Tính gần đúng phiếm hàm tuyến tính tích phân

Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tôi xin chân thành cảm ơn thầy, nhà khoa học giảng dạy chun ngành Tốn Giải tích, thầy phòng Sau Đại học, Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội động viên, khích lệ tơi suốt trình học tập thực đề tài Đặc biệt xin cảm ơn TS Nguyễn Văn Khải trực tiếp hướng dẫn suốt trình nghiên cứu hồn chỉnh đề tài Tơi xin cảm ơn bạn học viên lớp K12 Toán Giải tích, bạn bè, đồng nghiệp có đóng góp quý báu suốt trình viết luận văn Hà Nội, tháng năm 2010 Tác giả Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu khoa học riêng hướng dẫn trực tiếp TS Nguyễn Văn Khải Trong suốt trình nghiên cứu luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2010 Tác giả Mục lục Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach 1.1.1 Không gian Metric 1.1.2 Không gian Banach 1.1.3 Tốn tử tuyến tính khơng gian Banach 12 1.1.4 Một số hình thức hội tụ 17 1.1.5 Một số định lý 23 1.2 Không gian Hilbert 1.2.1 Một số khái niệm 1.2.2 Tốn tử tuyến tính 29 29 34 1.3 Hội tụ yếu hệ đa thức trực giao 37 1.3.1 Một số khái niệm hội tụ yếu 37 1.3.2 Một số vấn đề đa thức trực giao 41 Chương Tính gần phiếm hàm tích phân xác định 2.1 Một số cơng thức tính gần tích phân I 44 44 2.1.1 Cơng thức hình thang 44 2.1.2 Công thức Parabol 47 2.1.3 Công thức Newton – Cotes 50 2.1.4 Công thức Chebyshe 54 2.1.5 Công thức Gauss – Jacobi 56 2.2 Sự hội tụ q trình tính gần tích phân 58 2.2.1 Bài tốn 58 2.2.2 Định lý Polya hội tụ trình 59 tính gần tích phân xác định 2.2.3 Sự khơng tồn cơng thức tính gần tích phân 61 Kết luận 74 Tài liệu tham khảo 75 Mở đầu Lý chọn đề tài Vấn đề tính gần tích phân xác định vấn đề cổ điển toán học nhà toán học tiếng giới quan tâm từ lâu, nhà toán học tên tuổi Lagrange, Newton, Cotes, Chebyshev, Gauss, Beirstein,… gắn liền với q trình phát triển cơng thức tính gần tích phân Lý thuyết tính gần tích phân đưa vào giảng dạy bậc đại học khơng chương trình đào tạo cử nhân Tốn học mà giảng dạy cho ngành Vật lý đào tạo kỹ sư; điều nói lên vai trò đặc biệt Tuy nhiên, hầu hết tài liệu tiếng Việt trình bày lý thuyết tính gần tích phân mang màu sắc cổ điển, thiếu cách nhìn đại Chính tơi mạnh dạn nghiên cứu đề tài: “Tính gần phiếm hàm tuyến tính tích phân” Mục đích nghiên cứu Luận văn làm sáng tỏ vấn đề tính gần phiếm hàm tuyến tính tích phân xác định đặt phép tính tích phân góc nhìn khái niệm phiếm hàm khơng gian giải tích hàm Nhiệm vụ nghiên cứu Một là, nghiên cứu cơng thức tính gần tích phân góc nhìn phiếm hàm tuyến tính Hai là, nghiên cứu hội tụ q trình tính tích phân Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu phiếm hàm tuyến tính khơng gian Banach, không gian Hilbert Phương pháp nghiên cứu Áp dụng phương pháp nghiên cứu giải tích tốn học Cụ thể áp dụng nguyên lý giải tích hàm như: Nguyên lý ánh xạ co, Nguyên lý bị chặn đều, khái niệm hội tụ giải tích hàm Những đóng góp Luận văn trình bày tương đối hệ thống vấn đề tính gần phiếm hàm tuyến tính tích phân xác định tập số thực Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach 1.1.1 Không gian Metric Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi không gian metric hp X ặ cựng vi mt ỏnh x d từ tích Descartes X ´ X vào tập hợp số thực ¡ thỏa mãn tiên đề sau: 1) Với x, y Ỵ 2) Với x, y Î 3) Với x, y, z Î X : d (x, y ) ; d (x,y ) = ³ Û x = y X : d (x, y ) d (y, x ) = X : d (x, y ) d (x, z ) + d (z, y ) £ Ánh xạ d gọi metric X Khơng gian metric kí hiệu (X ,d ) Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian metric (X ,d ) dãy điểm (xn Ì x Ỵ X Dãy điểm (xn ) gọi hội t ti im n đ Ơ , nu vi e > Ký hiệu: lim x = n 0, $n * ẻ Ơ , vi "n x hay x n ® ) X , điểm x không gian X n : d (x ,x ) < e x (n đ Ơ n ) nđƠ im x cũn gi l giới hạn dãy (x n ) không gian X Định nghĩa 1.1.3 Cho không gian metric (X ,d ) Dãy điểm (xn Ì ) gọi dãy (dãy Cauchy) X , với e > , tồn X * n Î ¥ , " m,n ³ n : 0 d (xn , x )< e Nhận xét 1.1.1 Mọi dãy điểm (x n ) Ì X hội tụ X dãy Định nghĩa 1.1.4 Không gian metric (X ,d ) gọi không gian đầy, dãy không gian hội tụ tới phần tử x Ỵ X 1.1.2 Không gian Banach Định nghĩa 1.1.5 Ta gọi khơng gian định chuẩn (hay khơng gian tuyến tính định chuẩn) khơng gian tuyến tính X trường số thực ¡ với ánh xạ từ X vào ¡ , ký hiệu ×, thỏa mãn điều kiện sau: x ³ "x Ỵ X ax = a x x+y £ x + y đồng thời x = 0Û x = "x Ỵ X , " Ỵ ¡ a " x, y Î X Số x gọi chuẩn vectơ x Ta ký hiệu không gian định chuẩn X Mệnh đề 1.1.1 Cho không gian định chuẩn X Đối với hai vectơ x, y ta đặt d (x, y ) = x - y Khi d metric X Nhận xét 1.1.2 Mệnh đề 1.1.1 chứng tỏ trang bị khoảng cách d (x , y ) = x y khơng gian định chuẩn trở thành khơng gian metric Do khái niệm mệnh đề cho không gian metric cho không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.6 Cho khơng gian tuyến tính X Y tập khác rỗng X Tập hợp tổ hợp tuyến tính xây dựng từ vectơ Y gọi bao tuyến tính Y (hay không gian sinh Y ) ký hiệu span(Y ) Định nghĩa 1.1.7 Cho Y = {x } hệ phần tử khơng gian tuyến k tính định chuẩn X Nếu bao đóng khơng gian span(Y ) trùng với X (nghĩa span (Y ) X ) ta nói {x } hệ phần tử đóng X k = Định nghĩa 1.1.8 Dãy điểm tới x Ỵ X lim {x } khơng gian định chuẩn X n gọi hội tụ = x xn - nđƠ Ký hiu lim x n = x nđƠ nh ngha 1.1.9 Dóy im n {x (dóy Cauchy) nu lim x x n ,m đ Ơ n } không gian định chuẩn X dãy = m Định nghĩa 1.1.10 Không gian định chuẩn X không gian Banach dãy hội tụ Nói cách khác: Nếu không gian định chuẩn X không gian metric đầy với khoảng cách sinh chuẩn d (x, y ) = xy ,x, y Ỵ X X gọi khơng gian Banach Ví dụ 1.1.3 (Khơng gian hàm liên tục) Ký hiệu C é ù không gian hàm thực liên tục đoạn éa,bù êëa,búû ëê úû Bởi hàm thực liên tục đoạn bị chặn đoạn nên ta xác định f = sup Ỵ { f (x ) : x } éa,bù û ... tính gần phiếm hàm tuyến tính tích phân xác định đặt phép tính tích phân góc nhìn khái niệm phiếm hàm khơng gian giải tích hàm Nhiệm vụ nghiên cứu Một là, nghiên cứu cơng thức tính gần tích phân. .. thuyết tính gần tích phân mang màu sắc cổ điển, thiếu cách nhìn đại Chính tơi mạnh dạn nghiên cứu đề tài: Tính gần phiếm hàm tuyến tính tích phân Mục đích nghiên cứu Luận văn làm sáng tỏ vấn đề tính. .. thức tính gần tích phân góc nhìn phiếm hàm tuyến tính Hai là, nghiên cứu hội tụ q trình tính tích phân Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu phiếm hàm tuyến tính không gian Banach, không gian