Một số mở rộng của định lý riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2  KHOA: TOÁN       PHẠM THỊ DIẾN        MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ  RIESZ VỀ DẠNG TỔNG QUÁT CỦA  PHIẾM HÀM                                           KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC                                      Chuyên ngành: Giải tích                                                                               Người hướng dẫn khoa học                                                                           TIẾN SĨ BÙI KIÊN CƯỜNG           Hà Nội, 2012       LỜI CẢM ƠN Trước  khi  trình  bày  nội  dung  chính  của  khóa  luận,  tôi  xin  bày  tỏ  lòng  biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Bùi Kiên Cường người đã định hướng chọn đề tài  và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóa luận này.  Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô trong khoa Toán trường Đại  học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.  Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,  bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá  trình học tập và hoàn thành khóa luận.                                                                 Hà Nội, ngày 12 tháng 5 năm 2012                                                                                   Phạm Thị Diến                                                  LỜI CAM ĐOAN Dưới  sự  hướng  dẫn  của  Tiến  sĩ  Bùi  Kiên  Cường  khóa  luận  tốt  nghiệp  Đại học chuyên ngành Toán Giải tích của tôi với đề tài “Một số mở rộng của  định  lý  Riesz  về  dạng  tổng  quát  của  phiếm  hàm”  được  trình  bày  hoàn  toàn  dưới sự nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ khóa luận nào khác.  Trong  quá  trình  nghiên  cứu  thực  hiện  khóa  luận,  tác  giả  đã  kế  thừa  những thành tựu của các nhà khoa học với lòng trân trọng và biết ơn sâu sắc.  Một số kết quả tác giả đã đưa ra dựa trên những thành tựu khoa học này.                                                                      Hà Nội, ngày 12 tháng 5 năm 2012                                                                                   Phạm Thị Diến                                    MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU BẢNG KÍ HIỆU BẢNG CHỮ HY LẠP PHIÊN ÂM RA TIẾNG VIỆT Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian định chuẩn, không gian Banach 1.2 Không gian Hilbert 14 Chương 2: ĐỊNH LÝ RIESZ VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG 2.1. Định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính trong không  gian Hilbert 20 2.2. Định lý Lax - Milgram 22 2.3 Định lý về toán tử ẩn 29 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO                                                     Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm LỜI MỞ ĐẦU Giải  tích  hàm  là  một  ngành  của  giải  tích  toán  học  nghiên  cứu  về  các  không gian vectơ được trang bị thêm các cấu trúc tôpô và các toán tử tuyến  tính liên tục giữa chúng. Ra đời từ đầu thế kỉ 20 đến nay Giải tích hàm đã đạt  được những thành tựu quan trọng và trở thành chuẩn mực trong việc nghiên  cứu  và  trình  bày  các  kiến  thức  toán  học.  Giải  tích  hàm  đã  được  đưa  vào  chương trình Đại học như một phần bắt buộc, tuy thế với lượng thời gian có  hạn chúng ta khó có thể nghiên cứu sâu vào một vấn đề nào đó, bên cạnh đó  nội  dung  của  Giải  tích  hàm  rất  phong  phú  như:  không  gian  vectơ  lồi  địa  phương (không gian định chuẩn, không gian Hilbert, không gian Banach,…),  các toán tử tuyến tính liên tục giữa các không gian,…  Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu sắc về  Giải tích hàm, em đã chọn đề tài “Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng  tổng quát của phiếm hàm”. Khóa luận này nghiên cứu về những mở rộng của  định  lý  Riesz  về  dạng  tổng  quát  của  phiếm  hàm,  cụ  thể  là  định  lý  LaxMilgram và định lý về toán tử ẩn.  Nội dung khóa luận bao gồm:  Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.  Chương  này  đưa  ra  các  kiến  thức  cơ  bản  về  không  gian  định  chuẩn,  không  gian Banach, không gian Hilbert, toán tử tuyến tính liên tục, không gian tuyến  tính liên tục, không gian đối ngẫu.  Chương  2:  Một  số  mở  rộng  của  định  lý  Riesz  về  dạng  tổng  quát  của  phiếm hàm.  Phạm Thị Diến K34D SP Toán   - 4 -                 Khóa luận tốt nghiệp  Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm Chương này đưa ra một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của  phiếm hàm, cụ thể là định lý Lax-Milgram và định lý toán tử ẩn.  Do lần đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, thời gian có hạn và  trình độ còn non trẻ nên các vấn đề được trình bày trong bài không tránh khỏi  những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của thầy cô  và bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn.  Em xin chân thành cảm ơn!                                    Phạm Thị Diến K34D SP Toán   - 5 -                 Khóa luận tốt nghiệp  Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm BẢNG KÍ HIỆU đường thẳng thực    n   không gian Euclid  n  – chiều  f :Y  ánh xạ từ X vào Y  V  chuẩn trong không gian V  inf f   cận dưới đúng của ánh xạ  f   sup f   cận trên đúng của ánh xạ  f   f   giá trị nhỏ nhất của ánh xạ  f   max f   giá trị lớn nhất của ánh xạ  f   ker f   hạt nhân, hạch của ánh xạ  f    x, y    tích vô hướng của hai nhân tử  x  và  y     chứng minh hoàn thành                            Phạm Thị Diến K34D SP Toán   - 6 -                 Khóa luận tốt nghiệp  Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm BẢNG CHỮ HY LẠP PHIÊN ÂM RA TIẾNG VIỆT   an pha    bê ta   ,   gamma (thường và hoa)    đen ta    ép si lon      tê ta    tô, tao  ,   phi (thường và hoa)   ,   psi (thường và hoa)  rô                                                               Phạm Thị Diến K34D SP Toán   - 7 -                 Khóa luận tốt nghiệp  Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ   Chương  này,  ta  trình  bày  một  số  kiến  thức  cơ  bản  về:  không  gian  định  chuẩn,  không  gian  Hilbert,  không  gian  Banach,  toán  tử  tuyến  tính  liên  tục,  phiếm hàm tuyến tính liên tục, không gian đối ngẫu sẽ được sử dụng trong các  phần sau.  1.1 Không gian định chuẩn, không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 Không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không  gian tuyến tính X trên trường   cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực  ,  kí hiệu là   và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiền đề sau đây:  1)  x    x  0, x   x    (kí hiệu phần tử không là   );  2)  x       x   x ;  3)  x, y    x  y  x  y   Số  x gọi  là  chuẩn  của  vector  x.  Ta  kí  hiệu  không  gian  định  chuẩn  là    ,    Nếu trên    chỉ trang bị một chuẩn ta có thể kí hiệu là    Các tiên  đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề chuẩn.  Định nghĩa 1.1.2 Dãy điểm   xn   trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản, nếu:  lim xn  xm    m , n Định nghĩa 1.1.3 Phạm Thị Diến K34D SP Toán   - 8 -                 Khóa luận tốt nghiệp  Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm Không  gian  định  chuẩn     gọi  là  không  gian  Banach,  nếu  mọi  dãy  cơ  bản trong    đều hội tụ.  Định lý 1.1.1 (Nguyên lý ánh xạ co)  Cho không gian Banach  V , một ánh xạ co T đi từ  V  vào nó, nghĩa tồn số,   M   thỏa mãn:  Tv1  Tv2  M v1  v2 , v1 , v2 V   Khi đó, tồn điểm u thuộc V  sao cho u  Tu   Định nghĩa 1.1.4 Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường số thực   Ánh xạ A  từ không gian X vào không gian Y gọi là tuyến tính nếu ánh xạ A thỏa mãn  các điều kiện:  1)  x, x '      x  x '  x  x ' ;  2)  x         x   x   Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi toán tử A chỉ  thỏa  mãn  điều kiện  1) thì  toán tử A gọi  là  cộng  tính, còn  khi  toán  tử  A chỉ  thỏa mãn điều kiện 2) thì A gọi là toán tử thuần nhất. Khi  Y   thì toán tử  tuyến tính A thường gọi là phiếm hàm tuyến tính.  Định nghĩa 1.1.5 Cho hai không gian định chuẩn X và Y. Toán tử tuyến tính A từ không  gian X vào không gian Y gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng số  C  sao cho:  x  C x , x     Định nghĩa 1.1.6 Phạm Thị Diến K34D SP Toán   - 9 -                 Khóa luận tốt nghiệp  Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm  Ax,  y    x,  Ay  , x, y  H   Toán tử tự liên hợp còn gọi là toán tử tự đối xứng.  Định lý 1.2.5 Nếu A là toán tử tự liên hợp ánh xạ không gian Hilbert H vào nó,  thì:    su p   x , x    x 1 Định nghĩa 1.2.9 Cho  không  gian  Hilbert  H.  Tập  K  H   gọi  là  tập  compact  yếu  trong  không  gian  H,  nếu  mọi  dãy  vô  hạn   xn   K   đều  chứa  dãy  con  hội  tụ  yếu  trong không gian H.  Định lý 1.2.6 Nếu tập K bị chặn không gian Hilbert H, thì K là tập compact yếu không gian H.  Định lý 1.2.7  Cho  H  không gian Hilbert,  K  tập con, lồi, đóng khác rỗng của  H, a(·,·) :  H  H    dạng song tuyến tính cho tồn số C   và     thỏa mãn:  a  u, v   C u v a  u, u    u u, v  H,   u  H   Khi đó, với mọi  y  H,  tồn vector  x  K cho: a  x, x ' x    y, x ' x  x '     Phạm Thị Diến K34D SP Toán   - 19 -                 Khóa luận tốt nghiệp  Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm Chương ĐỊNH LÝ RIESZ VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG 2.1 Định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính không gian Hilbert Định lý 2.1 (Định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên  tục trong không gian Hilbert) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian Hilbert biểu diễn dạng:             f  x   x, a , x  H                                            (2.1)  đó, phần tử  a  H xác định phiếm hàm  f  và:                        f  a (2.2) Chứng minh: Giả sử  a là phần tử cố định tùy ý thuộc không gian H. Nhờ các tính chất  của tích vô hướng và bất đẳng thức Schwarz, công thức:  f  x   x, a ,xH  xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian H.  Bây giờ giả sử  f  là phiếm hàm tuyến tính liên tục bất kì trên H. Kí hiệu:      x   : f  x   0   Ta  thấy  H   là  không  gian  tuyến  tính  con  của  không  gian  H,  vì  x, y  H , a, b  P  ta có:  f ( ax  by )  af  x   bf  y    ax  by  H   Đồng thời H0 là một tập con đóng trong H. Thật vậy, nếu dãy điểm   xn      hội tụ tới điểm  x  H, thì nhờ tính liên tục của phiếm hàm  f  ta có:  Phạm Thị Diến K34D SP Toán   - 20 -                 Khóa luận tốt nghiệp  Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm f  x   lim f  xn    x  f  x   lim f  xn     n  n do đó H0 là một không gian con của không gian H.  Nếu  H  H,  chọn phần tử  a   , ta nhận được biểu diễn (2.1):  f  x   x,  , x  H   Giả sử  H  H,  nhờ định lý về hình chiếu lên không gian con, tồn tại phần tử  x0  H   H , do đó   x0   và  f  x0   Với mỗi phần tử  x  H ta đặt:   y  xf  x0   x0 f  x  ,  thì:  f  y   f  x0  f  x   f  x  f  x0    y     từ đó suy ra:   y, x0  f  x0  x, x0  f  x  x0 , x0    f  x  f ( x0 ) f ( x0 ) x0  x, a ,  trong đó  a  x0  H   x0 , x0 x0 , x0 Do đó phiếm hàm  f  có dạng (2.1).  Giả sử phiếm hàm  f  có hai cách biểu diễn:   f  x   x, a  x, a '  x, a  a '  , xH   x  H   a  a ',  nghĩa là phần tử  a  trong biểu diễn (2.1)  được xác định một cách duy nhất bởi phiếm hàm   f   Cuối cùng ta chứng minh  hệ thức (2.2). Nhờ bất đẳng thức Schwarz ta  có:   f  x   x, a  x a , x    f  a   Mặt khác,  f  a   a, a  a  a  f  a   Vì vậy,  f  a   Phạm Thị Diến K34D SP Toán   - 21 -                 Khóa luận tốt nghiệp  Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm Định lý được chứng minh.                                                                               Nhận xét: Từ định lý Riesz ta có mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục  f  trên  không gian Hilbert H tương ứng một đối một với phần tử  a  H Tương ứng  này vừa tuyến tính, vừa đẳng cự. Vì vậy, ta có thể đồng nhất mỗi phiếm hàm  f  H*  với phần tử  a  H,  nghĩa là  H*  H,  nói  một cách khác, không gian  Hilbert H là tự liên hợp.  2.2 Định lý Lax - Milgram Định lý 2.2.1   Với    là hàm song tuyến trên E, và với    là dạng toàn phương tương ứng với   Khi đó:     4  x, y     x  y     x  y   i  x  iy   i  x  iy  x, y  E (2.1)  Chứng minh:        Với   ,   bất kì, ta có:                       x   y     x   y, x   y    2                  x      x, y     y, x      y                     Sử dụng kết quả này tương tự cho      1,    và    1,    và    i ,     và    i  ta được:    x  y     x     x, y     y , x     y  ,                             x  y     x     x, y     y, x     y  ,                           i  x  iy   i  x     x, y     y, x   i  y  ,                        i  x  iy   i  x     x, y     y, x   i  y    Bổ sung tương tự ta được (2.1)  Hệ 2.2 Phạm Thị Diến K34D SP Toán   - 22 -                 Khóa luận tốt nghiệp  Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm Với  1  và  2  là các hàm song tuyến tính trên E. Nếu   1  x, x     x, x  x  E mà  1     thì  1  x, y   2  x, y  ,  x, y  E   Tương tự, nếu A và B là các toán tử trên E mà  x, x  x, x , x  E , thì  A  B   Chứng minh:   Nếu  1  x, x     x, x  ,  x  E thì các dạng toàn phương  1  và    tương  ứng với  1  và  2 , theo tứ tự đó, bằng nhau, và do đó từ (2.1), các hàm  1  và  2   là  bằng  nhau.  Chứng  minh  cho  các  toán  tử  ta  nhận  được:  1  x, y   x, y  và    x, y   x, y   Định lý 2.2.2 Một hàm song tuyến   E  đối xứng dạng toàn phương tương ứng    thực.  Chứng minh: Nếu    x, y     y, x    x, y  E  Khi đó:    x     x, x     x, x     x  x  E   và do đó    thực.  Bây giờ giả sử    x     x  x  E     Định nghĩa một hàm song tuyến tính   trên E bởi   x, y     y, x        Khi đó cho dạng toàn phương tương ứng  ta có:    x     x, x     x     x    Do đó,    x, y     x, y  x, y  E     Phạm Thị Diến K34D SP Toán   - 23 -                 Khóa luận tốt nghiệp  Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm Hiển nhiên giá trị trung bình ở đây là    x, y     y, x  x, y  E         Định lý 2.2.3 Một hàm song tuyến tính    trên không gian định chuẩn E bị chặn dạng toàn phương tương ứng    bị chặn. Hơn nữa, ta có:                                                                       (2.2)  Chứng minh:    Từ     su p   x   su p   x , x   su p   x , y    ,  x 1 x 1 x  y 1 nếu   bị chặn thì    bị chặn và bất đẳng thức đầu được chứng minh.  Bây giờ ta giả sử rằng    bị chặn, thấy rằng từ (2.1), ta có:    x, y      x  y     x  y   i  x  iy   i  x  iy      x y 2  x  y  x  iy  x  iy    Do đó, theo quy tắc hình bình hành:    x, y    x  y    Vì vậy,               s u p   x , y   s u p x  y 1 x  y 1  x  y     Do đó, nếu    bị chặn thì   bị chặn và bất đẳng thức thứ hai của (2.2) được  chứng minh.  Định lý 2.2.4 Với    là một hàm song tuyến tính không gian định chuẩn E và với   là dạng toàn phương tương ứng Nếu    đối xứng bị chặn thì       Phạm Thị Diến K34D SP Toán   - 24 -                 Khóa luận tốt nghiệp  Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm Chứng minh: Theo định lý 2.2.3,      Ta có thể thấy bất đẳng thức đảo đúng. Từ    đối xứng,    thực, do định lý 2.2.2. Do đó, từ định lý 2.1.1 ta có:  Re  x, y     x  y     x  y   ,  và do đó:  Re  x, y     x y   x 2  x y  y 2    ,  theo quy tắc hình bình hành. Với  x và  y là các phần tử tùy ý cho trước của E   thì  x  y  , và với    là một số thực thì     và    x, y     x, y    Khi đó:    x, y     x, y     x, y   Re   x, y      x  y      và do đó:    sup   x , y                                                      x  y 1 Định lý 2.2.5 Với A  toán tử bị chặn không gian Hilbert H.  Khi hàm tuyến tính định nghĩa bởi    x, y   x, y   bị chặn và                         Chứng minh: Cho  x, y  H,  theo bất đẳng thức Schwarzs, ta có:  Phạm Thị Diến K34D SP Toán   - 25 -                 Khóa luận tốt nghiệp  Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm   x , y    x , y   x y   x y   Do đó,   bị chặn và      Nói cách khác, ta có:  x  x, x   x, x   x x   Do đó, cho  Ax  0,  ta có:  x   x   Từ bất đẳng thức trên nếu  Ax  0,  ta được                                                         Thành ra mọi hàm tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert đều được xét ở  định lý  trên.  Chú ý rằng  sự  tồn  tại  định lý  đúng  nếu    x, y   x, y   được  thể hiện bởi    x, y   x, y    Định lý 2.2.6 Với     hàm song tuyến tính bị chặn không gian Hilbert  H.  Tồn toán tử bị chặn A trên H mà:   x, y   x, y  với mọi  x, y  H   Chứng minh: Cho  y  H  cố định,    x, y   là một hàm tuyến tính trên H. Do đó từ định  lý  Riesz  về  dạng  tổng  quát,  có  duy  nhất  một  phần  tử  Ay  H   mà    x, y   x, y   với mọi  x  H   Ta  có  thể  chứng  tỏ  rằng  sự tương  ứng  y  Ay là  một  toán  tử  bị  chặn  trên E. Thật vậy, cho bất kì  x, y1 , y2   và   ,    ta có:                                                    x ,   y1   y2     x, y1   y2         x , y1     x , y       x ,   y    y   Phạm Thị Diến K34D SP Toán   - 26 -                 Khóa luận tốt nghiệp  Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm và do đó:    y1   y2   y1  y2   Bây giờ ta thấy rằng A bị chặn. Từ    bị chặn ta có:  x, y    x, y   k x y   Với  k   và với mọi  x, y  H  Cụ thể, cho  x  y  ta được:  y  y, y    y, y   k y y   Do đó, nếu  Ay   ta được:  y  k y ,  mà kết quả tầm thường thỏa mãn nếu  Ay   Từ chứng minh này thấy rằng  A bị chặn.  Để chứng minh tính duy nhất chú ý rằng:  x, y  x, y     với mọi  x, y  H   (với ẩn ý  A  B )  Định nghĩa 2.2 (Hàm bức)  Một hàm song tuyến tính    trên một không gian định chuẩn E được gọi  là bức (hay eliptic) nếu ở đó có duy nhất một số dương  K  không đổi mà:    x, x    x         với mọi x  E   Ví dụ 2.2 Nếu  z là một hàm liên tục giá trị thực trên   0,1  mà  z  t    khi đó  t 0,1 hàm song tuyến tính    được định nghĩa trên  L2  0,1  bởi:     x, y    x  t  y  t z  t  d t   thì bức.   Phạm Thị Diến K34D SP Toán   - 27 -                 Khóa luận tốt nghiệp  Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm Thật vậy, ta có:  2   x, x    x  t  z  t  dt   x   ở đây    z  t    t 0,1 Định  lý  dưới  đây  được  chứng  minh  bởi  P.Lax  và  A.N  Milgram  năm  1954, là mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến  tính liên tục.   Định lý 2.2.7 (Định lý Lax-Milgram) Với    là hàm song tuyến tính, bị chặn, không gian Hilbert  H. Với hàm tuyến tính bị chặn  f  trên H, ở tồn nhất  x f  H mà f  x     x, x f  , x  H   Chứng minh: Từ  định  lý  2.2.6,  ở  đó  tồn  tại  duy  nhất  một  toán  tử  A  bị  chặn  mà    x, y   x, y x, y  H    Từ    bức, ta có:   x    x, x   x, x  x x ,  và do đó:   x  x , x  H             với  x1 , x2  H Nếu  Ax1   Ax2 ,  khi đó  A( x1  x2 )    và vì vậy:  x1  x2  Phạm Thị Diến K34D SP Toán     x1  x2   ,   - 28 -                 Khóa luận tốt nghiệp  Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm ở  đó  ngầm hiểu  x1  x2  Do đó,  A là  một  đối  một  (11).  Chứng  tỏ  tập A  là    A    Với   xn    là  một  dãy  liên  tục  các  phần  tử  của  H.  Nếu  xn  y    với mọi y  H  Khi đó:   xn  xm  xn  xm  ,     m, n      Do  đó   xn    là  một  dãy  Cauchy  trong  H.  Do  H  đầy,  nên  tồn  x  H mà  xn  x   Do đó  xn  x  , vì A liên tục. Vậy thì  Ax  y,  và do đó  y    A   Điều này chứng tỏ   A   là một không gian con đóng trong H. Ta  sẽ chứng minh   A   H   Giả sử   A   là một không gian con riêng của H. Khi đó tồn tại một số  x  0,  x  H,  mà nó trực giao với   A  ,  tức là:                 x, y      với mọi  y  H   Cụ thể, ta có:   x, x    x, x    x ,  Điều này mâu thuẫn với giả thiết  x                                                                                   2.3 Định lý toán tử ẩn Định lý 2.3   Với E, 1  và   là không gian Banach, giả sử    phản xạ.  (a) Ta giả sử rằng: : 2  1     toán tử tuyến tính liên hợp Khi tồn ánh xạ tuyến tính liên tục:     1 ,     Phạm Thị Diến K34D SP Toán   - 29 -                 Khóa luận tốt nghiệp  Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm                                                    a  Ta   thấy với mỗi  v  2  ta có:                                                            v Tau   v ,u  a                                   (2.3.1)                  (b) Trái lại, lấy:                                                        1 ,                                                           a  Ta                                            (2.3.2)  tuyến tính liên tục, tồn ánh xạ tuyến tính liên tục liên hợp:  : 2  1     Thấy rằng, với mỗi  v  2  ta có:                                                   v Ta u   v ,u  a                                         (2.3.3)  Chứng minh: (a) Ta thấy rằng cho a và u cố định, hàm:                                               v  2  v ,u  a                                      (2.3.4)  phi tuyến tính; hơn nữa, sự liên tục của  v ,u  và    trên    và  2  1 theo đó ta  có:                              v ,u  a   v ,u  a   C a   v ,u   C1 a  v 2 u 1     (2.3.5),  bởi thế ánh xạ (2.3.4) thuộc     , từ đó    phản xạ. Ở đó tồn tại duy nhất  w   mà:   v ,u  a   v  w  ,  từ đó phần tử  w  phụ thuộc vào a và u, đặt  Ta  u   w  ta được (2.3.1).  Ta  hiển  nhiên là một ánh xạ tuyến tính, sự liên tục của nó thấy từ (2.3.1) và (2.3.5); đó  là:   Phạm Thị Diến K34D SP Toán   - 30 -                 Khóa luận tốt nghiệp  Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm Ta  1 ,   C1 a    (b) Từ  (2.3.3)  ta  trực  tiếp  suy  ra     là  tuyến  tính  trong  v  và  phi  tuyến  tính  trong u và a. Hơn nữa từ tính liên tục của v trong   ,  Ta  trên  1  và (2.3.2)  trên    ta nhận được:  v ,u  a   v Tau   C v 2 Tau 2  C1 v 2 a  u 1   Bởi thế, với mỗi u cố định thuộc  1 ;  v  2  ta có  v ,u   và:              v ,u   C1 v  2 u 1   điều đó chứng tỏ    tồn tại.                                                                                  Phạm Thị Diến K34D SP Toán   - 31 -                 Khóa luận tốt nghiệp  Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm KẾT LUẬN Như  đã  nói  trong  phần  mở  đầu,  mục  đích  của  khóa luận này  là  nghiên  cứu một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm. Để  thực hiện được nhiệm vụ đó cần nắm vững các kiến thức về không gian định  chuẩn,  không  gian  Banach,  không  gian  Hilbert,…Ngoài  ra,  trong  khóa  luận  còn trình bày một số hệ quả, nhận xét, để thấy được những mở rộng của định  lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm. Đó cũng chính là nội dung chính  của khóa luận, được trình bày ở chương 2.  Mặc dù em đã hết sức cố gắng, song do khả năng và kiến thức còn hạn  chế nên bài khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận  được những ý kiến đóng góp của thầy cô và bạn đọc.  Em xin chân thành cảm ơn!                            Phạm Thị Diến K34D SP Toán Khóa luận tốt nghiệp  Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]  Nguyễn  Phụ  Hy  (2005),  Giải tích hàm,  Nhà  xuất  bản  Khoa  học  và  Kĩ  thuật, Hà Nội.  [2] Nguyễn Xuân Liêm (1994), Giải tích hàm, NXB Giáo dục.  [3] Hoàng Tụy (2002), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia  Hà Nội.   [4]  Lokenath  Debnath  (2005),  “Hilbert Spaces with Applications”,  ELSEVIER ACADEMIC PRESS.  [5]  Paolo  Boggiatto,  Giuseppe  De  Donno,  Alessandro  Oliaro  (2007), “A Unified Point of View on Time – Frequency Representations and Pseudo – Differential Operators”, Fields Institute Communications, pp. 383 - 399.                    Phạm Thị Diến K34D SP Toán Khóa luận tốt nghiệp  [...]... nghiệp  Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm Chương 2 ĐỊNH LÝ RIESZ VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG 2.1 Định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính trong không gian Hilbert Định lý 2.1 (Định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên  tục trong không gian Hilbert) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng: ... nghiệp  Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm Thật vậy, ta có:  1 2 2   x, x    x  t  z  t  dt   x   0 ở đây    min z  t    t 0,1 Định lý dưới  đây  được  chứng  minh  bởi  P.Lax  và  A.N  Milgram  năm  1954, là mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến  tính liên tục.   Định lý 2.2.7 (Định lý Lax-Milgram) Với    là một hàm song... nghiên  cứu một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm.  Để  thực hiện được nhiệm vụ đó cần nắm vững các kiến thức về không gian định chuẩn,  không  gian  Banach,  không  gian  Hilbert,…Ngoài  ra,  trong  khóa  luận  còn trình bày một số hệ quả, nhận xét, để thấy được những mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm.  Đó cũng chính là nội dung chính  của khóa luận, được trình bày ở chương 2. ... nghiệp  Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm Định lý được chứng minh.                                                                               Nhận xét: Từ định lý Riesz ta có mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục  f  trên  không gian Hilbert H tương ứng một đối một với phần tử  a  H Tương ứng  này vừa tuyến tính, vừa đẳng cự. Vì vậy, ta có thể đồng nhất mỗi phiếm hàm f...       Chuẩn của một dạng toàn phương bị chặn được định nghĩa bởi:     sup   x    x 1 Phạm Thị Diến K34D SP Toán   - 17 -                 Khóa luận tốt nghiệp  Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm Chú ý rằng một dạng toàn phương bị chặn    trên một không gian định 2 chuẩn  ta  có    x    x   Một hàm song  tuyến  tính  và  một dạng toàn  phương tương ứng có tính chất tương tự với một tích vô hướng .. .Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm Cho  A  là  toán  tử  tuyến  tính  bị  chặn  từ  không  gian  định chuẩn  X  vào  không gian định chuẩn Y. Chuẩn của toán tử A, kí hiệu là   , được xác định bởi:     inf C  0  x  C x ,  x      Định lý 1.1.2 (Tính chuẩn của toán tử)  Cho toán tử tuyến tính A  từ không gian định chuẩn  X  vào không gian định chuẩn Y... bị chặn và bất đẳng thức thứ hai của (2.2) được  chứng minh.  Định lý 2.2.4 Với    là một hàm song tuyến tính trên không gian định chuẩn E và với   là dạng toàn phương tương ứng Nếu    đối xứng và bị chặn thì       Phạm Thị Diến K34D SP Toán   - 24 -                 Khóa luận tốt nghiệp  Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm Chứng minh: Theo định lý 2.2.3,      Ta có thể thấy bất đẳng thức đảo đúng. Từ ... 13 -                 Khóa luận tốt nghiệp  Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm Định lý 1.1.7 Cho không gian định chuẩn    Dãy điểm   xn   X  hội tụ yếu tới điểm  x    khi và chỉ khi  f  xn   f  x   với mọi  f     Định lý 1.1.8 Cho không gian định chuẩn    Nếu dãy điểm   xn   X   hội tụ yếu thì dãy đó bị chặn Định lý 1.1.9 Dãy   f n   *  hội tụ yếu tới ...                     2.3 Định lý về toán tử ẩn Định lý 2.3   Với E, 1  và  2  là các không gian Banach, ở đó giả sử   2  phản xạ.  (a) Ta giả sử rằng: : 2  1     là một toán tử tuyến tính liên hợp Khi đó tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục:     1 ,  2    Phạm Thị Diến K34D SP Toán   - 29 -                 Khóa luận tốt nghiệp  Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm                                                   ... 15 -                 Khóa luận tốt nghiệp  Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm 1)   là không gian tiền Hilbert;  2)   là không gian Banach với chuẩn  x   x, x  , x    Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert    là  không gian Hilbert con của không gian     Định nghĩa 1.2.4  (Hàm song tuyến tính) Một hàm   được gọi là hàm song tuyến tính trên không gian phức E, với  ... nghiệp  Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm Chương ĐỊNH LÝ RIESZ VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG 2.1 Định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính không gian Hilbert Định lý 2.1 (Định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên ... Giải tích hàm,  em đã chọn đề tài  Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm . Khóa luận này nghiên cứu về những mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm,  ... nghiệp  Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm KẾT LUẬN Như  đã  nói  trong  phần  mở đầu,  mục  đích  của khóa luận này  là  nghiên  cứu một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm.  Để