Một số mở rộng của định lý riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm

LỜI CAM ĐOAN Dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường khóa luận tốt nghiệp Đại học chuyên ngành Toán Giải tích của tôi với đề tài “Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát

KHOA: TOÁN  

  

PHẠM THỊ DIẾN  

 

 

MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ  RIESZ VỀ DẠNG TỔNG QUÁT CỦA 

 

   

 

Hà Nội, 2012 

LỜI CẢM ƠN

Trước  khi  trình  bày  nội  dung  chính  của  khóa  luận,  tôi  xin  bày  tỏ  lòng 

biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Bùi Kiên Cường người đã định hướng chọn đề tài 

và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóa luận này. 

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô trong khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. 

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành khóa luận. 

       Hà Nội, ngày 12 tháng 5 năm 2012    

LỜI CAM ĐOAN

Dưới  sự  hướng  dẫn  của  Tiến  sĩ  Bùi  Kiên  Cường  khóa  luận  tốt  nghiệp Đại học chuyên ngành Toán Giải tích của tôi với đề tài “Một số mở rộng của định  lý  Riesz  về  dạng  tổng  quát  của  phiếm  hàm”  được  trình  bày  hoàn  toàn dưới sự nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ khóa luận nào khác. Trong  quá  trình  nghiên  cứu  thực  hiện  khóa  luận,  tác  giả  đã  kế  thừa những thành tựu của các nhà khoa học với lòng trân trọng và biết ơn sâu sắc. Một số kết quả tác giả đã đưa ra dựa trên những thành tựu khoa học này.  

      Hà Nội, ngày 12 tháng 5 năm 2012  

MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU

BẢNG KÍ HIỆU

BẢNG CHỮ HY LẠP PHIÊN ÂM RA TIẾNG VIỆT

Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian định chuẩn, không gian Banach 8 1.2 Không gian Hilbert 14

Chương 2: ĐỊNH LÝ RIESZ VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG

2.1. Định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính trong không gian Hilbert 20 2.2. Định lý Lax - Milgram 22 2.3 Định lý về toán tử ẩn 29

LỜI MỞ ĐẦU

Giải  tích  hàm  là  một  ngành  của  giải  tích  toán  học  nghiên  cứu  về  các không gian vectơ được trang bị thêm các cấu trúc tôpô và các toán tử tuyến tính liên tục giữa chúng. Ra đời từ đầu thế kỉ 20 đến nay Giải tích hàm đã đạt được những thành tựu quan trọng và trở thành chuẩn  mực trong việc nghiên cứu  và  trình  bày  các  kiến  thức  toán  học.  Giải  tích  hàm  đã  được  đưa  vào chương trình Đại học như một phần bắt buộc, tuy thế với lượng thời gian có hạn chúng ta khó có thể nghiên cứu sâu vào một vấn đề nào đó, bên cạnh đó nội  dung  của  Giải  tích  hàm  rất  phong  phú  như:  không  gian  vectơ  lồi  địa phương (không gian định chuẩn, không gian Hilbert, không gian Banach,…), các toán tử tuyến tính liên tục giữa các không gian,… 

Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu sắc về Giải tích hàm, em đã chọn đề tài “Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm”. Khóa luận này nghiên cứu về những mở rộng của định  lý  Riesz  về  dạng  tổng  quát  của  phiếm  hàm,  cụ  thể  là  định  lý  Lax-Milgram và định lý về toán tử ẩn. 

Nội dung khóa luận bao gồm: 

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. 

Chương  này  đưa  ra  các  kiến  thức  cơ  bản  về  không  gian  định  chuẩn,  không gian Banach, không gian Hilbert, toán tử tuyến tính liên tục, không gian tuyến tính liên tục, không gian đối ngẫu. 

Chương  2:  Một  số  mở  rộng  của  định  lý  Riesz  về  dạng  tổng  quát  của phiếm hàm. 

Do lần đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, thời gian có hạn và trình độ còn non trẻ nên các vấn đề được trình bày trong bài không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của thầy cô 

BẢNG CHỮ HY LẠP PHIÊN ÂM RA TIẾNG VIỆT

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

  Chương  này,  ta  trình  bày  một  số  kiến  thức  cơ  bản  về:  không  gian  định chuẩn,  không  gian  Hilbert,  không  gian  Banach,  toán  tử  tuyến  tính  liên  tục, phiếm hàm tuyến tính liên tục, không gian đối ngẫu sẽ được sử dụng trong các phần sau. 

1.1 Không gian định chuẩn, không gian Banach

Định nghĩa 1.1.1

Không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường   cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực  , 

kí hiệu là   và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiền đề sau đây: 

1)   x  x 0, x  0 x (kí hiệu phần tử không là ); 

2)     x    x   x ; 

3) x y,   xy  x  y  

Số  x gọi  là  chuẩn  của  vector  x.  Ta  kí  hiệu  không  gian  định  chuẩn  là 

 , . Nếu trên    chỉ trang bị một chuẩn ta có thể kí hiệu là    Các tiên 

Không  gian  định  chuẩn     gọi  là  không  gian  Banach,  nếu  mọi  dãy  cơ bản trong    đều hội tụ. 

1) x x, '   xx'   x x'; 

2)     x     x    x

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi toán tử A chỉ thỏa  mãn  điều  kiện  1)  thì  toán  tử  A  gọi  là  cộng  tính,  còn  khi  toán  tử  A  chỉ thỏa mãn điều kiện 2) thì A gọi là toán tử thuần nhất. Khi  Y   thì toán tử tuyến tính A thường gọi là phiếm hàm tuyến tính. 

Định nghĩa 1.1.5

Cho hai không gian định chuẩn X và Y. Toán tử tuyến tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng số C  sao cho: 0

,

Định nghĩa 1.1.6

Cho  A  là  toán  tử  tuyến  tính  bị  chặn  từ  không  gian  định  chuẩn  X  vào không gian định chuẩn Y. Chuẩn của toán tử A, kí hiệu là   , được xác định bởi:  

Ta đưa vào , Y hai phép toán:  

Tổng của hai toán tử A, B thuộc , Y là toán tử, kí hiệu     , xác định bằng hệ thức: 

   x       x x, x  Tích của vô hướng   với toán tử    , Y là toán tử, kí hiệu là A

Cho  không  gian  định  chuẩn   ,    là  không  gian  liên  hợp  của  không *

gian    Với mỗi  x    ta xét họ x tất cả các tập con của không gian    có dạng: 

Cho không gian định chuẩn    Dãy  x n X gọi là hội tụ yếu tới phần 

tử  x   ,  nếu  với  mọi  lân  cận  yếu  U  của  x , tìm  được  số  nguyên  dương  n0 sao cho với mọi nn0 thì x  n U, kí hiệu: 

x yeáu x n   

Định lý 1.1.7

Cho không gian định chuẩn    Dãy điểm  x n X hội tụ yếu tới điểm 

x    khi và chỉ khi  f x n  f x  với mọi  f    

Cho  không  gian  tuyến  tính  X  trên  trường  số  thực    Ta  gọi  là  tích  vô 

hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes  X X  vào  , kí hiệu 

 , , thỏa mãn các tiên đề: 

1) x y,  y x,   x y, ; 

2)  x y z, ,  xy z,   x z,   y z, ; 

3)  x y,      x y, x y, ; 

1)   là không gian tiền Hilbert; 

2)   là không gian Banach với chuẩn  x  x x, ,x . 

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert    là không gian Hilbert con của không gian    

 bị chặn. Tương tự nếu  f  và  g  trong ví dụ 1.2.3 bị chặn, khi đó hàm song 

tuyến tính được định nghĩa bị chặn. Chú ý rằng  một hàm song tuyến tính bị chặn  trên E ta có: 

Cho  A  là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert  X  vào

không gian Hilbert Y. Khi đó, tồn tại toán tử  A  liên hợp với toán tử A ánh *

xạ không gian Y vào không gian X. 

Định lý 1.2.4

Cho  A  là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert  X  vào

không gian Hilbert Y. Khi đó, toán tử liên hợp A* với toán tử A cũng là toán

tử tuyến tính bị chặn và  A*  A

Định nghĩa 1.2.8

Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert H vào chính nó 

gọi là tự liên hợp, nếu: 

Định lý 1.2.6

Nếu tập K bị chặn trong không gian Hilbert H, thì K là tập compact yếu trong không gian H. 

Định lý 1.2.7 

Cho  H  là không gian Hilbert,  K  là tập con, lồi, đóng khác rỗng của 

H, (·,·) :  H Ha     là một dạng song tuyến tính sao cho tồn tại hằng số

Chương 2

ĐỊNH LÝ RIESZ VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG 2.1 Định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính trong không gian Hilbert

0 H

x   H0, do đó  x0 và  f x 0 0. Với mỗi phần tử  x H ta đặt:  

y  xf x x f x , thì: 

Cuối cùng  ta  chứng  minh  hệ thức  (2.2). Nhờ  bất  đẳng thức  Schwarz  ta có:  

f x  x a  x a    x f  a  Mặt khác, 

  ,

f a  a a  a  a  f  a  

Vì vậy,  f  a  

1 x x, 2 x x, x E

    mà 12 thì 1x y, 2x y, , x y, E. 

   là  bằng  nhau.  Chứng  minh  cho  các  toán  tử  ta  nhận  được: 

Với  là một hàm song tuyến tính trên không gian định chuẩn E và với

  là dạng toàn phương tương ứng Nếu  đối xứng và bị chặn thì      

Với A  là một toán tử bị chặn trên không gian Hilbert H.  Khi đó hàm

tuyến tính được định nghĩa bởi  x y,  x y,   bị chặn và       



   

Chứng minh:

Cho x y, H, theo bất đẳng thức Schwarzs, ta có: 

định  lý  trên.  Chú  ý  rằng  sự  tồn  tại  định  lý  đúng  nếu x y,  x y,   được 

thể hiện bởi x y,  x,y   

Định lý 2.2.6

Với   là một hàm song tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert  H. 

Tồn tại duy nhất một toán tử bị chặn A trên H mà:

x y x t y t z t d t

thì bức.  

Định lý 2.2.7 (Định lý Lax-Milgram)

Với  là một hàm song tuyến tính, bị chặn, bức trên không gian Hilbert 

H. Với mỗi hàm tuyến tính bị chặn  f  trên H, ở đó tồn tại duy nhất  x  f H mà

ở  đó  ngầm  hiểu  x1x2.  Do  đó,  A  là  một  đối  một  (11).  Chứng  tỏ  tập  A  là 

 A   Với  x n   là  một  dãy  liên  tục  các  phần  tử  của  H.  Nếu  x n y 0 

 1, 2  1

a

     (b) Từ  (2.3.3)  ta  trực  tiếp  suy  ra   là  tuyến  tính  trong  v  và  phi  tuyến  tính  trong  u và  a. Hơn  nữa từ tính  liên tục  của  v trong 2, T  trên  a 1  và (2.3.2) trên    ta nhận được: 

KẾT LUẬN

Như  đã  nói  trong  phần  mở  đầu,  mục  đích  của  khóa  luận  này  là  nghiên cứu một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm. Để thực hiện được nhiệm vụ đó cần nắm vững các kiến thức về không gian định chuẩn,  không  gian  Banach,  không  gian  Hilbert,…Ngoài  ra,  trong  khóa  luận còn trình bày một số hệ quả, nhận xét, để thấy được những mở rộng của định 

lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm. Đó cũng chính là nội dung chính của khóa luận, được trình bày ở chương 2. 

Mặc dù em đã hết sức cố gắng, song do khả năng và kiến thức còn hạn chế nên bài khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất  mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy cô và bạn đọc. 

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]  Nguyễn  Phụ  Hy  (2005),  Giải tích hàm,  Nhà  xuất  bản  Khoa  học  và  Kĩ