Tích phân bội là một loại tích phân xác định được mở rộng cho các hàm có nhiều hơn một biến thực, ví dụ, ƒ hoặc ƒ. Các tích phân của một hàm hai biến trên một vùng trong không gian ℝ² được gọi là tích phân kép, và tích phân của hàm ba biến trên một miền của R³ được gọi là tích phân bội ba
Tích phân kép Chuyển sang tọa độ cực { | | ∬ ( | | ) ∬ ∬ ( ) √ ∬ √a a y { a ’: ≤ ∬ ≤ 1; ≤ O ≤ 1 √1 ∫ ∫ 0 x √1 y ∫ √1 (√ b D’: ∫ (√1 ) (√1 )| -a 1) O a x { ≤ r ≤ a; NMHoàng ≤ ≤ Page a ∬√ √ ∫ ∫√ 0 ∫√ √ ∫ | 0 ) hàm ác định D ℝ2 ( ∬ ( ) D z = f(x, y) z V y yi xi Mi ΔVi x ΔSi Phân hoạch D thành miền nhỏ Δ Trên mỗ Δ i lấy Mi(xi, yi) ∑ ( Δ … Δ n )Δ ∬ ( ) lm m NMHoàng (Δ ) lm m (Δ ) ∑ ( )Δ Page Nhận xét: dS = dxdy ∬ ( ) ∬ ( ) Nếu chọn f(x, y) = 1, (x, y) ∈ D f(xi, yi) = 1, i = ( ): ∬ h c ) ≥ (x, y) ∈ D : : r | h ( : ∬ ( ) : h ( h c ch h h h ) h h ch h h Tính diện tích hình phẳng D1 giới hạn bởi: y2 = 4ax; x + y = 3a (a > 0) ( 1) ∬ 2a y = 4ax = 4a(3a – y) = 12a – 4ay y2 + 4ay – 12a2 = Δ’ + 12a2 = 16a2 y1 = 2a x1 = a y2 = -6a x2 = 9a D1: -6 ≤ (D ) ∫ ≤ ; ≤ ∫ ≤ –y ∫( 9a a -6a ) |( )| | |6 NMHoàng 1 | 64 Page Tính thể tích hình trụ V1 giới hạn mặt: x = 0; y = 0; x + y = 1; z = 0; z = x2 + xy + z ∬( 1) y 1 y O x D x :0≤ ≤ 1; ≤ 1 ∫ ∫( 0 ∫( ≤1–x 1 (1 ) 1) (1 ) ) 1 )| ] ∫ [( 1 ∫( ) ( )| Ứng dụng tích phân lớp để tính diện tích mặt cong z ∬ √1 S: f = f(x, y) y x D NMHoàng Page Tích phân bội ba h ) hàm ác định V Oxyz ( ∭ ( ) lm (Δ ) ∑ ( )Δ z y x Nhận xét: f(x, y,z) = (x, y, z) ∈ V z ∭ Cách tính: y TH1: V = [a, b]×[c, d]×[e, f] ∫a ∫ ( ∫ ) x TH2: ( ∬ ) ∫ ( NMHoàng ) S2: z = z2(x,y) S1: z = z1(x,y) ) ( y ) ( ∫ ( ( z ) ∫ ( ∬ ) ) ( ∬ ( ) ) x D Page Tính tích phân sau: ∭ √ z √ S2 ∬ ∫ ∬( y ) S1 x { y 0≤ ≤ : 0≤ ≤ ∫ ∫( 0 ) -R R x 4 ( )| 4 TH3: Công thứ đổi biến ( ) ( ) ( )∈ { ( ) | ∭ ( ( NMHoàng | ); ( ( )∈ ); ( ))| | Page Các mặt thường gặp Mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = Oxy: z = 0; z = a Oyz: x = 0; x = a Oxz: y = 0; y = a ( z C B A x ): y c Mặt cầu: x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = A(a, 0, 0); B(0, b, 0); C(0, 0, c) I(-A, -B, -C), R = √ Mặt trụ: x2 + y2 = R2 y2 + z2 = R2 x2 + z2 = R2 z y x z Mặt nón: x2 + y2 = z2 x2 + z2 = y2 y2 + z2 = x2 y x z Mặt paraboloid: x2 + y2 = z y2 + z2 = x x2 + z2 = y y x z Mặt Ellypsoid: c y x NMHoàng Page Đổi biến sang tọa độ trụ: ( ) ( ọ đ c ọ đ z z ) M y { y r 0≤ ≤ 0≤ ≤ - ≤ ≤ | | | 0 ∭ ( x M' x 0| ) Tính tích phân ∭ √ a z a ∬ V ∫ √ ∬ [( O )| ] √ y D x ∬√ 0≤ ≤ | 0≤ ≤ { a ∫ ∫ r r a r ∫ [( ) | ] a ∫ a ∫ 16 NMHoàng Page Đổi biến sang tọa độ cầu: ( ) ( ọ đ c ọ đ c z z ) θ M r θ θ θ { y θ y x 0≤ ≤ 0≤θ≤ 0≤ ≤ M' x θ | θ | θ θ ∭ ( θ θ) θ θ θ Tính tích phân ) ∭( đ a z a a y x θ θ { θ NMHoàng 0≤ ≤ |0≤θ≤ 0≤ ≤ Page ∫ ∫ ∫ 0 ∫ θ θ ∫( θ θ θ) ( ∫(1 1 ) θ) θ θ) ( θ θ )| θ θ (0 θ Ứng dụng tích phân lớp: Tính th tích ∭ Tính thể tính hình Ellypsoid a z { : ≤1 c c 0 |0 0| 0 c ∭ a x c 0≤ ≤1 | 0≤θ≤ 0≤ ≤ θ θ { θ c∫ ∫ ∫ 0 NMHoàng y b c θ θ c θ |θ θ c Page 10 1 … 1 1 1 1 … ; lm( … ) ( h h … l ) (✳) phân k Chuỗi s ươ ∑ … … un > 0; n Sn = u1 + u2 … un: ă : h [ lm : h Nhận xét: ế ⏟ ị ch n n Đ nh lý so sánh thứ nhất: ∑ ∑ 1 : ch ỗ hỏ m : ≤ h đ : Nế h h ② h Nế ② h i t h h it Ví dụ: Xét hội tụ phân kỳ chuỗi: a ∑ ∑ Giải: c : à: ∑ c : NMHoàng 1 ≤ ∑ h 1 h ≤ Page 33 à: ∑ 1 ∑ h h Đ nh lý so sánh thứ hai: ∑ ∑ 1 : ch ỗ 0: lm h [ :② h ( h ②h h h ): à②c Nhận xét: Nếu un h h đ h c h à②c h it ho c phân k Ví dụ: Xét hội tụ phân kỳ chuỗi sau: a ∑ ∑ ar ta ∑ √ Giải: ∑ ( ) h à: ∑ c à: ∑ √ à: ∑ ( ) NMHoàng ∑ h c h h 1 ∑ c h ( ) ∑ √ h Page 34 Đ nh lý so sánh thứ ba: f(x) liên t c ảm [1 Un = f(x) … h đ : ∫ ( ) ∑ ) c h h c h 1 Nhận xét: ch ỗ ∑ α (✳) α < 0: (✳) phân k α 0: (✳) phân k α 1: (✳) phân k α α 1: α 1: (✳) h i t α 1: (✳) phân k Ví dụ: Xét hội tụ, phân kỳ chuỗi sau: a ∑ ( ∑ ) √ ∑( s ) Giải: à: ∑ 1 1 √ √ à: ∑ NMHoàng h 1 h √ ∑ l (1 h (1 c ) 1 ∑ h l (1 à: ∑ 1 ) ∑ (1 √ ( ) h ) )h Page 35 Quy tắc ’ rt/ au ∑ … 1 lm lm √ …: L 1: h [L < 1: h L 1: h c L } L ế l ậ Ví dụ: Xét hội tụ, phân kỳ chuỗi sau: a ∑ ∑ a (a α ) Giải: ( 1) 1 ∑ → h 1 ( α α 1)α ∑ α |x0| h ỳ ⏞ → p â ỳ ⏞ | 0| p â | 0| ỳ ộ tụ ⏞ → p â ⏞ ⏞ ⏟ ưa ỳ ⏟ đ ưa đ R: bán kính h i t ( [ Miền hội t ①: D ( [[ Cách tìm bán kính hội tụ: | lm | } lm √ [ ) ) ] ] {0} ( m h m ) Tìm miền hội t chuỗi: ∑ ( ( lm 1 l m (1 l m (1 lm| 1) ) | NMHoàng ( ) )( ( ( ) 1) ) ) lm Page 40 ∑( √( √ ) 1 → ) R=1 Xét x = R = 1: ∑( ( ) ) lm ( ) l m (1 (✳) phân k Xét x = -R = -1: ) ( 1) ∑( lm| | ( lm ) ( 1) | l m |( ) l m [(1 ( 0) ( 0) ( ) a NMHoàng ( ] 0 lm ( x = x0: f(x0) = a0 ’( ) + 2a2(x – x0) ( ) x = x0: ’( 0) = a1 = ’’( ) x = x0: ) ) ) 1 (✳✳) phân k () Vậy mi n hội tụ: Khai triển chuỗ ũ t ừa hàm: ( ) ác định (a, b), x0 ∈ (a, b): → ( ) ∑ 1 1( 0) … + 2.3a3(x – x0) ( ) a n(x … … a ( – x0)n–1 0) … … ( – 1)(x – x0)n … ) Page 41 Khai triển Taylor: ( ) ( 0: ( ) ( 0) 0) ( ) ( … ( ) ( ) ( ) 0) … ( ) ( 0) ( 0) … ( 1) … ( 1) … ( 1) … … Khai tri n Maclaurin Một s khai triển Maclaurin quan trọng: 1 1 ) … ( … 1 ( ) … ( … 1 1) ( 1) … l (1 ) … ( 1) 1 c … ( 1) 1 … ( 1) … ( 1) ( … ( 1) ) 4 ng giác: Chuỗ ∑( ( ) …( ) ) ( 1 ) ( ) … ( ) … Tổng riêng th n: ( ) ∑( ) NMHoàng Page 42 Một s tập quan trọng: f(x) hàm chẵn: ∫ ( ) ∫ ( ) f(x) hàm lẻ: ∫ ( ) f(x) hàm tu n hoàn chu k 2k: α ∫ ( ) ∫ (m ) ∫ ( ) { ∫ ( ) (m ) , ∈ m m , (m ) (m ) ∫ ( ) ( α {0 ( ) ∈ m m m { ) ∫ m ∫ ∫ ( ) 0 m m m 0 Tổng riêng thứ n: a ( ) ∑(a ) s Hàm tu n hoàn chu k Nế lm ( ) ( ) S(x): tu n hoàn chu k Chuỗi Fourier: → NMHoàng S(x): tu n hoàn chu k Page 43 ( ) ( a ∫ ( ) a ∫ ( ) 1 ) … ( ) … s ∫ ( ) Đ u kiệ để f(x) khai triể đư c thành chuỗ ng giác: Định lý: f(x) thỏa mãn: f(x) tu n hoàn chu k ( ) ’( ): l c khúc [ ] h đ : ( ) đ ợc khai tri n thành chuỗi Fourier c th : ( ): đ m l c ( ) {1 ỗ r r ( )]: đ m đ [( ) Nhận xét: f(x) liên t c a f(a) = f(a+) = f(a ) Hệ quả: f(x) thỏa mãn: f(x) tu n hoàn chu k f(x) liên t c [ ] ’( ) l c khúc [ h đ : h ỗi Fourier = f(x) NMHoàng ] Page 44 Ví dụ: Cho f(x) hàm tuần hoàn chu kỳ ếu ( ) { ếu đ nh bởi: Viết khai triển Fourier f(x) Giải: y - -2 Các đ m Xét ∫ ( ) x ∈ℤ đ : ∈ℤ O ∫ ( ) ∫ ( ) 1 ∫ ( ) ∫ 0 ∫ ( ) ( ) ∫ ( 1) { ế … ∑ ( ( 1) ( 1) chẵ ế ( ) lẻ … ) ∈ℤ Xét x = ( ) 1 (( NMHoàng ) ( )) Page 45 Ví dụ: Cho f(x) tuần hoàn chu kỳ Viết khai triển Fourier f(x) Giải: đ nh bởi: f(x) = x [- ] y O - -2 1 1 ∫ ( ) ∫ ∫ ( ) ∫ ( ) [ x ∈ℤ ác đ m gián đ ạn: x = (2n – 1) Xét ( – 1) ∈ℤ ∫ 0( ∫ | hàm lẻ) ∫ ∫ 0 ∫ ] [ | ( ) | ] 0 ế chẵ { ế ( ) ( ) ∑ 4 … ( 1) … ( ) Xét x = (2n – 1) ( ) (( ) NMHoàng lẻ ∈ℤ ( )) Page 46 Chú ý: f(x) tu : F( ) n hoàn chu k 2k ( ) F(x) tu n hoàn chu k Thật vậy: ( ) ( ( ) ) a ( ) ( ( ∑(a )) ( ) ) s ( ) ( ) (✳) n Thay x = ( vào (✳) ) ∑( a ∫ ( ) a ∫ ( ) ∫ ( ) NMHoàng ( ) ( )) s Page 47 ... thuộc dạng sau: ( ) } : Nghiệm dạng tường minh ( ) φ( ) : Nghiệm dạng ẩn (t) } : Nghiệm dạng tham số (t) Đồ thị nghiệm gọi đường tích phân ươ trì p â ấp 1: F( ’) Dạng 1: Khuyế : F( ’) y=∫ (... dụ: Giải ptvp sau: a ’ +4 b ’ ’3 Giải: 4 ∫ c ’ y = t + t3 ậ ệ pt { ∫ l | | t |t| t t Dạng 3: PTVP biến phân ly: f(x)dx = g(y)dy ∫ ( ) ∫ ( ) Ví dụ: Giải ptvp sau: (1 + x)ydx + (1 – y)xdy = Giải: ... xét: ch ỗ ∑ α (✳) α < 0: (✳) phân k α 0: (✳) phân k α 1: (✳) phân k α α 1: α 1: (✳) h i t α 1: (✳) phân k Ví dụ: Xét hội tụ, phân kỳ chuỗi sau: a ∑ ( ∑ ) √ ∑( s ) Giải: à: ∑ 1 1 √ √ à: ∑ NMHoàng