Tính gần đúng phiếm hàm tuyến tính tích phân

Li cm n Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni Tụi xin chõn thnh cm n cỏc thy, cỏc nh khoa hc ging dy chuyờn ngnh Toỏn Gii tớch, cỏc thy cụ phũng Sau i hc, Ban giỏm hiu trng i hc S phm H Ni ó ng viờn, khớch l tụi sut quỏ trỡnh hc v thc hin ti c bit tụi xin cm n TS Nguyn Vn Khi ó trc tip hng dn tụi sut quỏ trỡnh nghiờn cu v hon chnh ti Tụi xin cm n cỏc bn hc viờn lp K12 Toỏn Gii tớch, bn bố, ng nghip ó cú nhng úng gúp quý bỏu sut quỏ trỡnh vit lun H Ni, thỏng nm 2010 Tỏc gi Li cam oan Tụi xin cam oan kt qu nghiờn cu khoa hc ca riờng tụi di s hng dn trc tip ca TS Nguyn Vn Khi Trong sut quỏ trỡnh nghiờn cu lun vn, tụi ó k tha nhng thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n H Ni, thỏng nm 2010 Tỏc gi Mc lc M u Chng Mt s kin thc chun b 1.1 Khụng gian Banach 1.1.1 Khụng gian Metric 1.1.2 Khụng gian Banach 1.1.3 Toỏn t tuyn tớnh khụng gian Banach 12 1.1.4 Mt s hỡnh thc hi t 17 1.1.5 Mt s nh lý c bn 23 1.2 Khụng gian Hilbert 29 1.2.1 Mt s khỏi nim c bn 29 1.2.2 Toỏn t tuyn tớnh 34 1.3 Hi t yu v h a thc trc giao 37 1.3.1 Mt s khỏi nim v hi t yu 37 1.3.2 Mt s v a thc trc giao 41 Chng Tớnh gn ỳng phim hm tớch phõn xỏc nh 2.1 Mt s cụng thc tớnh gn ỳng tớch phõn I 44 44 2.1.1 Cụng thc hỡnh thang 44 2.1.2 Cụng thc Parabol 47 2.1.3 Cụng thc Newton Cotes 50 2.1.4 Cụng thc Chebyshe 54 2.1.5 Cụng thc Gauss Jacobi 56 2.2 S hi t ca quỏ trỡnh tớnh gn ỳng tớch phõn 58 2.2.1 Bi toỏn 58 2.2.2 nh lý Polya v s hi t ca quỏ trỡnh 59 tớnh gn ỳng tớch phõn xỏc nh 2.2.3 S khụng tn ti ca cụng thc tớnh gn ỳng tớch phõn 61 Kt lun 74 Ti liu tham kho 75 M u Lý chn ti Vn tớnh gn ỳng tớch phõn xỏc nh l mt c in ca toỏn hc v ó c cỏc nh toỏn hc ni ting trờn th gii quan tõm t lõu, nhng nh toỏn hc tờn tui Lagrange, Newton, Cotes, Chebyshev, Gauss, Beirstein, gn lin vi quỏ trỡnh phỏt trin ca cỏc cụng thc tớnh gn ỳng tớch phõn Lý thuyt tớnh gn ỳng tớch phõn ó c a vo ging dy cỏc bc i hc khụng ch chng trỡnh o to c nhõn Toỏn hc m cũn c ging dy cho c cỏc ngnh Vt lý v o to k s; iu ú núi lờn vai trũ c bit ca nú Tuy nhiờn, hu ht cỏc ti liu ting Vit hin ny trỡnh by v lý thuyt tớnh gn ỳng tớch phõn u mang mu sc c in, thiu i mt cỏch nhỡn hin i Chớnh vỡ vy tụi mnh dn nghiờn cu ti: Tớnh gn ỳng phim hm tuyn tớnh tớch phõn Mc ớch nghiờn cu Lun ny lm sỏng t cỏc v tớnh gn ỳng phim hm tuyn tớnh tớch phõn xỏc nh v t phộp tớnh tớch phõn di gúc nhỡn ca khỏi nim phim hm cỏc khụng gian ca gii tớch hm Nhim v nghiờn cu Mt l, nghiờn cu cỏc cụng thc tớnh gn ỳng tớch phõn di gúc nhỡn ca phim hm tuyn tớnh Hai l, nghiờn cu s hi t quỏ trỡnh tớnh tớch phõn i tng v phm vi nghiờn cu Nghiờn cu v cỏc phim hm tuyn tớnh cỏc khụng gian Banach, khụng gian Hilbert Phng phỏp nghiờn cu p dng cỏc phng phỏp nghiờn cu ca gii tớch toỏn hc C th l ỏp dng cỏc nguyờn lý c bn gii tớch hm nh: Nguyờn lý ỏnh x co, Nguyờn lý b chn u, cỏc khỏi nim hi t gii tớch hm Nhng úng gúp mi Lun trỡnh by tng i h thng tớnh gn ỳng phim hm tuyn tớnh tớch phõn xỏc nh trờn s thc Chng Mt s kin thc chun b 1.1 Khụng gian Banach 1.1.1 Khụng gian Metric nh ngha 1.1.1 Ta gi khụng gian metric mt hp X ặ cựng vi mt ỏnh x d t tớch Descartes X X vo hp s thc Ă tha cỏc tiờn sau: 1) Vi mi x , y ẻ X : d (x , y ) ; d (x, y ) = x = y 2) Vi mi x , y ẻ X : d (x , y ) = d (y , x ) 3) Vi mi x , y , z ẻ X : d (x , y ) Ê d (x , z ) + d (z , y ) nh x d gi l metric trờn X Khụng gian metric c kớ hiu l (X , d ) nh ngha 1.1.2 Cho khụng gian metric (X , d ) v dóy im (x n ) è X , im x ẻ X Dóy im (x n ) c gi l hi t ti im x khụng gian X n đ Ơ , nu vi mi e > , $n ẻ Ơ * , vi " n n0 : d (xn , x ) < e Ký hiu: lim x n = x hay x n đ x (n đ Ơ ) nđ Ơ im x cũn gi l gii hn ca dóy (x n ) khụng gian X nh ngha 1.1.3 Cho khụng gian metric (X , d ) Dóy im (x n ) è X c gi l dóy c bn (dóy Cauchy) X , nu vi mi e > , tn ti n ẻ Ơ * , " m, n n : d (x n , x m ) < e Nhn xột 1.1.1 Mi dóy im (x n ) è X hi t X u l dóy c bn nh ngha 1.1.4 Khụng gian metric (X , d ) gi l khụng gian y, nu mi dóy c bn khụng gian ny u hi t ti mt phn t x ẻ X 1.1.2 Khụng gian Banach nh ngha 1.1.5 Ta gi khụng gian nh chun (hay khụng gian tuyn tớnh nh chun) l khụng gian tuyn tớnh X trờn trng s thc Ă cựng vi mt ỏnh x t X vo Ă , ký hiu l ì , tha cỏc iu kin sau: x " x ẻ X ng thi x = x = ax = a x " x ẻ X , " a ẻ Ă x + y Ê x + y " x, y ẻ X S x gi l chun ca vect x Ta cng ký hiu khụng gian nh chun l X Mnh 1.1.1 Cho khụng gian nh chun X i vi hai vect bt k x , y ta t d (x , y ) = x - y Khi ú d l mt metric trờn X Nhn xột 1.1.2 Mnh 1.1.1 chng t rng trang b khong cỏch d (x , y ) = x - y thỡ mi khụng gian nh chun u cú th tr thnh khụng gian metric Do ú mi khỏi nim v mnh ó ỳng cho khụng gian metric cng ỳng cho khụng gian nh chun nh ngha 1.1.6 Cho khụng gian tuyn tớnh X v Y l mt khỏc rng ca X Tp hp ca cỏc t hp tuyn tớnh xõy dng t cỏc vect Y c gi l bao tuyn tớnh ca Y (hay khụng gian sinh bi Y ) v ký hiu l span(Y ) nh ngha 1.1.7 Cho Y = {x k } l h cỏc phn t khụng gian tuyn tớnh nh chun X Nu bao úng ca khụng gian span(Y ) trựng vi X (ngha l span (Y ) = X ) thỡ ta núi {x k } l h cỏc phn t úng X nh ngha 1.1.8 Dóy im {x n } ca khụng gian nh chun X gi l hi t ti x ẻ X nu lim x n - x = nđ Ơ Ký hiu lim x n = x nđ Ơ nh ngha 1.1.9 Dóy im {x n } ca khụng gian nh chun X l dóy c bn (dóy Cauchy) nu lim x n - x m = n ,m đ Ơ nh ngha 1.1.10 Khụng gian nh chun X l khụng gian Banach nu mi dóy c bn nú u hi t Núi cỏch khỏc: Nu khụng gian nh chun X l khụng gian metric y vi khong cỏch sinh bi chun d (x , y ) = x - y , x , y ẻ X thỡ X c gi l khụng gian Banach Vớ d 1.1.3 (Khụng gian cỏc hm liờn tc) Ký hiu C ộa ,bự l khụng gian cỏc hm thc liờn tc trờn on ộờa, bựỳ ỷ ỳ ởờ ỷ Bi vỡ mi hm thc liờn tc trờn mt on l b chn trờn on ú nờn ta cú th xỏc nh { } f = sup f (x ) : x ẻ ộờởa, bựỷỳ Nhn thy f a f xỏc nh nh trờn cho ta mt chun trờn khụng gian C ộa ,bự, ú C ộa ,bự l mt khụng gian nh chun S hi t C ộa ,bự i vi ỳ ởờ ỷ ỳ ởờ ỷ ỳ ởờ ỷ chun ny l s hi t u Di õy ta chng minh rng C ộa ,bự l khụng gian Banach ỳ ởờ ỷ Tht vy, cho fn l mt dóy c bn C ộa ,bự Khi ú ỳ ởờ ỷ " e 0, $ n ẻ Ơ *, " n , m ẻ ộờa, bự ỳ ỷ fn (x )- fm (x ) Ê e (1) Ơ { } Nh vy mi x ẻ ộờa, bựỳ c nh, dóy s fn (x ) l mt dóy c bn ỷ n=1 Ă Do Ă y nờn tn ti f (x ) = lim fn (x ), " x ẻ ộờởa, bựỷỳ Ta s ch nđ Ơ f ẻ C ộa ,bự v fn đ f C ộa ,bự Vi x c nh thuc C ộa ,bự (1) cho ỳ ởờ ỷ ỳ ởờ ỷ ỳ ởờ ỷ m đ Ơ v n n ta c fn (x )- f (x ) Ê e , " x ẻ ộờởa, bựỳỷ, " n n (2) Vỡ fn liờn tc ti x nờn tn ti d > cho e " x ẻ ộờa, bựỳ: x - x < d thỡ fn (x )- fn (x ) < ỷ (3) T (2) v (3) suy f (x )- f (x ) Ê f (x )- fn (x ) + fn (x )- fn (x ) + fn (x )- f (x ) < e e e + + = e 3 Nh vy ó chng minh c rng vi " x ẻ ộờởa, bựỷỳ: x - x < d thỡ 63 n n n f x Ê g x Ê ( ) n ( k ) n f2 (x k ) n k= 1 k k= k= Suy b- a b n inf g (x k ) ũ f1 (x )dx Ê nlim đƠ n k= a n Ê lim sup g (x k ) nđ Ơ n k= b Ê f2 (x )dx b- a ũ a Do ú b n n lim sup g (x k )- lim inf g (x k ) Ê f2 (x )- f1 (x ) dx nđ Ơ nđ Ơ n k= n k= b- a ũ a e Ê b- a ( Do e tựy ý nờn tn ti I = b- a b ũ a ) n g (x k ) tha n k= 1 f1 (x )dx Ê I Ê b- a b ũ f (x )dx a M theo gi thit ta cú b- a b ũ a f1 (x )dx Ê b- a b ũ g (x )dx Ê b - a a b ũ f (x )dx a Suy 0Ê I b- a Vy ta cú b ũ g (x )dx Ê b - a a b ũ (f2 (x )a ) f1 (x ) dx Ê e b- a 64 I = b- a b ũ g (x ) k a nhlý 2.2.2 Gi s R ộờa, bựỳl khụng gian cỏc hm b chn, kh tớch Riemann ỷ v C p (a, b) l khụng gian cỏc hm liờn tc v tun hon trờn ộờởa, bựỳỷ Khi ú cỏc mnh sau l tng ng: (20) ỳng vi mi f ẻ R ộờa, bựỳ ỷ (20) ỳng vi mi f ẻ C ộờa, bựỳ ỷ (20) ỳng vi mi f ẻ C p ộờa, bựỳ ỷ Chng minh Vỡ R ộờa, bựỳẫ C ộờa, bựỳẫ C p ộờa, bựỳ nờn (1 ị 2) v (2 ị 3) ỷ ỷ ỷ Ta ch cn chng minh (2 ị 1) v (3 ị 2) u tiờn ta chng minh (2 ị 1) t F = C ộờa, bựỳ v G = R ộờa, bựỳ Ly ỷ ỷ g ẻ G , ta cú th gi s g (x ) " x ẻ ộờởa, bự ỳ ỷ (nu khụng thờm mt hng s C ln g + C ) Nhn xột: Ta cú th tỡm c hai hm f1 v f2 nhn giỏ tr hng s tng khỳc trờn ộờởa, bựỷỳ tha (21) Tht vy, bi tớnh cht c bn ca tớch phõn Riemann, ta cú th tỡm c mt phộp phõn hoch on ộờa, bựỳ: ỷ a = x0 < x1 < < xx n - < xn = b cho tng trờn n U = k=1 V tng di M k (xk - xk - ) 65 n L= m k (xk - xk - ) k=1 tha U - L < e , õy M k = sup f (x ) v m k = xk - Ê x Ê xk inf xk - Ê x Ê xk f (x ) Nu ta t ỡù M , x Ê x Ê x , k = 1, 2, , n - k f2 (x ) = ùớ k k - ùù M n , xn - Ê x Ê xn ợ V ỡù m , x Ê x Ê x , k = 1, 2, , n - k f1 (x ) = ùớ k k - ùù m n , xn - Ê x Ê xn ợ thỡ d thy hai hm tha nhn xột Bõy gi ta s xõy dng hai hm f1, f2 ẻ F = C ộờa, bựỳ cho (21) l ỳng ỷ Do tớnh cht bc cu nờn t nhn xột trờn ta cú th gi s g l dng v hng tng khỳc trờn ộa, bự Khi ú g s l t hp tuyn tớnh vi h s dng ờở ỳ ỷ ca cỏc hm s h (x ) cú dng ỡù x ẻ h (x ) = ùớ ùù x ẻ ùợ ộc, d ự ờở ỳ ỷ ộa, bự\ ộc, d ự ờở ỳ ỷ ờở ỳ ỷ õy ộởờc, d ựỳỷ ộởờa, bựỳỷ Vi d nh, ta xỏc nh mt hm s liờn tc hd nh sau ỡù + d x ẻ ộờởc, d ự ùù ỳ ỷ ùù a x + b x ẻ ộc - d, c ự ờở ỳ d ỷ hd (x ) = ùớ d ùù a dÂx + b d x ẻ ộờd + d, d ự ỳ ỷ ùù ộ ự ộ ự x ẻ ởờa, bỷ ùù d ỳ\ ởờc, d ỷ ỳ ợ 66 ( õy cỏc hng s a d, b d, a dÂ, b d c chn thớch hp) Khi ú d thy b h (x ) + d Ê hd (x ) v < ũ ộờởh (x )- h (x )ựỳỷdx d cú th lm nh tựy ý nu d a nh Bng cỏch tng t ta xõy dng c hm liờn tc hd tha ỡù h Â(x ) Ê h (x )- d ùù d ùớ b ùù ộh (x )- h Â(x )ựdx < e, " e > d ởờ ỷỳ ùù ũ ợ a Sau ú ta t f1, f2 ln lt l t hp tuyn tớnh ca cỏc hm hdÂ, hd vi cỏc h s ging nh t hp tuyn tớnh ca g i vi cỏc hm h (x ) Khi ú ta c hai hm f1, f2 ẻ C ộờa, bựỳ tha (20) p dng B 2.2.1 ta ỷ cú iu phi chng minh Tip theo ta chng minh (3 ị 2) Bõy gi ta t F1 = C p ộờa, bựỳ v ỷ g (x ), chn K G = C ộờởa, bựỳỷ Ly g ẻ C ộờởa, bự ỳ ỷ v gi s g > t M = amax Ê xÊb cho K K > 1, > Cho e > , chn h cho g (a ) g (b) - ộ ổ ửữ ự ữ ỳ ỗ < h < ờb - a, eM - 1K - ỗỗ + ữ ỳ ỳ ỗỗg (a ) g (b)ữ ố ứữ ỳ ờở ỷ Ta xỏc nh mt hm liờn tc F (x ) nh sau 67 ỡù K ùù ùù g (a ) ùù ùù a n x + b n ù F (x ) = ùớ ùù ùù a n x + b n ùù ùù K ùù g (b) ùợ x = a a Ê x Ê a + h a + h Ê x Ê b - h b - h Ê x Ê b x = b ( õy cỏc hng s a n , b n , a nÂ, b n c chn thớch hp) Th thỡ F (x ) vi , " x ẻ ộờa, bựỳ Khi ú nu t f2 (x ) = F (x )g (x ) thỡ f2 (x ) g (x ), " x ẻ ộờa, bự ỷ ỳ ỷ f2 (x ) l liờn tc v f2 (a ) = F (a )g (a ) = K = F (b)g (b) = f2 (b) Do ú f2 ẻ C p ộờa, bựỳ ỷ Hn na, b a+ h b KM KM f2 (x )- g (x ) dx Ê ũ dx + ũ dx g a g b ( ) ( ) a b- h ổ ữ ỗỗ ữ = hKM ỗ + ữ < e ỗỗg (a ) g (b)ữ ữ ố ứ ũ( a ) Vi quỏ trỡnh tng t ta xõy dng c hm f1 (x ) ẻ C p ộờa, bựỳ tha ỷ (20) p dng B 2.2.1 ta c iu phi chng minh nh ngha 2.2.1 Mt dóy im {x k } k è ộa, bự c gi l dóy phõn phi ờở ỳ ỷ u nu nú tha iu kin sau n lim f (x k ) = nđ Ơ n b- a k= nh lý 2.2.3 Dóy cỏc im {x k } k { ũ f (x )dx , f a ẻ C ộờa, bự ỳ ỷ l dóy phõn phi u nu v ch è ộờởa, bự ỳ ỷ Ơ } nu (20) ỳng vi dóy hm fk (x ) b k= úng C ộờa, bựỳ hoc C p ỷ ộa, bự ờở ỳ ỷ 68 vi chun Chebyshev f = max f (x ) aÊ xÊ b Chng minh b t L (f ) = ũ f (x )d (x ) v Ln (f ) = a n f (x k ) n k= 1 n = v lim fk (x k ) = nđ Ơ n b- a k= Khi ú ta cú Ln b ũ fk (x )dx a p dng nh lý c bn 1.1.10 v nh lý 2.2.2 ta cú iu phi chng minh Di õy ta trỡnh by mt dóy phõn phi u n gin nht c cho bi Bohl Sierpớnski Weyl nh lý 2.2.4 (Bohl Sierpớnski Weyl) Cho q l mt s vụ t v l s nguyờn ln nht nh hn n q Khi ú {x n } x n = n q - ộờởn qựỳỷ, õy ộờởn qự ỳ ỷ l dóy phõn phi u on ộ0,1ự ờở ỳ ỷ Chng minh Ta cú dóy hm {e },k = 0, 1, 2, l úng C p ộờa, bựỳ vi ỷ 2pikx f = max f (x ) Do ú t nh lý 2.2.3 ch c dóy (x nk ) aÊ x Ê b lim nđ Ơ n ộe 2pikx + + e 2p ikx ờở n ự= ỳỷ ũe p ikx dx , k = 0, 1, 2, Vi k = thỡ gii hn trờn hin nhiờn ỳng Vi k , ũe p ikx dx = Vỡ e 2pikx = e ( ) p ik j q - ộởờj qựỳỷ = e 2p ikj q n ộe pikx + + e 2pikx ờở n ự= ộờe 2pik + e 2p ik q + + e pik q ỳ ỷ n ờở 2pik q e 2pikn q - = e n e pik q - ( ( ) ) ( n ự ) ỳỳỷ (22) 69 Vỡ q l mt s vụ t, e 2pik q Vi mi k = 0, 1, 2, , biu thc ( e 2pik q e 2p ikn q - l b chn n đ Ơ v cú gii hn l e pik q - ) nh lý c chng minh 2.2.3.2 S khụng tn ti ca cụng thc tớnh gn ỳng tớch phõn n Trờn õy ta ó ch rng cú th cú b ank f (x k ) ắ ắ ắắ đ nđ Ơ k=1 ũ f (x )dx vi a f ẻ C ộờa, bựỳ, vi mt dóy kộp cỏc trng s ank Nhng cú th c thay th ỷ nú bi mt dóy n ak v cú n b ak f (x k ) ắ ắ ắắ đ nđ Ơ k=1 ũ f (x )dx a vi f ẻ C ộờa, bựỳ ỷ (23) Nh vy cụng thc tớnh gn ỳng tớch phõn s n gin hn rt nhiu Trong (23) ta gi s ak , " k , a Ê x k Ê b , " k l , x k x l v c ak v x k khụng ph thuc vo f Tuy nhiờn iu ny l khụng th xy nh lý 2.2.5 Vi cỏc iu kin ca ak v x k khụng th cú n k=1 b ak f (x k ) ắ ắ ắắ đ nđ Ơ ũ f (x )dx a vi mi f ẻ C ộờởa, bựỷỳ Chng minh Gi s (23) l ỳng Khi ú dóy cỏc phn t {x k } l trự mt k ộa, bự Tht vy, gi s tn ti mt on I è ộa, bự v khụng cha mt im ờở ỷ ỳ ởờ ỷỳ x k no Ly I  l phn ca I Khi ú cú th tỡm c mt hm s liờn 70 ộa, bự cho f (x ) = ngoi I v dng I  ờở ỳ ỷ tc f (x ) xỏc nh trờn Khi ú f (x k ) = 0, k = 1, 2, T ú ta cú b 0< ũ f (x )dx Ơ = a ak f (x k ) = (vụ lý) k=1 Bõy gi ta xột X = C ộờởa, bựỷỳ vi chun Chebyshev f = max f (x ) t aÊ xÊ b b L (f ) = ũ f (x )dx v Ln (f ) = a n ak f (x k ) k=1 n Khi ú L = b - a, Ln = ak k=1 Do Ln (f ) đ L (f ) n đ Ơ nờn theo nh lý c bn 1.1.10 ta cú th tỡm n c M > cho n ak < M vi mi n Do ú k=1 ak hi t tuyt i k= Chn x k ẻ (a, b) v ký hiu I e = ộờx k - e, x k + e ựỳ ta chn e nh nh ỷ I e è (a, b) Khi ú hp cỏc im x i ẻ I e l ca tt c cỏc im {x k } Nhm lm tng cỏc ch s di ca cỏc im nm I e x k = x n (e), x n (e), õy lim n (e) = Ơ eđ Ơ Vi mi e xõy dng hm tam giỏc liờn tc dng: ùỡù x ẻ ộờa, bựỳ\ I e ỷ ùù ù a x + b e x ẻ ộởờx k - e, x k ựỷỳ f e (x ) = ùớ e ùù x = x k ùù ùù a eÂx + b e x ẻ ộờởx k , x k + e ựỳỷ ợ ký hiu 71 ( õy cỏc hng s a e , b e , a eÂ, b e c chn thớch hp) b Khi ú Khi ú, fe (x ) Ê v ũ fe (x )dx = e v a n a j f e (x j ) e= j= = ak f e (x k ) + Ơ j= Ơ Do ú e - ak Ê j= ( ) an (e)fe x n (e) j j an (e) Khi e đ thỡ n (e ) đ Ơ j Suy a k Ê (mõu thun vỡ ak ) Vy ta cú iu phi chng minh 2.2.3.3 S phõn k ca chui Fourier ca mt hm liờn tc B 2.2.2 (Fejộr) Cho 2p rn = p ũ - p ổ 1ử ữt sin ỗỗn + ữ ỗố 2ữ r ứữ dt Khi ú lim n = n đ Ơ ln n t p sin Chng minh Ta cú p rn = ũ p-p Do ú sin (2n + 1)t sin t dt = p p ũ sin (2n + 1)t sin t dt (24) 72 p sin (2n + 1)t ũ p t = I n + II n rn = Hm 1 l khụng õm trờn sin t t Ê II n Ê p p dt + p ổ 1ữ ỗỗ ữ ũ ỗốsin t t ữữứ sin (2n + 1)t dt ộ pự ờ0, ỳ v Ê sin (2n + 1)t Ê nờn 2ỳ ỷ p ổ 1ửữ ỗỗ ũ ỗốsin t t ữữữứdt v tớch phõn II n l b chn Ta li cú In = p (n + 1)p (2n + 1) sin 2n + t ( ũ ) dt p t (n + 1)p (2n + 1) sin 2n + t ũ ( ) t p = III n - IV n Nhng, Ê IV n = p Vỡ lim nđ Ơ (n + 1)p 2n + = (n + 1)p (2n + 1) sin 2n + t ( ũ ) dt Ê p t p p , lim IV n = nđ Ơ Bõy gi ta dựng phộp i bin cú III n = p = p (n + 1)p (2n + 1) sin 2n + t ũ ) dt t (n + 1)p sin t dt ũ t sin t dt p = ũ p t = V + VIn Tip theo, ( + p (n + 1)p sin t dt ũ t (n + 1)p (2n + 1) ũ p dt t dt 73 pổ 1 ữ ữsin tdt V I n = ũ ỗỗ + + + ỗ ữ p ốt + p t + 2p t + np ữ ứ p = ũ S n (t )sin tdt p õy S n (t ) = 1 Trờn Ê t Ê p ta cú + + + t + p t + 2p t + np 1 1 1 + + + Ê S n (t ) Ê + + + 2p 3p p 2p np (n + 1)p Bõy gi s dng cỏc tớnh cht ca chui hm iu hũa: 1+ 1 + + + - ln n = gn , lim gn = g = 0.577 nđ Ơ n Nh vy 1 ln (n + 1) + g n + - Ê S n (t ) Ê (ln n + g n ) n n ( ) V p2 p (ln (n + 1)+ g n+1 )ũ sin tdt Ê V I - Vỡ th lim nđ Ơ n Ê p2 p (ln n + gn )ũ sin tdt VIn = ln n p Bõy gi, r n = V + V I n - IV n + II n Vy lim nđ Ơ rn = ln n p nh lý c chng minh nh lý 2.2.6 (Bois - Reymond) Tn ti mt hm liờn tc m chui Fourier ca nú phõn k ti x = Chng minh 74 Xột khụng gian tuyn tớnh nh chun C p ộ- p , p ự cỏc hm liờn tc trờn ờở ỳ ỷ on ộờ- p , p ựỳ tha f (- p ) = f (p ) vi chun f = max f (x ) Khi ú ỷ - pÊ x Ê p tng riờng ca chui Fourier c lng ti x = l: Ln (f ) = 2p p ũ - p ổ 1ử ữt sin ỗỗn + ữ ữ ỗố 2ữ ứ f (t )dt t sin Theo B 2.2.2 ta cú L = 2p p ũ - p ổ 1ử ữt sin ỗỗn + ữ ữ ỗố 2ữ ứ dt = r n đ Ơ n đ Ơ t sin Suy Ln (f ) đ / L (f ) = f (0) Vy tn ti mt hm f m chui Fourier ca nú phõn k ti x = 75 Kt lun Di s hng dn tn tỡnh ca TS Nguyn Vn Khi, tỏc gi ó hon thnh lun ỳng k hoch v t c mc ớch nghiờn cu C th, lun gm chng: Chng 1: Mt s kin thc chun b Trong chng ny tỏc gi h thng li mt s kin thc v khụng gian Banach v toỏn t tuyn tớnh khụng gian ny Phn th hai l mt s khỏi nim v khụng gian Hilbert v s hi t yu, h a thc trc giao khụng gian ny Chng 2: Tớnh gn ỳng phim hm tớch phõn xỏc nh Trong chng ny tỏc gi gii thiu mt s cụng thc tớnh tớch phõn xỏc nh nh: cụng thc hỡnh thang, cụng thc Parabol, cụng thc Newton Cotes, cụng thc Chebyshev v cụng thc Gauss Phn cui chng tỏc gi gii nh lý Polya v s hi t ca quỏ trỡnh tớnh gn ỳng tớch phõn xỏc nh Tỏc gi mong rng ti ny s cú nhng úng gúp ỏng k, gúp phn tớch cc nõng cao cht lng dy v hc tớnh gn ỳng tớch phõn quỏ trỡnh o to i hc cỏc trng i hc Do thi gian cú hn nờn lun khụng trỏnh thiu sút Rt mong c s úng gúp ý kin ca cỏc thy, cụ giỏo v cỏc bn Tỏc gi xin chõn thnh cm n! 76 Ti liu tham kho [A] Ti liu Ting Vit [1] Phm K Anh (2005, Gii tớch s, Nh xut bn i hc Quc gia H Ni [2] Trn Vn Bo, Nguyn Vn Khi, Phm Vn Kiu, Ngụ Xuõn Sn (2002), Gii tớch s, Nh xut bn i hc S pham [3] Nguyn Minh Chng, Nguyn Vn Khi, Khut Vn Ninh, Nguyn Vn Tun, Nguyn Tng (2001), Gii tớch s, Nh xut bn Giỏo dc [4] Phan Vn Hp (1981), Cỏc phng phỏp gii gn ỳng, Nh xut bn i hc v Trung hc chuyờn nghip [5] Nguyn Ph Hy (2006), Gii tớch hm, Nh xut bn Khoa hc v K thut [6] Nguyn Vn Khuờ (ch biờn), Bựi c Tc, c Thỏi (2001), C s lý thuyt hm v gii tớch hm 1, Nh xut bn Giỏo dc [7] Nguyn Xuõn Liờm (2000), Gii tớch hm, Nh xut bn Giỏo dc [8] Lờ ỡnh Thnh (1995), Phng phỏp tớnh, Nh xut bn Khoa hc v K thut [9] Hong Ty (1979), Hm thc v gii tớch hm, Nh xut bn i hc Quc gia H Ni [B] Ti liu Ting Anh [10] J P Aubin (1968), Interpolation Et Approximation optimales et splines functions, J Math Anal Appl, 24, -1 24 [11] F E Browder (1965), Non Expansive Nonliear Operator in a Banach Space, Proc Nat Acad Sci USA, 54, 1011 1014 77 [12] F E Browder (1966), Existence and Approximation Solution of Nonlinear Variational Inequalities, Proc Nat Acad Sci USA, 4, 1080 [13] K Deimling (1985), Nonliear Functional Analysis, Springer verlag, Berlin [14] A Jeffrey, H Brezis and R G Douglas (1998), Numerical Analysis, Springer verlag, Berlin [15] O M Jame, R C Werner (1970), Interative Solution of Nonliear Equations in Several Variables, Academic press, NewYork and LonDon [16] Nguyen Minh Chuong (1992), Ya D Mamedov, KhuatVan Ninh, Approximate Solution of Operator Equations, Education Publ Hounse Ha Noi [17] Nguyen Minh Chuong, Le Dinh Thinh and Nguyen Van Khai (1989), Newton Zeidel Method for Quasilinear Operator Equations in Supermetric Space, ICTP, IC/89/300, Miramare Trieste, Italy [18] Nguyen Minh Chuong, Nguyen Van Khai (1992), On Multistep Newton Zeidel Methods for Quasilinear Operator Equations, Acta Math Vietnamica 17, 2, 103 114 [19] Nguyen Van Khai (1990), On an Iterative Method for Solving Discontinuous Operator Equations, Vietnam J of Math 18, 4, 23 [20] S Smale (1986), Complexity Aspect of Numerical Analysis, ICM Berkeley [21] R S Varga (1971), Functional Analysis and Approximation Theoryin Numerical Analysis, SIAM, Philadelphia, Pensylvania