Một số mở rộng của định lý riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA: TOÁN PHẠM THỊ DIẾN MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ RIESZ VỀ DẠNG TỔNG QUÁT CỦA PHIẾM HÀM KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học TIẾN SĨ BÙI KIÊN CƯỜNG Hà Nội, 2012 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Bùi Kiên Cường người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành khóa luận Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn thầy khoa Tốn trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tơi suốt q trình học tập Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập hồn thành khóa luận Hà Nội, ngày 12 tháng năm 2012 Phạm Thị Diến LỜI CAM ĐOAN Dưới hướng dẫn Tiến sĩ Bùi Kiên Cường khóa luận tốt nghiệp Đại học chun ngành Tốn Giải tích với đề tài “Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm” trình bày hồn tồn nhận thức thân, khơng trùng với khóa luận khác Trong q trình nghiên cứu thực khóa luận, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với lòng trân trọng biết ơn sâu sắc Một số kết tác giả đưa dựa thành tựu khoa học Hà Nội, ngày 12 tháng năm 2012 Phạm Thị Diến MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU BẢNG KÍ HIỆU BẢNG CHỮ HY LẠP PHIÊN ÂM RA TIẾNG VIỆT Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian định chuẩn, không gian Banach 1.2 Không gian Hilbert .14 Chương 2: ĐỊNH LÝ RIESZ VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG 2.1 Định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính khơng gian Hilbert 20 2.2 Định lý Lax - Milgram 22 2.3 Định lý toán tử ẩn 29 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm LỜI MỞ ĐẦU Giải tích hàm ngành giải tích tốn học nghiên cứu không gian vectơ trang bị thêm cấu trúc tơpơ tốn tử tuyến tính liên tục chúng Ra đời từ đầu kỉ 20 đến Giải tích hàm đạt thành tựu quan trọng trở thành chuẩn mực việc nghiên cứu trình bày kiến thức tốn học Giải tích hàm đưa vào chương trình Đại học phần bắt buộc, với lượng thời gian có hạn khó nghiên cứu sâu vào vấn đề đó, bên cạnh nội dung Giải tích hàm phong phú như: không gian vectơ lồi địa phương (không gian định chuẩn, khơng gian Hilbert, khơng gian Banach,…), tốn tử tuyến tính liên tục khơng gian,… Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu sắc Giải tích hàm, em chọn đề tài “Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm” Khóa luận nghiên cứu mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm, cụ thể định lý LaxMilgram định lý toán tử ẩn Nội dung khóa luận bao gồm: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương đưa kiến thức không gian định chuẩn, không gian Banach, khơng gian Hilbert, tốn tử tuyến tính liên tục, khơng gian tuyến tính liên tục, khơng gian đối ngẫu Chương 2: Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm Phạm Thị Diến K34D SP Tốn - 5- Khóa luận tốt nghiệp Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm Phạm Thị Diến K34D SP Tốn - 6- Khóa luận tốt nghiệp Chương đưa số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm, cụ thể định lý Lax-Milgram định lý toán tử ẩn Do lần đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, thời gian có hạn trình độ non trẻ nên vấn đề trình bày khơng tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn đọc để khóa luận hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! BẢNG KÍ HIỆU □ đường thẳng thực □n không gian Euclid n – chiều f:Χ → Y ánh xạ từ X vào Y chuẩn không gian V V inf f cận ánh xạ f sup f cận ánh xạ f f giá trị nhỏ ánh xạ f max f giá trị lớn ánh xạ f ker f hạt nhân, hạch ánh xạ f ( x, y) tích vơ hướng hai nhân tử x y chứng minh hoàn thành lý Riesz dạng tổng quát, có phần tử ϕ ( x, x, y) = Α y Ay ∈H mà với x ∈H Ta chứng tỏ tương ứng y toán tử bị chặn → Ay E Thật vậy, cho x, y , y ∈Η α , β ∈□ ta có: x, Α (α y1 = + β y2 ) = ) ϕ ( x,α y1 + β y2 ) αϕ ( x, y1 ) + βϕ ( x, y = x , α Α y1 + β Α y Α ( α y1 + đó: + βΑy2 β y2 ) = αΑy1 Bây ta thấy A bị chặn Từ ϕ bị chặn ta có: x, Αy = ϕ Với k > với Do đó, Ay ≠0 ( x, y ) ≤ k x y x, y ∈ H Cụ thể, cho ta được: x = Αy = Αy = Αy, Αy ϕ (Αy, ) ≤k ta được: Αyy y Αy ≤ k y , mà kết tầm thường thỏa mãn Ay = Từ chứng minh thấy A bị chặn Để chứng minh tính ý rằng: (với ẩn ý A = B) x, Αy = x, Β y với x, y ∈ H Định nghĩa 2.2 (Hàm bức) Một hàm song tuyến tính ϕ khơng gian định chuẩn E gọi (hay eliptic) có số dương K không đổi mà: ϕ ( x, Ví dụ 2.2 với x ∈E x) ≥ Κ x Nếu z hàm liên tục giá trị thực [0,1] mà z (t > t∈[0,1] ) hàm song tuyến tính ϕ định nghĩa L ([0,1]) bởi: ϕ (x,y)= ∫ x (t ) y (t )z (t ) dt Thật vậy, ta có: ϕ ( x, x) = ∫ x (t ) z (t )dt ≥ Κ x Κ = z ( t ) t∈[0,1] Định lý chứng minh P.Lax A.N Milgram năm 1954, mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục Định lý 2.2.7 (Định lý Lax-Milgram) Với ϕ hàm song tuyến tính, bị chặn, khơng gian Hilbert H Với hàm tuyến tính bị chặn f H, tồn x ∈H f mà ∀x ∈H f ( x) = ϕ ( x, x ), Chứng minh: f Từ định lý 2.2.6, tồn tốn tử A bị chặn mà ϕ ( x, x, y) = Α y Từ ϕ bức, ta có: ∀x, y ∈H Κ2 x ≤ đó: ϕ ( x, x ) = Κ x ≤ Αx x, ≤ Αx x , Α x ,∀x ∈H với x , x ∈ H Nếu Ax =Ax , A(x − x ) = 1 12 ≤ vậy: Α x − x = 0, x − x Κ ( ) ngầm hiểu x = Do đó, A đối (1−1) Chứng tỏ tập A x2 Ρ ( A ) Với xn ) ( dãy liên tục phần tử H Nếu Αxn − y → với y ∈H Khi đó: x − x n Do ) ( xn − ≤ Αx m n Α→ m, n → ∞ x 0, m Κ dãy Cauchy H Do H đầy, nên tồn x ∈ H mà xn − → x Do Αxn − Αx → , A liên tục Vậy Ax = y, y ∈Ρ ( A ) Điều chứng tỏ Ρ( A ) khơng gian đóng H Ta chứng minh Ρ ( A ) = H Giả sử Ρ( A ) x ≠ 0, x ∈H, Cụ thể, ta có: khơng gian riêng H Khi tồn số mà trực giao với Ρ ( A ) , tức là: x, Αy = 0 =x, Αx = với y ∈ H Điều mâu thuẫn với giả thiết x ≠ 2.3 Định lý toán tử ẩn ϕ ( x, x ) ≥ Κ x , Định lý 2.3 Với E, Ε1 khơng gian Banach, giả sử phản xạ Ε2 Ε2 (a) Ta giả sử rằng: ∗ ∗ ∗ ϕ : Ε × Ε1 → Ε tốn tử tuyến tính liên hợp Khi tồn ánh xạ tuyến tính liên tục: Ε → Β( Ε ,Ε2 ) a  Ta thấy với v ∗ ∈Ε ta có: v (Tau ) = ϕv,u ( a ) (2.3.1) (b) Trái lại, lấy: Ε → Β( Ε ,Ε2 ) a  Ta (2.3.2) tuyến tính liên tục, tồn ánh xạ tuyến tính liên tục liên hợp: ∗ ∗ ∗ ϕ : Ε × Ε1 → Ε Thấy rằng, với v ∗ ∈Ε ta có: (2.3.3) v (Tau ) = ϕv,u ( a ) Chứng minh: (a) Ta thấy cho a u cố định, hàm: v ∈Ε → ϕv,u ( a ) ∈□ ∗ phi tuyến tính; nữa, liên tục ϕ Ε ϕv,u (2.3.4) ∗ Ε × Ε th eo ta có: v,u  a  = ϕv,u (a) ≤ C a ϕ Ε v,u ∗ uΕ ≤ a Ε C Ε v (2.3.5), Ε ∗ ∗ ánh xạ (2.3.4) thuộc Ε phản xạ Ở tồn = Ε2 , từ Ε2 w Ε mà: ∈ Phạm Thị Diến K34D SP Tốn - 57 - Khóa luận tốt nghiệp ϕv,u ( a ) = v ( w ) , từ phần tử w phụ thuộc vào a u, đặt Ta (u )=w ta (2.3.1) Ta hiển nhiên ánh xạ tuyến tính, liên tục thấy từ (2.3.1) (2.3.5); là: Phạm Thị Diến K34D SP Tốn - 58 - Khóa luận tốt nghiệp T a Β(Ε ,Ε ) ≤ C1 a Ε (b) Từ (2.3.3) ta trực tiếp suy ϕ tuyến tính v phi tuyến tính u a Hơn từ tính liên tục v Ε ta nhận được: ϕv,u ( a ) = v (Tau ) ≤ C v Ε∗ T au Ε Ε , Ε1 Ta (2.3.2) ≤ C1 v Ε∗ Bởi thế, với u cố định thuộc Ε ; ta có ∗ v ∈Ε ϕv,u ∗ Ε điều chứng tỏ ϕ tồn ≤1 vΕ C u Ε aΕ uΕ ϕ ∈Ε∗ và: v, KẾT LUẬN Như nói phần mở đầu, mục đích khóa luận nghiên cứu số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm Để thực nhiệm vụ cần nắm vững kiến thức không gian định chuẩn, khơng gian Banach, khơng gian Hilbert,…Ngồi ra, khóa luận trình bày số hệ quả, nhận xét, để thấy mở rộng định lý Riesz dạng tổng qt phiếm hàm Đó nội dung khóa luận, trình bày chương Mặc dù em cố gắng, song khả kiến thức hạn chế nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn! Phạm Thị Diến K34D SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Phạm Thị Diến K34D SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, Nhà xuất Khoa học Kĩ thuật, Hà Nội [2] Nguyễn Xuân Liêm (1994), Giải tích hàm, NXB Giáo dục [3] Hồng Tụy (2002), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Lokenath Debnath (2005), “Hilbert Spaces with Applications”, ELSEVIER ACADEMIC PRESS [5] Paolo Boggiatto, Giuseppe De Donno, Alessandro Oliaro (2007), “A Unified Point of View on Time – Frequency Representations and Pseudo – Differential Operators”, Fields Institute Communications, pp 383 - 399 ... Giải tích hàm, em chọn đề tài Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm Khóa luận nghiên cứu mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm, cụ thể định lý LaxMilgram định lý toán... đối ngẫu Chương 2: Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm Phạm Thị Diến K34D SP Tốn - 5- Khóa luận tốt nghiệp Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm Phạm Thị Diến... 20 2.2 Định lý Lax - Milgram 22 2.3 Định lý toán tử ẩn 29 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO Một số mở rộng định lý Riesz dạng tổng quát phiếm hàm LỜI MỞ ĐẦU Giải tích hàm ngành