Tính gần đúng phiếm hàm tuyến tính tích phân

Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, các nhà khoa học giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích, các thầy cô phòng Sau Đại học, Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên, khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài. Đặc biệt tôi xin cảm ơn TS. Nguyễn Văn Khải đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn chỉnh đề tài. Tôi xin cảm ơn các bạn học viên lớp K12 Toán Giải tích, bạn bè, đồng nghiệp đã có những đóng góp quý báu trong suốt quá trình viết luận văn. Hà Nội, tháng 9 năm 2010. Tác giả Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết quả nghiên cứu khoa học của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS. Nguyễn Văn Khải. Trong suốt quá trình nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 9 năm 2010. Tác giả 2 Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 3 1.1. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. Không gian Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3. Toán tử tuyến tính trong không gian Banach . . . . . . . . 12 1.1.4. Một số hình thức hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.5. Một số định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.2.1. Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.2.2. Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.3. Hội tụ yếu và hệ đa thức trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.3.1. Một số khái niệm về hội tụ yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.3.2. Một số vấn đề về đa thức trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Chương 2. Tính gần đúng phiếm hàm tích phân xác định 44 2.1. Một số công thức tính gần đúng tích phân I . . . . . . . . . . . . 44 2.1.1. Công thức hình thang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.1.2. Công thức Parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.1.3. Công thức Newton – Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.1.4. Công thức Chebyshe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.1.5. Công thức Gauss – Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.2. Sự hội tụ của quá trình tính gần đúng tích phân . . . . . . . . . 58 3 2.2.1. Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.2.2. Định lý Polya về sự hội tụ của quá trình . . . . . . . . . . . . tính gần đúng tích phân xác định 59 2.2.3. Sự không tồn tại của công thức tính gần đúng tích phân 61 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Vấn đề tính gần đúng tích phân xác định là một vấn đề cổ điển của toán học và đã được các nhà toán học nổi tiếng trên thế giới quan tâm từ lâu, những nhà toán học tên tuổi Lagrange, Newton, Cotes, Chebyshev, Gauss, Beirstein,… gắn liền với quá trình phát triển của các công thức tính gần đúng tích phân. Lý thuyết tính gần đúng tích phân đã được đưa vào giảng dạy ở các bậc đại học không chỉ trong chương trình đào tạo cử nhân Toán học mà còn được giảng dạy cho cả các ngành Vật lý và đào tạo kỹ sư; điều đó nói lên vai trò đặc biệt của nó. Tuy nhiên, hầu hết các tài liệu tiếng Việt hiện này trình bày về lý thuyết tính gần đúng tích phân đều mang màu sắc cổ điển, thiếu đi một cách nhìn hiện đại. Chính vì vậy tôi mạnh dạn nghiên cứu đề tài: “Tính gần đúng phiếm hàm tuyến tính tích phân” 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn này làm sáng tỏ các vấn đề về tính gần đúng phiếm hàm tuyến tính tích phân xác định và đặt phép tính tích phân dưới góc nhìn của khái niệm phiếm hàm trong các không gian của giải tích hàm. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Một là, nghiên cứu các công thức tính gần đúng tích phân dưới góc nhìn của phiếm hàm tuyến tính. Hai là, nghiên cứu sự hội tụ quá trình tính tích phân. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 4 Nghiên cứu về các phiếm hàm tuyến tính trong các không gian Banach, không gian Hilbert. 5. Phương pháp nghiên cứu Áp dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích toán học. Cụ thể là áp dụng các nguyên lý cơ bản trong giải tích hàm như: Nguyên lý ánh xạ co, Nguyên lý bị chặn đều, các khái niệm hội tụ trong giải tích hàm. 6. Những đóng góp mới Luận văn trình bày tương đối hệ thống vấn đề tính gần đúng phiếm hàm tuyến tính tích phân xác định trên tập số thực. 5 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Không gian Banach 1.1.1. Không gian Metric Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi không gian metric một tập hợp X ¹ Æ cùng với một ánh xạ d từ tích Descartes X X´ vào tập hợp số thực ¡ thỏa mãn các tiên đề sau: 1) Với mọi ( ) , : , 0 x y X d x y Î ³ ; ( ) , 0 d x y x y= Û = . 2) Với mọi ( ) ( ) , : , ,x y X d x y d y x Î = . 3) Với mọi ( ) ( ) ( ) , , : , , ,x y z X d x y d x z d z y Î £ + . Ánh xạ d gọi là metric trên X . Không gian metric được kí hiệu là ( ) ,X d . Định nghĩa 1.1.2. Cho không gian metric ( ) ,X d và dãy điểm ( ) X n x Ì , điểm 0 x XÎ . Dãy điểm ( ) n x được gọi là hội tụ tới điểm 0 x trong không gian X khi n ® ¥ , nếu với mọi 0>e , * 0 n$ Î ¥ , với 0 n n" ³ : ( ) 0 , n d x x < e . Ký hiệu: 0 lim n n x x ® ¥ = hay ( ) 0n x x n ® ® ¥ . Điểm 0 x còn gọi là giới hạn của dãy ( ) n x trong không gian X . Định nghĩa 1.1.3. Cho không gian metric ( ) ,X d . Dãy điểm ( ) X n x Ì được gọi là dãy cơ bản (dãy Cauchy) trong X , nếu với mọi 0>e , tồn tại 6 * 0 n Î ¥ , 0 , m n n " ³ : ( ) , n m d x x < e . Nhận xét 1.1.1. Mọi dãy điểm ( ) X n x Ì hội tụ trong X đều là dãy cơ bản. Định nghĩa 1.1.4. Không gian metric ( ) ,X d gọi là không gian đầy, nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này đều hội tụ tới một phần tử 0 x XÎ . 1.1.2. Không gian Banach Định nghĩa 1.1.5. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường số thực ¡ cùng với một ánh xạ từ X vào ¡ , ký hiệu là × , thỏa mãn các điều kiện sau: 1. 0 x x X³ " Î đồng thời 0 0 x x = Û = . 2. ,x x x Xa a a = " Î " Î ¡ . 3. , x y x y x y X+ £ + " Î . Số x gọi là chuẩn của vectơ x . Ta cũng ký hiệu không gian định chuẩn là X . Mệnh đề 1.1.1. Cho không gian định chuẩn X . Đối với hai vectơ bất kỳ ,x y ta đặt ( ) , d x y x y= - . Khi đó d là một metric trên X . Nhận xét 1.1.2. Mệnh đề 1.1.1 chứng tỏ rằng khi trang bị khoảng cách ( ) , d x y x y= - thì mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành không gian metric. Do đó mọi khái niệm và mệnh đề đã đúng cho không gian metric cũng đúng cho không gian định chuẩn. 7 Định nghĩa 1.1.6. Cho không gian tuyến tính X và Y là một tập con khác rỗng của X . Tập hợp của các tổ hợp tuyến tính xây dựng từ các vectơ trong Y được gọi là bao tuyến tính của Y (hay không gian con sinh bởi Y ) và ký hiệu là span( )Y . Định nghĩa 1.1.7. Cho { } k Y x = là hệ các phần tử trong không gian tuyến tính định chuẩn X . Nếu bao đóng của không gian span( )Y trùng với X (nghĩa là ( ) span Y X = ) thì ta nói { } k x là hệ các phần tử đóng trong X . Định nghĩa 1.1.8. Dãy điểm { } n x của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới x XÎ nếu lim 0 n n x x ® ¥ - = . Ký hiệu lim n n x x ® ¥ = . Định nghĩa 1.1.9. Dãy điểm { } n x của không gian định chuẩn X là dãy cơ bản (dãy Cauchy) nếu , lim 0 n m n m x x ® ¥ - = . Định nghĩa 1.1.10. Không gian định chuẩn X là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong nó đều hội tụ. Nói cách khác: Nếu không gian định chuẩn X là không gian metric đầy với khoảng cách sinh bởi chuẩn ( ) , d x y x y= - , ,x y XÎ thì X được gọi là không gian Banach. Ví dụ 1.1.3. (Không gian các hàm liên tục) Ký hiệu ,a b C é ù ê ú ë û là không gian các hàm thực liên tục trên đoạn ,a b é ù ê ú ë û . Bởi vì mỗi hàm thực liên tục trên một đoạn là bị chặn trên đoạn đó nên ta có thể xác định ( ) { } sup : ,f f x x a b é ù = Î ê ú ë û . 8 Nhận thấy f f a xác định như trên cho ta một chuẩn trên không gian ,a b C é ù ê ú ë û , do đó ,a b C é ù ê ú ë û là một không gian định chuẩn. Sự hội tụ trong ,a b C é ù ê ú ë û đối với chuẩn này là sự hội tụ đều. Dưới đây ta chứng minh rằng ,a b C é ù ê ú ë û là không gian Banach. Thật vậy, cho n f là một dãy cơ bản trong ,a b C é ù ê ú ë û . Khi đó * 0 0, , , ,n n m a b é ù " ³ $ Î " Î ê ú ë û ¥e ( ) ( ) 3 n m f x f x - £ e . (1) Như vậy mỗi ,x a b é ù Î ê ú ë û cố định, dãy số ( ) { } 1 n n f x ¥ = là một dãy cơ bản trong ¡ . Do ¡ đầy nên tồn tại ( ) ( ) lim , , n n f x f x x a b ® ¥ é ù = " Î ê ú ë û . Ta sẽ chỉ ra ,a b f C é ù ê ú ë û Î và n f f® trong ,a b C é ù ê ú ë û . Với x cố định thuộc ,a b C é ù ê ú ë û trong (1) cho m ® ¥ và 0 n n³ ta được ( ) ( ) 0 , , , 3 n f x f x x a b n n é ù - £ " Î " ³ ê ú ë û e . (2) Vì 0 n f liên tục tại 0 x nên tồn tại 0>d sao cho 0 , :x a b x x é ù " Î - < ê ú ë û d thì ( ) ( ) 0 0 0 3 n n f x f x - < e . (3) Từ (2) và (3) suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 n n n n f x f x f x f x f x f x f x f x - £ - + - + - 3 3 3 < + + = e e e e . Như vậy ra đã chứng minh được rằng với 0 , :x a b x x é ù " Î - < ê ú ë û d thì . tỏ các vấn đề về tính gần đúng phiếm hàm tuyến tính tích phân xác định và đặt phép tính tích phân dưới góc nhìn của khái niệm phiếm hàm trong các không gian của giải tích hàm. 3. Nhiệm vụ. lý thuyết tính gần đúng tích phân đều mang màu sắc cổ điển, thiếu đi một cách nhìn hiện đại. Chính vì vậy tôi mạnh dạn nghiên cứu đề tài: Tính gần đúng phiếm hàm tuyến tính tích phân 2 thức tính gần đúng tích phân dưới góc nhìn của phiếm hàm tuyến tính. Hai là, nghiên cứu sự hội tụ quá trình tính tích phân. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 4 Nghiên cứu về các phiếm hàm