Chương 5 TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN... PP sai phân thuận Forward difference: Xây dựng công thức • Xét khai triển Taylor của hàm f tại lân cận x: Trong đó ξ thuộc đoạn [x,x+h]..
Trang 1Chương 5
TÍNH GẦN ĐÚNG
ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN
Trang 2h x
f x
f
h
) ( )
( lim
x x+h
Trang 3PP sai phân thuận (Forward difference):
Xây dựng công thức
• Xét khai triển Taylor của hàm f tại lân cận x:
Trong đó ξ thuộc đoạn [x,x+h]
Từ (1) ta có:
Coi số hạng f’’(ξ) h/2 là sai số rút gọn, từ (2) suy ra:
Là công thức tính gần đúng ĐH theo PP sai phân thuận
)2
(
!2
)(
)()
()
f h
x f h
x
f x
)1
(
!2
)()
()
()
(
2 ''
f h
x f
x f h
x
)3(
)()
()
(
'
h
x f h
x
f x
Trang 4PP sai phân thuận (Forward difference):
x f h
x f h
x f h
x f h
Trang 5PP sai phân thuận (Forward difference):
Ví dụ
• Xét hàm: f(x) = sin x Sử dụng PP sai phân
thuận để tính gần đúng f’(π/3) Phân tích sai
số
– Tính với h=10-k
, k = 1,…,16 – Tìm h để có sai số nhỏ nhất
Trang 6PP sai phân ngược (Backward difference):
• Xây dựng công thức: Tương tự như trong PP sai phân thuận, thay x+h bằng x-h, ta có:
• Sai số: Tương tự như trong PP sai phân thuận
– Độ chính xác bậc nhất
– Sai số đạt min khi:
• Bài tập: Sử dụng PP sai phân ngược để tính
gần đúng f’(π/3), biết f(x) = sin x
)1(
)(
)
()
(
'
h
h x
f x
f x
Trang 7PP sai phân trung tâm(Central difference):
Xây dựng công thức
• Xét khai triển Taylor của hàm f tại lân cận x:
Trong đó ξ+ thuộc đoạn [x,x+h], ξ- thuộc đoạn [x-h,x]
Từ (1) và (2) ta có công thức tính gần đúng ĐH
theo PP sai phân trung tâm
) 2
(
! 3
)
(
! 2
) ( )
( )
( )
(
3 ''
2 ''
f
h h f
h x f
x f h
x
) 1
(
! 3
)
(
! 2
) ( )
( )
( )
(
3 ''
2 ''
f
h h f
h x f
x f h
x
) 3
( 2
) (
)
( )
(
'
h
h x
f h
x
f x
Trang 8PP sai phân trung tâm(Central difference):
Phân tích sai số
• Sai số rút gọn:
– PP có độ chính xác bậc 2;
– Sai số tổng cộng đạt min khi h = ε1/2
• Bài tập: Sử dụng PP sai phân trung tâm để tính gần đúng f’(π/3), biết f(x) = sin x So sánh với
PP sai phân thuận và sai phân ngược
Trang 9! 5
)
(
! 4
)
(
! 3
)
(
! 2
) ( )
( )
( )
(
5 '''
''
4 '''
'
3 '''
2 ''
) (
) ( 2 )
( )
''
h
h x
f x
f h
x
f x
) 2
(
! 5
)
(
! 4
)
(
! 3
)
(
! 2
) ( )
( )
( )
(
5 '''
''
4 '''
'
3 '''
2 ''
Trang 10Tính gần đúng đạo hàm riêng
• Tương tự, ta có thể xây dựng các PP tính gần đúng đạo hàm riêng, ví dụ PP sai phân trung tâm tính đạo hàm riêng cho hàm f(x,y) như sau:
h
h y
x f h
y x f y
y x f
h
y h x
f y
h x
f x
y x f
2
) ,
( )
, ( )
, (
2
) , (
) , (
) , (
Trang 11Tính gần đúng tích phân: đặt vấn đề
• Tính tích phân:
trong đó f(x) là hàm khả tích trên đoạn [a,b]
• Ý nghĩa hình học của tích phân:
, )
f I
f(x)
Trang 12Tính gần đúng tích phân:
Tổng Riemann
• Giả sử hàm f xác định trên [a,b] và Δ là phép chia
đoạn [a,b] thành n đoạn đóng Ik=[xk-1,xk], k=1,…,n,
n k
k
k x f c x f c x f c x c
) (
) ( )
( )
1
Trang 13( )
n
b
a
x c
f dx
x f
Trang 14Tính gần đúng tích phân:
Các tính chất của tích phân xác định
a b c
dx x
f dx
x f
dx x
) ( )
( )
0 )
f dx
f C
dx x
g dx
x f
dx x
g x
f ( ) ( )) ( ) ( ) (
Trang 15• ĐL2 (ĐL về giá trị trung bình): Nếu f là liên tục trên
[a,b] thì tồn tại số c trong đoạn [a,b] sao cho:
) ( )
( )
f a
b c
f ( ) 1 ( )
Trang 16Tính gần đúng tích phân:
PP Newton-Cotes (1)
• Cách tiếp cận đầu tiên để xây dựng công thức tính
gần đúng tích phân là xấp xỉ hàm f(x) trên khoảng
tích phân [a,b] bởi một đa thức Trong mỗi khoảng con ta xấp xỉ hàm f(x) bởi một đa thức:
pm(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn (1)
Ta có thể dễ dàng tính chính xác tích phân của (1)
• Đơn giản nhất ta có thể thay hàm f(x) bởi đa thức nội suy
Trang 17)(
)(
0 0
dx x
x
x
x x
f
dx x
f x
x
x
x dx
x f
j i
j n
i
j n
i j j
Trang 18( )!
1 (
1 )
( )
0
) 1 (
b a
dx x
x
f n
dx x
p dx
a
b
x n
b
a
n b
Trang 19Tính gần đúng tích phân:
PP Newton-Cotes (4)
• Các công thức tính gần đúng tích phân thu được theo cách tiếp cận này trong đó sử dụng lưới chia cách đều trong khoảng tích phân, nghĩa là:
xi = a+i*h; i=1,…,n; h =(b-a)/n,
được gọi là công thức Newton-Cotes
• Với n khác nhau, ta có các PP khác nhau
1 Tuyến tính Hình thang O(h 2 )
2 Bậc 2 Simpson 1/3 O(h 4 )
3 Bậc 3 Simpson 3/8 O(h 4 )
Trang 20Tính gần đúng tích phân:
Công thức hình thang (Trapezoidal rule)
• Với n=1, đa thức nội suy có dạng:
(
) (
) ( )
( )
( )
( )
(
) (
) ( )
( )
( )
(
1 1
a b
b f a
f I
dx a
x a
b
a f b
f a
f dx
x p dx
x f I
a
x a
b
a f b
f a
f x
Trang 21b h
h f
a
b
, ,
, )
( 12
Trang 23Tính gần đúng tích phân:
Công thức hình thang mở rộng (2)
• Chia đoạn [a,b] thành n khoảng bằng nhau dùng n+1 điểm: x0 = a, x1 = a + h, xn-1 = a + (n-1)*h, xn = a + n*h trong đó h = (b-a)/n, ta có:
• Áp dụng công thức hình thang cho mỗi đoạn ta có:
• (2) gọi là công thức hình thang mở rộng
)1()
(
)()
()
(
2
) 1 (
h a
nh a
h n a
b
a
dx x
f dx
x f dx
x f dx
x f I
) 2 ( )
( )
( 2
)
( 2
a f a
f
h I
n i
Trang 24,
)(
)(4)
(3
)(
2 1
0
2 1
0
b h
a x
h a
x a
x
x f x
f x
f
h dx
x f I
Trang 253
)(
)(
2)
(4
)(
)(
0
2
,
6 , 4 , 2
1
,
5 , 3 , 1 0
n i
ih a
x a
x
n
x f x
f x
f x
f a b
dx x
f I
i
n n
j
j n
i
i b
Trang 26,
)(
)(
3)
(3)
(8
3)
(
3 2
1 0
3 2
1 0
h a
x h
a x
h a
x a
x
x f x
f x
f x
f
h dx
x f I