Luận văn sư phạm Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Lp và C[a,b]

Khoá lu n t t nghi p Ph m Th Th Tr ng-K29C Toán ng đ i h c s ph m hƠ n i khoa: Toán ************* Ph m th th ng D ng t ng quát c a phi m hƠm n tính liên t c khơng gian L p C[ a,b] Khố lu n t t nghi p đ i h c Chuyên ngành: Gi i tích hƠ n i – 2007 Khoá lu n t t nghi p Ph m Th Th ng-K29C Toán l ic m n Em xin bày t lòng bi t n sâu s c đ n th y PGS.TS.GVCC Nguy n Ph Hy, ng i t n tình h ng d n giúp đ em hồn thành khố lu n Em xin chân thành c m n ban ch nhi m, th y giáo t Gi i tích, khoa Tốn tr ng HSP Hà N i t o u ki n thu n l i cho em su t trình em th c hi n đ tài Em xin chân thành c m n Xuân hòa, ngày 30/04/2007 Sinh viên Ph m Th Th ng Khoá lu n t t nghi p Ph m Th Th ng-K29C Tốn L i cam đoan Tơi xin cam đoan khoá lu n t t nghi p v i đ tài “D ng t ng quát c a phi m hàm n tính liên t c khơng gian Lp C[ a,b] ” cơng trình nghiên c u c a riêng Tuy đ tài khơng ph i hồn tồn m i nh ng k t qu nghiên c u c a đ tài không trùng v i k t qu c a m t s tác gi khác N u sai xin ch u hoàn toàn trách nhi m Xuân hoà, ngày 30/04/2007 Sinh viên Ph m Th Th ng Khoá lu n t t nghi p Ph m Th Th ng-K29C Toán M cl c L i c m n .1 L i cam đoan L i nói đ u……………………………………………………………………4 Ch ng D ng t ng quát c a phi m hàm n tính liên t c khơng gian C[ a,b] 1.1 Tích phân Stieljes 1.2 D ng t ng quát c a phi m hàm n tính liên t c không gian C[ a,b] 10 Ch ng Không gian Lp ( p  ) 19 2.1 hàm s lu th a p kh tích ( p  ) 19 2.2 Khơng gian n tính th c Lp 19 2.3 Không gian đ nh chu n Lp 22 Ch ng D ng t ng quát c a phi m hàm n tính liên t c không gian Lp ( p  ) 27 3.1 D ng t ng quát c a phi m hàm n tính liên t c khơng gian Lp (p > 1) 27 3.2 D ng t ng quát c a phi m hàm n tính liên t c khơng gian L .33 3.3 D ng t ng quát c a phi m hàm n tính liên t c L1 40 K t lu n 44 Tài li u tham kh o 45 Khoá lu n t t nghi p Ph m Th Th ng-K29C Toán L i nói đ u Gi i tích hàm m t ngành toán h c đ đ u th k XX nh ng hi n h u nh đ c xây d ng vào kho ng n a c xem nh m t ngành toán h c c n N i dung c a s h p nh t c a nh ng lý thuy t t ng quát xu t phát t vi c m r ng m t s khái ni m k t qu c a gi i tích, đ i s , ph ng trình vi phân,… Trong trình phát tri n t đ n nay, gi i tích hàm tích lu đ m t n i dung h t s c phong phú Nh ng ph c ng pháp k t qu r t m u m c c a gi i tích hàm xâm nh p vào t t c ngành tốn h c có liên quan có s d ng đ n nh ng công c c a gi i tích khơng gian véct Ngồi ra, cịn có nh ng ng d ng v t lý lý thuy t m t s l nh v c k thu t S xâm nh p y m t m t m nh ng chân tr i r ng l n cho ngành toán h c nói trên, m t khác cịn đ cho ngành gi i tích hàm ph i đúc k t nh ng k t qu c a nh ng ngành toán h c riêng r đ ch ng m c đ nh ng m u toán h c t ng quát tr u t V i mong mu n đ ng c nghiên c u tìm hi u sâu h n v b mơn gi i tích hàm, em ch n đ tài: “D ng t ng quát c a phi m hàm n tính liên t c khơng gian Lp C a ,b ” Nghiên c u đ tài này, có c h i tìm hi u sâu thêm v không gian Lp ( E, ) khơng gian C a ,b T ta có thêm nh ng ki n th c v v n đ c a phi m hàm, s khác gi a chúng ta xét khơng gian khác N i dung c a khố lu n bao g m ba ch ng: Khoá lu n t t nghi p Ch Ph m Th Th ng-K29C Toán ng D ng t ng quát c a phi m hàm n tính liên t c không gian C a ,b Ch ng Không gian Lp ( E, ) ( p  ) Ch ng D ng t ng quát c a phi m hàm n tính liên t c không gian Lp ( p  1) Do th i gian n ng l c có h n nên ch c ch n khoá lu n khơng tránh kh i nh ng thi u sót Em r t mong nh n đ c s đóng góp ý ki n c a th y b n đ c đ khoá lu n hoàn ch nh đ t k t qu cao h n Em xin c m n Xuân hoà, ngày 28/04/2007 Sinh viên Ph m Th Th ng Khoá lu n t t nghi p Ch Ph m Th Th ng-K29C Toán ng D ng t ng quát c a phi m hàm n tính liên t c khơng gian Ca ,b 1.1 Tích phân Stieljes 1.1.1 nh ngh a nh ngh a 1.1.1 Cho hai hàm s f  x g  x xác đ nh  a ,b Ta chia đo n  a ,b b ng m chia a  x0  x1   xn  b ( n  N ) l p t ng: n 1 S   f i   g( xi 1 )  g  xi  i 0  i m t m b t k đo n  xi ,xi 1  , i  o,n  N u max( xi 1  xi )  , t ng S d n đ n m t gi i h n h u h n không ph thu c vào cách chia đo n  a ,b cách ch n m  i gi i h n g i tích phân Stieljes (hay Rieman-Stieljes) c a f  x theo g  x đo n  a ,b đ c kí hi u là: b  S   f  xdg  x a nh ngh a 1.1.2 Cho hàm s F  x xác đ nh  a ,b Ta g i bi n phân c a hàm F  x đo n  a ,b kí hi u Vab  F  c n c a t ng n 1  F x   F( x ) i 0 i 1 i l y theo t t c cách chia đo n  a ,b b i nh ng m Khoá lu n t t nghi p Ph m Th Th ng-K29C Toán a  x0  x1   xn  b , ( n  N ) Hàm F  x g i có bi n phân b ch n n u Vab  F    1.1.2 nh lý nh lý 1.1.1 ( i u ki n đ đ t n t i tích phân Stieljes) N u f  Ca ,b g hàm có bi n phân b ch n đo n [a,b] t n b t i tích phân Stieljes  S   f  xdg  x a Ch ng minh V i s   nh tu ý, ch n   cho: f  x"   f  x'    2V  g  b a v i x"  x'   Bây gi ta l y hai phép phân ho ch đo n [a,b] thành t ng ph n có đ dài m i ph n nh h n  Trên chúng l y m tu ý l p t ng tích phân S’, S” t ng ng Ta s ch ng minh: S'  S"   Gi s cách chia th nh t có m chia: a  x0  x1   xn  b n S'   f i   g  xi   g  xi 1  i 1 i  xi 1 ,xi  N u l y t t c m chia c a c hai cách chia ta đ c cách chia th ba đo n [a,b] T t nhiên s “t t h n” G i m chia c a cách là: a  x0  x00   x01   x0 m   x1  x10   x11   x1m  x2  x20   x21   xn m2   xn 1  xn01  xn11   xn m1   b n 2 n 1 m i ph n  xi j 1 ,xi j   m t m i j  l p t ng: S   f i j    g  xi j    g  xi j 1  n mj i 1 j 1 Ch n Khoá lu n t t nghi p Ph m Th Th ng-K29C Toán cách th nh t đ dài ph n t nh h n  nên v i i, j b t kì ta có: Vì f  xi j    f  xi j 1    S  S'   f  xi j    f  xi   2V  g  b a  2V  g  b a j j j 1  f i    g  xi    g  xi     f i   g  xi   g  xi 1  = n mi n i 1 j 1 i 1 m  ( j) ( j) ( j 1 )   f i   g  xi   g  xi    f i   g  xi   g  xi 1    i 1  j 1  n i m n m  =   f i( j )   g  xi( j )   g  xi( j 1 )   f i    g  xi j    g  xi( j 1 )   i   j 1 j 1  i i =   f i( j )   f i    g  xi j    g  xi( j 1 )  n mi i 1 j  <    g  x    g  x n 2V  g  i 1 b a mi j 1 ( j 1 ) i j i V y S  S'  M t cách t  b a g Vab  g    ng t ta c ng có: S  S"  L y dãy s d n t    2V  ng gi m  n   n    , v i m i  n đ u ch n đ ng ng cho v i    n    n u ki n đ nh lí (1.1.1) đ mãn Khi  ch n đ cs c tho c ph thu cvào  , khơng làm m t tính t ng quát ta có th gi s dãy:  n  l p thành dãy đ n u gi m  n1  n V i m i n ta đ u có th l y phép phân ho ch đo n [a,b] t ng ph n đ dài nh h n  n , thành l p t ng tích phân t Ta ch ng minh dãy  Sn  dãy c b n R1 Th t v y, ng ng Sn Khoá lu n t t nghi p Ph m Th Th ng-K29C Tốn N u m>n đ dài c a t t c đo n c a phép phân ho ch th m n đ u nh h n  n , theo ch ng minh Sn  Sm   V y dãy  Sn  dãy c b n R1 , nên limSn  I n Bây gi ta ch ng minh v i m i phép phân ho ch b t kì đo n [a,b] ta đ u có: I  S   ,trong S t ng t ng ng c a phép phân ho ch Th t v y, v i   , ch n s t nhiên N cho: Sn  I  Ta tìm đ   , n  N c s n0  N cho  n  L y m t t ng tích phân S b t kì đ c thành l p nh m t phép phân ho ch đo n [a,b] đo n có đ dài nh h n  n Vì r ng t ng Sn đ c thành l p nh phép phân ho ch tho mãn u ki n đ dài m i đo n nh h n  n nên theo ch ng minh ta có: S  Sn   n  0  S  I  S  Sn  Sn  I       V y limS  I  0 nh lý đ c ch ng minh ฀ nh lý 1.1.2 ( nh lý giá tr trung bình) b N u t n t i tích phân Stieljes  f  x dg  x a b f  x V  g   f  x dg  x  max   a a ,b b a Ch ng minh 10 Khố lu n t t nghi p Ph m Th Th ng-K29C Toán x t   L2  E,  :  x,x   x2  t  d   E  x,x    x t  d    x t   h.k.n E E  x  Tiên đ 4) đ c tho mãn V y (3.1.4) tích vơ h ng khơng gian L2  E,  H nn a x   x,x   x t  d  , E chu n sinh b i tích vơ h L2  E,  v i tích vơ h Gi s ng trùng v i chu n xu t phát, nên không gian ng (3.1.4) m t không gian Hilbert f m t phi m hàm n tính liên t c b t k khơng gian Lp  E,   p  1 Ta xét tr ng h p  p  Ta có L2  E,    Lp  E,   Có th xem L2  E,  khơng gian đóng c a Lp  E,   Nh có th xem phi m hàm f tác d ng L2  E,  Theo đ nh lý Riesz, t n t i nh t m t hàm s y t   L2  E,  cho f  x   x  t  y  t  d  , x  t   L2  E,   E Gi s hàm s y  t  không t ng đ ng v i E  y  t  nÕu y  t   n yn  t    nsigny  t  nÕu y  t   n,n  1,2, 29 t Khoá lu n t t nghi p Ph m Th Th yn  t  n  1,2,  Hi n nhiên, hàm s yn  t   y  t  , t  E  , nên yn  t   Lq  E,   , đo đ ng-K29C Toán c, b ch n 1   , p  Ti p theo ta p q đ t xn  t   yn  t  q 1 signy  t  Các hàm s xn  t  n  1,2,  đo đ  n  1,2,  c, b ch n E , xn  t   Lp  E,   xn  t   L2  E,  xn p        xn  t  d      yn  t  d   E  E  p p q p ng th i, ta có f  xn    xn  t  y  t  dt   yn  t  E q 1 E y  t  d    yn  t  d  q E M t khác f  xn   f xn p   yn  t  E Vì y  t  khơng t đ q q  p d   f   yn  t  d   E  (3.1.5) ng v i E , nên yn  t  c ng không t ng đ ng ng v i E (n=1,2, ) Chia c hai v c a b t đ ng th c (3.1.5) cho tích phân v ph i ta đ c q  q y t d     n   f E  (3.1.6) Chuy n qua gi i h n b t đ ng th c (3.1.6) n   , ta đ q     yn  t  d    f  y  t   Lq  E,   E  q 30 c Khoá lu n t t nghi p Ph m Th Th ng-K29C Toán Ta l p phi m hàm g  x   x  t  y  t  d  , x  t   Lp  E,   (3.1.7) E Theo đ nh lý (3.1.1) h th c (3.1.7) xác đ nh m t phi m hàm n tính liên t c Lp  E,   g  y q Hi n nhiên, g  x  f  x x  t   L  E,  Vì khơng gian hàm liên t c E trù m t kh p n i không gian L2  E,  , đ c bi t không gian hàm liên t c E trù m t kh p n i không gian L2  E,  , nên theo đ nh lý v thác tri n liên t c, phi m hàm n tính liên t c g thác tri n liên t c nh t c a phi m hàm f t không gian L2  E,  tồn khơng gian Lp  E,   theo đ nh lý Hahn-Banach g p f  yq Suy f  x  g  x , x  t   Lp  E,   , ngh a phi m hàm f có bi u di n nh t d Tr i d ng (3.1.2), f đ ng h p p  đ nh lý đ c xác đ nh b ng h th c (3.1.3) c ch ng minh hoàn toàn t ng t nh c ch ng minh ฀ K t lu n D ng t ng quát c a phi m hàm n tính liên t c không gian Lp  E,   ( p  ) f  x   x  t  y  t  d  , x  t   Lp  E,   E 1  E     f  y q p q  3.2 D ng t ng quát c a phi m hàm n tính liên t c khơng gian L 3.2.1 Khơng gian n tính th c L nh ngh a 3.2.1 31 Khoá lu n t t nghi p Ph m Th Th ng-K29C Tốn Cho khơng gian đ đo  E,F ,  ,   E    Kí hi u L t p h p t t c hàm s đo đ c theo ngh a Lebesgue E b ch n h k n E , ngh a v i m i hàm s x t   L đ u tìm đ s  x  cho x t    x h k n E Phép toán a vào L hai phép toán:  C ng hai hàm s  Nhân m t s th c v i m t hàm s nh thông th ng * Ch ng minh L không gian n tính th c Th t v y, ta có: +)  x  y t   x t   y  t     max x t  ; y  t    x t   y  t      x   y   1 1   h k n E   x  y t   L +)  x t    x t    x t     x   h k n E   x t   L  L đóng kín v i hai phép toán c ng nhân * Ta ch ng minh hai phép toán tho mãn h tiên đ n tính x t  , y  t   L ta có:  x  yt   xt   yt   yt   xt    y  xt  h k n  x y  y x 32 E c Khoá lu n t t nghi p Tiên đ 1) đ Ph m Th Th ng-K29C Toán c tho mãn x t  ,y t  ,z t   L ta có:  x  y  z  t    x  y t   z  t   xt   y t   z t   x t    y  z t    x   y  z   t  h k n E   x  y  z  x   y  z  Tiên đ 2) đ c tho mãn x t  ,y  t   L ,   R ta có:   x  y  t     x  y t     x t   y  t    x t    y t    x   yt  h k n E    x  y   x   y Tiên đ 3) đ c tho mãn  ,  R, x t   L ta có:     x  t       x t    x t    x t    x   x t  h k n E      x   x   x Tiên đ 4) đ c tho mãn  ,  R, x t   L ta có:   x  t     x t    x t      xt      x  t  h k n E    x     x Tiên đ 5) đ c tho mãn x t   L , 1 L ta có: 33 Khoá lu n t t nghi p Ph m Th Th 1xt   1xt   xt  h k n E  1.x  x Tiên đ 6) đ c tho mãn x t   L ,   t    L ta có:  x   t   xt    t   xt  h k n E  x   x Tiên đ 7) đ c tho mãn x t   L ,   x t   1.xt   L ta có:  x    x  t   x t    1 x t   1  1 x t   h k n E  x    x   Tiên đ 8) đ c tho mãn V y L không gian n tính tr ng s th c R 3.2.2 Không gian đ nh chu n th c L nh ngh a 3.2.2 V i x t   L , ta đ t x   vrai sup x  t  tE Công th c cho ta m t chu n L Th t v y, x t   L : x t    vrai sup x  t   tE  x  0 x    vrai sup x  t   tE  x t   h k n E 34 ng-K29C Toán Khoá lu n t t nghi p Ph m Th Th  x t   ng-K29C Toán h k n E  x  Tiên đ 1) đ c tho mãn x t   L ,   R ta có :  x   vrai sup  x  t    vrai sup x  t  tE tE  x Tiên đ 2) đ c tho mãn x t  , y  t   L ta có : x y   x   y  Th t v y, theo đ nh ngh a (3.2.1) (3.2.2) t n t i hai t p h p P Q có đ đo b ng cho: x t   x  , t  E \ P y t   y  , t  E \ Q T p h p P  Q có đ đo khơng, : x t   y  t   x   y  , t  E \  P  Q  Do : x  y   x   y  V y L không gian n tính đ nh chu n v i chu n x   vrai sup x  t  tE Tính Banach c a khơng gian L nh lý 3.2.1 L không gian Banach Ch ng minh 35 Khoá lu n t t nghi p  x  t   m Gi s n Ph m Th Th ng-K29C Toán t dãy c b n b t k không gian L , ngh a (   ), ( n0  N* ) , ( m,n  n0 ) xn  xm   vrai sup xn  t   xm  t    (3.2.1) tE V i m i c p s t nhiên n,m ta đ t  Xn ,m  t  E : xn  t   xm  t   xn  xm   G i X h p c a t t c t p h p Xn ,m Vì m i t p h p Xn ,m có đ đo khơng nên X có đ đo khơng Vì xn  t   xm  t   xn  xm  , v i t  E \ X , nên t (3.2.1) ta suy ra: xn  t   xm  t    v i t  E \ X (3.2.2) v i m i n  n0 ,m  n0 V y v i m i t  E \ X ,  xn  t   m t dãy s Cơsi, dãy  xn  t   h i t t p E \ X t limxn  t  ví i t  E \ X x t    n ví i t  X o Trong (3.2.2), c đ nh n cho m   ta đ c: xn  t   x t    , v i m i t  E \ X v i m i n  n0 (3.2.3) Vì X t p h p có đ đo không nên (3.2.3) ta suy r ng xn  x  L Do x  xn   xn  x  L C ng t (3.2.3) suy ra: xn  x    , v i m i n  n0 , t c lim xn  x   ngh a dãy c b n  xn  t   h i t t i x  t  n  không gian L V y L không gian Banach nh lý đ c ch ng minh ฀ 36 Khoá lu n t t nghi p Ph m Th Th ng-K29C Toán 3.2.3 D ng t ng quát c a phi m hàm n tính liên t c L N u hàm s y  t   L1 v i m i ph n t x t   L ta đ t f  x   x  t  y  t  d  E Ta ch ng minh f  x m t phi m hàm n tính liên t c khơng gian L Th t v y,ta có: f  x   x  t  y  t  d  E   x t  y t  d  E  vrai sup x  t   y  t  d    tE E  f  x xác đ nh x1  t  , x2  t   L ,  ,   R ta có: f  x1   x2     x1  t    x2  t   y  t  d  E    x1  t  y  t    x2  t  y  t   d  E    x1  t  y  t  d  +   x2  t  y  t  d  E   f  x1    f  x2  E  f phi m hàm n tính H nn a f  x   x  t  y  t  d   L1 E 37 Khoá lu n t t nghi p Ph m Th Th ng-K29C Toán  vrai sup x  t   y  t  d  tE E  x  y  f phi m hàm n tính b ch n L f  y t x0  t   sign y t   x0  t   L , x0  1 f  x0    x0  t  y  t  d    y  t  d   y  f  y E Do f Ng  E  y f  L*  , L L khơng gian n tính c a c l i, gi s L1 , nên theo nguyên lý Hahn-Banach, có th thác tri n phi m hàm f thành phi m hàm F t L lên L1 cho F  x = f  x  x t   L  F = f c x*  t   L cho: Theo ch ng minh ta tìm đ F  z  =  z  t  x*  t  d ,z  t   L1 , F = x*  E Do đó: f  x = F  x =  x t  x*  t  d ,x  t   L E Nh ng x*  t   L1 nên f Suy x* = f   = x* = F = x*  V y L*   L1 K t lu n D ng t ng quát c a phi m hàm liên t c không gian L f  x   x  t  y  t  d  , x t   L E hàm s y t   L1 f  y 3.3 D ng t ng quát c a phi m hàm n tính liên t c L1 3.3.1 nh ngh a 3.3.1 Cho không gian đ đo  E,F ,  ,   E    38  Khoá lu n t t nghi p Ph m Th Th L1 t p h p t t c hàm đo đ  x t  d  ng-K29C Toán c theo ngh a Lebesgue E cho h it E 3.3.2 D ng t ng quát c a phi m hàm n tính liên t c L1 c, b ch n h.k.n E ngh a vrai sup y  t    Gi s y(t) đo đ tE V i m i ph n t x  t   L1 ta đ t f  x   x  t  y  t  d  E Ta ch ng minh f  x m t phi m hàm n tính liên t c L1 Th t v y, f  x   x  t  y  t  d  E  vrai sup y  t   x t  d    E  f  x xác đ nh x1  t  ,x2  t   L1 ;  ,  R ta có: f  x1   x2     x1  t    x2  t   y  t  d  E    x1  t  y  t    x2  t  y  t  d  E    x1  t  y  t  d     x2  t  y  t  d  E   f  x1    f  x2  E  f phi m hàm n tính   Và f  x   x t  y  t  d   vrai sup y  t  x E tE  f phi m hàm n tính liên t c không gian L1 Và f  vrai sup y  t   y  tE 39 Khoá lu n t t nghi p Ng t p Ph m Th Th ng-K29C Toán f  L*1 áp d ng b t đ ng th c Holder v i < r < s c l i, gi s 1 r sr s s      1,q  p q s s r r s Và v i x t   Ls ta có:  x t  d   x t  r E r d E 1 rp  p  q q    x t  d     d   E  E  r s r s r s  s    x t  d      E   s  x s    E   s E   x r     E   s r s x s  x  t   L1 Do đó, Ls  Lr x r     E   áp d ng k t qu cho tr s r s x s ,x  t   Ls ng h p r = 1, s = ta đ c L2  L1 x     E   x  x t   L2  x t   L1 f  x  f x  f    E   x  f  L* Theo đ nh lý Riesz, t n t i nh t m t hàm s y t   L2  E,  cho: f  x   x  t  y  t  d  ,x  t   L2 , f  y2 E * Ta ch ng minh y(t) b ch n h.k.n E Th t v y   t E  t  E \ y t   f   ,(  cho tr c tu ý)  signy  t  nÕu t  E x0  t    nÕu t  E 0 40 Khoá lu n t t nghi p Ph m Th Th ng-K29C Tốn x0  t   L1 x0   x0  t  d     E  đ ng th i x0  t   L2 và: E f  x0    x0  t  y  t  d   E Nh ng, f  x0   f Do đó, y  t   f  yt  d    f      E  E x0  f   E  nên   E   h.k.n E, ngh a y(t) b ch n h.k.n E và: vrai sup y  t   f  f  vrai sup y  t  tE ph n đ u, đ i v i hàm đo đ Theo ch ng minh nh n đ tE c b ch n h.k.n E ta c phi m hàm n tính liên t c L1, xác đ nh b i h th c: g  x   x  t  y  t  d  ,x t   L1 E Hi n nhiên f(x) = g(x),x  t   L2 M t khác, nguyên lý thác tri n Hahn-Banach phi m hàm f có th thác tri n lên toàn L1 thành phi m hàm n tính liên t c F v i chu n không t ng F  f H n n a, phi m hàm f liên t c đ u L2, t p h p hàm s liên t c E trù m t kh p n i Lp (p > 1), thác tri n F c a phi m hàm f tồn L1 nh t Do đó: g  x  F  x ,x t   L1 g  f  F K t lu n D ng t ng quát c a phi m hàm n tính liên t c L1 là: f  x   x  t  y  t  d  , x t   L1 E f  vrai sup y  t  tE 41 Khoá lu n t t nghi p Ph m Th Th ng-K29C Toán K t lu n Lý thuy t v phi m hàm n tính m t nh ng n i dung quan tr ng c a gi i tích hàm ng pháp c a gi i tích hàm đ c hình thành c s ng pháp c b n c a Gi i tích toán h c i s , tiên đ hoá nh ng tính Có th nói ph ph ch t đ c tr ng c a t p h p s th c thành không gian t ng ng m r ng nh ng v n đ quan tr ng c a Gi i tích tốn h c vào khơng gian đ tài này, em trình bày v n đ t d đ n khó, b t đ u t vi c tìm hi u v đ nh ngh a tính ch t c a không gian C a ,b Lp  E,   , sau m r ng sang d ng t ng quát c a phi m hàm n tính liên t c hai khơng gian Do th i gian n ng l c cịn h n ch nên khố lu n m i ch đ t đ c m t s k t qu nh t đ nh Em r t mong nh n đ c s đóng góp ý ki n c a th y cô giáo khoa b n đ c đ b n khoá lu n đ y đ h n Tr c s b ng g p nhi u khó kh n b vi c nghiên c u khoa h c, em nh n đ c đ u ti p c n v i công c s giúp đ c a th y giáo khoa tốn, đ c bi t th y PGS.TS.GVCC Nguy n Ph Hy- ng i t n tình ch b o giúp em hồn thành khóa lu n Em xin chân thành c m n th y Nguy n Ph Hy th y giáo khoa Tốn Em xin chân thành c m n Xuân hoà, ngày 30/04/2007 Sinh viên Ph m Th Th 42 ng Khoá lu n t t nghi p Ph m Th Th ng-K29C Toán Tài li u tham kh o PGS.TS Nguy n Ph Hy (2006), Gi i tích hàm , NXB Khoa h c k thu t Phan c Chính (1978), Gi i tích hàm t p 1, NXB i h c trung h c chuyên nghi p PGS.TS Nguy n Ph Hy (1992), Giáo trình Gi i tích hàm, HSP Hà N i II Nguy n Xuân Liêm (1995), Gi i tích hàm, NXB Giáo d c Nguy n Xuân Liêm (2000), Bài t p Gi i tích hàm, NXB Giáo d c, Hồng T y (1979), Gi i tích hi n đ i, NXB Giáo d c 43 ... t ng quát c a phi m hàm n tính liên t c khơng gian Lp (p > 1) 27 3.2 D ng t ng quát c a phi m hàm n tính liên t c khơng gian L .33 3.3 D ng t ng quát c a phi m hàm n tính liên. .. 19 2.1 hàm s lu th a p kh tích ( p  ) 19 2.2 Khơng gian n tính th c Lp 19 2.3 Không gian đ nh chu n Lp 22 Ch ng D ng t ng quát c a phi m hàm n tính liên t c không gian Lp ( p... quát c a phi m hàm n tính liên t c khơng gian C[ a,b] 1.1 Tích phân Stieljes 1.2 D ng t ng quát c a phi m hàm n tính liên t c không gian C[ a,b] 10 Ch ng Không gian Lp