Phương pháp tính :Chương 4:tính gần đúng đạo hàm và tích phân

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK PHƯƠNG PHÁP TÍNH CHƯƠNG 4 TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM & TÍCH PHÂN • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (11/2006) NỘI DUNG A- TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM 1- ĐẠO HÀM CẤP 1: SAI PHÂN 2 ĐIỂM TIẾN – LÙI, 3 ĐIỂM TIẾN – LÙI - HƯỚNG TÂM B- TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN 2 - TÍNH ĐẠO HÀM BẬC CAO 1- HỆ SỐ NEWTON-COTES 2- CÔNG THỨC HÌNH THANG & SIMPSON 3- GIẢM SAI SỐ MINH HOẠ Ý TƯỞNG Tính xấp xỉ: a/ Đạo hàm f’ tại mốc x 1 : f’(0.4) ( ) ∫ 6.0 3.0 / dxxfb Hàm y = f(x), hoặc xác đònh qua bảng giá trò, hoặc biểu thức phức tạp (không dễ tìm f’ hay ∫) → Thay bằng bảng Mốc x k 0.3 0.4 0.6 Giá Trò y k = f(x k ) 0.355 0.36 0.4 Xây dựng đa thức nội suy L(x) từ bảng {( x k , f(x k ) )}, k = 0 … 2 ( ) ( ) ( )    == ++= 36.04.0,355.03.0 2 LL cb xaxxL MINH HOẠ CÔNG THỨC ĐẠO HÀM 2 ĐIỂM 2 điểm (x 0 , f(x 0 )) , (x 0 +h, f(x 0 +h)) Mốc x 0 x 0 + h Giá trò f(x 0 ) f(x 0 + h) [ ] ''max, 2 , )()( )(' 00 , 2 2 00 0 fM hM h xfhxf xf hxx + ==∆ −+ ≈ Công thức xấp xỉ Sai số x 0 – h x 0 x 0 + h h h VD: Xấp xỉ f’(1.8) với f(x) = lnx & h = 0.1 , 0.01 , 0.001 h Xấp xỉ C/xác f’(x 0 ) 0.1 0.5555556 0.01 0.001 TỔNG KẾT XẤP XỈ ĐẠO HÀM Xấp xỉ đạo hàm cấp 1 Xấp xỉ f’’(x 0 ): ( ) ( ) ( ) ( ) 12 , 2 '' 2 4 2 000 0 hM h hxfxfhxf xf =∆ −+−+ ≈ 3 điểm: 3 , 2 )2()(4)(3 )(' 2 3000 0 hM h hxfhxfxf xf =∆ +−++− ≈ 2 điểm: 2 , )()( )(' 2 00 0 hM h xfhxf xf ⋅ =∆ −+ ≈ Hướng tâm: 6 , 2 )()( )(' 2 300 0 hM h hxfhxf xf ⋅ =∆ −−+ ≈ CÔNG THỨC XẤP XỈ TÍCH PHÂN Hình thang: [ ] 12 ,)()( 2 3 2 hM bfaf ab I =∆+ − ≈ Simpson: ( ) ( )       +       + + − ≈ bf ab faf ab I 2 4 6 Sai số: 90 5 4 hM =∆ Xấp xỉ tích phân ( ) ∫ = b a dxxfI n ab h − = Hình thang, n đoạn chia: Sai số: ( ) ( )       ++≈ ∑ − = n n k k xfxfxf h I 1 1 0 2)( 2 ( ) 12 2 2 hMab −=∆ C/t Simpson, n: chẵn ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) 180 ,24)( 3 4 4 2120 hMab xfxfxfxf h I nkk − =∆+++≈ ∑ ∑ + CÔNG THỨC HÌNH THANG VỚI n ĐOẠN CHIA Giảm h: Chia [a, b]→ n đoạn bằng nhau, độ dài h = (b– a)/n (n+1) điểm chia: x 0 = a < x 1 = a + h < x 2 = a + 2h < … < x n = b a 1 x 2 x b 1 − n x h Sai số: ( ) 12 2 2 habM − ( ) ( )       ++≈ ∑ ∫ − = n n k k b a xfxfxf h dxxf 1 1 0 2)( 2 )( Công thức hình thang: 2 điểm đầu, cuối: hệ số 1; Các điểm còn lại: Hệ số 2 CÔNG THỨC SIMPSON VỚI n ĐOẠN CHIA CÁCH ĐỀU Công thức Simpson với n (số chẵn) đoạn chia bằng nhau) a 1 x 2 x b 1 − n x h ( ) ( ) ( ) [ ] nkk b a xfxfxfxf h dxxf +++= ∑ ∑ ∫ + 2120 24)( 3 )( Sai số: ( ) 180 4 4 habM − ≤∆ Trung điểm (chỉ số lẻ): hệ số 4; 2 đầu: hệ số 1; Còn lại: Hệ số 2 VÍ DUÏ Xeùt      = ≠ = 0,1 0, sin )( x x x x xf Tính tích phaân a/ CT hình thang, h = 0.2 b/ Simpson, h = 0.25 ∫ = 1 0 )( dxxfI TÌM SỐ ĐOẠN CHIA a/ Công thức hình thang b/ Công thức Simpson Tìm số đoạn chia n để xấp xỉ với sai số 10 -6 tích phân sau bằng ∫ + = 2 0 4x dx I