Phương pháp tính :Chương 4:tính gần đúng đạo hàm và tích phân

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK ---PHƯƠNG PHÁP TÍNH CHƯƠNG 4 TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM & TÍCH PHÂN • TS.

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK

-PHƯƠNG PHÁP TÍNH

CHƯƠNG 4 TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM & TÍCH PHÂN

• TS NGUYỄN QUỐC LÂN (11/2006)

NỘI DUNG

-A- TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM

1- ĐẠO HÀM CẤP 1: SAI PHÂN 2 ĐIỂM TIẾN – LÙI, 3 ĐIỂM TIẾN – LÙI - HƯỚNG TÂM

B- TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN

2 - TÍNH ĐẠO HÀM BẬC CAO

1- HỆ SỐ NEWTON-COTES

2- CÔNG THỨC HÌNH THANG & SIMPSON

3- GIẢM SAI SỐ

MINH HOẠ Ý TƯỞNG

-Tính xấp xỉ: a/ Đạo hàm f’ tại mốc x 1 : f’(0.4) 0∫.6 ( )

3 0

/ f x dx b

Hàm y = f(x), hoặc xác định qua bảng giá trị, hoặc biểu thức phức tạp (không dễ tìm f’ hay ∫) → Thay bằng bảng

Mốc xk 0.3 0.4 0.6 Giá Trị yk = f(xk) 0.355 0.36 0.4

Xây dựng đa thức nội suy L(x) từ bảng {( x k , f(x k ) )}, k = 0 … 2

( )







=

=

+ +

=

 36 0 4

0 ,

355

0 3

0

2

L L

c bx ax

x

L

MINH HOẠ CÔNG THỨC ĐẠO HÀM 2 ĐIỂM

-2 điểm (x 0 , f(x 0 )) , (x 0 +h, f(x 0 +h)) Mốc x0 x0 + h

Giá trị f(x0) f(x0 + h)

[ max ] ''

, 2 ,

) ( )

( )

(

'

0

0 , 2

2 0

0

h

x f h

x

f x

f

h x

x +

=

=

∆

−

+

≈

Công thức xấp xỉ Sai số

VD: Xấp xỉ f’(1.8) với f(x) =

lnx & h = 0.1 , 0.01 , 0.001

h Xấp xỉ C/xác f’(x0) 0.1 0.5555556 0.01

0.001

TỔNG KẾT XẤP XỈ ĐẠO HÀM

-Xấp xỉ

đạo hàm

cấp 1

Xấp xỉ f’’(x 0 ): ( ) ( ) ( ) ( )

12 ,

2 ''

2 4 2

0 0

0 0

h

M h

h x

f x

f h

x

f x

3 điểm:

3

, 2

) 2 (

) (

4 )

(

3 )

( '

2 3 0

0

0 0

h

M h

h x

f h

x f x

f x

2 điểm:

2 ,

) ( )

( )

(

0

h

M h

x f h

x

f x

Hướng tâm:

6

, 2

) (

)

( )

( '

2 3

0

0 0

h

M h

h x

f h

x

f x

CÔNG THỨC XẤP XỈ TÍCH PHÂN

12

, ) ( )

( 2

3

2h

M b

f a

f

a

b

Simpson:  ( )  + ( )







 + +

−

≈ b a f a f b a f b

I

2

4 6

Sai số: ∆ = M4h5 90

Xấp xỉ

tích phân

( )

∫

= b

a

dx x f

I

n

a

b

Hình thang, n đoạn chia:

Sai số:

( ) ( )



n k

x f x

f

h

1

0) 2

( 2

(b − a)M2h2 12

=

∆

C/t Simpson, n: chẵn

[ ( ) 4 2 ], ( 180)

3

4 4 2

1 2 0

h M a

b x

f x

f x

f x

f h

CÔNG THỨC HÌNH THANG VỚI n ĐOẠN CHIA

-Giảm h: Chia [a, b]→ n đoạn bằng nhau, độ dài h = (b– a)/n

(n+1) điểm chia: x 0 = a < x 1 = a + h < x 2 = a + 2h < … < x n = b

Sai số: ( )

12

2

2 b a h

( ) ( )



n k

k b

a

x f x

f x

f

h dx

x

1

0) 2

( 2

) (

Công thức hình thang:

2 điểm đầu, cuối: hệ số 1; Các điểm còn lại: Hệ số 2

CÔNG THỨC SIMPSON VỚI n ĐOẠN CHIA CÁCH ĐỀU

-Công thức Simpson với n (số chẵn) đoạn chia bằng nhau)

b

a

x f x

f x

f x

f

h dx

x

3

) (

Sai số: ( )

180

4

4 b a h

≤

∆ Trung điểm (chỉ số lẻ): hệ số 4;

2 đầu: hệ số 1; Còn lại: Hệ số 2

VÍ DUÏ

-Xeùt









=

≠

=

0 ,

1

0 ,

sin )

(

x

x x

x x

f Tính tích phaân a/ CT hình

thang, h = 0.2 b/ Simpson, h = 0.25= ∫1

0

)

( dx x f

I

TÌM SỐ ĐOẠN CHIA

-a/ Công thức hình thang b/ Công thức Simpson

Tìm số đoạn chia n để xấp xỉ với sai số 10 -6 tích phân sau bằng

= 2

0 x 4

dx I