 Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích hàm, NXBGD, lý thuyết tập, 1997 Hồng Tụy,Giải tích đại, NXBGD, tập I tập II, 1979 Hoàng Tụy, Hàm thực giải tích hàm, NXB ĐHQGHN, 2002 SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ 56 Lớp K33C-Toán ... 2: Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục khơng gian R n Chương 3: Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian l p p Chương Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục không. .. hàm tuyến tính liên tục không gian X không gian liên hợp không gian X Kí hiệu Khơng gian liên hợp không gian định chuẩn X không gian Banach 1.1.4 Khơng gian Hilbert Tích vơ hướng Cho khơng gian. .. CHƢƠNG DẠNG TỔNG QUÁT CỦA PHIẾM HÀM TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC TRÊN KHƠNG GIAN L p 4.1 KHƠNG GIAN TUYẾN TÍNH THỰC Lp 4.1.1 Định nghĩa Cho không gian độ đo (E,f, hàm số x t đo đƣợc theo ) Tập hợp Lp (E,f,