Đang tải... (xem toàn văn)
Mình xin gửi mọi người phần tổng hợp các tiêu chuẩn, định lý, tính chất cơ bản về chuỗi số trong Giải Tích 3. Để kiến thức được chuẩn thì trong đây đều là kiến thức mình Latex lại từ giáo trình thầy Bùi Xuân Diệu. Có sai sót thì mong mọi người thông cảm.
CÁC TIÊU CHUẨN VÀ ĐỊNH LÝ VỀ CHUỖI LATEX by Trần Thành Luân - CLB Hỗ trợ học tập Định lý (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ) ∞ Nếu chuỗi số lim an = ∑ hội tụ n→∞ n=1 I Chuỗi số dương Tiêu chuẩn tích phân ∞ Định lý Cho f (x) hàm số liên tục, dương, giảm đoạn [1, ∞) an = f (n) Khi chuỗi số ∑ an n=1 ˆ∞ f (x)dx có tính chất hội tụ phân kỳ Nói cách khác, tích phân suy rộng ˆ∞ ∞ f (x)dx hội tụ • Nếu ∑ an hội tụ n=1 ˆ∞ ∞ f (x)dx phân kỳ • Nếu ∑ an phân kỳ n=1 Các tiêu chuẩn so sánh ∞ Định lý Cho hai chuỗi số dương n=1 ∞ • Nếu n=1 ∞ ∑ bn hội tụ ∑ an hội tụ n=1 n=1 ∞ • Nếu ∞ ∑ an ∑ bn có an ≤ bn với n kể từ số n Khi ∞ ∑ an phân kỳ ∑ bn phân kỳ n=1 n=1 ∞ Định lý Cho hai chuỗi số dương ∞ ∑ an ∑ bn thoả mãn n=1 n=1 lim an n→∞ bn ∞ Khi ∞ ∑ an ∑ bn có tính chất hội tụ phân kỳ n=1 =c>0 n=1 Tiêu chuẩn d’Alambert an+1 = L Khi n→∞ an Định lý Giả sử tốn lim • Nếu L < chuỗi cho hội tụ • Nếu L > chuỗi cho phân kỳ Tiêu chuẩn Cauchy Định lý Giả sử tốn lim n→∞ √ n an = L Khi • Nếu L < chuỗi cho hội tụ • Nếu L > chuỗi cho phân kỳ II Chuỗi với số hạng có dấu Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ ∞ Định lý Nếu ∞ ∑ |an | hội tụ n=1 ∑ hội tụ n=1 ∞ Định nghĩa Hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ Chuỗi ∑ an gọi n=1 ∞ • Hội tụ tuyệt đối ∑ |an | hội tụ n=1 ∞ • Bán hội tụ ∞ ∑ an hội tụ n=1 ∑ |an | phân kỳ n=1 ∞ Chuỗi đan dấu ∑ (−1)nan n=1 ∞ Định lý Xét chuỗi đan dấu ∑ (−1)n an , n=1 ∞ Nếu {an }∞ dãy số dương, giảm lim an = n→∞ ∑ (−1)n an hội tụ, n=1 ∞ Chuỗi đặc biệt ∑ an bn n=1 Tiêu chuẩn (Tiêu chuẩn Dirichlet) Nếu ∞ • Dãy tổng riêng chuỗi ∑ an bị chặn n=1 • bn dãy đơn điệu hội tụ đến ∞ ∑ an bn hội tụ n=1 Tiêu chuẩn (Tiêu chuẩn Abel) Nếu ∞ • ∑ an hội tụ n=1 • bn dãy đơn điệu bị chặn ∞ chuỗi số ∑ an bn hội tụ n=1 ∞ ∑ (−1)n an < a1 n=1 ∞ III Chuỗi hàm số ∑ un(x) n=1 Chuỗi hàm số hội tụ Định nghĩa Cho dãy hàm số {an (x)}, ∞ • Chuỗi hàm số ∞ ∑ un (x) gọi hội tụ x = x0 chuỗi số n=1 ∑ un (x0 ) hội tụ n=1 ∞ • Chuỗi hàm số ∞ ∑ un (x) gọi phân kỳ x = x0 chuỗi số n=1 ∑ un (x0 ) phân kỳ n=1 ∞ Tập hợp điểm hội tụ ∑ un (x) gọi miền hội tụ n=1 Chuỗi hàm số hội tụ ∞ Định nghĩa Chuỗi hàm số ∑ un (x) hội tụ đến S(x) tập X ∀ε > 0, ∃n(ε) ∈ N : n=1 |Sn (x) − S(x)| < ε, ∀n > n(ε), ∀x ∈ X • n(ε) phụ thuộc vào ε mà khơng phụ thuộc vào x • Ý nghĩa hình học: với n đủ lớn Sn (x) nằm hoàn toàn dải (S(x) − ε, S(x) + ε) , x ∈ X ∞ Định lý (Tiêu chuẩn Cauchy) Cho chuỗi hàm số ∑ un (x) hội tụ tập X ∀ε > 0, ∃n(ε) ∈ N: n=1 S p (x) − Sq (x) < ε, ∀p, q > n, ∀x ∈ X Định lý 10 (Tiêu chuẩn Weierstrass) Nếu: • |un (x)| ≤ an , ∀n ∈ N, ∀x ∈ X ∞ • chuỗi số ∑ an hội tụ n=1 ∞ chuỗi hàm số ∑ un (x) hội tụ tuyệt đối X n=1 Các tính chất chuỗi hàm số hội tụ Định lý 11 (Tính liên tục) Nếu • un (x) liên tục X với n ∞ • chuỗi ∑ un (x) hội tụ S(x) X n=1 S(x) liên tục X, ví dụ: ∞ lim x→∞ ∞ ∑ un (x) = n=1 lim un (x) ∑ x→∞ n=1 Định lý 12 (Tính khả vi) Nếu • un (x) khả vi liên tục (a, b) với n ∞ • chuỗi ∑ un (x) hội tụ S(x) (a, b) n=1 ∞ • chuỗi ∑ un (x)hội tụ (a, b) n=1 S(x) khả vi (a, b) ∞ S (x) = ∞ ∑ un (x) = n=1 ∑ un (x) n=1 ∞ IV ∑ anxn Chuỗi luỹ thừa n=1 ∞ Định lý 13 (Định lý Abel) Nếu chuỗi luỹ thừa ∑ an xn hội tụ x = 0, hội tụ điểm mà n=1 |x| < |x0 | Định lý dẫn tới hệ quả: ∞ Hệ Nếu chuỗi luỹ thừa ∑ an xn phân kỳ x0 = 0, phân kỳ điểm x mà |x| < |x0 | n=1 ∞ Hệ Với chuỗi luỹ thừa ∑ an xn cho trước, có khả sau xảy ra: n=1 • Chuỗi hội tụ điểm x = • Chuỗi hội tụ điểm x ∈ R • Tồn số thực R cho chuỗi cho hội tụ |x| < R phân kỳ |x| > R Chú ý Về cách tìm bán kính nội tụ R ta áp dụng tiêu chuẩn d’Alambert tiêu chuẩn Cauchy để giải Các tính chất chuỗi luỹ thừa ∞ Định lý 14 Giả sử chuỗi luỹ thừa ∞ ∑ an xn có bán kính hội tụ R > đặt f (x) = ∑ an xn với |x| < R n=1 n=1 Khi • Chuỗi luỹ thừa hội tụ đoạn [a, b] ⊂ (−R, R) • f (x) hàm số liên tục (−R, R) • f (x) hàm số khả vi (và liên tục) khoảng (−R, R) ∞ f (x) = ∑ n=0 d an xn dx = a1 + 2a2 x + · · · + nan xn−1 + · · · dx • f(x) hàm số khả tích đoạn [a, b] ⊂ (−R, R) ˆ x f (t)dt = a0 x + a1 x2 xn+1 + · · · + an +··· n+1 ... chuỗi số ∑ an bn hội tụ n=1 ∞ ∑ (−1)n an < a1 n=1 ∞ III Chuỗi hàm số ∑ un(x) n=1 Chuỗi hàm số hội tụ Định nghĩa Cho dãy hàm số {an (x)}, ∞ • Chuỗi hàm số ∞ ∑ un (x) gọi hội tụ x = x0 chuỗi số. .. tụ n=1 ∞ • Chuỗi hàm số ∞ ∑ un (x) gọi phân kỳ x = x0 chuỗi số n=1 ∑ un (x0 ) phân kỳ n=1 ∞ Tập hợp điểm hội tụ ∑ un (x) gọi miền hội tụ n=1 Chuỗi hàm số hội tụ ∞ Định nghĩa Chuỗi hàm số ∑ un (x)... Cauchy Định lý Giả sử tốn lim n→∞ √ n an = L Khi • Nếu L < chuỗi cho hội tụ • Nếu L > chuỗi cho phân kỳ II Chuỗi với số hạng có dấu Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ ∞ Định lý Nếu ∞ ∑ |an |