các câu tích phân điển hình trong dạng bài tập khảo sát sự hội tụ và phân kì bài tập tích phân suy rộng do sinh viên đại học bách khoa hà nội biên soạn. các dạng tích phân thường gặp ở đề thi các năm gần đây và rất sát với đề chúc các bạn ôn thi thật tốt và đạt kết quả cao
Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 NGUYỄN THỊ MAI HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 TÍCH PHÂN SUY RỘNG Câu 1: Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng: x2 x6 dx Giải Đặt x6 f x Vì x2 dx x2 x6 f x dx ~ f x x3 g x 0, lim lim x g x x x6 x x6 x2 dx phân kỳ 1 , nên x x2 x6 dx phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh x2 0 x 1 x dx Câu 2: Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng: Giải: x2 x2 x suy rộng loại cận ; Đặt f x dx 0 x 1 x x 1 x Tích phân Xét g x Mặt khác f x x2 1 có lim lim x 0 g x x 0 x 1 x dx hội tụ nên tích phân x x2 0 x 1 x dx hội tụ Câu 3: Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng: Giải Ta có: Vì 1 sinx x x 1 dx nên x2 , x x2 sinx x x 1 dx sinx x x 1 dx Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 NGUYỄN THỊ MAI HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 Vậy 1 sinx x x 1 dx hội tụ tuyệt đối theo tiêu chuẩn so sánh Câu 4: Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng: J x arctan x dx x 1 x Giải: J 2 x arctan x x arctan x x arctan x dx dx dx J1 J 2 x 1 x x 1 x x 1 x x arctanx Khi x 1 : f x x 1 x 2 ~ x 1 g x Mà g x hội tụ nên J hội tụ x arctanx Khi x : f x x 1 x ~ x2 x g x x2 Mà g x dx hội tụ nên J hội tụ Vậy J J1 J hội tụ Câu 5: Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng: x3 x x 1 Giải: Đặt x3 x x 1 dx Khi x : f x f x dx x3 x x 1 ~ x3 x 1 f x lim Chọn g x , ta có lim x g x x x x x3 x x 1 x dx Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 NGUYỄN THỊ MAI HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 Mặt khác ta có g x dx phân kỳ p 1 Vậy theo tiêu chuẩn so sánh 2, tích phân x3 x x 1 dx phân kỳ x Câu 6: Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng: x 1 dx Giải: Đặt x x 1 dx Khi x : f x ~ Chọn g x f x dx x 4x x2 f x lim , ta có lim x g x x 2x x x 1 x Mặt khác ta có g x dx hội tụ p 1 Vậy theo tiêu chuẩn so sánh 2, tích phân x x 1 Câu 7: Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng: dx hội tụ x2 x dx 3x x x Giải: Với x [1; ), xét f x x2 x x2 0, g x 0 3x 3x 3x x x f x x2 x lim lim 3x x g x x x x x Suy K x2 x dx 3x x x 3x dx tính chất hội tụ Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 NGUYỄN THỊ MAI HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 Mà 3x dx hội tụ, p Vậy K hội tụ Câu 8: Tích phân suy rộng 2x x1,01dx hội tụ hay phân kỳ? x2 Giải: Với x [2; ), xét f x x1,01 0, g x x2 x2 x 0,99 0 f x x1,01 lim lim x 0,99 2 x g x x 2x x Mà dx 2 x0,99 phân kỳ nên 2x x1,01dx 2 x2 phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh giới hạn Câu 9: Khảo sát hội tụ tích phân: x3 x dx x sinx Giải Đặt x3 x dx x sinx f x dx x3 Khi x : f x ~ x x x3 x3 x 1 f x Xét g x , ta có lim lim x g x x x x sinx Mặt khác ta có 1 dx hội tụ nên x3 x3 x dx hội tụ x sinx Câu 10: Khảo sát hội tụ tích phân: x 1 x x 1 dx Giải Tích phân x 1 x x 1 dx f x dx tích phân suy rộng loại cận Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 NGUYỄN THỊ MAI HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 Xét hàm g x mà f x 1 x x 1 lim 1 x x ; lim lim x 1 x x 1 g x x 1 x x x 1 x dx phân kì nên tích phân x 1 x x 1 dx phân kì Câu 11: Xét hội tụ tích phân suy rộng: I si.n2 x x x dx Giải: I sin2 x x x sin2 x Xét I1 x x sin2 x dx x x dx si.n2 x x x dx I1 I dx Hàm dấu tích phân hàm khơng âm Ta có: x : Mà 2 x VCB dx hội tụ 1 nên I1 hội tụ (TCSS2) x si.n2 x x x 3 Xét I x x ~ 3 Mà sin2 x x dx Ta có : sin2 x x x ; x [2; ) x4 dx hội tụ 1 nên I hội tụ (TCSS1) Kết luận: I hội tụ Câu 12: Khảo sát hội tụ tích phân sau: x3 x dx x5 x3 x Giải: f x x3 x 1 Đặt f x Xét hàm g x ; lim x x x 5x x g x Mà 1 dx hội tụ nên x2 x3 x dx hội tụ x5 x3 x Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 NGUYỄN THỊ MAI HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 Câu 13: Khảo sát hội tụ tích phân sau: x.ln 1 x x2 1 dx Giải Đặt h x Mà x.ln 1 x x 1 Xét hàm k x dx hội tụ nên x 1 x.ln 1 x x2 1 h x xln 1 x ln2 ; lim lim x x1 k x x1 x 1 dx hội tụ Câu 14: Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng: x x3 dx Giải Ta có: x 1 x ~ x 1 1 1 x dx hội tụ Mà 0 x 1 x x3 dx hội tụ Câu 15: Tích phân suy rộng sau hội tụ hay phân kì? Tính giá trị tích phân có: 0 x 1 x dx Giải 1 t 1 1 dx dx dx lim dx lim dx t t 0 x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x t 1 dx 2 du 2arctan x C (Đặt u x ) 1 u2 x 1 x t dx lim 2arctan x lim 2arctan x t 0 t t x 1 x x lim 2arctan t lim 2arctan t t t 0 4 Câu 16: Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng: 3sinx x x5 dx Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 NGUYỄN THỊ MAI HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 Giải: 3sinx x 2 x 2 3sinx dx x 2 x dx 2 3sinx x 2 x 3 2 dx I1 I Xét I1 3sinx Khi x 2 : 3sin2 Do x x5 3sin ~ x 34 x 2 34 dx, hội tụ nên I hội tụ ( TCSS2) Xét I 3sinx Khi x : x x5 Do 10 x x5 10 3 x2 dx; hội tụ nên ~ 10 3 x 2 x 2 10 x2 dx hội tụ (TCSS2) nên I1 hội tụ ( TCSS1) Vậy I I1 I hội tụ x Câu 17: Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng: J x 1 x x Giải x 3x Khi x 2 : Mà x x 3 x 2 dx 52 ~ 5 x 2 dx x 2 1 hội tụ 1 Từ 1 J hội tụ (theo tiêu chuẩn so sánh 2) Câu 18: Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng: x Giải: x 1 x4 1 dx dx Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 NGUYỄN THỊ MAI HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 Ta có: x x 1 ~ x3 x x dx hội tụ x x x 1 1 x4 dx hội tụ Câu 19: Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng: x 1 sinx dx 4x2 4x Giải sinx 1 x3 x2 xdx 1 f x dx 𝑥 tích phân suy rộng loại cận x 2 Đặt Xét hàm g x Mà x 2 x 2 f x ; lim g x x2 dx phân kỳ nên x 1 1 sinx x lim x2 x 4x 4x 2 lim x2 sinx dx phân kỳ 4x2 4x Câu 20: Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng: x x x 1 dx x3 x Giải Khi x , Mà x Vậy x x 11 ~ x3 x x2 dx hội tụ x x x 1 dx hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh x3 x Câu 21: Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng: Giải: Khi x 1 : x4 1 ~ x 1 sinx sin hữu hạn x x4 1 dx Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 NGUYỄN THỊ MAI HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 Mặt khác: 1 dx hội tụ x 1 2 x lnx Vậy x2 5x dx hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh Câu 22: Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng: sinx dx 1 x Giải sinx , x x 1 x Ta có: Mà dx hội tụ nên x2 sinx dx hội tụ 1 x Câu 23: Tính tích phân suy rộng: x dx x2 x 1 Giải: 2 t t 1 t2 1 x x 1 t x x dx dt 2t 2t 1 Đặt Đổi cận: t x x x; x t 2; x t lim x 2dt arctan t 1 2 I Câu 24: Tính tích phân suy rộng: dx 19 3 x x2 Giải: dx 19 3 x x2 Đặt t dx x x 19 21 1 t3 1 2 x x dx x7 x2 x2 x 1 x Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 NGUYỄN THỊ MAI HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 I t t 3 1 dt 2 3 27 4 10 80 Câu 25: Khảo sát hội tụ tích phân: I xm dx cos x Giải: I x m cos x xm dx cos x xm dx dx cos x xm Khi x : f x ~ Khi x : f x x x m Tp HT m 1 m 3 xm m ~ cos x cos x Vậy cho HT với m x Câu 26: Tính tích phân suy rộng: I dx x ln x ln x lnx e Giải: Đặt t lnx dt dx Ta tpsr loại hàm hữu tỉ: x dt ln t t t I 1 Câu 27: Khảo sát hội tụ tích phân: I lnx x 1 x Giải I lnx x 1 x dx lnx x 1 x dx lnx x 1 x dx dx m x TP hội tụ m Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 NGUYỄN THỊ MAI HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 Giải: Ta có: I x2 x2 dx 0 x m 1 x m1 dx x m 1 x m 1 1 x2 dx I1 I x m 1 x m 1 Hàm f x 0, x x 0 : f x ~ x : f x ~ I1 hội tụ m xm 1 I hội tụ m 2m x Vậy I hội tụ m 1 2 Câu 31: Tìm để tích phân sau hội tụ I dx x 4x2 Tính tích phân 2 Giải Ta thấy cận tích phân làm cho biểu thức dấu tích phân khơng xác định Nên ta tách thành tích phân suy rộng loại sau: I dx x 1 4x dx x 1 4x Xét tích phân I1 : I1 dx x x2 I1 I dx x x Xét x : + Khi : x + Khi : x + Khi : 4x2 4x x x ~ I1 hội tụ ~ ~ 1 4x2 ~ I1 hội tụ x Như để I1 hội tụ trường hợp phải thỏa Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 NGUYỄN THỊ MAI HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 Tổng hợp lại với I1 hội tụ! dx Xét tích phân I : I x 4x2 Xét x : + Khi 0: x x 1 x 1 x x ~ tích phân suy rộng loại + Khi : x 1 4x + Khi : x 1 4x ~ 1 2 2 x 2 1 2 x 2 1 21 x 2 nên I hội tụ I hội tụ KẾT LUẬN: Do I hội tụ nên I hội tụ I1 phải hội tụ Vậy thỏa mãn * Tính tích phân 2 Khi 2 ta có tích phân sau: I Đặt: x x x2 dx x2 dx 0 x 1 dx costdt sint với t 2 2 Đổi cận: x t 0; x t 2 1 cos 2t Tích phân trở thành: sin tdt dt 80 02 32 2 1 2 21 x 2 I hội tụ ~ 1 2x 2 Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 NGUYỄN THỊ MAI HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 Câu 32: Tìm để tích phân sau hội tụ I 22 x e x e x dx Tính tích phân 5 Giải: Đây tích phân suy rộng loại 22 Khi x , ta có: x e x e x x 22 x32 3 x x e e ~ x 2 x x x x Để tích phân hội tụ thì: Khi 5 , tích phân trở thành: I Đặt: u ex e x5 x2 dx du dx Đổi cận: x u 1; x u x x 1 1 1 Tích phân trở thành: I u e2u e3u du ue2u du ue3u du I1 I 20 20 20 Đến dễ dàng tính I1 , I tích phân phân Vậy I e2 3 9e 72 Câu 33: Cho tích phân I x dx m 2 x2 1 Tìm m để tích phân I hội tụ tính tích phân m2 Giải: Do x làm cho biểu thức dấu tích phân khơng xác định Nên tích phân suy rộng loại Tách thành tích phân sau: dx dx dx I I1 I m m m x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 Xét tích phân I1 sau: I1 x dx m 2 x2 1 x m 2 dx x 1 x 1 Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 NGUYỄN THỊ MAI HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 Khi x 1 : x 2 m dx x 1 x 1 ~ 1 x 1 + Đây tích phân suy rộng loại 2, thấy x Xét tích phân I I1 hội tụ dx m 2 x2 1 Khi x ta xét trường hợp m sau: Khi m 0, xét x Khi m 0, xét: Khi m 0, xét: m 2 x2 1 x x ~ m 2 x2 1 m 2 x2 1 I phân kỳ I phân kỳ 2x ~ ~ I phân kỳ I phân kỳ 3x x m 1 Như m ta thấy m I hội tụ (do tích phân suy rộng loại 1) Kết luận: + Do I1 hội tụ nên để I hội tụ phụ thuộc vào I Suy ra, I hội tụ m Tính tích phân m : Khi m 2, tích phân cho trở thành: I Đặt: t x dx 2 x2 1 dx x x2 2 1 t t x2 xdx dt 2 2 x x 1 t 1 t Tích phân tương đương với: t xdx x2 x2 2 1 1 dt t dt dt t 0 2t t 2t 1 1 t2 1 t2 1 t2 x 1 t 2 1 x2 Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 NGUYỄN THỊ MAI HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 1 t 1 dt t t t t 1 dt 0 t t t 1 6 t ln t ln ln 0 2 Câu 34: Cho tích phân I x dx m 1 x x Tìm m để tích phân I hội tụ tính tích phân m Giải: - Do x làm cho biểu thức dấu tích phân khơng xác định Nên tích phân bất định loại Tách thành tích phân sau: dx dx dx I I1 I m m m 2 x 1 x x 2 x 1 x x x 1 x x Xét tích phân I1 sau: I1 Khi x 2 : x dx m 1 x x xm 1 x 12 x ~ dx x 1 1 x x 2 m 2m 1 x Nhận thấy với m (lưu ý hàm số xác định m ) Thì Do thấy 2m 1 I1 hội tụ (đây tích phân suy rộng loại 2) Xét tích phân I x dx m 1 x x Khi x ta xét trường hợp x sau: Khi m 0, ta xét hàm dương sau: kỳ x m 1 x x 2 ~ I phân kỳ I phân 2x Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 NGUYỄN THỊ MAI HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 Khi m : khơng xét làm hàm số khơng xác định I khơng có tích phân * Khi m 0, ta có: x m 1 x x ~ x m1 Như m ta thấy m I hội tụ Kết luận: + Do I1 hội tụ nên để I hội tụ phụ thuộc vào I1 Suy ra, I hội tụ m > Tính tích phân m 1: dx x 1 x2 5x 2 1 Đặt: x dx dt t t Tích phân tương đương với: x 1 dt t 1 t2 t Đặt t dt 2t t t2 dx x2 5x 1 1 1 1 t t t dt 1 t 2 3 sinu dt cos udu 2 Tích phân trở thành: arcsin 3 cosudu arcsin 3 cosu Câu 35: Tính tích phân I x 1 x2 dx Giải Xét: x x 2 x x2 x2 x2 dt Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 NGUYỄN THỊ MAI HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 Vậy, ta có: I x dx x2 1 x 4 x dx x x2 dx I1 I Xét I1 : Đặt t 1 x dx dt x t t t x Với x t 1 dt 2 dt dt 1 t I1 dx ln 2t 4t 1 ln 2 2 1 x 4 x 1 4t 12 4t t t 2 Tương tự với I Vậy I I1 I ln Câu 36: Tìm tất số thực để tích phân I x ln 1 x x arctanx dx hội tụ Giải: I x ln 1 x dx x3 arctanx Đặt f x x ln 1 x x arctanx dx x ln 1 x x3 arctanx dx I1 I x ln 1 x x arctanx Xét I1 : x2 x x x x x 1 x x 2 2 ~ Khi x 0 : f x ~ x 2 x3 x x3 x Suy I1 chất với x 1 dx x 1 ~x x 2 x 1 Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 NGUYỄN THỊ MAI HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 Vậy để I1 hội tụ thì: 1 Xét I : x 2 3 x x Khi x : f x ~ x dx Suy I chất với 2 Vậy để I hội tụ thì: 2 2 2 Từ 1 : Để I HỘI TỤ Câu 37: Tìm tất số thực để tích phân sau hội tụ I trị tích phân Giải x điểm kì dị Khi x : TH1: : lim x lim x 0 x 0 x 1 x.arctanx ~ x x x 2 dx x Suy 𝐼 chất với ~ dx 0 x2 Dễ thấy dx hội tụ I hội tụ 1 0 x2 TH2: : x 1 x.arctanx ~ x.x ~ x 1 x 1 xarctanx dx Tính giá Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 NGUYỄN THỊ MAI HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 Suy 𝐼 chất với Vậy để I hội tụ dx x 1 1 1 Từ 1 suy 1 1 dx Khi , tích phân trở thành: I x 1 x.arctan x dx 2dt I 4 t 2 Đặt t arctan x dt x 1 x t 0 x.sin ax Câu 38: Xét tính hội tụ tích phân: k x2 dx k 0, a Giải k x2 x Xét hàm g x Như x k g ' x hàm , ta có: g ' x k x2 k x2 x 0 x k x g x đơn điệu giảm lim g x lim x A Mặt khác, với A a : sin axdx cosAa M a a Theo dấu hiệu tích phân Dirichle tích phân cho hội tụ Câu 39: Xét hội tụ tích phân: a sinx dx với a x Trước hết theo định lý Dirichlet tích phân sinx a x dx hội tụ Tuy nhiên, tích phân hội tụ Do sinx x sin2 x 0, x [a, ) x Mặt khác: sin2 x cos x nên x 2x sin x dx cos x a x dx a x a x dx a sinx x dx không Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 NGUYỄN THỊ MAI HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 Tích phân thứ phân kì, tích phân thứ hai hội tụ Vậy tích phân sinx x a sin2 x a x dx phân kỳ, dx phân kỳ Câu 40: Tính tích phân suy rộng e x 1 x 2 dx e x Đặt: I dx x x t e x e t 1t x x2 t Khi đó, ta có: dx e e dtdx e e dtdx dt x 1 t 0 0 0 Ta thấy y: 1 0 2 dt I ' x 2 e x t t e dt 1 t Nhưng t t t t t t t 1 2 2 e dt te dt e dt 2 te e dt e dt 1 t 0 1 t 0 1 t 1 t Vậy e x 1 x 2 dx Câu 41: Tìm để tích phân sau hội tụ: I 1 x x dx x cosx Giải: I 1 x x dx 1 x cosx Xét I1 , x 0 : f x ~ x I1 chất với x 2 dx 1 x x dx x cosx 1 x x dx x cosx I1 I Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 NGUYỄN THỊ MAI HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 Vậy I1 hội tụ Xét I , x : f x ~ x 14 I chất với x 14 dx Vậy I hội tụ Câu 42: Tìm để tích phân sau hội tụ: I x2 dx x 1 x 1 Giải: I x2 x2 dx dx 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x2 dx I1 I x 1 x 1 Khi 1 Xét I1 , x 0 : f x ~ x I1 chất với x dx Vậy I1 hội tụ Xét I , x : f x ~ x 2 I chất với x dx Vậy I hội tụ 2 Khi 1 làm tương tự Câu 43: Xét hội tụ tích phân sau: I Giải: dx sinxcosx Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 NGUYỄN THỊ MAI HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 tách cận f x 0, kỳ dị dx dx dx I1 I sinxcosx sinxcosx sinxcosx I Xét I1 : f x kỳ dị Xét I : f x kỳ dị x Vì x x 0 : f x ~ : f x x hội tụ nên I1 hội tụ sinx sin x 2 ~ x Vì x 2 hội tụ nên I hội tụ Vậy I I1 I hội tụ Câu 44: Tính tích phân suy rộng: I dx x 1 x2 x Giải: x điểm kỳ dị Tích phân suy rộng kết hợp Ta tách thành tích phân: I x 1 Xét I1 Đặt: t dx x2 x x 1 x 1 x2 x dx x2 x dx lim k 1 dx dt x 1 x 1 k x2 x dx x 1 dx x 1 x2 x lim k 1 k x 1 dx 1 x x 12 Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 NGUYỄN THỊ MAI HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 Đổi cận: x t 1 2 Ta có: k I1 lim k 1 dt 2t 3t k x x 2 k 3 3 2 ln t t t lim ln k k k 2ln ln12 2 2 2 k k dx x 1 I2 lim Giải tương tự: I lim k dx x 1 x x lim k x 1 dx 1 x x 12 2 3 2 ln ln 12 3 2 ln Vậy I I1 I 2ln2 Câu 45: Xét hội tụ tích phân: 2x 1 x x5 dx Giải: Khi x ta so sánh: x ~ x; x x5 ~ x x x Nên bắt buộc phải chia ban đầu thành tổng sau: I 2x 1 x x5 2x 1 dx 3 x x dx 2x 1 x x5 dx I1 I I1 hàm liên tục đoạn lấy nên xác định (tp HT) Tp I HT x dx HT (theo so sánh trên) Do vậy, cho HT Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 NGUYỄN THỊ MAI HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng: J 1 x x dx sin x Câu 2: Khảo sát hội tụ tích phân I Câu 3: Khảo sát hội tụ tích phân I Câu 4: Cho tích phân arctanx 1 x Câu 5: Cho tích phân I x dx x x x 4 x arctan x 3x x ln dx x x 1 dx Tìm để tích phân hội tụ tính tích phân arcsin xdx Tìm để tích phân hội tụ tính tích phân x 1 x 1 x arctan x x Câu 6: Tìm để tích phân sau hội tụ : Câu 7: Xét tích phân suy rộng dx 1 x 1 x , tham số Tìm giá trị nguyên dương bé để tích phân suy rộng hội tụ Với tìm được, tính tích phân Câu 9: Xét tích phân suy rộng xm x2 hội tụ Tính giá trị tích phân m dx Tìm m điều kiện m để tích phân suy rộng Câu 10: Cho f x e sin x , g x ln 1 sint dt Tìm b để lim x 0 3x Với b vừa tìm được, tính giá trị giới hạn Câu 11: Khảo sát hội tụ I sinhx e cosx x2 dx f x g x nhận giá trị hữu hạn Lời giải thực hiện: HOÀNG HUY QUÂN – Lớp: Kỹ thuật nhiệt – K64 NGUYỄN THỊ MAI HƯƠNG – Lớp: TĐH 09 – K64 Câu 12: Tìm để tích phân sau hội tụ I Câu 13: Tìm để tích phân sau hội tụ I x sin x 1 x lnx 1 2x 1 x Câu 14: Tìm để tích phân sau hội tụ x arcsin x x x5 1 x dx ... 31: Tìm để tích phân sau hội tụ I dx x 4x2 Tính tích phân 2 Giải Ta thấy cận tích phân làm cho biểu thức dấu tích phân khơng xác định Nên ta tách thành tích phân suy rộng loại sau:... Câu 7: Xét tích phân suy rộng dx 1 x 1 x , tham số Tìm giá trị nguyên dương bé để tích phân suy rộng hội tụ Với tìm được, tính tích phân Câu 9: Xét tích phân suy rộng xm x2... Cho tích phân I x dx m 1 x x Tìm m để tích phân I hội tụ tính tích phân m Giải: - Do x làm cho biểu thức dấu tích phân khơng xác định Nên tích phân bất định loại Tách thành tích