5 tính gần đúng đạo hàm và tích phân

Trần Hiếu Tính gần đạo hàm Bài tốn x x0 x1 xn y = f (x) y0 y1 yn Tính gần giá trị f (x) với x ∈ [x0 , xn ] Cho bảng giá trị Ý tưởng: f (x) ≈ P (x) P (x) Đa thức nội suy sinh từ bảng giá trị Giả sử bảng giá trị mốc nội suy cách khoảng h n P (t) = y0 + j=1 Khi dP (x) dx = x=x ∆j y0 t (t − 1) (t − j + 1) j! dP (x) dt dt dx = t=t= x−x0 h P t h Ví dụ Cho x 50 55 60 Tính f (51) y 3,9120 4,0073 4,0943 Giải: ∆2 y0 x − 50 P (t) = y0 + ∆y0 t + t (t − 1) với t = 2! Có: x y ∆ ∆2 50 3,9120 0,0953 -8,3.10−3 55 4,0073 0,0870 60 4,0943 P (t) = 3, 9120 + 0, 0953t − 4, 15.10−3 t (t − 1) 1 f (51) = P (0, 2) = 0, 0953 + 4, 15 × 10−3 − 8, 3.10−3 0, = 0, 019558 5 Trần Hiếu Tính gần tích phân Bài toán Cho bảng giá trị x x0 x1 xn y = f (x) y0 y1 yn b Tính gần I = f (x) dx, a = x0 , b = xn a 2.1 Cơng thức hình thang ∗ b Gọi P (x) đa thức nội suy sinh từ bảng giá trị Khi I ≈ I = P (x) dx a Giả sử bảng giá trị mốc nội suy cách khoảng h xi+1 f (x) dx ≈ Ii = xi h (xi+1 − xi ) (yi+1 + yi ) = (yi+1 + yi ) 2 xn ⇒ I∗ = f (x) dx = h [y0 + yn + (y1 + y2 + + yn−1 )] x0 Sai số: |I − I ∗ | ≤ 2.2 M2 (b − a) h2 M2 = max |f (x)| 12 [a,b] Cơng thức Simpson Giả sử bảng giá trị có 2n + mốc nội suy x0 , x1 , , x2n cách khoảng h Khi đó: I∗ = h [y0 + y2n + (y2 + y4 + + y2n−2 ) + (y1 + y3 + y2n−1 )] Sai số: |I − I ∗ | ≤ M2 (b − a) h4 M4 = max f (4) (x) 180 [a,b] ...Trần Hiếu Tính gần tích phân Bài tốn Cho bảng giá trị x x0 x1 xn y = f (x) y0 y1 yn b Tính gần I = f (x) dx, a = x0 , b = xn a 2.1 Công thức hình